微分方程数值解

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1、微分方程数值解第一章第一章 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法1.1 引言1.我们在高等数学一书中学到的常微分方程，都是求出其解析解。但实际问题中，找出解析解难度非常大，对大部分问题甚至是不可能的。因此就要想法求出其数值解。2.我们本章主要研究常微分方程初值问题的主要数值解法，包括基本方法和基本理论问题。3.研究常微分方程初值问题的形式。 一般情况下，我们总是认为这个初值问题的解存在，唯一且连续依赖于处置条件。即式是适定的。 1.2 欧拉方法（Euler方法） 1.数值求解常微分方程数值问题的最简单方法是欧拉法。又称折线法。推导如下:得 求如图1.1曲边梯形的面积最直接的

2、方法就是用矩形面积代替整个曲边梯形面积。则则有依次：令 则 n=0,1,2 这就是欧拉方法的计算公式。 称为积分步长 2.式式也可以用泰勒级数去掉高阶导数项得到也可以用泰勒级数去掉高阶导数项得到（注：把（注：把 在在 处展开）处展开）去掉高于一阶导数的项，得去掉高于一阶导数的项，得由由 注：注： 几何意义：以折线代替曲线一般并不要求步长相等3.例1.以h=0.1为步长，用欧拉法求初值问题. 的数值解，并与精确解 比较解：由欧拉法有： 计算结果见表1.1注: ,使用欧拉法数值求解过程非常简单，无需迭代方法求解任何方程，因此，也称其为显式格式 ，由欧拉方程输出的解 与计算机输出的 不是一回事，是

3、的近似解，因为计算机所能进行的是有限位二进制运算，有舍入误差与系统误差存在。4.为了使计算得到的解 是 的好的近似解要求： 时， （即 是 的好的近似值） 时，（即 是 的好的近似值）为简化讨论，我们设想，计算机不会产生舍入误差，计算相当精确， 的值完全由 决定，则要求欧拉格式解对初始值多有连续依赖性，这种解对初值的连续依赖性就称为稳定性。 称为格式的收敛性问题 称为格式的稳定性问题5.收敛性研究 定理1.1 定理1.2 定理1.36.稳定性研究定义1.1 如果存在正常数c及 ，使对任意初始值 ， ，用 与计算所得之解 满足估计式 则称欧拉法稳定定理1.4 1.3 梯形法.隐式格式的迭代计算1

4、.上节利用矩形来近似曲边梯形，现在利用梯形来近似可得梯形公式：显然是一个隐式格式.2.现估计其局部截断误差阶，我们假定 和解 充分光滑见书本前面已经指出，梯形法是一个隐式格式 如何求解 ，我们采取迭代法，其格式如下： 初始猜测为证迭代法的收敛性，将-得 其中， 为 关于 的Lipschitz常数可见，当且 迭代次数 相当多时， 则相当少，因此 是梯形法跌带格式收敛的充分条件在实际计算时，令 ，有下面的预报校正格式 预报格式 校正格式当然也可迭代多次： 预报格式 校正格式 1.4 一般单步法。Runge-kutta格式前面，我们研究了欧拉法和梯形法，它们有一个共同的特点，即在格式中只包括 的值。

5、此种格式称为单步格式。1.泰勒级数法构造单步法的方法. 设初值问题 的解 阶可微，将 在 点展开为泰勒级数，有由方程可得：因此，推导过程：其中：舍去 ，可得 称 为一般单步法，显然局部截断误差所以，局部截断误差为 时，得欧拉法 2.一般单步法的基本理论定义1.1 见课本定义1.2定理1.5定理1.63.Runge-kutta格式 从前面的结论可见，构造高阶单步法的关键在于构造 ，使 中的局部截断误差阶尽可能高。若利用泰勒级数法有：此时有：要求 在 出的值，比较麻烦，如果用泰勒法推导高阶格式需要求更多的偏导数，计算繁杂梯形预报校正格式 预报格式 校正格式由此可写成其中：则此时从 ，单步法可以分两

6、级进行计算计算最后计算可以证明这个格式的局部截断误差阶为 ，省去了求偏导数。我们称它为二级二阶Runge-kutta 法;此法通用格式：适当选择参数 使局部截断误差 由因此要满足： 解不唯一;（未知数个数大于方程个数）4.各级各阶Runge-kutta法取 则 ，即得二级二阶Runge-kutta法取 则 ，由此得算式为： 取 ，则有以上两式均为二级二阶Runge-kutta法三级三阶Runge-kutta法：适当选取参数使局部截断误差见书本特例如下：令 则故令 解得故有Heum三级三阶Runge-kutta算法同样可以设计四级四阶Runge-kutta格式经典四级Runge-kutta格式取

7、 则得取 ，则得另一Runge-kutta公式由此可见，四级四阶Runge-kutta法的确可计算出高精度的解，并且无需求各阶偏导数误差控制和Runge-kutta-Fehlberg法1.逼近初值问题的解的理想单步格式我们最终的目的是选用尽可能大的步长h（等间距的话是使得网络点尽可能的少）2.一般说来，即使格式是稳定的，要由计算结果 来确定格式的整体截断误差是不可能的。以欧拉格式为例：给出一个局部误差估计的技术其局部截断误差 是 ，其中而梯形法的局部截断误差 是 。如果那么所以但 是 ，而 是 ，所以 的主部必须约等于；因此， 可以作为欧拉法的局部误差的近似值3.局部截断误差的估计值 确定用于

8、控制整体截断误差的最佳步长对于初值问题：假设有两个逼近初值问题的单步格式。其中一个格式：格式1：局部截断误差 是格式2：局部截断误差 是类似于对欧拉法的分析： 此处 是 ，所以存在常数c，使得 由和可得用 代替 （ 为大于0的有界常数）； 表这一截断误差为了使 . 我们选择常数满足即： 通过如此选择常数 ，使得格式的整体截断误差能在我们的控制范围内，而且可使计算步长最大，网格点数最少。例：1970年Fehlberg提出的方法：利用五阶截断误差的Runge-kutta法估计出四阶的Runge-kutta法的局部误差1.5 线性多步法1.前面利用欧拉法或梯形法求位置函数在 的近似值 ，基本思想是在

9、积分表达式中被积函数 ， ，用水平直线 （矩阵法）或梯形法来代替为了近似 中的曲线 也可以用多点插值曲线；可过三点 ， ，的曲线 为用 来近似 中的则与欧拉格式的不同之处在于： ， ， 计算而欧拉格式是由 计算 。所以此种格式称为多步法。2.研究如何由表格给出 处 的近似值据 和 利用表头的值和Lagrange插值法求出 的近似表达式再由式就得到 的近似值见课本1.6 误差的事后估计法，步长的自动选择实际当中，我们不能得到具体误差的估计值那么我们如何利用外推法估计误差假定选定h在稳定性范围之内，格式为p阶；由得故则因此可令即由计算机先后用 和 为步长，算得 及 就可故算出整体截断误差偏微分方程

10、部分偏微分方程部分 第1章 抛物线方程的差分解法1.热传导问题或气体扩散现象。得到二阶抛物线型偏微分方程， （三维二阶抛物型方程）我们最主要研究一维热传导方程的差分解法初值问题： .混合问题对于方程可提第一，第二，第三边值问题，由于第二边界条件在教学上只是第三边界条件的特殊情形，因此，我们只研究第一和第三边值问题1第一边值问题 1.差分格式的建立1.2. 3.4.显式格式（格式1） 设 由表达式看出 这是一组线性代数方程组，由此方程组可知，在 点列方程时用 6。六点格式(Crank-Nicolson) (格式3） 由和得六点格式的截断误差为 ，只有更高的精度必须指出，建立这一差分格式的一个很重

11、要的思想是将微分方程中的 项以 在差分方程还可以改写为以前三种格式都是二层格式而Richardson格式是三层格式 8.加权六点格式（格式5） 2.热传导方程混合问题的差分方法第一边值和第三边值问题的差分解法。长方形网格是：.第一种方法： 故得边界条件的差分近似第二种方法利用中心差商代替 将 和代入第三边值条件有3.差分格式的稳定性.对于格式1.令 ，此时格式最为简单即： 为了讨论方便，假定边界条件的计算时精确的只是在初始层某点 上产生了误差 ，而在初始层的其他各点上没有误差。并假定在以后各层上的计算都没有引入其他误差，我们来考察 是如何传播的。根据上述假定，可知差分方程的精确解应满足 差分方

12、程的近似解 应满足 因此误差 应满足按照这一误差方程可得误差 的如下分布表00.165200312500.312500.156200.062500.2500.37500.2500.06250.12500.37500.37500.1250.2500.500.250.500.5 4 3 2 1 +1 +2 +3 +4由此可见，误差基本上是逐层减少，所以当 时， 差分格式稳定。当 时，此时误差方程是此时误差分布为结论： 差分格式（1）稳定的充要条件是 -515-3045-5145-3015-5-410-1619-1610-4-36-76-3-23-2- -5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3

13、 +4 +5在选择这一差分格式时，必须按照步长比的要求选择 与 （显式差分格式是条件稳定差分格式）隐式格式是无条件的，无论步长比怎么选择，都是稳定的。六点格式也是无条件稳定的。 ，两种格式是对每一时间步长，都要解一些线性方程组。Richardson格式是完全不稳定的无实用价值加权六点格式4.差分方程的收敛性。结论： .若第一边值问题的解在区域R：（ ）内有连续偏导数 并且 ，格式一致收敛。若第一边值问题的解在区域R内有连续的偏导数 ，不论 如何，隐式差分格式是一致收敛的。若第一编制的解在R内有连续偏导数 ， 不论 0如何，六点格式一致收敛。Richardson格式，不论R如何总不收敛。加权六点

14、格式： 若第一边值问题的解在R：（ ）内有连续偏导数 ， ， ，当 ,不论 如何，格式一致收敛；当 如 满足不等式 ，则格式一致收敛。 第二章 双曲型方程和双曲线方程组的解法一双曲线方程混合问题的差分解法1.波动方程： 的第一边值问题和第三边值问题。第一边值： 第三边值：当2.微分方程的差分近似。取网格其中（一 ）显式格式则差分格式为：三层显式格式：（二）隐式格式： 利用现用待定系数法构造如下差分算子： 将这些式子带入方程的右端，合并同类项，令 的系数都为0，3.初始条件的差分近似。4.边界条件的差分近似：5.相应的差分方程问题。显示格式（1）第一边质问题：（1）利用初始条件 的差分近似（7）

15、得到相应的差分方程：（2）利用初始条件 的差分近似 在此式中引进新的未知数 ，因此不能直接确定 ，因此在（1)式中消去 ，即在（1)式中令则有与（5）联立消去 ；得到 的新差分近似 第三边值问题：由于对初使条件 和第三边界条件都采用了两种不同的差分近似，故应采用不同的差分近似，第一种情形：因为两者截断误差 分 别为o 和o(h)具有相同的逼近程度 第二种情形：如果初始条件 的差分近似采用它的截断误差为0 为了使得第三边界的差分近似有相同的逼近程度，应选用此时相应的差分方程问题是： 在应用这一差分格式为了要确定 ，这是原来边值所未给出的，通常用插值法根据 在【0，1】上的值去求，此外当 在节点上

16、的值全部求出后，还需要用插值法把边界x=0，x=1上u的值求出来（二）隐式格式对于第二个初值条件采用第一种差分近似，则相应的差分问题为对于第二个初值条件采用第二种差分近似，则有6.差分格式的稳定式。结论（1）显示差分格式稳定的充要条件是（2）若 情况如何，格式（3）始终稳定， 为格式（2），所以格式（2）无条件稳定7.收敛性 Lax等价性定理:当步长 时差分方程逼近微分方程,而且是稳定的,则一定收敛.2.交替向法 2.迭代法及其收敛性(见计算方法书)3.逐次超松弛迭代法(sor方法)SOR方法：4块迭代法5.一般二阶椭圆型方程边值问题的差分解法在 上满足三类边界条件之一：a,b,c,d,g,f均为x,y的已知函数假定a(x,y), b(x,y), c(x,y), d(x,y), g(x,y), f(x,y)在 +G上连续，并且 1.差分格式的建立 矩形网格 第四章 变分方法1.基本概念 2.与常微分方程边值问题等价的变分问题 3.和椭圆形方程相联系的变分问题 5.Poisson方程第一边值问题