可降阶的高阶微分方程

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1、7.57.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程本节考虑本节考虑n阶微分方程阶微分方程中的如下的三种特殊类型中的如下的三种特殊类型: y(n)=f(x) 特点：特点： 特点：特点：解法解法: 例例1解法解法: 这是关于这是关于p的一阶微分方程的一阶微分方程, 若能求出若能求出降低了方程的阶数降低了方程的阶数例2 求方程 xy”+y=1通解。 解： y=P(x)， xp+p=1 , -ln(1-p)=lnx+lnC1 = p=1- C1/x 通解： y =x-C1lnx+C2 例例3解法解法: 这是关于这是关于p的一阶微分方程的一阶微分方程, 若能求出若能求出降低了方程的阶数降低了方程的阶

2、数解解代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为例例 1例例2解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为解解代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为例例 34)不显含不显含x,y，用不显含用不显含y的方法简单。的方法简单。 例 y”+(y)2=0 解：y=P(x)， p=y=1 / (x+C1) y=ln(C1+x)+C2 特点特点解法：解法： 类似于全微分方程可降低一阶类似于全微分方程可降低一阶再设法求解这个方程再设法求解这个方程.附附1) 1) 恰当导数方程恰当导数方程解解将方程写成将方程写成积分后得通解积分后得通解注意注意: :这一段技巧性较高这一段技巧性

3、较高, 关键是配导数的方程关键是配导数的方程.例例 3解解将方程写成将方程写成积分后得通解积分后得通解例例15)凑导数法凑导数法例例2 已知曲线已知曲线,它的方程它的方程y=f(x)满足微分方程满足微分方程并且与另一条曲线并且与另一条曲线y=ex 相切于点相切于点(0,1), 求此曲线的方程求此曲线的方程.解解 曲线满足初值问题曲线满足初值问题 练习练习:2.解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为代入原方程代入原方程, 得得解法：解法：特点：特点：P(x)的的(n-k)阶方程阶方程可得通解可得通解.1、更一般的情况更一般的情况, 如如解解代入原方程代入原方程解线性方程解线性方程, 得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为例例 1解解代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为例例 2