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1、12.1 平方根与立方根 第二课时 算术平方根备用知识平方根的意义、性质和求法。学习过程讲解点讲解点1：算术平方根的意义算术平方根的意义算术平方根的意义算术平方根的意义一、双基讲练一、双基讲练一个正数一个正数a有两个平方根，其中正数有两个平方根，其中正数a的正的平的正的平方根，叫做方根，叫做a的的算术平方根。算术平方根。记作记作 ，读作，读作“根号根号a”。0的算术平方根是的算术平方根是0，即，即 =0；例如：；例如：4的算术平方根记作的算术平方根记作 =2。 注意注意注意注意：（：（：（：（1 1）当）当）当）当a a00时时， 表示表示表示表示a a的算的算的算的算术术平方根，平方根，平方
2、根，平方根， 表示表示表示表示a a的平方根；（的平方根；（的平方根；（的平方根；（2 2）由于一个正数）由于一个正数）由于一个正数）由于一个正数a a有两个平方根且有两个平方根且有两个平方根且有两个平方根且互互互互为为相反数，因此当已知相反数，因此当已知相反数，因此当已知相反数，因此当已知a a的算的算的算的算术术平方根平方根平方根平方根为为 时时，可以写，可以写，可以写，可以写出它的另一个平方根是出它的另一个平方根是出它的另一个平方根是出它的另一个平方根是- - 。所以，要求一个非。所以，要求一个非。所以，要求一个非。所以，要求一个非负负数的平数的平数的平数的平方根，可以先求方根，可以先求
3、方根，可以先求方根，可以先求这这个数的算个数的算个数的算个数的算术术平方根。平方根。平方根。平方根。如何求一个数如何求一个数如何求一个数如何求一个数a a a a的算术平方根？的算术平方根？的算术平方根？的算术平方根？关键：还是把求算术平方根转化为平方运算关键：还是把求算术平方根转化为平方运算关键：还是把求算术平方根转化为平方运算关键：还是把求算术平方根转化为平方运算 典例典例 求下列各数的平方根及算术平方根求下列各数的平方根及算术平方根求下列各数的平方根及算术平方根求下列各数的平方根及算术平方根（1 1 1 1）16161616；（；（；（；（2 2 2 2）0 0 0 0；（；（；（；（3
4、 3 3 3）（）（）（）（-3-3-3-3）2 2 2 2评析：求一个非负数评析：求一个非负数评析：求一个非负数评析：求一个非负数a a的平方根及的方法是：（的平方根及的方法是：（的平方根及的方法是：（的平方根及的方法是：（1 1）先求出某个数的平方等于先求出某个数的平方等于先求出某个数的平方等于先求出某个数的平方等于a a；（；（；（；（2 2）再求出）再求出）再求出）再求出a a的算术平的算术平的算术平的算术平方根；（方根；（方根；（方根；（3 3）最后求出）最后求出）最后求出）最后求出a a的平方根。的平方根。的平方根。的平方根。解：（解：（解：（解：（1 1 1 1）( ( ( (4
5、)4)4)4)2 2 2 2= = = =16161616；16161616的平方根是的平方根是的平方根是的平方根是4 4 4 4，算术平，算术平，算术平，算术平方根为方根为方根为方根为4 4 4 4，即，即，即，即 = = = =4 4 4 4， =4 =4 =4 =4 （2 2 2 2）0 0 0 02 2 2 2=0=0=0=0；0 0 0 0的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是0 0 0 0，即即即即 =0 =0 =0 =0， =0 =0 =0 =0 （3 3 3 3）( ( ( (3)3)3)3)2 2 2 2= = = =
6、（-3-3-3-3）2 2 2 2； （-3-3-3-3）2 2 2 2 的平方根是的平方根是的平方根是的平方根是3 3 3 3，算术平方根为，算术平方根为，算术平方根为，算术平方根为3 3 3 3，即，即，即，即 = = = =3 3 3 3， =3 =3 =3 =3 （1 1 1 1）正数）正数）正数）正数a a a a的算术平方根是一个正数；（的算术平方根是一个正数；（的算术平方根是一个正数；（的算术平方根是一个正数；（2 2 2 2）0 0 0 0的算的算的算的算术平方根是术平方根是术平方根是术平方根是0 0 0 0；（；（；（；（3 3 3 3）负数没有算术平方根。）负数没有算术平方
7、根。）负数没有算术平方根。）负数没有算术平方根。讲解点讲解点2：算术平方根的性质算术平方根的性质算术平方根的性质算术平方根的性质评析：这类题目中的式子，都是被开方数的算术平方根，评析：这类题目中的式子，都是被开方数的算术平方根，评析：这类题目中的式子，都是被开方数的算术平方根，评析：这类题目中的式子，都是被开方数的算术平方根，因此其根号下的被开方数必须是非负数式子才有意义，因此其根号下的被开方数必须是非负数式子才有意义，因此其根号下的被开方数必须是非负数式子才有意义，因此其根号下的被开方数必须是非负数式子才有意义，当被开方数为负数时，式子无意义，因此解这类题目的当被开方数为负数时，式子无意义，
8、因此解这类题目的当被开方数为负数时，式子无意义，因此解这类题目的当被开方数为负数时，式子无意义，因此解这类题目的一般方法是利用被开方数的非负性列不等式（组）解题。一般方法是利用被开方数的非负性列不等式（组）解题。一般方法是利用被开方数的非负性列不等式（组）解题。一般方法是利用被开方数的非负性列不等式（组）解题。由此看出算术平方根由此看出算术平方根由此看出算术平方根由此看出算术平方根 具有双重非负性：一是被开具有双重非负性：一是被开具有双重非负性：一是被开具有双重非负性：一是被开放数放数放数放数a a a a0000；二是算术平方根；二是算术平方根；二是算术平方根；二是算术平方根 0 0 0 0
9、。即已知。即已知。即已知。即已知 ， 则则则则a a a a0000， 0 0 0 0。X X X X为何值时，下列各式有意义？为何值时，下列各式有意义？为何值时，下列各式有意义？为何值时，下列各式有意义？ 典例典例 （1 1 1 1） ；（；（；（；（2 2 2 2） ；（；（；（；（3 3 3 3） ；（；（；（；（4 4 4 4） ； （5 5 5 5）请记录解答过程（见黑板）请记录解答过程（见黑板）请记录解答过程（见黑板）请记录解答过程（见黑板）来源来源:Z|xx|k.Com平方根与算术平方根的区别和联系平方根与算术平方根的区别和联系讲解点讲解点3：（1 1）除定义有所区别外，还有如下
10、不同：）除定义有所区别外，还有如下不同：）除定义有所区别外，还有如下不同：）除定义有所区别外，还有如下不同：表示不表示不表示不表示不同同同同。一个是。一个是。一个是。一个是 ，一个是，一个是 ；个数不同个数不同个数不同个数不同。任何。任何。任何。任何正数的平方根都有两个，且互为相反数；任何正数只正数的平方根都有两个，且互为相反数；任何正数只正数的平方根都有两个，且互为相反数；任何正数只正数的平方根都有两个，且互为相反数；任何正数只有一个算术平方根。特别地，有一个算术平方根。特别地，有一个算术平方根。特别地，有一个算术平方根。特别地，0 0 0 0的平方根和算术平方的平方根和算术平方的平方根和算
11、术平方的平方根和算术平方根的个数是一样的；根的个数是一样的；根的个数是一样的；根的个数是一样的；取值范围不同取值范围不同取值范围不同取值范围不同。平方根的值可。平方根的值可。平方根的值可。平方根的值可以是正数、负数或者以是正数、负数或者以是正数、负数或者以是正数、负数或者0 0 0 0；算术平方根的值只能是正数；算术平方根的值只能是正数；算术平方根的值只能是正数；算术平方根的值只能是正数和和和和0 0 0 0，不可能是负数。，不可能是负数。，不可能是负数。，不可能是负数。（2 2）联系：）联系：）联系：）联系：算术平方根是平方根中正的平方根算术平方根是平方根中正的平方根算术平方根是平方根中正的
12、平方根算术平方根是平方根中正的平方根，所以平方根包含算所以平方根包含算术平方根；平方根；只有在被开方数只有在被开方数只有在被开方数只有在被开方数为非负数的条件下，才有平方根和算术平方根；为非负数的条件下，才有平方根和算术平方根；为非负数的条件下，才有平方根和算术平方根；为非负数的条件下，才有平方根和算术平方根；0 0 0 0的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是0 0 0 0。求下列各式的值：求下列各式的值：求下列各式的值：求下列各式的值：（1 1 1 1）（3 3 3 3） 典例典例 （2 2 2 2）解：（解：（解：（解：（1 1
13、1 1） 表示求表示求表示求表示求25252525的算术平方根，即的算术平方根，即的算术平方根，即的算术平方根，即 =5=5=5=5 （2 2 2 2） 表示求表示求表示求表示求1.961.961.961.96的平方根，即的平方根，即的平方根，即的平方根，即 = = = =1.4 1.4 1.4 1.4 （3 3 3 3） 表示求表示求表示求表示求-2-2-2-2的平方后，再求这个平方数的算术平的平方后，再求这个平方数的算术平的平方后，再求这个平方数的算术平的平方后，再求这个平方数的算术平方根，即方根，即方根，即方根，即 = =2= =2= =2= =2 练习练习 1.1.1.1.求下列各数的
14、算术平方根求下列各数的算术平方根求下列各数的算术平方根求下列各数的算术平方根（1 1 1 1）196196196196；（；（；（；（2 2 2 2）（）（）（）（-5-5-5-5）2 2 2 2；（；（；（；（3 3 3 3）1 1 1 13. 3. 3. 3. 下列语句，写成数学式子正确的是：（下列语句，写成数学式子正确的是：（下列语句，写成数学式子正确的是：（下列语句，写成数学式子正确的是：（ ）（A A A A）9 9 9 9是是是是81818181的平方根：的平方根：的平方根：的平方根： =9 =9 =9 =9（B B B B）5 5 5 5是（是（是（是（-5-5-5-5）2 2
15、2 2的算术平方根：的算术平方根：的算术平方根：的算术平方根： =5=5=5=5（C C C C）6 6 6 6是是是是36363636的平方根：的平方根：的平方根：的平方根： = = = =6 6 6 6（D D D D） 的平方根是的平方根是的平方根是的平方根是 ： = = = =2. 2. 2. 2. 若若若若 有意义，求有意义，求有意义，求有意义，求x x x x的值。的值。的值。的值。4.4.填空：填空：填空：填空：（1） 的平方是 ； 的平方根是 。（2 2）-9-9的平方是的平方是 ；-9-9的算术平方根的算术平方根 。（3 3） 的算术平方根是的算术平方根是 。（4 4）当）当
16、x=4x=4时，时， = = 。思考题：思考题：思考题：思考题：当当当当n n是正整数时，求出是正整数时，求出是正整数时，求出是正整数时，求出 的整数部分。的整数部分。的整数部分。的整数部分。（5 5） 的算术平方根是的算术平方根是 。（6 6） 的算术平方根是的算术平方根是 。1. 1. 1. 1. 算术平方根的意义算术平方根的意义算术平方根的意义算术平方根的意义五、小结五、小结2 2 2 2算术平方根的性质算术平方根的性质算术平方根的性质算术平方根的性质3 3 3 3算术平方根的表示法算术平方根的表示法算术平方根的表示法算术平方根的表示法4. 4. 求法求法求法求法非负数非负数非负数非负数
17、a a的正的平方根。的正的平方根。的正的平方根。的正的平方根。一个非负数一个非负数一个非负数一个非负数a a的平方根用符号表示为：的平方根用符号表示为：的平方根用符号表示为：的平方根用符号表示为：读读作：作：作：作：“ “根号根号根号根号a”a”，其中，其中，其中，其中a a叫做被开方数叫做被开方数叫做被开方数叫做被开方数与求平方根方法一样，还是利用平方运算来求。与求平方根方法一样，还是利用平方运算来求。与求平方根方法一样，还是利用平方运算来求。与求平方根方法一样，还是利用平方运算来求。（1 1 1 1）正数）正数）正数）正数a a a a的算术平方根是一个正数；（的算术平方根是一个正数；（的算术平方根是一个正数；（的算术平方根是一个正数；（2 2 2 2）0 0 0 0的算的算的算的算术平方根是术平方根是术平方根是术平方根是0 0 0 0；（；（；（；（3 3 3 3）负数没有算术平方根。）负数没有算术平方根。）负数没有算术平方根。）负数没有算术平方根。5. 5. 注意平方根和算术平方根的区别与联系。注意平方根和算术平方根的区别与联系。注意平方根和算术平方根的区别与联系。注意平方根和算术平方根的区别与联系。来源来源:Z|xx|k.Com
