§2.2-行列式的性质

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1、2 行列式的性质行列式的性质 设设 是一个确定的是一个确定的n阶排列，阶排列， 则则定义定义1设设行列式的性质行列式的性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,因此因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. .性质性质2 2 行列式的某一行（列）中所有的元行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数素都乘以同一数 k ，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式. .证证推论推论1行列式的某一行（列）中所有元行列式的某一行（列）中所有元素的公

2、因子可以提到行列式符号的外面素的公因子可以提到行列式符号的外面推论推论2行列式的某一行（列）中所有元行列式的某一行（列）中所有元素为零，则该行列式等于零素为零，则该行列式等于零推论推论3设设A为为n阶方阵，阶方阵，k为数，则为数，则性质性质3 3若行列式的某一列（行）的元素都若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和是两数之和. .则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：证证由行列式的定义由行列式的定义性质性质 4 交换行列式的两行（列），交换行列式的两行（列）， 行列式变号行列式变号.即即推论推论4 4 如果行列式有两行（列）完如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零全相同

3、，则此行列式为零. .性质性质5行列式中如果有两行（列）元行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零素对应成比例，则此行列式为零证明证明 互换相同的两行，有互换相同的两行，有 性质性质把行列式的某一列（行）的各把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列元素乘以同一数然后加到另一列( (行行) )对对应的元素上去，行列式值不变应的元素上去，行列式值不变例如例如证证利用行列式的性质进行计算利用行列式的性质进行计算计算行列式常用方法计算行列式常用方法 利用行列式的第利用行列式的第i行的行的k倍加到第倍加到第j行，行列式的值不变，把行列式化为上行，行列式的值不变，把行列式化为上

4、三角形行列式，从而算得行列式的值三角形行列式，从而算得行列式的值例例例例1解解 分析：分析： 此行列式的特点是每一行的元素此行列式的特点是每一行的元素之和相等，有这种特点的行列式的计算之和相等，有这种特点的行列式的计算可以考虑把后面各列加到第一列中，然可以考虑把后面各列加到第一列中，然后提取第一列个元素的公因子。后提取第一列个元素的公因子。把第把第2，3，4列各元素分别加到第一列列各元素分别加到第一列上式行列式第上式行列式第1行的（行的（-1）倍分别加到第）倍分别加到第2，3，4行得行得例例2其中其中n2.解解第第2行与第行与第n行成比例，故行成比例，故说明说明 把行列式的某一行（列）的把行列式的某一行（列）的k倍加到倍加到其余各行（列）是常用的方法之一。其余各行（列）是常用的方法之一。例例3解解分析分析 此行列式的特点是相邻两行对此行列式的特点是相邻两行对应元素要么差应元素要么差1要么相等，这类行列要么相等，这类行列式可以考虑依次把上一行的（式可以考虑依次把上一行的（-1）倍加到下一行去，即把第（倍加到下一行去，即把第（i-1)行的行的（-1）倍加到第）倍加到第(i)行中行中.说明说明 相邻两行依次相减也时常用方法之一。相邻两行依次相减也时常用方法之一。例例4提示提示：例例5设设A为为n阶方阵，且阶方阵，且思考题思考题 计算阶行列式计算阶行列式解解推广推广 n 阶行列式阶行列式