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1、第4章 根轨迹分析法v 4.1 根轨迹的基本概念v4.2 绘制根轨迹的方法v4.3 参量根轨迹v4.4 零度根轨迹v4.5 用根轨迹分析系统性能v4.6 MATLAB用于根轨迹分析14.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹4.1.2 根轨迹方程2前已述及，闭环系统的动态性能与闭环极点在 s 平面上的位置密切相关。所以在分析系统的性能时，往往要求确定系统的闭环极点的位置。另外，在分析或设计系统时，经常要研究一个或几个参量在一定范围内变化时，对闭环极点的位置以及系统性能的影响。闭环极点就是特征根，为了求解特征根，需将特征多项式进行因式分解。3 本章序言(续)但对于高阶系统不太容易，特别当系统某一
2、参数变化时，需要反复地进行计算，更是不现实。所以伊万斯首先提出了求解特征根的图解方法根轨迹法。所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在s平面上移动的轨迹。 根轨迹法是在已知系统的开环零、极点条件下，绘制出系统闭环特征根在 s 平面上随参数变化时运动的轨迹。 4 设系统的结构如图所示。其中，为零、极点形式下开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。系统的闭环传递函数为闭环特征方程式为特征根为根轨迹5 1 1）时，系统有两个不相等的实数根，呈过阻尼状态。可得出以下几点： 2 2）当时，特征根为两个相等的实数根，系统呈临界阻尼状态。 3 3）值时，特征根为两个复数根
3、，系统呈欠阻尼状态，即输出呈衰减振荡形式。特征根的实部为衰减系数，虚部为振荡频率。可见：根轨迹图全面的描述了KrKr对S S1,21,2分布的影响。64.1.2 4.1.2 根轨迹方程设系统的结构如图所示。系统的闭环传递函数为开环传递函数的零、极点表达式为 式中，为开环传递函数的零点，为开环传递函数的极点，为根轨迹增益。系统的闭环特征方程式为即 7定义根轨迹方程为 因为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相角方程。相角方程为幅值方程为 或 8若s平面上的点是闭环极点，则它与zi、pj所组成的相量必定满足上述两方程，而且幅值方程与Kr有关，而相角方程与Kr无关。所以满足相角方程的s值代入幅值方
4、程中，总能求得一个对应的Kr，即s若满足相角方程，必定就满足幅值方程。 绘制根轨迹只要依据相角方程足以，而幅值方程 用来确定根轨迹上各点对应的Kr值。相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。94.2 绘制根轨迹的方法v4.2.1 绘制根轨迹的基本规则v4.2.2 根轨迹绘制举例104.2.1 绘制根轨迹的基本规则1. 根轨迹的对称性和分支数 闭环特征根如果是实数根，则分布在平面的实轴上；如果是复数根，则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反，如图所示。因此，形成的根轨迹必定对称于实轴。 当取某一数值时，阶特征方程式有个确定的根。当变化时，每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，个根也就
5、形成条根轨迹。根轨迹对称于实轴，其分支数等于开环极点数n n和开环零点数m m中的最大数。 112. 2. 根轨迹的起点和终点考虑到根轨迹起始处KrKr，故根轨迹幅值方程为 而根轨迹终点处K Kr r,有m m条根轨迹终止于开环传递函数的零点，n-mn-m条终止于无穷远。 根轨迹起始于开环传递函数的极点，终止于开环传递函数的零点或无穷远。 使等式成立的条件是 12例- - 已知系统的开环传递函数为 试确定系统的根轨迹图。 解 : : 系统的开环零、极点为 p1=0, p2=-1, p3=-2p1=0, p2=-1, p3=-2，z1= -1+ j, z2= -1- jz1= -1+ j, z2
6、= -1- j，根轨迹如图- -所示。 图中，“”表示开环传递函数的极点，“”表示开环传递函数的零点。系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点，其中两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。133. 3. 实轴上的根轨迹段实轴上根轨迹区段的右侧，实轴上的开环零、极点数目之和应为奇数。设系统的开环零、极点分布如图所示。 在实轴上p1p1与p2p2之间任取一点s1s1，s1s1与开环零、极点的矢量如图- -中的箭头线所示。s1s1对应的相角为 满足相角相角方程，即该区段是根轨迹段。14例4-2 4-2 已知系统的开环传递函数为试画出该系统的根轨迹图。图4-7 T4-7 T时的根
7、轨迹 图4-8 T4-8 T时的根轨迹154. 4.根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。q 倾角：设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有得开环有限零点和极点到 的相角都相等，即为渐近线的倾角 。代入根轨迹的相角条件得：约定：相角逆时针为正，顺时针为负。若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。1617q 渐近线与实轴的交点假设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有开环有限零点和极点到 的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点 而言，所有的开
8、环有限零点 、极点 都汇集在一起，其位置为 ，这就是渐近线与实轴的交点。幅值条件：1819结论趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定：渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的交点例4-3 4-3 已知系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹图205 5、根轨迹的会合点和分离点： 若干支根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。有开环极点 ，零点 从 即 处出发在A点相遇分离，到B点相遇会合。当 时根轨迹一支走向 另一支走向 ，A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。 一般，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个是可能是无限大
9、零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。例：21设系统的开环传递函数为闭环特征方程为根据重根的条件，必须同时满足以下两式则整理后，得分离会合点的必要条件式为只有位于根轨迹上的重根才是分离点或会合点22例4-44-4 已知系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图。解 (1) (1) 开环零、极点为p1=-1p1=-1，p2=-2p2=-2，z1=-3z1=-3。(2) (2) 实轴上的根轨迹段为p1p1p2p2段和z1z1-段。(3) (3) n-m=1n-m=1，故有一条根轨迹趋于无穷远。渐近线与实轴的夹角为(4) (4) 分离点和会合点为s1s1为根轨迹的分离点，s2s2为根轨迹的会合
10、点。解方程得 236. 6. 根轨迹的出射角和入射角出射角: :为根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。 设系统的开环零、极点分布如图所示，有零、极点z1,p1z1,p1，p2p2，p3p3，p4p4。 设p3p3的出射角为33，如图所示。假设s1s1为根轨迹上的一点，则s1s1应满足相角方程由此可推得出射角的一般表达式24入射角的一般表达式为例4-6 4-6 已知系统的开环传递函数为入射角: :为根轨迹在复数终点处的切线与正实轴的夹角。试绘制系统的根轨迹图。共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，实数开环零极点不用计算，一般为：0, 180, 90, 0, 180, 90, 6060与
11、120120, , 4545与135135等. . 257. 7. 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常常需要求得这一交点和相应的KrKr值。例4-7 4-7 已知系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图。设与虚轴相交的闭环极点为=j=j，代入闭环特征方程得：解方程即可求得，268. 8. 开环极点与闭环极点的关系 在一定条件下，开环极点与闭环极点间有着固定的关系，可利用这种关系来判别闭环特征根在平面上的走向，并为确定闭环极点带来方便。根据代数方程的根与系数间的关系，次高项系数 设阶系统闭环特征方程可表示为如果满足条件n-m2 n-m2 ，则 27因此，Kr时（或
12、Kr时），若一部分闭环极点在s平面上向右 移，则另一部分闭环极点必向左移；对于任一Kr，闭环极点之和保持不变。（用以判断根轨迹在s平面上的走向）。284.2.2 4.2.2 根轨迹绘制举例例4-8 4-8 已知系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹图。 解 （1 1）开环极点为p1=0,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 p1=0,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 （2 2）实轴上的根轨迹段 p1 -p1 - （3 3）根轨迹的渐近线 （4 4）根轨迹的出射角 29（5 5）根轨迹与虚轴的交点 系统闭环特征方程为 将带入上式得 （6 6）根轨迹的分离点
13、和会合点 解得 由 得 系统的根轨迹图如图. . j2j2- -j4j4-2-2-4-4-j2-j2解得 30314.3 参量根轨迹 前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以开环根轨迹增益 为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方便起见，或着重研究某个系统参数( (如时间常数、反馈系数等) )对系统性能的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环根轨增益 作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹( (或广义根轨迹) )。32设系统根轨迹方程为 或 为等效开环传递函数。经整理可变换为称 根据前述绘制根轨迹的规则，由等效开环传递函数的极点和零点的分布情
14、况就可绘制参量K K=0=0的参量根轨迹图。 33注意：经整理后，当系统的等效开环传递函数的极点数小于零点数时，即nm。与nm情况类似，这时可认为有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处（无限极点）。34例4-10 4-10 设系统的开环传递函数为试绘制系统变化时的根轨迹图。整理得：解 系统的特征方程式为 等效开环传递函数为35（）开环零、极点为（）实轴上的根轨迹段为z3z3-段。（）根轨迹的出射角和入射角（）根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为由根轨迹绘制规则作该系统的根轨迹图： 364.4 4.4 零度根轨迹正反馈系统的闭环特征方程为 1- G(s) H(s) = 01- G(s) H(s)
15、 = 0 根轨迹方程为 G(s) H(s) = 1G(s) H(s) = 1 其幅值方程与负反馈系统相同，而相角方程则为 因为相角条件常规根轨迹的不同为 ，故称之为零度根轨迹。虽然控制系统均采用负反馈以使系统正常工作，但对于复杂系统可能会出现局部正反馈，有时是控制对象本身的特性，有时是为满足某种性能而附加的。37）实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为偶数。）根轨迹的渐近线与实轴的夹角为）根轨迹的出射角和入射角的计算公式为 在绘制根零度根轨迹的规则中，不同于负反馈系统的有以下几点：38例4-11 4-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹图。解 将开环传递函数改写成零
16、、极点形式，式中 除具有正反馈结构的系统之外，有些非最小相位系统虽是负反馈结构，但其开环传递函数的分子或分母多项式中， 的最高次幂的系数为负，因而系统具有正反馈性质。因而要用绘制零度根轨迹的规则来作根轨迹图。 满足零度根轨迹绘制条件。 39图4-19 例4-11根轨迹 404.5 用根轨迹法分析系统性能v4.5.1 已知根轨迹增益确定闭环极点v4.5.2 已知系统的性能指标，确定闭环极 点和v4.5.3 增加开环零、极点对系统性能的影响414.5.1 4.5.1 已知根轨迹增益KrKr确定闭环极点 闭环系统的性能由闭环传递函数的零、极点来决定，系统的闭环极点可通过根轨迹图来确定，而闭环零点为前
17、向通道传递函数G(S)G(S)的零点和反馈通道传递函数H(s)H(s)的极点组成。 由控制系统的根轨迹图可以确定根轨迹增益与控制系统的性能的关系。（1 1） 稳定性及稳定条件 由根轨迹图可以确定根轨迹都位于s s左平面时增益KrKr的取值范围。（2 2）运动形式 由根轨迹图可以确定系统响应为单调变化或衰减振荡形式时的KrKr数值范围。（3 3）暂态性能指标 可由根轨迹确定的主导极点来估算。 42例-12 -12 已知系统的开环传递函数为试采用根轨迹法分析： （1 1）系统稳定性时KrKr的取值范围。（2 2）系统响应为衰减振荡形式时KrKr的取值范围。（3 3）试估算Kr =1Kr =1时系统
18、的超调量和调整时间。 解 绘制系统根轨迹如图，由图知： （1 1）系统稳定性时：0 Kr 60 Kr 6（2 2）系统响应为衰减振荡形式时: : （3 3）试估算时系统的超调量和调整时间。 43 （3 3）因Kr=1Kr=1处于0.358Kr60.358Kr6范围，所以系统的闭环极点为一个实数极点和一对复数极点。根据幅值方程求出负实轴试验点对应KrKr的值，最终可找到KrKr=1=1时系统的闭环极点: : 然后，根据闭环特征方程和长除法，可求得另两个极点是一对主导极点。所以系统的闭环传递函数为 则 所以系统的超调量和调整时间为 444.5.2 4.5.2 已知系统的性能指标，确定闭环极点和 采
19、用根轨迹法分析系统的性能，有时也需要根据对系统的性能指标要求，确定闭环极点的位置和对应的KrKr值，使得系统的性能满足要求。例4-13 4-13 已知系统的开环传递函数为 根据性能指标要求，=0.5=0.5，试确定满足条件的闭环极点和对应的KrKr。解 系统的根轨迹图如图所示。 在根轨迹图上作60600 0的射线。从图上可确定该线和根轨迹的交点坐标：45则有 故系统的闭环传递函数为 因为46增加开环零极点对系统性能的影响由于根轨迹是由开环零极点决定的，因此在系统中增加或改变零极点在s s平面的位置，可以改变根轨迹的形状，影响系统的性能。47. .增加开环零点48 增加开环零点后，使根轨迹向左弯
20、曲，最后趋于开环零点和负无穷远，系统的相对稳定性提高。选择合适的KrKr值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离，以保证系统快速性；又可使 角较小（ 较大），以降低超调量。 492 . 增加开环极点50 与增加开环零点时的情况相反，在系统的开环传递函数中增加极点，将会使系统的根轨迹向右弯曲或移动，系统的稳定性变差。 所增加极点的模值越小，即离虚轴越近，则根轨迹向右弯曲或移动的趋势越明显，对系统稳定性的影响也就越大。 514.6 MATLAB用于根轨迹分析4.6.1 4.6.1 根轨迹绘制绘制根轨迹可用函数 rlocus (num,den) 或 rlocus (num,den,k)例4-16 4-16 已知系统前向通道传递函数为反馈通道传递函数为 ，试绘出系统闭环根轨迹图。 52键入命令： Gc=tf(1,1 5); Go=tf(1 1,1 8 0); H=tf(1,1 2); rlocus(Gc*Go*H); v=-10 10 10 13;axis(v); grid on运行结果53
