《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷2和答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷2和答案解析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数学（ 二） 预测卷（ 二）（ 科目代码：302）考生注意事项1 .答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3 .填 （ 书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4 .考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（ 以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、 选择题
2、： 1 10小题, 每小题5分， 共50分. 下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是最符合题目要求的.1 .函数/ ( ) = lim 信)+(今 ) + z 在( 0 , + 8 ) 内A .处处连续但有一个不可导点. B . 处处连续且可导.C . 处处连续但有两个不可导点. D . 有一个不连续点.2 . 若当70 时, / ( z) = f，( eM,- es ,) d / a 是等价无穷小， 则常数a#的值分别为J 0A . , 3 . B . , 3 . C . ! , 4 . D . 5 , 4 .0L o 43 . 设二阶可导函数/ ( ) 满足/ ( - 1 ) = /
3、( 1 ) = 0 , / ( 0 ) = 1 , 且/ ( 为 1 . B . J / ( j r ) d r = / ( J - ) 的拐点.D . / ( 0 ) 不是函数义工) 的极值, ( 0 , 7 函数也不是曲线y = / ( x ) 的拐点.6 .设 人 =尸一叫+ 了)也 /J 0 X0。一 / (1 + 7 ) 则A . / , /2 1 . B . 1 / , I2.C . / ! 1 I2. D . 72 1 . a , + a ( . D . a - a . a:! +a：i.9 . 设 4是正定矩阵, P是初等矩阵, 则非齐次线性方程组P A P x = bA .无
4、解. B . 有唯一解.教 学 ( 二 ) 预 测 卷 ( 二 ) 试 题 第1页( 共3页)C . 有无穷多解. D . 不能确定是否有解.1 0 . 设A,3,C都是2 阶矩阵, AB = BC,若A 有一个特征值为3 , 3 的两个特征值为2, 2, 则矩阵C 有一个特征值为A. - 2. B. 2. C. 一 3 . D . 3 .二、 填空题： H16小题， 每小题5 分， 共 30分 .i i .设 / （ 了 ） = ， 久一】 则 r（ i ） =.I e , z = 1 ,1 2 . 设 y = 其中函数/ Cr ） 具有二阶导数, 且li m 小二 = 4 , 则宴| JC
5、 I A / *0 JC Cl* | 1 3 . 定积分（后 三 口 n （ z+ 的值为.1 4 . 若函数= d + 3 +C 在约束条件J* ? + 2/ = 9 下 的 最 小 值 为 1 , 则常数 C =.1 5 . 设函数u = 及 u = 具有一阶偏导数， 函数z = f （ u,v）具有二阶连续偏 2 ,导数, 且 d z = （ y / ： + 2z / ： ） d r + （ z 2y / ： ） d y , 则方 , =.1 6 . 设向量a= （ 1 , 0 , - l） , A = a a,若矩阵A 的特征多项式为f G D , 则微分方程， - y =/ 0 ）
6、, 求li m 当 ； - - .1 8 . （ 本题满分1 2分）设定义在（ - 8 ,+8 ） 上的连续函数八外满足方程/ Cr ） + U （ f） d ， = 2, 求 ：J 0（ 1 ）函数八公的解析式；（ 2）曲线y = / Cr ） 的凹、 凸区间与拐点.1 9 . （ 本题满分1 2分）设 D = （ z , y ） | 1 （ f 2工 , 求 ：（ 1 ） 平面图形D的面积；（ 2） 平面图形。绕.y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.20 . （ 本题满分1 2分）r i （ 计算二次积分J d r 1 （ x2+y2 ） dy.数学（ 二 ） 预测卷（ 二 ） 试题 第2
7、页（ 共3页）2 1 .（ 本题满分12分）设函数/ （ x ） 在闭区间 a ,切上连续， 且 | f （ x ） | = 0 .证明：11 x / （ x ） d r 竽 （ 6 a ） .2 2 .（ 本题满分12分）已知实二次型， （ ,%小 ）= *TA r的矩阵为A ,且 A - E = 0.AB 3B = O ,其中1 1 2矩阵5 = 2 1 4 ， 求一个正交变换x = Qy,化二次型为标准形.1 1 2.数学（ 二 ） 预测卷（ 二 ） 试 题 第 3 页（ 共 3 页）数学（ 二） 预测卷（ 二） 试题答案及评分参考一、 选择题1 .答应选A.解 当OVH&I时看 专V
8、z ,此时有工 仔 ） +陶 ） + x 了 工羽;当1 V z42时 售 亨 工 , 此时有H & 传 ） ” + 酶 ） + x 2时 受 V hV 、 , 此时有 传 ） ” + 传 ） + 工 了 ， 凉又li m % = 1 ,故显然， / ( 了) 在( 0 , + 8 )内处处连续.由于/ ( 2) = 1 ,隹(2) = 2,因此/ ( 才) 在z = 2处不可导.【 注】本题是用夹逼准则求极限的题目， 注意本题的放缩法.1 y ” & 2 ，夹逼准则X f A( f 8) . yf, A, z ” f A 对 于 s +如 +0 ，为有限数) ， 其放缩法为1 “ max &
9、 1 + 2 + EX2 .答应选C .( ptan t _ sin t) 布I v v 7 J ， A | (1 |x| )cLr = 2 j (1 x)dLr = 1.4 . 答应选B.解 由1 淅/(” / /(2)27/(工)= 2 ,得1 淅/ ( 工得= 0 .由于函数f ( z ) 在 工 = 0 处Xx-*0可导. 从而连续， 故 /(0 ) = lim /(z) = lim/(jr2) = 0 .于是，o* 0加 / ( 合) 一 力 (2外 一21/(1)f X2= lim/支丁。 2- 2 lim _2 1 加。 )j0 JC J0 LX jr-* O J C= / (
10、0 ) - 2 / ( 0 ) - 2 / ( 0 ) = - 3 /(0 ) = 2,故 /(O ) = 4 .o5 . 答 应 选 C.解 由于函数/ ( 外在点/ = 0 的某一邻域内具有二阶连续导数， 且lim 鱼 = 0 , 故D X/(0 ) = lim/Cr) = 0 ,且 /( 0 ) = lim 八)一 1()= lim = 0. r * () 0 ), 故 f(工)在数学（ 二） 预测卷（ 二 ） 试题答案及评分参考 第 9 页（ 共 3 3 页）0 , +8）上单调减少, 从而当x0时, / C r ） / （ 0 ） = 0 ,即i一 l n （ l + 工 ） 。 ，
11、 故R烹 + 工 ） 2 .于是2 r l n （ 1 + . r ）d r V 1 ,o1 1 =L x - l n C l + a - ） L故m.7 .答应选B .解F（ Z ）= J d y j /（ j r ） c L r ,F W = 1 /（ x ） c L r ,r（ / ）= / （ -/） .8 .答 应 选D .解 因为0 2 ， 2 3线性无关, 。 】 ， 。3线性相关， 且中， 故存在k W 0 , 1 ,使得小 =3 1 .因为1 0 1（ 。 | I。2+ 处Q m2 +a3， 图 + 因 与向量组a ） + a ? .6+妣 a ：s均线性相关.若 出 =，
12、则a】， 处. 。1 + a线性相关， 故团+ 小不一定线性无关, 由排除法知应选D .也可直接证明a . + 妣9 2 + 柒 一定线性无关. 若存在M 花， 使得囱（ 。1 + 妣 ） + 品 （ 。2 +。3 ）= 0 .将a .= 如 代 入 上 式 得（ M + kk2） ai + （ &i + 局 ） 。2 = 。 . 由 于a i 线性无关， 因此+ kkz = 0 ,因为k # 1 ,所以3 =卜2 = 0 .因此曲 +。2 +。3 一定线性无关.Ui + k2 = 0 .9 .答 应选B .数学（ 二） 预测卷（ 二 ） 试题答案及评分参考 第1 0页（ 共3 3页）解 因为
13、A 是正定矩阵, P 是初等矩阵， 所以A , P 均可逆， 从而P A P 也可逆. 因此， 非齐次线性方程组P APx = b有唯一解.1 0 .答 应选D.解因为B 的两个特征值为2 , 2 , 所以| m=-4#0,即8 可逆. 于是， 由 的 = 比 得B AB = C , 即A 与C 相似, 从而A 与C 有相同的特征值. 又A 有一个特征值为3 , 故C 也有一个特征值为3 .二、 填空题1 1 .答应填趣./（ 工） 一 / 解J T 1ex - e- - - - - - - erx - 1 eJ - e - e ( j r - 1 )= hm- - - - - - ： = h
14、m- - - - ； - - - - 7 T 2 - - - -L1 x 1 一 i x- 1 )=rh m ee-J- -eT V = hvm - ze-J= -ey .I LX - 1 ) l】N Z1 2 .答应填0 .解 因为函数/ ( z ) 具有二阶导数， 且l i m T = 4 , 所以x - * 0 Xf ( 0 ) = l i m /7 ( x ) = l i m / ( x ) 2 + 2 = 0 + 2 = 2 ,j r - * 0 x - * 0从而r ( 0 ) = l i m 仆) 一逑= l i m = 4 . JC - 0 4 ( ) x由于d _ _ , /
15、 z - 1 1 . 2d r + 1 / (T + 1 )2 *= Z / / / J - - 1 4 / “/ 一 4d r2 x + i r (J T+ 1 )4 7 - ( / + 1 ) 3 ,因此副 E = 1 r ( O ) - 1 r ( O ) = lx4-1x2 = O .1 3 . 答应填当+ 1 .解 因 为 三 是 偶 函 数 , l n （ z+4=中） 是奇函数， 而积分区间 -1,是关于原点对称的区间， 所以由奇偶性、 对称性并运用定积分的几何意义得J I ，2 - j 2 l n （ z+ 7 1 + j -2） + l /2 x2c L r= 2（ f+l）
16、=f + L14 .答应填28.数学（ 二） 预测卷（ 二） 试题答案及评分参考 第 11页（ 共33页）解 作拉格朗日函数LCr，w；l) n / + y + c + x f + z y - g ) ,则由方程组L： = 3x2 + 2Ax = 0, Ly= 3y2 + 4灯 =o,L： = f + 2y2 9 = 0,.ZH JC = I AJC = - 1, X (x = 3 ,解得 1 _ , 3 4G = 2, y = 2 ,卜 =士 忌 L =。 .由于/ ( l ,2) = 9 + C ,/ ( - l ,- 2 ) = -9 + C,/(吗卜焉+ c 小一白一第+ c/(3,0
17、) = 27 + C J (3,0) = -2 7 + C,故函数/Cr,y) = /+ V + C在约束条件/ + 2 / = 9下的最小值为/(-3 ,0 ) =-27+C.由题意，-2 7 + C = 1,故C=28.15 .答 应 填 + 制4 + 2(72 y2)4制 .解 由 dz = + (/：2x/j)dy,得 o N du dv o- - y fu+ 2 rfv, - =J：,- = - 2 y .于是n2= + y /t Z + 4 ( - 2y) + 2z 4 7 + /(- 2)ojcoy= +13匕 +2(工2 y2)4-4_T3.16 .答 应填 y = Ge，+
18、C2erN 3 + 2z2-6z + 4,其中C1,C2 为任意常数.解 因为4 =21. = /(丁 )的 一 个 特 解 为= & 3 + & 2 + + 。,代入方程y y = f(z ),得 A = - LB 2,C = 6,D = 4.故微分方程y y = /( x )的通解为y = Ge- + Cze; / + 2 / 61 + 4,其中 C, ,C2 为任意常数.三、 解答题17 . 解 对 /（ 了 ） = （1 + q ）两边取对数， 得In/ （ 工 ） =工 口 !1（ 1+Z）- In z ,两边对z求导,得7 八工） =In17+ 7 11+ /数学（ 二 ） 预测卷
19、（ 二） 试题答案及评分参考 第1 2页（ 共3 3页）故八工) =( 1 + ) (i 1 + JC1I n - i ,x 1 + r卜5 分从而/(1) = 2l n 2-l . 于是lim.r-1. l i me Z e /aT i e (e 1 - 1)= elimVJ-i j r - 1=e l i m检 二 抖L1 JC - 1= e ，(l ) = e (21n 2 1). . . .10 分18 . 解 由于函数f(x)连续且满足方程f + 1力 出 = 2,因此f(x)可导. 方程J 0fix) + f = 2 两边对/ 求导， 得 /(z ) + = 0,这是可分离变量的微
20、分方J o程， 其通解为八外= C e f 又由原方程得/(0) = 2,故 C= 2,从而八工)= 2e -+?. . .6 分(2)函数 f(x)的定义域为(一8 , 4-o o ), f (a-) =- 2z e +尸， / (I ) = 2(J T2 D e令 /(i ) = 0,得x 1,7 = 1. 列表讨论如下：X(8, -1)- 1(-1,1)1(1, + 8 )义工)+00+y - / V)U2e Tn2e +u由上表可知： 曲线的凹区间是( - 8 , - 1 及口， + 8 ) , 凸区间是 - 1,1 ， 拐点是(及(1,2卜), 12分19 . 解(1)由对称性， 平
21、面图形。的面积为A = 2 1 d 0f rdr = f 4c o s20d 0- -yJo J i J o 3= 2 1 (c o s 26+ l )c l 0 - -y = s i n 2 o + 等 = + 年 . 4 分J o310 o L o(2) V = 2K (1 + / T7 )2- ( 1 - 一陶 _ _ _ _ _2兀 (1 y2) (1 V i y2)2 d y= 8K j /I y2 dy 2 n j (2 M1 1)心= 8兀 工江47r y/1 y2 dy + RK4 J o、 2兀 2 - 4K f c o s2/d r 十悟五=2兀 (1 + c o s 2z
22、 )d r + 2兀 2 + 6 兀J 0=- 2支, + s i n 2 t j j + 2K2 + V 3K数学(二)预测卷(二)试题答案及评分参考 第1 3页(共3 3页)20.解- 1_贯2 含加+ 27r2 7 r = A 2 + 整兀 . . .12 分JLJJ 乙dr / 7 7(x2+3r2)d = J 0 J 1 x J 0dgj t r3dr .4 分cm伊 卜 in 94 fo D (cos 6 + sin 6)4_ JL_ 8f-由1 6 Jo sin4(0 + -J)= A一 8一 兼f esc，伍十多 曲_ 2L一 8+ C (0 + f )+ ldcot(0 +
23、f )= JL8+ lCOt3(0+f )+ c O t(0 +f ) 0= A8+ 1 6 .( 3)8 6- I2分21.证 令F（ z ） = 1 / （，） & .由于函数f （ z ）在闭区间 a,切上连续， 故F（ 外 在 a,幻上可导， 且FCr） = /C r） .对VxE （ a，由拉格朗日中值定理， 存在& （ a,z） ,& 6 （ 工而,使得F(x) F(a) = f(i)(jr a) 9F(b) F(x) = / ( &)(6 z).注意到 F(a) = J /(x )d r = 0,F(A) = J f (x)dr = 0,得F(x) = /(fi)(7 a),F(
24、z) = - / ( &)(0 一N) .4 分由于因此/F C r)d r|= |j：FC r)dr+ ；FCr)dr= | /(&)(/ a) + 、 - / ( &)(6 N) dr I(i a)dr + 。l /(&)I S z)irAJ (。=M _ -8a)2 + (b 8 a)2 rI 7M (z/, , - a )x 2 ii八 分八又| J F(x)dr=| JTF (X)J | J x/(x)dr| = | J x/(x)dj | ,所以 j/(x)/6-101则x = Q y为正交变换， 在此变换F ,二次型/ ( 不 ， 心, 工3) = X1 A r可化为标准形/ =3vi + 3vi + 2V3.1 2分
