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1、义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书 北师大版北师大版 九年级九年级 上册上册第三章第三章 证明（三）证明（三）达川区中小学教研室达川区中小学教研室 向向 荣荣1一个角是一个角是直角直角两组对边两组对边分别平行分别平行平行平行四边形四边形矩形矩形情情景景创创设设我们已经知道平行四边形是特殊的我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，那么这情况即特殊的平行四边形，那么这堂课我们就来研究一
2、种特殊的平行堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形四边形 矩形矩形2有一个角是有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形矩形的定义：矩形的定义：平行四边形平行四边形矩形矩形有一个角有一个角 是直角是直角矩形是特殊的平行四边形矩形是特殊的平行四边形3探索矩形的性质探索矩形的性质4具具备备平行四平行四边边形所有的性形所有的性质质ABCDO角角边边对角线对角线对边平行且相等对边平行且相等对角相等对角相等对角线互相平分对角线互相平分矩形的一般性质矩形的一般性质：5 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？四边形的
3、所有性质外，还有哪些特殊性质呢？猜想猜想1：矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角猜想猜想2：矩形的对角线相等矩形的对角线相等ABCD6求证：矩形的四个角都是直角求证：矩形的四个角都是直角 求证求证: :矩形的对角线相等矩形的对角线相等. .已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形， A=90A=90求证：求证：A=B=C=D=90A=B=C=D=90A AB BC CD D四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 A=90A=90 B=D =90 B=D =90 A=C =90 B = D A=C =90 B = D 又又 A +B = 1
4、80 A +B = 180 A=B=C=D=90 A=B=C=D=90证明：证明：已知：如图已知：如图, ,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形 求证：求证：AC = BDAC = BDA AB BC CD D证明：在矩形证明：在矩形ABCDABCD中中ABC = DCB = 90ABC = DCB = 90又又AB = DC AB = DC ， BC = CB BC = CBABCDCBABCDCBAC = BDAC = BD矩形的性质矩形的性质7矩形特殊的性质矩形特殊的性质定理：矩形的四个角都是直角定理：矩形的四个角都是直角定理：矩形的两条对角线相等定理：矩形的两条对角线相等从角上看：
5、从角上看：从对角线上看：从对角线上看：8ABCDE 如图，设矩形的对角线如图，设矩形的对角线AC与与BD相交相交 于点于点E，那么，那么BE是是Rt ABC中的一条怎样中的一条怎样的的特殊线段特殊线段？它与？它与AC有什么大小关系？为有什么大小关系？为什么？什么？ 推论：推论：直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等于斜边的一半BEBE是是RtABCRtABC中斜边中斜边ACAC上的中线上的中线. . BEBE等于等于ACAC的一半的一半. .9求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知已知: :CDCD是是RtRtABCABC
6、的斜的斜边ABAB上的中上的中线 求证求证: : ABCDE证明证明: :延长延长CDCD到到E E使得使得CD=DE,CD=DE,连接连接AE,BEAE,BE又又 AD=BDAD=BD四边形四边形ACBEACBE是平行四边形是平行四边形. .又又 ACB=90 ACB=900 0四边形四边形ACBEACBE是矩形是矩形. . AB=CE AB=CE10直角三角形的判定直角三角形的判定w定理定理: :如果一个三角形一边上的中线等于这边的如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半一半, ,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. . 求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形A
7、BCD 我思我思,我进步我进步已知已知:CD:CD是是ABCABC边边ABAB上的中线上的中线, ,且且11(1)若若BD=3 则则AC (2) 若若 C=30，AB5，则，则AC ， BD .1.1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) ( ) B.B.对边相等对边相等A.A.对角相等对角相等C.C.对角线相等对角线相等 D. D.对角线互相平分对角线互相平分C C营中热身营中热身DCBA2.已知已知 ABC是直角三角形，是直角三角形， ABC=900，BD是斜是斜边边AC上的中线上的中线651012矩形性质的应用矩形性质的应用 例题欣赏例题欣赏
8、例例1.1.已知已知: :如图如图,AC,BD,AC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线,AC,BD,AC,BD相交于点相交于点O,AOD=120O,AOD=1200 0,AB=2.5cm.,AB=2.5cm.求矩形对角线的长求矩形对角线的长. .解解: : 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形, ,BD=2AB=22.5=5(cm).BD=2AB=22.5=5(cm).DABDAB=90=900 0, ,DBCAOAOD=120AOD=1200 0, ,你认为例你认为例1 1还可以还可以怎么去解？怎么去解？AC=BD,AC=BD,且且ODA=OAD=ODA=OAD=
9、13矩形的判定矩形的判定定理定理: :有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形. .已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中, , A=B=C=90A=B=C=900 0. .证明证明: : A=B=C=90 A=B=C=900 0, ,A+B=180A+B=1800 0,B+C=180,B+C=1800 0. .ADBC,ABCD.ADBC,ABCD.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .DBCA四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .定理定理: :对角线相等的平行四
10、边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形. .已知已知: :如图如图, ,在在ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC=BD.AC=BD.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .证明证明: :AB=CD,ABCD.AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB,AC=DB,BC=CB, ABCDCB. ABCDCB.ABC=DCB.ABC=DCB.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .ABC+DCB=180ABC+DCB=1800 0. .ABC=90ABC=900 0. .四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .DBCA14例例2.如图如图，E为为
11、 ABCD外一点外一点,连接连接AC、BD相交于点相交于点O，且且AEEC, BEED.试说明试说明： ABCD是矩形是矩形.ABCDEO 例题欣赏例题欣赏证明：证明：连接连接OE 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 O是是AC、BD的中点的中点平行平行四边形四边形ABCD为矩形为矩形( (对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形) ) AC=BD矩形判定的应用矩形判定的应用15矩形的性质矩形的性质,推论推论定理定理: :矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角. .定理定理: :矩形的两条对角线相等矩形的两条对
12、角线相等. .推论推论( (直角三角形性质直角三角形性质) ): :直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等于斜边的一半. .回顾回顾 思考思考矩形的判定矩形的判定,直角三角形的判定直角三角形的判定定理定理: :有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形. .定理定理: :对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形. .定理定理: :如果一个三角形一边上的中线等于这边的如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半一半, ,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. .16作业布置作业布置: : P P97 97 习题习题3.4 3.4 第第1 1题，第题，第3 3题题 P P108108 第第1313题题 严格性之于数学家严格性之于数学家, ,犹如道德之于人犹如道德之于人. . 条理清晰，因果相应条理清晰，因果相应, ,言必有据言必有据. .是初学是初学证明者谨记和遵循的原则证明者谨记和遵循的原则. .1718 素材和资料部分来自素材和资料部分来自网络，如有帮助请下载网络，如有帮助请下载!
