《几何与代数课件：lec3-行列式的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何与代数课件：lec3-行列式的计算（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 几何与代数几何与代数几何与代数几何与代数 教学内容和基本要求教学内容和基本要求 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解教教 学学 内内 容容学时数学时数1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 11.2 n阶行列式阶行列式 11.3 行列式的性质和计算行列式的性质和计算41.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 22问题问题1：2元线性方程组的元线性方程组的Cramer法则能否推广到法则能否推广到n元？元？问题问题2：n阶行列式的定义和计算？阶行列式的定义和计算？3问题式预习2. 如何应用行列式的展开定理计算行列式？如何应用行列式的展开定理计算行列式？3. 如何由某行
2、（列）的展开式构造一个行列式如何由某行（列）的展开式构造一个行列式？1. 除定义外，二三阶行列式还有其他共性能除定义外，二三阶行列式还有其他共性能推广到推广到n阶行列式？阶行列式？趣味思考题趣味思考题二、若行列式二、若行列式D=0，则，则D都可能是什么类型的都可能是什么类型的行列式？行列式？ (1) 行列式行列式D有两行或两列的元素有两行或两列的元素相同相同； (2) 行列式行列式D有两行或两列的元素有两行或两列的元素成比例成比例； (3) 行列式行列式D有至少有一行或一列元素有至少有一行或一列元素都是零都是零 ； (4) 主对角线主对角线上至少有一个元素等于上至少有一个元素等于零零的的对角行
3、列式对角行列式；(5) 主主(次次)对角线对角线上至少有一个上至少有一个零零元素的元素的三角行列式三角行列式； (6) 所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式 三、设三、设D = a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 = =, ,证明证明: D = ( 1)mnD1D2.D D2 2 = =, ,b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnn0 0 0 0 a a11 11 a a1 1mm, ,0 0 0 0 a amm1 1 a ammmmb b11 11 b b1 1n
4、n c c11 11 c c1 1mmb bn n1 1 b bnn nn c cn n1 1 c cnmnm证明证明: 将第将第n+1列与左边的各列逐次对换相邻两列与左边的各列逐次对换相邻两列，列， 可将其移到第一列，以此类推，共做可将其移到第一列，以此类推，共做mn次次相邻对换，即可得到相邻对换，即可得到所以所以D = = ( 1)mn|A| |B|.二二. 行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 1. 化为三角形化为三角形行列式行列式 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 2. 箭形行列式的计算箭形行列式的计算 4. 降阶递推
5、法降阶递推法 5. 分解行列法分解行列法 本结论可以直接应用本结论可以直接应用。= ( 1)mn|A| |B|.1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 2. 箭形箭形行列式行列式 例例10. 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 7第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例11: Dn= 1+a1 1 1 1
6、1+a2 1 1 1 1+an可化为箭形的可化为箭形的行列式行列式 解解:(a1a2an 0). 1+a1 1 1 1 a1 a2 0 0 a1 0 a3 0 a1 0 0 an I I l lveveit! it! “伞形伞形”行列式行列式 r2 r1rn r18第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 注意注意注意注意已知条件已知条件已知条件已知条件: : a a1 1a a2 2a an n 0, 0,否则不能否则不能否则不能否则不能1/1/
7、a a1 1, , , , 1/1/a an n ! ! = 1+ (1/aj)a1a2 an . j j = 1 = 1 n n 1+a1+ (a1/aj) 1 1 1 0 a2 0 0 0 0 a3 0 0 0 0 an j j = 2 = 2 n n 1+a1 1 1 1 a1 a2 0 0 a1 0 a3 0 a1 0 0 an r2 r1rn r19三阶行列式三阶行列式 对角线法则对角线法则 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算
8、行列式的性质及计算 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . = a11(a22a33 a23a32) + a12(a23a31 a21a33) + a13(a21a32 a22 a31 ) 问题：能否利用二问题：能否利用二阶行列式来计算三阶行列式来计算三阶行列式？阶行列式？a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c31.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 aij 的的余子
9、式余子式 Mij ： 划去划去aij 所在的行列得到的所在的行列得到的n-1阶行列式阶行列式按第一行展开按第一行展开第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 a ai ij j的的的的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式: : A Ai ij j = (= ( 1 1) )i+i+j jMMi ij j . . a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 a a3232 a a33 33 a a3434
10、a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444a a11 11 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a23 23 a a2424 a a41 41 a a43 43 a a4444MM3232= =, ,A A3232 = (= ( 1 1) )3+23+2MM32 32 = = MM3232. . a11的余子式的余子式定理定理1.2. |A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 证明：证明： (1) (2) (3) 第一章第一
11、章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 = a11A11= aijAij = = a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + a ai in nA Ai in n . .证明：证明： (1) 定理定理1.2. 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 M11 = A11= a11M11|A| = ai1Ai1+
12、ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.= a11A11证明：证明： (2) 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 定理定理1.2. |A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.= aij Mij= aijAij( 1)i+j 2 =( 1)i+jaij MijDij|A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain, i=1, n.证明：证明： (3
13、) 定理定理1.2. 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain.同理同理,|A| = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj, j=1,2, ,n.分阶段处分阶段处理复杂问理复杂问题的题的“水水泵泵”思维思维化繁化繁为简为简定理定理1.2. |A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.1.3 1.3 行列式
14、的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 (1) (2) (3) 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 = a11A11= aijAij = = a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + a ai in nA Ai in n . .分阶段处理复杂问题的分阶段处理复杂问题的“水泵水泵”思维思维化繁为简化繁为简1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 例例5. 1 2 1 2 4 4 2 2 1
15、2 2 1 3 4 3 4 2 2 1 2 1 2 4 4 0 6 0 6 7 7 0 10 0 10 1414 1 2 1 2 4 4 0 6 0 6 7 7 0 0 0 0 7/37/3= = 14.14.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 r2 +2r1r3 +3r1r3 5/35/3r218法法2：按第二行展开：按第二行展开= 24= 24 2828 1010= = 14.14.法法3：先化简再按第一列展开：先化简再按第一列展开= = 84+7084+70 = = 14.14.3. 行列式按行行列式
16、按行( (列列) )展开展开 注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行( (列列) )只有一个非零元素；再按此行只有一个非零元素；再按此行( (列列) )展开计算展开计算. .1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 4 3 6 3 1 4 6 3 5= 6A31 + 3A32 + 5A33. 那么那么 4A31 + 3A32 + 6A33 =4A31 + 3A32 + 6A33 =4 3 63 1 44 3 6= 0. A31, A32, A33与与a31, a32, a33的取值无关的取
17、值无关0?第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 例例12. 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33= a12A12 + a22A22 + a32A32. 下面来看下面来看a11A12 + a21A22 + a31A32 = a11A12 + a21A22 + a31A32 =a11 a13 a21 a23 a31 a33= 0.推广到一般情形推广到一般情形, 我们有如下结论我们有如下结论:
18、推论推论1.3. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn = 0 (i j) a1i A1j + a2i A2j + + ani Anj = 0 (i j). A12, A22, A32与与a12, a22, a32的取值无关的取值无关0?第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 a11a21a311.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 推论推论1.3. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn = 0 (i j) a1i A
19、1j + a2i A2j + + ani Anj = 0 (i j).定理定理.|B| = a1i A1j + a2i A2j + + ani Anj= b1j A1j + b2j A2j + + bnj Anj证明：证明： aik Ajk =k k=1=1n n|A|, i = j 0, i j= 0第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 aki Akj =k k=1=1n n|A|, i = j 0, i j例例13. 2A21 + 4A22 8A23 = 1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3
20、 4 3 4 2 2 1 2 1 2 4 4 3 4 3 4 2 22 4 2 4 8 8= 0M13 M23 3M33 = A13 + A23 3A33 1 2 1 2 2 2 2 2 3 4 3 4 = 1 1 1 1 3 3 1 2 1 2 2 2 2 2 3 4 3 4 0 0 3 3 0 0= 30定理定理. aik Ajk =k k=1=1n n|A|, i = j 0, i j aki Akj =k k=1=1n n|A|, i = j 0, i j1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程
21、组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 例例例例1414. . 证明证明证明证明n n阶阶阶阶( (n n 2) 2) 范德蒙范德蒙范德蒙范德蒙VandermondeVandermonde行列式行列式行列式行列式D Dn n = = 1 1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-2-2 a a2 2n n-2-2 a an nn n-2-2a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1 -1 a an nn n-1-1= = ( (a ai i a aj
22、 j). ).n n i i j j 1 1证明证明证明证明: :当当当当n n =2 =2时时时时, , D D2 2 = ( = (a a2 2 a a1 1). ). 现设等式对于现设等式对于现设等式对于现设等式对于( (n n 1)1)阶成立阶成立阶成立阶成立. . ( ( a a1 1) ) ( ( a a1 1) ) ( ( a a1 1) )1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2 a1) a3(a3 a1) an (an a1) 0 a2n-2(a2 a1) a3n-2(a3 a1) ann-2(an a1) D Dn n r rn n a a1 1
23、r rn n-1-1r r3 3 a a1 1 r r2 2r r2 2 a a1 1 r r1 11.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 = (a2 a1)(a3 a1)(an a1) 1 1 1a2 a3 an a2n-2 a3n-2 an n-2= (a2 a1)(a3 a1)(an a1) (ai aj)n n i i j j 2 2= (ai aj).n n i i j j 1 1 a2 a1 a3 a1 an
24、a1a2(a2 a1) a3(a3 a1) an (an a1) a2n-2(a2 a1) a3n-2(a3 a1) ann-2(an a1) D Dn n = =1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 范德蒙德行列式的结果范德蒙德行列式的结果可以作为公式使用可以作为公式使用.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的
25、性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 (未写出的元素都是未写出的元素都是0). 例例15. 计算计算2n阶行列式阶行列式 D2n = a b a b c dc d 4. 降阶递推法降阶递推法第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 D D2 2n n= = a= a. . . . . . . . . . . . .a aa a b bb b 0 0c cc c0 0d dd d 0 00 0 d d . . . . . . . . . . .
26、. . . . .0 0 a aa a b bb bc c0 0 c cc c 0 0d dd d0 0. . . .+(+( 1 1) )2 2n n+1+1b b. . . . . . . . . . . . .a a 0 00 0 a aa a b bc c d dd d 0 00 0 d d . . . .0 0 b bb b 0 00 0 c cc c 0 0. . . . . . . . . .解解解解: :第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质
27、行列式的性质 = a= a. . . . . . . . . . . . .a aa a b bb b 0 0c cc c0 0d dd d 0 00 0 d d . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 a aa a b bb bc c0 0 c cc c 0 0d dd d0 0. . . .+(+( 1 1) )2 2n n+1+1b b= (= (ad ad bcbc) ) D D2(2(n n 1 1) ) = (= (ad ad bcbc) )2 2D D2(2(n n 2 2) ) = (= (ad ad bcbc) )3 3D D2(2(n n 3
28、3) ) = = (= = (ad ad bcbc) )n n 1 1 D D2 2= (= (ad ad bcbc) )n n. .D D2 2n nD D2 2n n= = a a ( ( 1 1) )2(22(2n n 1) 1) d d D D2(2(n n 1 1) ) b b ( ( 1 1) )(2(2n n 1)+1 1)+1 c cD D2(2(n n 1 1) )Dn = ( a+ b) Dn 1 ab Dn 2 解：按第一行展开解：按第一行展开Dn = (a + +b b) Dn-1+ ab( 1)1+2Dn-2 = = bn 2 (D2 aD1) 例例16. 双轮形双轮
29、形Dn aDn 1 = b (Dn 1 aDn 2) = = an 2 (D2 bD1) Dn b bDn 1 = a (Dn 1 bDn 2) D1=a + b, D2 = a2 + b2 + ab 4. 降阶递推法降阶递推法1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 D Dn n aDn 1 = bn 2 (D2 a aD1) (1)D Dn n b bDn 1 = an 2 (D2 b bD1) (2)由由 (1) b
30、b (2) a 可得，可得， D1=a + b, D2 = a2 + b2 + ab = bn= an1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 5. 分解行列法分解行列法解：将第一列拆成两列的和解：将第一列拆成两列的和解：将第一列拆成两列的和解：将第一列拆成两列的和b Dn-1例例17. 法法2. = an Dn = b Dn-1 + an= b (bDn-2+an-1 ) +an1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性
31、质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 = b2 Dn-2 +an-1b +an= 311.3 行列式的计算2. 2. 如何应用行列式的展开定理计算行列式？如何应用行列式的展开定理计算行列式？如何应用行列式的展开定理计算行列式？如何应用行列式的展开定理计算行列式？3. 3. 如何由某行（列）的展开式构造一个行列式？如何由某行（列）的展开式构造一个行列式？如何由某行（列）的展开式构造一个行列式？如何由某行（列）的展开式构造一个行列式？1. 1. 除定义外，二三阶行列式
32、还有其他共性能推广到除定义外，二三阶行列式还有其他共性能推广到除定义外，二三阶行列式还有其他共性能推广到除定义外，二三阶行列式还有其他共性能推广到n n阶行列式？阶行列式？阶行列式？阶行列式？利用某行或某列的展开式计算，则将利用某行或某列的展开式计算，则将n阶行列阶行列式写成式写成n个个n-1-1阶行列式的代数和阶行列式的代数和.先把行列式化简成某行先把行列式化简成某行( (列列) )只有一个非零元素；再按此只有一个非零元素；再按此行行( (列列) )展开计算展开计算. .特别对三阶四阶数字型行列式。特别对三阶四阶数字型行列式。先确定新行列式中保持不变的行先确定新行列式中保持不变的行( (列列
33、) )；再将展开式的系；再将展开式的系数作为新的行数作为新的行( (列列) )，则可得到新的行列式。，则可得到新的行列式。a11 a12 a21 a22记记D =,b1 a12 b2 a22D1 =,a11 b1a21 b2D2 =,则当则当D = a11a22 a12a21 0时时,=D1D=D2D.a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21有唯一确定的解有唯一确定的解x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21推广到推广到n元线元线性方程组性方程组Cramer法则法则1.4 1.4 1.4 1.
34、4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 记记记记D D = =a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnn, , D D1 1 = =b b1 1 a a1212 a a1 1n n b b2 2 a a22 22 a a2 2n n b bn n a an n2 2 a annnn, ,D D2 2 = =a a1111 b
35、b1 1 a a1 1n n a a2121 b b2 2 a a2 2n n a an n1 1 b bn n a annnn, , , , D Dn n= =. .a a1111 a a1212 b b1 1a a2121 a a2222 b b2 2 a an n1 1 a an n2 2 b bn n克拉默法则克拉默法则(Cramer Rule 1750 瑞士瑞士) 在在D=|A| 0有有唯一解唯一解 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 |A| 0方程数与变方程数与变量数不等时量数不等时不能用不能用
36、x1 =D1D,x2 =D2D, xn =DnD. 例例例例1. 1. 某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品. . A A = =20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 B B = =200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150单价单价 (元元/箱箱)重量重量 (Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京 苏州苏州 常州常州啤酒啤酒( (
37、瓶装瓶装) )2016200180190啤酒啤酒( (易拉罐易拉罐) )5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤2516180150150一一. 矩阵与向量矩阵与向量 1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 例例例例2. 2. 四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示. . 若若若若a aij ij表示从表示从表示从表
38、示从 i i 市市市市 到到到到 j j 市航线的条数市航线的条数市航线的条数市航线的条数, , 则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为1 41 42 32 3A A = = a aij ij = =0 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 1 01 0 1 0 1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 用三维向量表示用三维向量
39、表示(8升升,5升升,3升升)酒壶的酒量酒壶的酒量则则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路点的最短路.从图中易得到从图中易得到上下上下两条两条路路：显然上面一条较短，：显然上面一条较短，路长为路长为7;下面一条路长为下面一条路长为8.(3,2,3)(5,3,0)(2,5,1)(8,0,0)(0,5,3)(2,3,3)(7,0,1)(7,1,0)(4,1,3)(4,4,0)(1,4,3)(1,5,2)(6,2,0)例例3：某某二二人人有有一一只只8 8升升的的酒酒壶壶装装满满了了酒酒, ,还还有有两两只只空壶空壶, ,分别为分别为5 5升和升
40、和3 3升升. .问如何尽快将酒平分问如何尽快将酒平分? ?(3,5,0)(5,0,3)(6,0,2)一一. 矩阵与向量矩阵与向量 1. m n矩阵矩阵 (Matrix) 元素元素: aij (i = 1, , m, j = 1, , n) 注注: 元素都是实元素都是实(复复)数的矩阵称为数的矩阵称为实实(复复)矩阵矩阵. 今后除非特别说明今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都我们所考虑的矩阵都 是实矩阵是实矩阵(Rmn). 复矩阵复矩阵(Cmn). Amn= (aij)mna11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amnn阶方阵阶方阵: n n矩阵矩阵2. 方阵方阵 主对
41、角线元素主对角线元素: aii (i = 1, , n) 1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 38作业及问题式预习2. 如何根据阶梯形矩阵的形状判别线性方程如何根据阶梯形矩阵的形状判别线性方程组的解的性质？组的解的性质？3. 齐次方程组有非零解的充分条件有哪些？齐次方程组有非零解的充分条件有哪些？1.如何判别阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵？如何判别阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵？三三. (A) 1(8), 2(6,7) (B) 5(4,6,7,8), 6(2)趣味思考题趣味思考题 一摆渡人欲将一只狼一摆渡人欲将一只狼, ,一头羊一头羊, ,一篮菜从河西一篮菜从河西渡过河到河东渡过河到河东. .由于船小由于船小, ,一次只能带一物过一次只能带一物过河，并且狼与羊河，并且狼与羊, ,羊与菜不能独处羊与菜不能独处. .你能给出几种给出渡河方法？请用向量的方你能给出几种给出渡河方法？请用向量的方式描述。式描述。哪种方法的渡河次数最少呢？哪种方法的渡河次数最少呢？
