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1、3.1分数指数幂分数指数幂修远中学修远中学 孙爱阳孙爱阳教学目标：教学目标： 能力训练：能力训练：1、掌握根式与分数指数幂的互化。2、熟练运用有理指数幂运算性质 进行化简、求值。3、培养学生的数学应用意识。 教学重点：教学重点： 有理指数幂运算性质运用。 教学难点：教学难点： 化简求值的技巧。自主探究自主探究1问题问题1:若若x2=a,则则a叫叫x的的 ,x叫叫a的的 , a0时时,x的值有的值有 个个,分别记作分别记作 ;平方平方平方根平方根a的正的平方根叫的正的平方根叫a的的算术平方根算术平方根,记作记作 .若若x3=a,则则a叫叫x的的 ,x叫叫a的的 , aR,x的值有的值有 个个,记
2、作记作 ;立方立方立方根立方根21将这两个概念推广将这两个概念推广,可得可得:若若x4=a,则则x叫叫a的的 ;若若x5=a,则则x叫叫a的的 ;若若xn=a,则则x叫叫a的的 ,四次方根四次方根五次方根五次方根n次实数方根次实数方根,简称简称n次方根次方根x的值有几个呢的值有几个呢?自主探究自主探究1根式的概念根式的概念 一般地一般地, 如果一个实数如果一个实数x满足满足xn=a(n1,nN*), 那么称那么称x为为a的的n次实数方根次实数方根(n-th root). 当当n是奇数时是奇数时,正数的正数的n次方根是一个正数次方根是一个正数,负数的负数的n次方根是一个负数次方根是一个负数,0的
3、的n次方根是次方根是0,总之总之,实数实数a的的n次方根只有一个次方根只有一个,记作记作x=自主探究自主探究1当当n是偶数时是偶数时,正数的正数的n次方根有两个次方根有两个,它们互为它们互为相反数相反数,正数正数a正的正的n次方根记作次方根记作 ,亦可称为亦可称为n次算术根次算术根; 负的负的n次方根记作次方根记作 . 正数正数a的的n次方根合并写成次方根合并写成 ,请举例说明请举例说明. a是负数或是零呢是负数或是零呢?负数没有偶次方根负数没有偶次方根,0的偶次方根是的偶次方根是0.自主探究自主探究1式子式子 叫叫根式根式,n叫叫根指数根指数,a叫叫被开方数被开方数.注意注意:1.零的零的n
4、次方根都是次方根都是0.2.偶次方根与平方根类似偶次方根与平方根类似,奇次方根与立方根类似奇次方根与立方根类似.自主探究自主探究1问题问题2:大家还记得二次根式的性质吗大家还记得二次根式的性质吗?( )2= ;( )3= ; = ; = ;a(a0)aa自主探究自主探究2( )n= ;n是奇数时是奇数时, = ; n是偶数时是偶数时, = ;你能写出你能写出n次方根类似的性质吗次方根类似的性质吗?aa( 有意义有意义 )自主探究自主探究2例例1 求下列各式的值求下列各式的值自主展示自主展示1练习练习 化简化简导学案相关题目导学案相关题目(a0,m,nN*,且且n1)我们规定我们规定:(a0,m
5、,nN*,且且n1)上两式中上两式中a=0呢呢?0的正分数指数幂为的正分数指数幂为0,即即 ,0的负分数指数幂无意义的负分数指数幂无意义.自主探究自主探究3问题问题3:运用根式性质化简运用根式性质化简,并比较三个并比较三个“指数指数”关关系系引入分数指数幂后引入分数指数幂后,幂指数就从整数推广到了有幂指数就从整数推广到了有理数理数,但底数的范围缩小了但底数的范围缩小了.导学案上导学案上试试试试问题问题4:大家还记得整数指数幂的运算性质吗大家还记得整数指数幂的运算性质吗?同底数幂乘法法则同底数幂乘法法则 积的乘方积的乘方 幂的乘方幂的乘方同底数幂除法法则同底数幂除法法则分式的乘方分式的乘方ama
6、n=am+naman=amn(ab)m=ambm(am)n=amn自主探究自主探究3对有理数指数幂对有理数指数幂,以上运算性质仍成立以上运算性质仍成立.注注:本书中本书中,如无特别说明如无特别说明,底数一律为正数底数一律为正数.同底数乘法法则同底数乘法法则asat=as+t幂的乘方幂的乘方(as)t=ast积的乘方积的乘方 (ab)s=asbs其中其中s,tQ,a0,b0自主探究自主探究4例例1 将下列各式化成根式将下列各式化成根式,并求结果并求结果.自主展示自主展示3例例2 用分数指数幂表示下列各式用分数指数幂表示下列各式(a0).自主展示自主展示3例例3 计算下列各式计算下列各式(字母均为正字母均为正)注注:今后计算结果不能同时时含有根号和分数指数幂今后计算结果不能同时时含有根号和分数指数幂;也不能同时含有分母和负指数也不能同时含有分母和负指数.自主展示自主展示3目标达成目标达成1、学了哪些知识？、学了哪些知识？2、还有哪些疑问？、还有哪些疑问？
