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1、 第第 2 章章 决决 策策 支支 持持(3)(3)部分内容部分内容n 2.2.3 优化模型的决策支持优化模型的决策支持n2.3 决策方案的决策支持决策方案的决策支持 优化模型中最典型的是线性规划模型。优化模型中最典型的是线性规划模型。1.1.线性规划模型与建模线性规划模型与建模 线性规划是用来处理线性目标函数和线性约束条件线性规划是用来处理线性目标函数和线性约束条件的一种颇有成效的最优化方法，的一种颇有成效的最优化方法， 一类一类是在给出一定的人力、物力、财力条件下，如是在给出一定的人力、物力、财力条件下，如何合理利用它们完成最多的任务或得到最大的效益；何合理利用它们完成最多的任务或得到最大
2、的效益； 另一类另一类是在完成预定目标的过程中如何以最少的人是在完成预定目标的过程中如何以最少的人力、物力、财力等资源去实现目标。线性规划应用于工力、物力、财力等资源去实现目标。线性规划应用于工业、农业、军事等各部门。业、农业、军事等各部门。2.2.3 优化模型的决策支持线性规划模型的一般形式：线性规划模型的一般形式： 目标：目标： min( (或或max) ) 约束条件（约束条件（s.t.）：）： bi xj 0 0 其中，其中，z为目标函数；为目标函数；xj为决策变量；为决策变量；aij、bi和和cj分分别为消耗系数、需求系数和收益系数。别为消耗系数、需求系数和收益系数。 2.2.线性规划
3、模型的决策支持线性规划模型的决策支持 由于线性规划模型有明确的数学分析的结构形式，由于线性规划模型有明确的数学分析的结构形式，以及明确的求解方法以及明确的求解方法单纯形法，故单纯形法，故线性规划模型已属线性规划模型已属于结构化决策于结构化决策。 将实际的决策问题，通过具体分析建立起线性规划将实际的决策问题，通过具体分析建立起线性规划模型，也是有一定难度的。需要模型，也是有一定难度的。需要确定目标找出决策变量确定目标找出决策变量，选定参数，建立目标函数和约束方程，需要人的智慧，选定参数，建立目标函数和约束方程，需要人的智慧来完成，这是非结构化决策来完成，这是非结构化决策。 从建立线性规划模型到用
4、单纯形法求解，得到最优从建立线性规划模型到用单纯形法求解，得到最优决策，这整个过程中需要人的智慧和计算机的计算，决策，这整个过程中需要人的智慧和计算机的计算，这这是半结构化决策是半结构化决策。 对于线性规划模型中的参数变化多大时，会引起最对于线性规划模型中的参数变化多大时，会引起最优解的改变？这需要通过优解的改变？这需要通过what-ifwhat-if分析来进行。分析来进行。 What-if What-if分析可以帮助决策者分析模型中参数的精分析可以帮助决策者分析模型中参数的精确程度对最优解的影响，也可以帮助分析那些由决策者确程度对最优解的影响，也可以帮助分析那些由决策者制定的政策参数对最优解
5、的影响，即有效地指导决策者制定的政策参数对最优解的影响，即有效地指导决策者作出最终的决策。作出最终的决策。 线性规划模型的决策支持包括两方面：线性规划模型的决策支持包括两方面： 模型求解的最优解的决策支持模型求解的最优解的决策支持 模型的模型的what-ifwhat-if分析的决策支持分析的决策支持3. 3. 线性规划模型的决策支持实例线性规划模型的决策支持实例 某公司研制了两种新产品某公司研制了两种新产品“玻璃门玻璃门”和和“铝框窗铝框窗”，在现有产品销售下降的情况下，准备生产新产品。，在现有产品销售下降的情况下，准备生产新产品。 （1 1）确定目标）确定目标 新产品有什么优点？能否被消费者
6、购买？需要进行新产品有什么优点？能否被消费者购买？需要进行认真分析。认真分析。 新产品会增加成本，市场会有什么反应？这要进行新产品会增加成本，市场会有什么反应？这要进行成本分析。成本分析。 在决定生产新产品后，何时开始生产？公司的三个生在决定生产新产品后，何时开始生产？公司的三个生产工厂能有多少时间生产新产品？每周能卖掉几个产品产工厂能有多少时间生产新产品？每周能卖掉几个产品？这需要制定营销计划。？这需要制定营销计划。 生产新产品时，在工厂有限的生产能力基础上是先生产新产品时，在工厂有限的生产能力基础上是先生产一种产品，还是两个产品同时生产？同时生产对同生产一种产品，还是两个产品同时生产？同时
7、生产对同时抢先市场有好处，为两种产品做组合广告，也会有更时抢先市场有好处，为两种产品做组合广告，也会有更好的效果。好的效果。 以上问题都是非结构化决策问题，公司的领导层通以上问题都是非结构化决策问题，公司的领导层通过会议来解决这些问题。过会议来解决这些问题。 （2 2）建立模型）建立模型 寻找两种新产品的市场能力，哪种组合能产生最大寻找两种新产品的市场能力，哪种组合能产生最大利润？利润？ 该问题属于线性规划模型问题，需要收集信息：该问题属于线性规划模型问题，需要收集信息： 每个工厂有多少生产能力生产新产品？每个工厂有多少生产能力生产新产品？ 生产每一产品各需要每个工厂用多少生产能力？生产每一产
8、品各需要每个工厂用多少生产能力？ 每一产品的单位利润？每一产品的单位利润？ 这些数据只能得到估计值，特别是新产品的利润这些数据只能得到估计值，特别是新产品的利润（产品还未生产出来，就要估计它的利润），这是一个（产品还未生产出来，就要估计它的利润），这是一个半结构化决策问题。半结构化决策问题。 经过调查和分析，工厂经过调查和分析，工厂A A每周大约有每周大约有4 4个小时用来生个小时用来生产玻璃门，其它时间继续生产原产品。工厂产玻璃门，其它时间继续生产原产品。工厂B B每周大约每周大约有有1212个小时用来生产铝框窗，工厂个小时用来生产铝框窗，工厂C C每周大约有每周大约有1818个小个小时用来
9、生产玻璃门和铝框窗。时用来生产玻璃门和铝框窗。 估计每扇门需要工厂估计每扇门需要工厂A A生产生产1 1个小时和工厂个小时和工厂C C生产生产3 3个个小时。每扇窗需要工厂小时。每扇窗需要工厂B B和工厂和工厂C C的生产时间各为的生产时间各为2 2个小个小时。时。 经过成本和产品定价分析，预测玻璃门的单位利润经过成本和产品定价分析，预测玻璃门的单位利润为为 = =300300元，窗的单位利润为元，窗的单位利润为 = =500500元。元。 设每周生产新门的数量为设每周生产新门的数量为x x，生产新窗的数量为，生产新窗的数量为y y。 该问题的线性规划模型的数学方程为：该问题的线性规划模型的数
10、学方程为： 利润：利润： P=300x+500yP=300x+500y 工厂工厂A A约束约束 x4x4 工厂工厂B B约束约束 2y122y12 工厂工厂C C约束约束 3x+2y183x+2y18 x0 y0 x0 y0 （3 3）最优决策）最优决策 通过对该决策问题的线性规划模型求解，即求在生通过对该决策问题的线性规划模型求解，即求在生产能力允许条件下，达到最大利润的最优解。产能力允许条件下，达到最大利润的最优解。 利用线性规划模型的求解方法可得到最优解是：利用线性规划模型的求解方法可得到最优解是： x=2, y=6, p=3600 x=2, y=6, p=3600 线性规划模型为决策者
11、提供了最优决策。它是公司线性规划模型为决策者提供了最优决策。它是公司领导层是否对新产品生产的重要决策支持。领导层是否对新产品生产的重要决策支持。 （4 4）what-ifwhat-if分析分析 新产品中有一个产品的单位利润的估计值不准确时新产品中有一个产品的单位利润的估计值不准确时，最优解怎样变化？，最优解怎样变化？ 两个产品的单位利润的估计值都不准确时，又将会两个产品的单位利润的估计值都不准确时，又将会怎样？怎样？ 其中一个工厂每周可用于生产新产品时间改变后，其中一个工厂每周可用于生产新产品时间改变后，会对结果产生怎样的影响？会对结果产生怎样的影响？ 如果三个工厂每周可用于生产新产品时间性同
12、时改如果三个工厂每周可用于生产新产品时间性同时改变，又会对结果产生怎样的影响？变，又会对结果产生怎样的影响？ 例如，如果门的单位利润（例如，如果门的单位利润（pxpx）300300元的估计不准元的估计不准确，为保持最优解（确，为保持最优解（x=2,y=6x=2,y=6）不变的情况，）不变的情况，pxpx可能的可能的最大值与可能的最小值是多少？这个允许范围称为最大值与可能的最小值是多少？这个允许范围称为pxpx参参数的最优域。数的最优域。 为求得为求得pxpx的最优域，代入不同的的最优域，代入不同的pxpx值，求解线性规值，求解线性规划模型的解，有表划模型的解，有表2.22.2所示的数据表。所示
13、的数据表。PxXYp02630001002632002002634003002636004002638005002640006002642007002644008004347009004351001000435500表2.2 px不同值的最优解 从上表可见从上表可见pxpx的改变而不改变最优解（的改变而不改变最优解（x x，y y）的最）的最小值与最大值，即最优域为小值与最大值，即最优域为: :0 0 pxpx 700 700 同样方法可求出同样方法可求出pypy的最优域值为：的最优域值为：pypy 200 200 其它其它what-ifwhat-if分析的问题在此不进行讨论。分析的问题在此不
14、进行讨论。2.3 决策方案的决策支持决策方案的决策支持 2.3.1 2.3.1 决策方案与方案生成决策方案与方案生成1.1.决策方案决策方案 设计的方案要用明确的、清晰的和简洁的表述。决设计的方案要用明确的、清晰的和简洁的表述。决策方案尽量计算机语言描述。并在计算机上通过计算得策方案尽量计算机语言描述。并在计算机上通过计算得出方案的结果，以便决策者参考。出方案的结果，以便决策者参考。 管理科学与运筹学所研究的大量数学模型，均是解管理科学与运筹学所研究的大量数学模型，均是解决实际决策问题进行抽象、总结的结晶。决实际决策问题进行抽象、总结的结晶。 我们可以在管理科学我们可以在管理科学/ /运筹学中
15、的大量数学模型的运筹学中的大量数学模型的基础上，设计解决当前的决策问题的决策方案。基础上，设计解决当前的决策问题的决策方案。 2.2.决策方案的生成决策方案的生成 利用管理科学利用管理科学/ /运筹学中的大量数学模型，为当前运筹学中的大量数学模型，为当前决策问题建立决策方案，有两种情况：决策问题建立决策方案，有两种情况： （1 1）按照标准数学模型的数学结构（方程式）的要）按照标准数学模型的数学结构（方程式）的要求，分析当前决策问题的数学结构并获取所需数据，形求，分析当前决策问题的数学结构并获取所需数据，形成决策方案。成决策方案。 （2 2）利用标准数学模型组合成为实际问题方案。）利用标准数学
16、模型组合成为实际问题方案。 对于复杂的决策问题的方案需要考虑用多个标准数对于复杂的决策问题的方案需要考虑用多个标准数学模型的组合来完成。学模型的组合来完成。 在计算机中，对模型的组合有两种：并行组合与串行在计算机中，对模型的组合有两种：并行组合与串行组合。组合。 并行组合的各模型所需输入数据是相同的，但输出数并行组合的各模型所需输入数据是相同的，但输出数据的结构（变量、数组等）相同、数值不同。据的结构（变量、数组等）相同、数值不同。 串行组合的两个模型间的数据关系，则是一个模型的串行组合的两个模型间的数据关系，则是一个模型的输出为另一个模型的输入。输出为另一个模型的输入。 串行组合的模型愈多，
17、难度愈大。串行组合的模型愈多，难度愈大。 在对一个实际决策问题做方案时，往往会采用对同在对一个实际决策问题做方案时，往往会采用对同一问题的多个不同模型进行计算，然后对这些模型的计一问题的多个不同模型进行计算，然后对这些模型的计算结果进行选择或者进行综合，得到一个比较合理的结算结果进行选择或者进行综合，得到一个比较合理的结果。这是一种采用多模型并行组合的决策方案。下面通果。这是一种采用多模型并行组合的决策方案。下面通过一个实例进行说明。过一个实例进行说明。 某县对粮食产量进行规划，预测某县对粮食产量进行规划，预测20102010年的粮食总产年的粮食总产量。为此，利用该县从量。为此，利用该县从19
18、901990年到年到20002000年各年的粮食产量年各年的粮食产量数据，按照不同预测模型的要求，分别建立了五个不同数据，按照不同预测模型的要求，分别建立了五个不同的数学模型，并分别进行了预测计算的数学模型，并分别进行了预测计算: :2.3.2 2.3.2 模型并行组合方案的决策支持模型并行组合方案的决策支持 （1 1）灰色模糊预测模型）灰色模糊预测模型 其中其中x1x1、x2x2、x3x3、x4x4分别为：良种面积、汗涝保收面积、化分别为：良种面积、汗涝保收面积、化肥施用量、农药用量。肥施用量、农药用量。 预测预测20102010年总产量为年总产量为15.915.9亿斤。亿斤。 （2 2）生
19、长曲线预测模型）生长曲线预测模型 预测预测20102010年总产量为年总产量为15.415.4亿斤。亿斤。 （3 3）时间趋势预测模型）时间趋势预测模型 预测预测20102010年总产量为年总产量为17.517.5亿斤亿斤。 （4 4）多元回归预测模型）多元回归预测模型 其中其中x1x1、x2x2、x3x3、x4x4、t t、x6x6分别为：化肥、种子、分别为：化肥、种子、水、种粮面积、时间、政策因素。水、种粮面积、时间、政策因素。 预测预测20102010年总产量为年总产量为16.916.9亿斤。亿斤。 （5 5）三次平滑预测模型）三次平滑预测模型 预测预测20102010年总产量年总产量1
20、7.517.5亿斤。亿斤。 归纳各模型预测结果在如下范围，即：归纳各模型预测结果在如下范围，即： 2010 2010年粮食总产量：年粮食总产量：141417.517.5亿公斤。亿公斤。 为了确定一个比较合理的粮食产量预测值，只能由决策者集体为了确定一个比较合理的粮食产量预测值，只能由决策者集体讨论，共同决策该县在讨论，共同决策该县在20102010年预测值。分析粮食产量的主要影响年预测值。分析粮食产量的主要影响因素是：因素是： （1 1）投入水平（化肥适用量）；）投入水平（化肥适用量）； （2 2）科技水平（如杂交良种推广应用）；）科技水平（如杂交良种推广应用）； （3 3）生产条件（农田基本
21、建设效益）；）生产条件（农田基本建设效益）； 根据该县的实际情况，全县基础较好，部分区域有较大发展，根据该县的实际情况，全县基础较好，部分区域有较大发展，但是全县粮食但是全县粮食“突变性突变性”增长可能性小，稳步增长可能性大，总增长可能性小，稳步增长可能性大，总产量高端可能性小。综合分析，总产量达到区间中间值把握性大。产量高端可能性小。综合分析，总产量达到区间中间值把握性大。 最后确定该县的预测值是，最后确定该县的预测值是，20102010年粮食总产量为年粮食总产量为1515亿斤。亿斤。 橡胶产品的研制是通过对橡胶的三种原料，各以不橡胶产品的研制是通过对橡胶的三种原料，各以不同的数量进行配方后
22、做成产品，然后对产品进行性能测同的数量进行配方后做成产品，然后对产品进行性能测试，测试种性能的数据。试，测试种性能的数据。 若要设计新产品，对种性能有一定的指标要求，若要设计新产品，对种性能有一定的指标要求，三种原料如何配方呢？由于不清楚原料与性能之间的内三种原料如何配方呢？由于不清楚原料与性能之间的内部本质联系，部本质联系，一般的做法只能是评经验配方，制成产品一般的做法只能是评经验配方，制成产品后进行测试，不合格时，再配方，再测试后进行测试，不合格时，再配方，再测试。 这样反复地、大量地试验，凑出符合要求的产品。这样反复地、大量地试验，凑出符合要求的产品。这自然要消耗大量的物资、经费和时间。
23、这是一个非结这自然要消耗大量的物资、经费和时间。这是一个非结构化决策问题。构化决策问题。2.3.3 2.3.3 模型串行组合方案的决策支持模型串行组合方案的决策支持传统做法传统做法测试测试性能性能经验经验配方配方新产品新产品合格合格结束结束不合格不合格大量试验大量试验 对该非结构化决策问题我们设计了两个数学模型进行串对该非结构化决策问题我们设计了两个数学模型进行串行组合的决策方案，行组合的决策方案， 即利用一定数量产品的实际测试结果，用即利用一定数量产品的实际测试结果，用多元线性回归多元线性回归模型模型来找出各性能与原料之间的内部规律，得出回归方程来找出各性能与原料之间的内部规律，得出回归方程
24、式。式。 然后利用然后利用多目标规划模型多目标规划模型，按新产品对各性能的约束条，按新产品对各性能的约束条件，计算出新产品三种原料的配方数据。件，计算出新产品三种原料的配方数据。 这个方案是用半结构化决策去近似解决该非结构化问题这个方案是用半结构化决策去近似解决该非结构化问题。图2.4 橡胶配方决策问题方案示意图1.1.多元线性回归模型多元线性回归模型 在产品数据库中，每个产品的数据是不同的三种原在产品数据库中，每个产品的数据是不同的三种原料配方值以及对产品测得的项性能值料配方值以及对产品测得的项性能值。 见表见表2.32.3 产品12345678910111213原料1，x150905090
25、5090509036.3103.6707070原料2，x2101025251010252517.517.517.517.517.5原料3，x30.550.550.550.551.951.951.951.951.251.250.072.421.25性能1，y1124150123160170192162186140160.4106.5225206.2性能2，y2543500563526351300372336760200662306375性能3，y31816211744547.663228性能4，y74972507054805074988527268性能5，y51.020.91.051.010.9
26、10.910.90.890.800.8071.160.670.86性能6，y6628480786382847843114767778性能7，y732.231.133.432.218.117.21917.328.419.25215.2523.15性能8，y8-1.4-1.5-1.3-1.1-3.9-4-3.6-3.8-1-4.2-4.2-6-3.6性能9，y940414645414045444540424041表2.3 产品数据库产品数据库产品数据库多元线性多元线性回归模型回归模型多元回归多元回归方程式方程式 利用产品数据库，进行多元回归模型的计算，即通过利用产品数据库，进行多元回归模型的计算，
27、即通过最小二乘原理能得到性能和原料间的回归方程式。最小二乘原理能得到性能和原料间的回归方程式。 多元回归方程式多元回归方程式( (性能和原料间的关系性能和原料间的关系) )为：为： Y Y1 1=0.525=0.525X X1 1-0.434-0.434X X2 2+36.881+36.881X X3 3+86.571+86.571 Y Y2=-4.062=-4.06X X1 1+2.234+2.234X X2 2-143.65-143.65X X3 3+870.8670+870.8670 Y Y3 =-0.00353 =-0.0035X X1 1+0.106+0.106X X2 2+11.0
28、47+11.047X X3 3+25.576+25.576 Y Y4 =0.5874 =0.587X X1 1-0.179-0.179X X2 2+5.510+5.510X X3 3+18.906+18.906 Y Y5 =0.0025 =0.002X X2 2-0.124-0.124X X3 3+1.0722+1.0722 Y Y6 =0.5576 =0.557X X1 1+0.460+0.460X X2 2+0.49+0.49X X3 3+29.246+29.246 Y Y7 =-0.0747 =-0.074X X1 1+0.077+0.077X X2 2+12.471+12.471X X
29、3 3+45.482+45.482 Y Y8 =-0.028 =-0.02X X1 1+0.025+0.025X X2 2-2.843-2.843X X3 3+2.1397+2.1397 Y Y9 =-0.0389 =-0.038X X1 1+0.302+0.302X X2 2-0.559-0.559X X3 3+40.470+40.470 其中其中 X Xi i( (i i=1=1，2 2，3)3)表示三种原料表示三种原料 Y Yi i( (i i=1=1，2 2，.9).9)表示九项性能表示九项性能 回归方程回归方程系数、系数、常数常数约束方程约束方程目标方程目标方程多目标多目标规划数据规
30、划数据2.2.多目标规划模型多目标规划模型 该模型有三个目标即三个原料值。约束方程是用该模型有三个目标即三个原料值。约束方程是用项性能的回归方程构成的（三个原料是变量）。项性能的回归方程构成的（三个原料是变量）。 约束方程中的约束值由如下方法确定：约束方程中的约束值由如下方法确定： 每个性能值按新产品要求，设定一个指标值要求。每个性能值按新产品要求，设定一个指标值要求。如对如对y1y1性能的指标值是：性能的指标值是：Y1=0.525X1-0.434X2+36.881X3+86.571Y1=0.525X1-0.434X2+36.881X3+86.571170170 在多目标规划模型中的约束方程为
31、：在多目标规划模型中的约束方程为：0.525X1-0.434X2+36.881X30.525X1-0.434X2+36.881X383.42883.428 约束方程中的约束值（约束方程中的约束值（83.42883.428）是由给定对该性能）是由给定对该性能的约束值的约束值(170)(170)减去回归方程中的常数值（减去回归方程中的常数值（86.57186.571）而求）而求出的值。约束方程的优先级由人给定。出的值。约束方程的优先级由人给定。 通过多目标规划模型的运算将得到个性能和三个原通过多目标规划模型的运算将得到个性能和三个原料的具体目标值。料的具体目标值。 表2.4 多目标规划数据库多目标
32、多目标规划数据规划数据多目标多目标规划模型规划模型原料配方原料配方结果结果 经过两个模型的联合运行后，得到的新产品原料配经过两个模型的联合运行后，得到的新产品原料配方数据：方数据：x1x150.7275 x250.7275 x225.0000 x325.0000 x31.89681.8968 它很接近实际要求。它很接近实际要求。 若新产品还有不足，就将该次试验产品数据加入到以若新产品还有不足，就将该次试验产品数据加入到以前的产品数据库中去。重新进行二个模型的组合方案的前的产品数据库中去。重新进行二个模型的组合方案的计算。计算。 经过几次该方案的反复计算，将会很快逼近符合要经过几次该方案的反复计
33、算，将会很快逼近符合要求的解（满足性能要求的橡胶配方产品）求的解（满足性能要求的橡胶配方产品）。3.3.两个模型间的数据关系两个模型间的数据关系 （1 1）多目标规划数据库中的约束方程系数来自于）多目标规划数据库中的约束方程系数来自于多多元线性回归模型元线性回归模型求出的性能与原料间的回归方程系数。求出的性能与原料间的回归方程系数。 （2 2）多目标规划数据库中的性能约束值是通过计算）多目标规划数据库中的性能约束值是通过计算而来，即：而来，即： 约束方程的约束值对新产品性能设定的约束值约束方程的约束值对新产品性能设定的约束值该性能方程式中的常数。该性能方程式中的常数。 （1 1）约束方程中的约
34、束符与优先级别是人为设定的。）约束方程中的约束符与优先级别是人为设定的。 （2 2）目标方程的约束值与约束符也是人为设定的。）目标方程的约束值与约束符也是人为设定的。 可见，多元线性回归模型的输出数据（回归方程式）可见，多元线性回归模型的输出数据（回归方程式）要经过变换（约束值的计算）后才能成为多目标规划模要经过变换（约束值的计算）后才能成为多目标规划模型的输入数据。型的输入数据。4.4.该方案的决策支持该方案的决策支持 由于该方案是利用两个模型的串行组合的方案，试探由于该方案是利用两个模型的串行组合的方案，试探性解决非结构化决策问题。性解决非结构化决策问题。 该方案是属于半结构化决策问题的方案，利用了多元该方案是属于半结构化决策问题的方案，利用了多元线性回归模型和多目标规划模型两个结构化模型，它们的线性回归模型和多目标规划模型两个结构化模型，它们的组合方案只是近似的解决实际决策问题，还需通过多次方组合方案只是近似的解决实际决策问题，还需通过多次方案计算才能逼进非结构化决策问题的解。案计算才能逼进非结构化决策问题的解。 决策支持系统做法测试测试性能性能决策支决策支持系统持系统方案方案新产品新产品合格合格结束结束不合格不合格少量次数少量次数产品产品数据库数据库新产品数据新产品数据习题习题 217、20、21、22结结 束束第第 二二 章章
