线性代数：3-3 向量组的秩与极大线性无关组

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1、3.3 3.3 向量组的秩与极大线性无关组向量组的秩与极大线性无关组定义定义1:1:简称简称最大无关组最大无关组, r 称为向量组称为向量组 A的秩，记作的秩，记作RA （ii）A的任意向量都可由的任意向量都可由A0线性表示线性表示.线性无关线性无关,（i）那么称部分组那么称部分组 为向量组为向量组 A的一个的一个最大线性无关组最大线性无关组，设设 A为一个向量组，为一个向量组，A的部分组的部分组 满足：满足：向量组向量组 的秩也记作的秩也记作一、定义和性质一、定义和性质【注注】（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0 。（2）一个线性无关

2、向量组的最大无关组就是其本身。）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。（4）向量组）向量组 A能由能由A0线性表示。线性表示。（3）向量组的）向量组的最大无关组最大无关组一般一般不是唯一的不是唯一的。（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价，因）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价，因此同一个向量组的任意两个最大无关组必然也是相互等此同一个向量组的任意两个最大无关组必然也是相互等价的。价的。例如：在向量组例如：在向量组 中，中， 首先首先线性无关，又线性无关，又线性相关，线性相关，所以所以是一个极大无关组。是一个极大无关组。还可以验证还可以验证也是一个极大无关组。也是一个极大无关

3、组。例如：矩阵例如：矩阵A的列向量组是的列向量组是可以验证可以验证是一个最大无关组是一个最大无关组,所以矩阵所以矩阵A的列秩是的列秩是3。【定理定理】矩阵的秩矩阵的秩 = 矩阵的行向量组的秩矩阵的行向量组的秩 = 矩阵的列向量组的秩矩阵的列向量组的秩证：矩阵证：矩阵 A 经过初等变换变为行最简形经过初等变换变为行最简形 B，而各个非，而各个非零行的第一个非零元素所在的列对应的向量则可构成零行的第一个非零元素所在的列对应的向量则可构成矩阵矩阵B的最大无关组。的最大无关组。又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，因此矩阵因此矩阵A中相应的列向量也构成

4、最大无关组。中相应的列向量也构成最大无关组。所以，所以，A的秩的秩 A的列向量组的秩的列向量组的秩同理，同理，AT 的秩的秩 AT 的列向量组的秩的列向量组的秩A 的行向量组的秩的行向量组的秩但是，但是， A 的秩的秩 AT 的秩的秩【例例2】求矩阵求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余的的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用向量用这个最大无关组线性表示。这个最大无关组线性表示。解解: :是是一个最大无关组一个最大无关组.这与 是线性无关的矛盾。例如：例如： 向量组向量组 的秩为的秩为2。【注意注意】两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相

5、同的秩，并且其中一个可以被另一个两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。线性表示，则这两个向量组等价。向量组向量组 的秩为的秩为2。【结论结论结论结论】向量组向量组向量组向量组 能由向量组能由向量组能由向量组能由向量组 线性表示，且它们线性表示，且它们线性表示，且它们线性表示，且它们的秩相等，则向量组的秩相等，则向量组的秩相等，则向量组的秩相等，则向量组 与向量组与向量组与向量组与向量组 等价。等价。等价。等价。证明：设它们的秩为r， 是向量组A的的一个最大无关组， 是向量组B的一个最大无关组，则有由 的线性无关性可知矩阵 是可逆的，因此 可由 线性表示。