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1、 xyO O第一种（网格节点）：第一种（网格节点）：5.1.2 二元函数插值二元函数插值第二种（散乱节点）：第二种（散乱节点）： yx0 0 注意：注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。最最 邻邻 近近 插插 值值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。分分 片片 线线 性性 插插 值值 xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)O O二元函数插值：二元函数插值： 设实值函数函数 f (x, y) 定定义在矩形区域在
2、矩形区域 D =a x b, c y d ,插插插插值节值节点集点集点集点集: : Z =(xi, yj)| a x0 x1 xn b, c y0 y1 ym d .取在取在 Z 上上线性无关的函数性无关的函数组 kr x, y | k=0,1, , n; r=0,1, , m . 其中，其中， kr x, y 是次数关于是次数关于 x 不高于不高于 n 次、次、 关于关于 y 不高于不高于 m 次的次的二元二元多多项式。式。 在函数空在函数空间 D Span 00, , 0m, , n0, , nm 上上寻找二元插找二元插值多多项式式 使其使其满足插足插值条件条件此此问题就是二元函数的代数插
3、就是二元函数的代数插值问题。 如同一元的情况如同一元的情况, 满足插足插值条件条件(5.11)的二元的二元插插值函数是函数是唯一唯一存在存在的。的。Lagrange 插值曲面插值曲面取插值基函数取插值基函数其中其中这样的的 kr x, y 满足足 因此因此, kr x, y 在点集在点集(xi, yj)上上线性无关性无关, 且易且易知知, 满足插足插值条件条件(5.11) 的插的插值多多项式式为 式式(5.13)叫做叫做 Lagrange 形式的插值曲面形式的插值曲面.近似式近似式 (x, y) pnm(x, y) (5.14)叫做二元函数的叫做二元函数的Lagrange插值公式插值公式. 式
4、式 (5.14) 的的余项余项 或或 截断误差截断误差为为Rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)证明明：Rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)(5.15)(5.16)证明明：Rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)例例2 试利用利用f (x,y)的函数表的函数表 建立建立x为二次、二次、y为一次的二元插一次的二元插值多多项式式p21(x,y)，用以，用以计算算f (0.3,0.8)的近似的近似值。 f x y-1010.50.250.5110.430.871.73解：解：由由n=2，m=1的二元插的二元插值多多项式式(5.13)可得可得数学符号 x0, ,x1, , xn, y0, ,y1, , ym, 0x,1x, , nx k=0,1, , n (x, y) pnm(x, y)
