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1、Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义BA第四节第四节 平面曲线积分与积分路径无关的条件平面曲线积分与积分路径无关的条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明 (1) (2)设为D 内任意两
2、条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)证明 (2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式格林公式 , 得所围区域为证毕证毕解解:说明说明:根据定理2 , 若在某单连通域单连通域区域内则2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;例2. 验证验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。解解例例4 计算计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式 , 得例例5. 验证验证在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令则由定理定理 2 可知存在原函数或四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题
