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1、专题五专题五 勒贝格积分勒贝格积分勒贝格积分思想的产生勒贝格积分思想的产生积分极限定理积分极限定理勒贝格积分的概念和性质勒贝格积分的概念和性质 一、勒贝格积分思想的产生1. 1. 黎曼黎曼（Riemann)积分积分( (即定积分即定积分) )的基本思想的基本思想设设f(x)在在a,b上有界，分割上有界，分割a,b，作乘积，求和，取极限，作乘积，求和，取极限2.2.达布达布( (Darbour) )大和与达布小和大和与达布小和 设设xi(i=1,2,.n)为区间为区间a,b的任一分点组的任一分点组, 记记 : =Mi-mi称为称为f(x)在在xi-1,xi上的上的振幅振幅S= Mi xi为为f(
2、x)的的D大和大和s= mi xi为为f(x)的的D小和小和f(x)在在a,b上上R可积可积lim f( i) xi存在存在注：注：lim (S-s)=0 lim i xi=0这表明这表明: : f(x)在在a,b上上R可积时可积时, =max xi充分小时充分小时, , 每个振幅每个振幅 i(i=1,2,)都很小或振幅都很小或振幅 i不能任意小的子不能任意小的子区间的长度之和区间的长度之和( (即测度即测度) )很小很小. .（1） 对被积函数和积分域要求过于严格对被积函数和积分域要求过于严格. 要求积分要求积分域为区间域为区间, , 对一般点集而言对一般点集而言, R, R积分无法定义积分
3、无法定义; ;并要求被积并要求被积函数函数f(x)f(x)在积分区间在积分区间a,ba,b上的变化不能太快上的变化不能太快, ,至少急剧变至少急剧变化的点不能太多化的点不能太多( (一般一般f(x)f(x)在在a,ba,b上应是连续或分段连续上应是连续或分段连续, , 即几乎处处连续即几乎处处连续). ). 象象0,10,1上的狄里克来函数就不上的狄里克来函数就不R R可积可积. .（2）另一方面）另一方面, R积分理论上存在弊端积分理论上存在弊端. R R可积函数序可积函数序列的极限函数列的极限函数( (逐点收敛逐点收敛) )未必可积未必可积; ;极限运算与积分运算只极限运算与积分运算只有在
4、很强的条件下有在很强的条件下( (一致收敛一致收敛) )才能交换积分次序才能交换积分次序; ; 由由R R可积可积函数类构成的某些空间不具有完备性函数类构成的某些空间不具有完备性. . 4 L积分的产生积分的产生 为克服为克服R R积分的缺陷积分的缺陷, , 法国数学家勒贝格法国数学家勒贝格19021902年建立了一套年建立了一套新的积分理论新的积分理论(L(L积分理论积分理论), ), 对函数限制较少对函数限制较少, , 适用范围更大。适用范围更大。L L积分与极限交换次序所要求的条件较之积分与极限交换次序所要求的条件较之R R积分要弱得多积分要弱得多.,.,而切而切使用起来也比较灵活使用起
5、来也比较灵活. .3. 3. R积分的积分的局限性局限性 二、勒贝格积分的概念与性质1. 1. 测度有限集上有界函数测度有限集上有界函数L L积分积分定义定义1 (L积分积分) 设设m(E) , f (x)是是E上的有界可测函数上的有界可测函数,且且 f (x) . 分割分割 ： =y1y2.yn= 则函数则函数f (x)在在E上的上的L积分积分定义定义取极限：取极限：( i yi-1,yi , Ei=E( yi-1 f yi )=x | yi-1 f(x) yi作乘积和式：作乘积和式：0abxycd iyiyi-1Ei1Ei2Ei3Ei4也称也称f (x)在在E上上L可积可积定理定理1 (L
6、1 (L积分存在定理积分存在定理) ) m(E) , f (x)在在E上是有界可测函数上是有界可测函数f (x)在在E上上L可积可积定理定理2 (2 (L L积分与积分与R积分的关系积分的关系) ) f (x)在在E=a,b上上R可积可积f (x)在在E=a,b上上L可积，且可积，且定理定理3 (L3 (L积分基本性质积分基本性质) ) 设设m(E) , f (x)及及g(x)都是都是E上的有界可测函数，上的有界可测函数， 与与 是常数。是常数。1)2)线性线性性质性质3)零测集上的积分性质零测集上的积分性质4)m(E(fg)=08)有限可加性有限可加性不等式不等式性质性质5)6)7)m(E(
7、fg)=0注注：在零测集上任意改变被积函数的值，或被积函数无：在零测集上任意改变被积函数的值，或被积函数无定义，都不影响函数的可积性及积分值。定义，都不影响函数的可积性及积分值。 （L积分与积分与R积分的显著区别积分的显著区别）例例：在：在0,1,0,1,dirichlet函数函数D(x)=0(a.e.), 从而有从而有:2. 2. 无界函数及测度无限集上的无界函数及测度无限集上的L L积分积分 (1) (1) 设设m(E)+ , f (x)是是E E上的上的非负非负无界无界可测可测函数函数. .作函数作函数f (x)n是一非负有界可测函数列是一非负有界可测函数列。 n, 都存在都存在存在存在
8、注：当极限值有限时，称注：当极限值有限时，称f(x)f(x)在在E E上上L L可积可积; ; 当极限值无限时，则称当极限值无限时，则称f(x)f(x)在在E E上有上有积分。积分。称称f (x)n 为为 f (x)的第的第n截断函数截断函数. . 其中其中f+(x) 0称为称为f (x) 的的正部正部, f-(x) 0称为称为f (x)的的负部负部, 注注：若上述两个积分都为有限数，则称若上述两个积分都为有限数，则称f(x)f(x)在在E E上上L L可积可积; ; 若一个积分有限若一个积分有限, ,另一个积分无限另一个积分无限, ,则称则称f(x)f(x)在在E E上上有积分；有积分； 若
9、两个积分均无限若两个积分均无限, ,则称积分无意义。则称积分无意义。 (2) (2) 设设m(E)+ , f (x)是是E E上的上的一般一般无界无界可测可测函数函数. .则有则有(3) (3) 设设E E为任意可测集为任意可测集( (m(E)可以为可以为+ ), f (x)是是E E上的上的任意可测函数任意可测函数( (可以无界可以无界).).则定义则定义其中其中 E(x)是是E的特征函数的特征函数, 并且并且3.L3.L积分的几个重要性质积分的几个重要性质 定理定理4 (4 (绝对可积性绝对可积性) ) 设设E R可测可测，f (x)是是E上的可测上的可测函数，则函数，则f (x)在在E上
10、可积上可积| |f (x)| |在在E E上可积，且上可积，且证证: 不妨设不妨设m(E)+ .“”f (x)在在E上可积上可积 |f (x)|在在E上可积上可积“”设设| |f (x)| |在在E上可积上可积, 0 f+(x) |f(x)|,0 f-(x) |f(x)|f+ (x)n |f(x)|n, f-(x)n |f(x)|n, (n=1,2,) E f+ (x) dm E |f(x)|dm+ , Ef-(x)dm E|f(x)|dm+ E f(x)dm E f+ (x) dm- Ef-(x)dm+ f(x)在在E上可积上可积, | | E f(x)dm| | E f+ (x) dm+
11、Ef-(x)dm = E| |f( (x) )dm|0, 0, 对对E0 E, m(E0)0, N, 使使 存在存在取取 = /2N, 则对于则对于E0 E, m(E0) ,有有注注: :定理定理5 5反映了反映了L 积分值与积分域之间的一种以依赖关系：积分值与积分域之间的一种以依赖关系：定理定理6(6(可列可加性可列可加性) ) 设设E, Ei R可测可测，f (x)在在E上可积上可积, ,则则 证证: 令令( (测度的可列可加性测度的可列可加性) )( (积分的有限可加性及绝对连续性积分的有限可加性及绝对连续性) )5.5.积分序列的极限定理积分序列的极限定理定理定理7 (7 (勒勒贝格控
12、制收敛定理贝格控制收敛定理) ) 设设m(E) + ，fn(x)是是E上的可上的可测测函数函数列列，如果在，如果在E上满足上满足: :(1)(2) 存在存在L可积函数可积函数g(x), 使得使得则则f(x)在在E上上L L可积可积, ,且且推论推论1 1 ( (勒贝格有界勒贝格有界收敛定理收敛定理) ) 设设m(E) + ，fn(x)是是E上的可上的可测测函数函数列列，如果，如果E上满足上满足: :(1)(2) 存在常数存在常数M, 使得使得则则f(x)在在E上上L可积可积, ,且且定理定理7中取中取g(x)=M即可即可注注: :定理定理7及其推论表明及其推论表明: L: L积分与极限可以交换
13、次序积分与极限可以交换次序推论推论2 2 ( (含参变量积分的连续定理含参变量积分的连续定理) ) 设设m(E) + ，f (x) (I)是是E上的可上的可测测函数函数族族，如果，如果E上满足上满足: :(1)则则f(x)在在E上上L可积可积, ,且且注注: :定理定理7及其推论表明及其推论表明: L: L积分与极限可以交换次序积分与极限可以交换次序(2) 存在存在L可积函数可积函数g(x), 使得使得定理定理8 (8 (刘维刘维(LevlLevl) )引理引理) ) 设设m(E) + ， fn(x)是是E上的非负可上的非负可测测函数，并且在函数，并且在E上有上有则则注注: :定理定理9表明表
14、明: L: L积分与极限可以交换次序积分与极限可以交换次序定理定理9 9 设设m(E) + ， f( (x) )与与un(x)(1,2,)都是都是E上的非负上的非负, 则有则有可可测测函数，并且在函数，并且在E上有上有注注: : 1)1)定理定理8 8表明表明: L: L积分与求和可以交换次序积分与求和可以交换次序, ,即可以即可以逐逐 项积分项积分2)若利用若利用R积分理论来求积分理论来求f(x)在区间在区间a,b上的积分值上的积分值, 应先将被积函数展开成幂级数应先将被积函数展开成幂级数, 再验证级数在再验证级数在a,b上上的一致收敛性的一致收敛性. 若级数在若级数在a,b上不一致收敛上不一致收敛, 则则R积分积分不能逐项积分不能逐项积分.3) 利用利用L积分与积分与R积分的关系及积分的关系及L积分理论来求值积分理论来求值.解解:当当0x0, 使使 证明证明 1) 在在(- ,+ )上连续上连续; 2)证证: 1)例例4 4 设设f (t)在在(-(- ,+,+ ) )上上L可积可积, 其富立叶变换为其富立叶变换为 是连续函数是连续函数2)f (t)在在(- ,+ )上上L可积可积, 所以有所以有L控制收敛定理有控制收敛定理有
