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1、一、概念一、概念: :定义定义 3.73.7,。4 4 函数的连续性函数的连续性数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性 在在 连续连续数学分析极限与函数的连续性定义定义 3.73.7（单侧连续）左连续；右连续。若若数学分析极限与函数的连续性定义定义 3.83.8注注: : 在定义域上连续的函数称为连续函数.数学分析极限与函数的连续性例例1 1证证数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性二、连续函数的四则运算二、连续函数的四则运算设则（1）（这里为常数）;（2）（3）数学分析极限与函数的连续性三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性定理定理 3.14数学分析极限与函数的
2、连续性三、不连续点的类型三、不连续点的类型数学分析极限与函数的连续性不连续点的分类 第一类不连续点 (跳跃间断点) 跃度。 跳跃间断点。数学分析极限与函数的连续性 例例: : 符号函数1-1x xy yo o 是第一类间断点。数学分析极限与函数的连续性 第二类间断点 数学分析极限与函数的连续性 例例: : 数学分析极限与函数的连续性狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R R内每一点处都间断内每一点处都间断, ,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. .数学分析极限与函数的连续性 可去间断点 数学分析极限与函数的连续性例例解：解：数学分析极限与函数的连续性如上例中,数学分析极限与函数的连续性
3、初等函数的连续性定理定理3.15 一切初等函数在其定义域上都是连续的.数学分析极限与函数的连续性（1） 三角函数.反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它们的连续性们的连续性。为此我们需要闭区间上连续函数的为此我们需要闭区间上连续函数的介值定理。为证明它，我们先证明区间套定理。介值定理。为证明它，我们先证明区间套定理。（2） 指数函数.数学分析极限与函数的连续性设一组实数的闭区间序列 (i)满足： (ii)则 构成一个区间套 数学分析极限与函数的连续性（区间套定理）设
4、 是一个区间套， 则必存在唯一的实数r,使得r属于所有闭区间 即 且 证明：证明：用单调有界原理证明区间套定理：数学分析极限与函数的连续性定理3.17 连续函数介值定理 若 在 连续， 则存在 ，使得 证明： 用区间套定理。记用二等分，若，则定理证完。否则，若则取；若 则取 用 二等分 ， 如此继续下去， 得一区间套 ，满足 根据区间套定理， 知存在 ，有 由 在 r 连续，知 故 定理证完。 数学分析极限与函数的连续性反函数的连续性反函数的连续性定理定理3.18 3.18 (反函数存在、连续性定理)数学分析极限与函数的连续性（3） 反三角函数.应用反函数连续性定理，继续证明定理应用反函数连续
5、性定理，继续证明定理3.15。反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. .数学分析极限与函数的连续性（4） 对数函数.（5） 幂函数.总结总结 初等函数的连续性一切初等函数在其定义域上都是连续的.注：注：一般可用函数的连续性用代入法求极限。数学分析极限与函数的连续性5无穷小量与无穷大量的比较数学分析极限与函数的连续性一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较（一）无穷小量定义定义 1数学分析极限与函数的连续性（二）无穷小量的比较极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限数学分析极限与函数的连续性 高阶无穷小量 数学分析极限与函数的连续性 同阶无穷小量 数学分析
6、极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性 等价无穷小量 定义定义数学分析极限与函数的连续性定理定理 1 1数学分析极限与函数的连续性常用的等价无穷小常用的等价无穷小: :数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性（三）无穷小量的阶:数学分析极限与函数的连续性（四）无穷小量的性质:数学分析极限与函数的连续性问题问题: :都是无穷小量，都是无穷小量，不一定不一定 例当例当 时时故当故当 时时, ,数学分析极限与函数的连续性二、无穷大量的比较二、无穷大量的比
7、较（一）无穷大量定义定义 2 2数学分析极限与函数的连续性（二）无穷大量的比较 高阶无穷大量 数学分析极限与函数的连续性 同阶无穷大量 数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性 等价无穷大量 定义定义数学分析极限与函数的连续性定理定理 2 2数学分析极限与函数的连续性内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则柯西准则数学分析极限与函数的连续性4. 函数极限的或定义及应用5. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理6. 无穷小量与无穷大量的定义7. 无
8、穷小量与函数极限的关系8. 无穷小量与无穷大量的关系数学分析极限与函数的连续性9. 无穷小量的比较设 , 对同一自变量的变化过程均为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小数学分析极限与函数的连续性在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在数学分析极限与函数的连续性习题习题1. 设函数提示提示:在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .数学分析极限与函数的连续性有第二类间断点及可去间断点解解:为第二类间断点,所以为可去间断点 ,极限存在2. 设函数试确定常数 a 及 b .数学分析极限与函数的连续性3. 求下列极限：提示提示: 无穷小有界数学分析极限与函数的连续性令数学分析极限与函数的连续性数学分析极限与函数的连续性5. 当时,是的几阶无穷小?解解: 设其为的阶无穷小,则因故数学分析极限与函数的连续性补充题补充题1. 求解解: 令则利用夹逼准则可知数学分析极限与函数的连续性 2. 求解:原式 = 1 (2000考研)数学分析极限与函数的连续性证证:3. 证明: 若 令对任意当时, 有又根据有界性定理, 使取则在内连续,存在, 则必在内有界.数学分析极限与函数的连续性
