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1、二次曲面的简单介绍第五节 曲面与曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 二次曲面 第八八章 8/23/2024高等数学课件二次曲面二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. (二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 8/23/2024高等数学课件1 1. 椭球面椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束 8/23/2024高等数学课件与的交线为(4) 当 ab 时
2、为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc时为球面.(3) 截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 椭圆：8/23/2024高等数学课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 椭圆的三维立体图形8/23/2024高等数学课件2. 抛物面抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 8/23/2024高等数学课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）( p , q 同号)8/23/2024高等数学课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号)截痕法： ，得两条
3、相交的直线。8/23/2024高等数学课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号)截痕法： ，得一对双曲线。8/23/2024高等数学课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号)截痕法： ，得一对反向的双曲线。8/23/2024高等数学课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号)截痕法： ，得开口向上的抛物线。8/23/2024高等数学课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号)截痕法： ，得开口向下的抛物线。8/23/2024高等数学课件3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x
4、轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 8/23/2024高等数学课件虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: 8/23/2024高等数学课件(2) 双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形图形8/23/2024高等数学课件4. 椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x
5、或 y 方向的伸缩变换得到。 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 8/23/2024高等数学课件例例1 说明二次曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 的类型。解解 当p = 0,q = 0时，是抛物柱面;当是椭圆抛物面;是双曲抛物面;当是椭圆柱面;8/23/2024高等数学课件是双曲柱面;当是椭球面;是单叶双曲面;机动 目录 上页 下页 返回 结束 8/23/2024高等数学课件是双叶双曲面;是单叶双曲面;机动 目录 上页 下页 返回 结束 8/23/2024高等数学课件例例2 设空间曲面由双参数机动 目录 上页 下页 返回 结束 给出，试求出此曲面的一般表达式。解解 由参数方程可得解出所以双曲抛物面8/23/2024高等数学课件二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结：小结：8/23/2024高等数学课件
