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1、总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性 第一节第一节 导数的概念导数的概念可导与连续的关系可导与连续的关系导数的几何意义导数的几何意义导数的定义导数的定义思考题、思考题、 小结小结第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、问题的提出一、问题的提出1. .自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图, ,取取极限极限得得第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页
2、下页下页 返回返回 2.2.切线问题切线问题割线的割线的极限位置极限位置切线位置切线位置第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 如果割线如果割线MN 绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT, ,直线直线MT 就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线. .如图如图, ,极限位置即：极限位置即：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、导数的定义二、导数的定义1. .定义定义增量比的极增量比的极限限第三章第三章
3、 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 （3）关于导数的说明：）关于导数的说明：注注:（1）导数的其他表示方法）导数的其他表示方法：（2）导数不存在导数不存在第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2. .单侧导数单侧导数(1)左导数左导数:(2)右导数右导数:第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一般步骤：一般步骤：3. .分段函数在分段点的分段函数在分
4、段点的导数导数第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例解解: :定理定理 函数可导必定连续，反之不一定成立函数可导必定连续，反之不一定成立. .第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、导数的几何意义三、导数的几何意义几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例解解: : 由导数的几何
5、意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性第二节第二节 求导法则与基本初等函数求导公式求导法则与基本初等函数求导公式初等函数的求导问题初等函数的求导问题反函数的求导法则反函数的求导法则函数四则运算求导法则函数四则运算求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则思考题、思考题、小结小结第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、函数四则运算求导法则一
6、、函数四则运算求导法则定理定理1第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 推论推论第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例1解：解：例例2解：解：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例3解：解：同理可得同理可得第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解
7、：同理可得同理可得例例3第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则定理定理2即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例4解：解：同理可得同理可得第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例5解：解：特别地特别地第三章第三章 导数
8、、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理3即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )推广推广第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 注意注意例例6解解第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下
9、页 返回返回 注意函数的复合过程注意函数的复合过程,合理分解合理分解,正确使用链式法则正确使用链式法则.例例7解：解：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解解：例例8第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例9解解例例10解解第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例11解解第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分
10、边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题1. .常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2. .函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则3. .复合函数的求导法则复合函数的求导法则设设)(),(xvvxuu= = =可导，则可导，则（1） vuvu = = )(, （2）uccu = = )(（3）vuvuuv + + = = )(, （4）)0()(2 - - = = v
11、vvuvuvu.( ( 是常数是常数) )利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. .注意注意: : 初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性 第三节第三节 高阶导数高阶导数高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则高阶导数求法举例高阶导数求法举例高阶导数的定义高阶导数的定义思考题、思考题、小结小结第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、高
12、阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度. .定义定义第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例直接法直接法: : 由高阶
13、导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例1解：解：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例2解：解：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例3解：解：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例4解：解：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返
14、回返回 例例5解：解：同理可得同理可得第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则莱布尼兹公式莱布尼兹公式第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例6解：解：总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性参数方程的导数参数方程的导数对数求导法对数求导法隐函数的导数隐函数的导数第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导
15、数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数思考题、思考题、小结小结第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、隐函数的导数一、隐函数的导数 隐函数隐函数隐函数的显化隐函数的显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例1隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.解：解：另解另解（显化
16、）：显化）：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 基本步骤：基本步骤：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例2解：解：解得：解得：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例3解：解：所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页
17、 下页下页 返回返回 例例4解：解：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、对数求导法二、对数求导法 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数然后利用隐函数的求导方法求出导数的求导方法求出导数. .方法方法: :-对数求导法对数求导法方程两边取对数方程两边取对数, ,第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例5等式两边取对数得等式两边取对数得第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导
18、数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：等式两边取对数得等式两边取对数得例例6对数求导法适用范围对数求导法适用范围: : 第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、参数方程的导数三、参数方程的导数例如例如消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 由复合函数及反函数的求导法则得：由复合函数及反函数的求导法则得：
19、看作复合函数看作复合函数第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例7 所求切线方程为：所求切线方程为：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例8总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性第五节第五节 函数的微分函数的
20、微分微分在近似计算的应用微分在近似计算的应用微分的几何意义微分的几何意义微分的定义微分的定义微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则思考题、思考题、 小结小结第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、问题的提出一、问题的提出引例引例1: :正方形金属薄片受热后面积的变化量正方形金属薄片受热后面积的变化量. .第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 引例引例2: :既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值第三章第
21、三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、微分的定义二、微分的定义定义定义1、微分的定义、微分的定义2、可微的条件、可微的条件定理定理第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例1例例2解：解：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页
22、 返回返回 三、微分的几何意义三、微分的几何意义MNT）几何意义几何意义: :( (如图如图) ) P Q第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 四、微分公式与微分运算法则四、微分公式与微分运算法则1. .常数和基本初等函数的微分公式常数和基本初等函数的微分公式第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2. . 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分
23、边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例3解：解：例例4第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 3.3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性结论：结论：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解：解：例例6解：解：例例5总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三章第三章 导数、微分、边际与弹性导数、微分、边际与弹性第六
24、节第六节 边际与弹性边际与弹性经济学中常见的弹性函数经济学中常见的弹性函数经济学中的常见的边际函数经济学中的常见的边际函数边际概念边际概念小结小结弹性概念弹性概念第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 一、边际概念一、边际概念1、概念的引入、概念的引入平均变化率平均变化率是函数增量与自变量增量之比，函数是函数增量与自变量增量之比，函数 如年产量的如年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等 瞬时变化率瞬时变化率 是函数对自变量的导数是函数对自变量的导
25、数. .瞬时变化率为瞬时变化率为的的处可导，则在处可导，则在在在如果函数如果函数xxxfy = =00)(第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 定义定义12、边际的定义、边际的定义常略去常略去 “近似近似”经济意义经济意义: :第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例1解：解：注：注：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 二、经济学中的常
26、见的边际函数二、经济学中的常见的边际函数1、边际成本、边际成本 即总成本函数即总成本函数C(Q) 的导数的导数.因为因为总成本固定成本可变成本，即总成本固定成本可变成本，即则边际成本为则边际成本为边际成本与固定成本无关边际成本与固定成本无关.经济意义经济意义: :当已经生产了当已经生产了Q个个单位产品时单位产品时, ,再再增产一个单位产品所增加的总成本增产一个单位产品所增加的总成本. .第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例2(1) 指出固定成本、可变成本指出固定成本、可变成本;(2) 求边际成本函数及产
27、量为求边际成本函数及产量为Q=200时的边际成本，并时的边际成本，并说明说明 其经济意义其经济意义.某厂生产某种产品，总成本某厂生产某种产品，总成本C是产量是产量Q的函数的函数解：解：( (1) )固定成本为固定成本为200，可变成本为，可变成本为( (2) )边际成本函数：边际成本函数：产量为产量为200件时的边际成本为件时的边际成本为24，它表示当产量为，它表示当产量为200件件时，再生产时，再生产1件产品总成本增加件产品总成本增加24元元. . 平均成本为？平均成本为？ 第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回
28、返回 2、边际收益、边际收益即总收益函数即总收益函数R(Q) 的导数的导数.经济意义经济意义: :当已经销售了当已经销售了Q个个单位产品时单位产品时, ,再再销售一个单位产品所增加的总收益销售一个单位产品所增加的总收益. .设设P为价格，为价格，Q是销售量，有是销售量，有第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例3设某产品的需求函数为：设某产品的需求函数为：其其中中 为为价价格格， 为为销销售售量量，当当销销售售量量为为15个个单单位位时时，求求总总收收益益、平平均均收收益益与与边边际际收收益益；并并求求销销
29、售售量量从从15个个单单位增加到位增加到20个单位时的平均变化率。个单位时的平均变化率。故销售量为故销售量为15个单位时，有个单位时，有( (1) )总收益函数为：总收益函数为： 解：解：( (2) )平均收益为：平均收益为： ( (3) )边际收益为：边际收益为： ( (4) )当销售量从当销售量从15个单位增加到个单位增加到20个单位时收益的平均个单位时收益的平均变化率为：变化率为： 第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 3、边际利润、边际利润即总利润函数即总利润函数L(Q) 的导数的导数.经济意义经济意
30、义: :当已经生产了当已经生产了Q个个单位产品时单位产品时, ,再再生产一个单位产品所增加的总利润生产一个单位产品所增加的总利润. .因为因为则边际利润为则边际利润为总利润总收益总成本，即总利润总收益总成本，即 边际利润可由边际收入与边际成本决定，且边际利润可由边际收入与边际成本决定，且第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 经济意义：经济意义： 如产量已达到如产量已达到Q，再多生产一个单位产品，所增加，再多生产一个单位产品，所增加的收益大于所增加的成本，总利润有所增加。的收益大于所增加的成本，总利润有所增加。
31、 如产量已达到如产量已达到Q，再多生产一个单位产品，所增加，再多生产一个单位产品，所增加的收益要小于所增加的生产成本，总利润将减少。的收益要小于所增加的生产成本，总利润将减少。 如产量已达到如产量已达到Q，再多生产一个单位产品，再多生产一个单位产品 ，所增加，所增加的收益等于所增加的生产成本，总利润达到最大。的收益等于所增加的生产成本，总利润达到最大。第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 例例4解：解：经济解释经济解释：当生产量为每月当生产量为每月20吨时，再增产一吨，利润吨时，再增产一吨，利润将增加将增加5
32、0元，当产量为每月元，当产量为每月25吨时，再增产一吨，利润吨时，再增产一吨，利润不变；当产量为不变；当产量为35吨时，再增产一吨利润减少吨时，再增产一吨利润减少100元。元。边际利润为边际利润为某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后，得出某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后，得出总利润总利润L(Q)(元元)与每月产量与每月产量Q（吨）的关系为（吨）的关系为第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 4、边际需求、边际需求即即需求量需求量Q对价格对价格P的导数的导数.例例5解：解：经济意义：巧克力的价格由原经
33、济意义：巧克力的价格由原10元价再增加元价再增加1元，每元，每周需求量将减少周需求量将减少0.432公斤。公斤。第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 三、弹性概念三、弹性概念 边边际际函函数数中中, ,函函数数改改变变量量与与函函数数变变化化率率是是绝绝对对改改变变量量与与绝绝对对变变化化率率在在经经济济问问题题中中，有有时时仅仅知知道道函函数数的的绝绝对对改改变变量与绝对变化率是不够的量与绝对变化率是不够的 例例如如: : 设设有有A和和B两两种种商商品品，其其单单价价分分别别为为10元元和和100元元同同
34、时时提提价价1元元，显显然然改改变变量量相相同同，但但提提价价的的百百分分数数大大不不相同，分别为相同，分别为10%和和1%，前者是后者的，前者是后者的10倍。倍。 因因此此有有必必要要研研究究函函数数的的相相对对改改变变量量以以及及相相对对变变化化率率，这这在在经经济济学学中中称称为为弹弹性性它它定定量量地地反反映映了了一一个个经经济济量量( (自自变变量量) )变变动动时时，另另一一个个经经济济量量( (因因变变量量) )随随之之变变动动的的灵灵敏敏程程度度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际
35、与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 定义定义2第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 注注: :近似近似第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 四、经济学中常见的弹性函数四、经济学中常见的弹性函数1、需求的价格弹性需求的价格弹性例例6解：解：一般地一般地, ,需求量是价格的单减函数需求量是价格的单减函数, ,因此因此需求的价格弹需求的价格弹性性Ed 一般为负值一般为负值. .有时为讨论方便
36、，取其绝对值，并记有时为讨论方便，取其绝对值，并记为为注：注：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 2、供给、供给弹性弹性 即供给的价格弹性即供给的价格弹性,记为记为ES. 例例7解：解：（供给弹性一般取正值）（供给弹性一般取正值）第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 3、收益、收益弹性弹性收益的价格弹性：收益的价格弹性：收益的销售弹性：收益的销售弹性：第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹
37、性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 解解: :例例8(1)(2)第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 内容回顾内容回顾1 1、导数的定义、导数的定义实质实质: : 增量比的极限增量比的极限; ;2. 2. 导数的几何意义导数的几何意义: : 切线的斜率切线的斜率; ;3 3、求导四则运算法则、求导四则运算法则注注: :分段函数求导时分段函数求导时, ,分段点处的导数必须用左右导数求分段点处的导数必须用左右导数求. .第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数
38、、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 4 4、复合函数的求导法则、复合函数的求导法则5 5、隐函数求导法则、隐函数求导法则直接对方程两边求导，求导过程中注意函数的复合关系直接对方程两边求导，求导过程中注意函数的复合关系注意函数的复合过程注意函数的复合过程, ,合理分解，正确使用链式法则合理分解，正确使用链式法则先在方程两边取对数先在方程两边取对数, ,然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数. .6 6、对数求导法、对数求导法7 7、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数实质上是利用复合函数求导法则（始终以实质上是利用复合函数求导法则（始终以
39、t为中间变量，为中间变量，x为自变量）为自变量）第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 7 7、高阶导数的定义及运算法则、高阶导数的定义及运算法则; ;n阶导数的求法阶导数的求法: : (1)直接法直接法; ;(2)间接法间接法. .8 8、微分的定义及求法、微分的定义及求法求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数, ,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. . 微分形式的不变性微分形式的不变性9 9、微分的基本运算法则、微分的基本运算法则1010、导数、微分与连续的关系、导数、微分与连续的关系第三章第三章 导数
40、、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 11.11.边际与弹性边际与弹性边际边际:弹性弹性:（1）边际成本边际成本（2）边际收益边际收益（3）边际利润边际利润 （4）边际需求边际需求注意它们的经济意义注意它们的经济意义第三章第三章 导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性导数、微分边际与弹性上页上页 下页下页 返回返回 重点：重点：导数与微分的概念，熟练掌握求各类函数导数与微分的概念，熟练掌握求各类函数 的导数的方法的导数的方法关键：关键：熟记求导公式和求导法则熟记求导公式和求导法则. .本章重点难点本章重点难点
