2412垂直于弦的直径

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1、24.1.2垂径于弦的直径驶向胜利的彼岸煤城中学 周国光2024/8/23问题：问题：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义能叙述一下轴对称图形的定义? ?我们是用什我们是用什么方法研究轴对称图形的么方法研究轴对称图形的? ? I创设问题情境，引入新课创设问题情境，引入新课 2024/8/23讲授新课 圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的? 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线意一条过圆心的直线（一）想一想（一）想一想2

2、024/8/23探索垂径定理 1 1在一张纸上任意画一个在一张纸上任意画一个O O，沿圆周将圆剪下，把这个圆，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合对折，使圆的两半部分重合2 2得到一条折痕得到一条折痕CDCD3 3在在O O上任取一点上任取一点A A，过点，过点A A作作CDCD折痕折痕 的垂线，得到新的的垂线，得到新的折痕，其中，点折痕，其中，点M M是两条折痕的交点，即垂足是两条折痕的交点，即垂足4 4将纸打开，新的折痕与圆交于另一点将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B B，如图，如图. .问题：（问题：（1）右图是轴对称图形吗？右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？如果是

3、，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。说一说你的理由。做一做：按下面的步骤做一做做一做：按下面的步骤做一做探索垂径定理的逆定理1.想一想：如下图示，想一想：如下图示，AB是是 O的弦的弦(不是直径不是直径)，作一条平，作一条平分分AB的直径的直径CD，交，交AB于点于点M同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴）此图是轴对称图形吗对称图形吗?如果是，其对称轴是什么如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。中有哪些等量关系？说一说你的理由。

4、n由由 CD是直是直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,CDAB,AD=BD.平分弦（平分弦（不是直径不是直径不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.直径平分弦，并且直径平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧即即，AM=BM,n由由 CD是直是直径径 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 C

5、D是直是直径径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得M垂径定理：垂径定理：推论：推论：判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 2.已知：如图，在以已知：

6、如图，在以O为圆心的两个同心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。你认为你认为AC和和BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE1.1.在半径为在半径为3030的的O O中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离是的距离是= = 。 OABP24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常

7、用辅助线的添法2024/8/23 例例如右图所示，一条公路的转弯处是如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧一段圆弧(即图中即图中CD，点，点O是是CD的圆心的圆心)，其中其中CD=600m，E为为CD上一点，且上一点，且OE CD，垂足为，垂足为F，EF=90 m求这段弯求这段弯路的半径路的半径 分析分析 要求弯路的半径，连接要求弯路的半径，连接OCOC，只要求出，只要求出OCOC的长便可以了的长便可以了. .因为已知因为已知OECDOECD，所以，所以CFCFCDCD300 cm300 cm，OFOFOE-EFOE-EF，此时得到了一个此时得到了一个RtCFO,RtCFO,利用勾股定理便可列

8、出方程利用勾股定理便可列出方程. .讲例n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!知知“二二”推推“三三”如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论. 想一想想一想P918 8OABCDM 过圆心的直线过圆心的直线, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理 想一想想一想P919 9OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂

9、直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所

10、对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：答：答： O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三在在Rt AOE 中中 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： 四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形

11、为正方形.挑战自我挑战自我垂径定理的推垂径定理的推论论 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗?老师提示老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:随堂练习随堂练习P921010OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.第二课时应用 忆一忆忆一忆垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.垂径定理的逆定理垂径定理的

12、逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条分弦所对的两条弧弧.垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.赵州赵州石拱桥石拱桥例例1.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱的桥拱是圆弧形是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中弧的中点到弦的距离点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).RDOABC37.4m7.2m解得：解得：R279（m

13、）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在Rt OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱

14、高船能过拱桥吗船能过拱桥吗变形题：变形题： 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶高出拱顶高出水面水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水米、船舱顶部为长方形并高出水面面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗此货船能顺利通过这座拱桥吗？解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就

15、是拱高就是拱高.由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5DH=OH-OD练一练练一练在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示如图所示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. ED 600变形题变形题在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示图所示.若油面宽若油

16、面宽AB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. BAO600 650DC方法规律方法规律 想一想想一想 已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E .若半径若半径R = 2 ，AB = , 求求OE、DE 的长的长. 若半径若半径R = 2 ，OE = 1 ，求，求AB、DE 的长的长.由由 、两题的启发，你能总结出什么规律吗？两题的启发，你能总结出什么规律吗？方法总结方法总结n 对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆、圆半径半径r、弓形高、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另

17、外两个量，如图有：两个量，就可以求出另外两个量，如图有：d + h = r试一试试一试P931212驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我填一填填一填1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧. （ ）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧. （ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所

18、对的弧. （ ）例例2：如图，已知圆：如图，已知圆O的直径的直径AB与与 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圆，且圆O的半径为的半径为 10，CD=16 ，求，求AE-BF的长。的长。练习练习3:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦心距等计算问题心距等计算问题=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的图式别忘记还有我哟！别忘记还有我哟！1、教材、教材95页习题页习题24.1 7、8；2、启航、启航作业：作业：结束寄语结束寄语不学自知不学自知, ,不问自晓不问自晓, ,古今古今行事行事, ,未之有也未之有也. .下课了!