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1、高等院校非数学类本科数学课程高等院校非数学类本科数学课程大大 学学 数数 学学（三）（三）（三）（三）多元微积分学多元微积分学 第一章第一章 多元函数微分学多元函数微分学第一章 多元函数微分学本章学习要求：1.理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。2.知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。3.理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。4.熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数
2、的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。5.理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。6.会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。7.知道二元函数的泰勒公式形式。8.知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。9.熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。10.了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11.11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟12. 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。13.12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约14. 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用
3、拉15. 格朗日乘数法求条件极值。16.13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些17. 较简单的最大值和最小值的应用问题。第三节第三节第三节第三节 多元函数的导数多元函数的导数多元函数的导数多元函数的导数繁啦！烦 多多元元函函数数的的偏偏导导数数是是一一元元函函数数导导数数的的推推广广, ,其其计计算算往往往往是是借借用用一一元元函函数数的的计计算算公式和方法公式和方法, ,但实际计算往往较繁但实际计算往往较繁. . 在在推推广广中中有有一一些些东东西西将将起起质质的的变变化化. .我我们们通通常常介介绍绍二二元元函函数数的的情情形形, , 所所得得结结果果可可以以推推广
4、广到到更更高高元元的的函函数数中中, , 一一般般不不会会遇遇到原则性问题到原则性问题. .工程和科学技术中, 遇到的大部分是多变量的问题, 在处理时往往需要知道在其它变量不变, 只有某一个变量变化时, 引起的事物反应 .在物理和力学中, 经常用到力和速度的分解和合成 . 一般是将任意方向的力或分速度 .力或速度分解为平行于坐标轴方向的分一元函数的导数将将函函数数表表示示为为含参数的形式含参数的形式用用下下标标显显示示是对是对 x x 求导求导一元函数的导数 如果如果 x , y 为自变量为自变量, , 这就是二元函数这就是二元函数 f (x , y) 关于变量关于变量 x 的偏导数的偏导数.
5、 .将将参参数数 a a 换换成变量成变量 y y. .一一. . 偏增量和全增量偏增量和全增量偏增量偏增量 或或一一. . 偏增量和全增量偏增量和全增量偏增量偏增量 或或一一. . 偏增量和全增量偏增量和全增量全增量全增量 或或表示为表示为一一. . 偏增量和全增量偏增量和全增量例如例如: :同学们不难将以上增量形式推广至空间同学们不难将以上增量形式推广至空间中中. . 函数的增量 的全增量和偏增量的改变量称为函数的全增量和偏增量 .函数相应于自变量二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量 函数的偏增量函数的偏增量 函数函数在点在点处的偏增量为处的偏增量为: :及及二二.
6、 . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量沿此曲线计算的函数在点 P 处的增量为偏增量二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量 函数的全增量函数的全增量 或或二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量函数函数在点在点处的全增量为处的全增量为: : 函数增量的点函数表示函数增量的点函数表示 二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量函数函数在点在点处的全增量为处的全增量为: :函数函数在点在点处的偏增量为处的偏增量为: :对于中的函数可仿此进行增量的定义其中全增量全增量 例例 函数的连续性能否用函数的全增量描述？想想： 函数的连
7、续性能否用函数的全增量描述？能能 怎么描述？ 二元函数的偏导数定义二元函数的偏导数定义三三. . 多元函数的偏导数多元函数的偏导数三三. . 多元函数的偏导数多元函数的偏导数 二元函数的偏导数定义二元函数的偏导数定义变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数若函数在点处关于在点处可偏导.在区域 内的任一点若函数内可偏导.处均可偏导 , 则称函数在区域 与一元函数的情况类似, 函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数, 一般仍称为函数在区域上的偏导数.下面讨论偏导数的计算方法可以看出: 定义时, 变量 y 是不变的, 实际上,是对函数, 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元函数导数的定义进行
8、的：实质上是实质上是哇！爽！求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质上是求忘记了, 请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时求偏导数时, ,只要将只要将 n 个自变量个自变量中的某一个看成变量中的某一个看成变量, ,其余的其余的 n1个个自变量均视为常数自变量均视为常数, , 然后按一元函数然后按一元函数的求导方法进行计算即可的求导方法进行计算即可 . . 例例解解由定义由定义, ,此例也可用下列方式求解此例也可用下列方式求解但最好采用前但最好采用前一种方法一种方法. .将 y 看成常数将 x 看成常数 例例解解将将 y
9、看成常数时看成常数时, , 是对幂函数求导是对幂函数求导. .将将 x 看成常数时看成常数时, , 是对指数函数求导是对指数函数求导. . 例例解解以上的叙述虽然是对二元函数 元及其以上的多元函数中去.进行的, 但其结论可直接推广到三 例例解解由由 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在, , 例例解解但是但是想想是什么问题想想是什么问题 ? ?该例说明了一个重要问题：该例说明了一个重要问题：该例说明了一个重要问题：对多元函数来说对多元函数来说, ,函数的偏导数函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系存在与否与函数的连续性无必然关系. .这是多元函
10、数与一元函数的这是多元函数与一元函数的一个本质区别一个本质区别. .在热力学中在热力学中, , 已知压强已知压强 P 、体积体积 V 和和温度温度 T 之间满足关系之间满足关系 PV = k T , ,其中其中, , k为常数为常数, , 证明：证明：从而从而 例例证证 警告各位！偏导数的符号是一个整体记号,与的商.不能像一元函数那样将看成是xyzO.四四. . 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题:五五. . 二元函数的微分中值定理二元函数的微分中值定理定理定理自己画画图就知道了由一元函数的拉格朗日中值定理由一元函数的拉格朗日中值定理, , 得得证证且有且有由中值定理由中值定理, , 可将函数的全增量表示为可将函数的全增量表示为 定理以及该结论可以推广到三元和三元以上定理以及该结论可以推广到三元和三元以上的函数中的函数中. .谢谢观看！谢谢观看！
