四种命题间的相互关系

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1、1.1.3 四种命题间的相互关系 四种命题形式: 原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式四种命题形式: :原命题原命题: : 逆命题逆命题: :否命题否命题: : 逆否命题逆否命题: :若若 p , p , 则则 q q 若若 q q , , 则则 p p若若p p , , 则则q q若若q , q , 则则p p符号符号“”叫做叫做否定符号否定符号“p p”读作读作“非非p p”，表示，表示p p的否定，的否定，即不是即不是p p探究点探究点1 1 四种命题之间的关系四种命题之间的关系观察与思考观察与思考？你能说出其中任意你能说出其中任意两个命题之间的关两个命题之间的关系吗系吗? ?1

2、.1.若若f(x)f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)f(x)是周期函数；是周期函数；2.2.若若f(x)f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)f(x)是正弦函数；是正弦函数；3.3.若若f(x)f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)f(x)不是周期函数；不是周期函数；4.4.若若f(x)f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)f(x)不是正弦函数不是正弦函数. .四种命题之间的关系四种命题之间的关系 原命题原命题 若若p,p,则则q q 逆命题逆命题 若若q,q,则则p p 否命题否命题若若p,p,则则q q 逆否命题逆否命题若若q,q,则则p p互逆互逆互互

3、否否互互否否 互逆互逆(真真)探究点探究点2 2 四种命题的真假四种命题的真假看下面的例子看下面的例子：（判断真假）：（判断真假）（1 1）原命题：若）原命题：若x=2x=2或或x=3, x=3, 则则x x2 2-5x+6=0.-5x+6=0.逆命题：若逆命题：若x x2 2-5x+6=0, -5x+6=0, 则则x=2x=2或或x=3.x=3.否命题：若否命题：若x2x2且且x3, x3, 则则x x2 2-5x+60.-5x+60.逆否命题：若逆否命题：若x x2 2-5x+60-5x+60，则，则x2x2且且x3.x3.(真真)(真真)(真真)（2 2）原命题：若）原命题：若a b,

4、a b, 则则 acac2 2bcbc2 2. .逆命题：若逆命题：若acac2 2bcbc2 2, ,则则ab.ab.否命题：若否命题：若ab,ab,则则acac2 2bcbc2 2. .逆否命题：若逆否命题：若acac2 2bcbc2 2, ,则则ab.ab.（假）（假）（真）（真）（真）（真）（假）（假）原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假 一般地一般地, ,四种命题的真假性四种命题的真假性, ,有而且仅有下面有而且仅有下面四种情况四种情况: :比一比比一比【提升总结提升总结】（1 1）原命题为真，则其逆否命

5、题一定为真）原命题为真，则其逆否命题一定为真. .但其逆命题、否命题不一定为真但其逆命题、否命题不一定为真. .（2 2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真）若其逆命题为真，则其否命题一定为真. .但原命题、但原命题、其其逆否命题不一定为真逆否命题不一定为真. . 由以上三例及总结我们能发现什么？由以上三例及总结我们能发现什么？ 解解：原命题与原命题与其其逆否命题同真假逆否命题同真假. . 原命题的逆命题与否命题同真假原命题的逆命题与否命题同真假. . ( (两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题, , 它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系).).判一判判一判1.1.判断

6、下列说法是否正确判断下列说法是否正确. .（1 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；为真；（对）（对）（2 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. .（对）（对）（3 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假. .（错）（错）（4 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假. .（错）（错） 例例1 1 设原命题是：当设原命题是：当c0c0时，若时，若ab,ab,则则acbc. acbc. 写出它的逆命题

7、、否命题、逆否命题写出它的逆命题、否命题、逆否命题. .并分别判断它并分别判断它们的真假们的真假. .分析：分析：“当当c0c0时时”是大前提，写其它命题时应该是大前提，写其它命题时应该保留保留. .原命题的条件是原命题的条件是“abab”，结论是，结论是“acbcacbc”. .解：解：逆命题：当逆命题：当c0c0时，若时，若acbc, acbc, 则则ab.ab.否命题：当否命题：当c0c0时，若时，若ab, ab, 则则acbc.acbc.逆否命题：当逆否命题：当c0c0时，若时，若acbc, acbc, 则则ab.ab.（真）（真）（真）（真）（真）（真）例例2 2 若若m0m0或或n

8、0n0，则，则m+n0.m+n0.写出其逆命题、写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其否命题、逆否命题，并分别指出其真真假假. .分析：分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意搞清四种命题的定义及其关系，注意“且且” “或或”的否定为的否定为“或或” “且且”. .解：解：逆命题：若逆命题：若m+n0m+n0，则，则m0m0或或n0.n0.否命题：若否命题：若m0m0且且n0, n0, 则则m+n0.m+n0.逆否命题：若逆否命题：若m+n0, m+n0, 则则m0m0且且n0.n0.（真）（真）（真）（真）（假）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两小结：在判断四种命题的真假时，

9、只需判断两种命题的真假种命题的真假. .因为逆命题与否命题真假等价，因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价逆否命题与原命题真假等价. .【提升总结提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题间接证明原命题为真命题.例例3 3 证明：若证明：若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x=y=0.x=y=0.证明：证明：若若x x，y y中至少有一个不为中至少有一个

10、不为0 0，不妨设，不妨设x0x0，则，则x x2 20 0，所以，所以x x2 2+y+y2 2 0 0， 也就是说也就是说x x2 2+y+y2 2 0.0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题为真命题. . 在数学的证明中，我们会常常用到一种在数学的证明中，我们会常常用到一种方法方法反证法反证法. . 反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法数学证明方法. .此处是命题的否定，要区别于否命题此处是命题

11、的否定，要区别于否命题. .反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：（1 1）假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立 , , 即假设结论即假设结论的反面成立的反面成立; ; （2 2）从这个假设出发从这个假设出发 , , 经过推理论证经过推理论证, , 得出矛盾得出矛盾; ; （3 3）由矛盾判定假设不正确由矛盾判定假设不正确 , , 从而肯定从而肯定 命题的结论正确命题的结论正确. . 反设反设归谬归谬结论结论1.1.设原命题：若设原命题：若a+b2a+b2，则，则a,ba,b中至少有一中至少有一个不小于个不小于1 1，则原命题与其逆命题的真假情况，则原命题与其逆命题的真假情况是（是（ ）A

12、A原命题真，逆命题假原命题真，逆命题假B B原命题假，逆命题真原命题假，逆命题真C C原命题与逆命题均为真命题原命题与逆命题均为真命题D D原命题与逆命题均为假命题原命题与逆命题均为假命题A A2.2.命题命题“若若a ab,b,则则acacbc”(bc”(这里这里a,b,ca,b,c都是实数都是实数) )与它的逆命题，否命题、逆否命题与它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（中，真命题的个数为（ ）A A4 B4 B3 3C C2 D2 D0 0D D3.3.命题命题“ “ 若若ABCABC不是等腰三角形，则它的任不是等腰三角形，则它的任何两个内角都不相等何两个内角都不相等”的逆否命

13、题是的逆否命题是 _._.它是它是 命题（命题（“真真”或或“假假”）. .真真若若ABCABC的两个内角相等，则它是等腰三角形的两个内角相等，则它是等腰三角形4. 4. 命题命题“若若q1q1，则，则x x2 2+2x+q=0+2x+q=0有实根有实根”的的逆否命题是逆否命题是_ _ _ _ _ _ . .逆命题是逆命题是_ _ _ _ ，它是它是 命题（命题（“ “ 真真 ” ”或或“ “ 假假 ” ” ）. .若若x x2 2+2+2x x+ +q q =0 =0 无实根，则无实根，则q q11若若x x2 2+2+2x x+ +q q=0=0有实根，则有实根，则q q11真真5.5.命

14、题命题“已知已知a a，b b为实数，若为实数，若x x2 2axaxb0b0有非空有非空解集，则解集，则a a2 24b04b0”写出该命题的逆命题，否命写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假题，逆否命题，并判断真假 解：解：逆命题逆命题“已知已知a a，b b为实数，若为实数，若a a2 24b04b0，则则x x2 2axaxb0b0有非空解集有非空解集”. .否命题否命题“已知已知a a，b b为实数，若为实数，若x x2 2axaxb0b0没有非空解集，则没有非空解集，则a a2 24b4b0 0”. .逆否命题逆否命题“已知已知a a，b b为实数，若为实数，若a a2

15、24b4b0 0，则则x x2 2axaxb0b0没有非空解集没有非空解集”. .原命题，逆命题，否命题，逆否命题均为原命题，逆命题，否命题，逆否命题均为真命题真命题6.6.求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等条边所对的角也不相等. . 证明：证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等说两条边相等. . 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题. .（1 1）四种命题的关系；）四种命题的关系；（2 2）四种命题的真假及其关系；）四种命题的真假及其关系；（3 3）一种方法）一种方法反证法反证法. .青年最主要的任务是学习. 朱德