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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 直角坐标系下二重 积分的计算 二重积分计算的要点是把它化为定积分. 这里有多种方法, 其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分. 一、在矩形区域上二重积分的计算 二、在 x 型或 y 型区域上二重积分 的计算 三、在一般区域上二重积分的计算 返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、在矩形区域上二重积分的计算 定理定理21. .8 设 在矩形区域在矩形区域 上可上可积, 且且对每个每个 积分分 存在存在, 则累次积分则累次积分 也存在也存在, 且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证 令令 定理要求定理
2、要求证明明 在在 上可上可积, 且且积分的分的结果恰果恰为二重二重积分分. 为此此, 对区区间 与与 分分别作分割作分割 按这些分点作两组直线按这些分点作两组直线 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页把矩形把矩形 D 分分为 rs 个小矩形个小矩形(图21-4). 记 为小矩小矩 形形 设 在在 上的上确界和下确界分上的上确界和下确界分别为 和和 . 在区在区间 中任取一点中任取一点 于是就有不等于是就有不等 式式 其中其中 因此因此 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中 记 的的对角角线长度度为 , ,于是于是 由于二重由于二重积分存在分存在, 由定理由定理2
3、1. .4, 当当 时, 使使 和和有相同的极限有相同的极限, 且极限且极限 值等于等于因此当因此当时, 由不等式由不等式 (2) 可得可得: : 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 (3)由于当由于当 时, 必有必有因此由定因此由定积 分定义分定义, (3)式左边式左边定理定理21. . 9 设 在矩形区域在矩形区域 上可上可积, 且且对每个每个 积分分存在存在, 则累次积分则累次积分 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页也存在也存在, 且且 定理定理21. 9的证明与定理的证明与定理21. 8相仿相仿. .特特别当当在矩形区域在矩形区域上上连续 时时, 则有则有返
4、回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 计算算 其中其中 解解 应用定理应用定理21. 8 (或定理或定理21. 9), 有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对于一般区域对于一般区域, 通常可以分解为如下两类区域来进通常可以分解为如下两类区域来进 行计算行计算.称平面点集称平面点集为为x型区域型区域(图图21-5(a); 称平面点集称平面点集为为y型区域型区域(图图21-5(b).二、在 x 型或 y 型区域上二重积分的计算返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这些区域的特点是当这些区域的特点是当 D 为为 x 型区域时型区域时, 垂直于垂直于 x 轴
5、轴 的直的直线至多与区域至多与区域 D 的的边界交于界交于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页两点两点; 当当 D 为 y 型区域型区域时, 直直线 至至 多与多与 D 的边界交于两点的边界交于两点. 定理定理21. 10 若若 在如在如 (4) 式所示的式所示的 x 型区域型区域 D 上上连续, 其中其中 在在 上上连续, 则 即二重积分可化为先对即二重积分可化为先对 y、后对后对 x 的累次积分的累次积分. . 证 由于由于 与与在在闭区区间上上连续, 故存故存 在矩形区域在矩形区域 (如如图21-5(a). 现作一作一 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定定义
6、在在 上的函数上的函数 容易知道容易知道函数函数 在在 上可上可积, 而且而且 类似可证类似可证, 若若 D 为为 (5) 式所示的式所示的 y 型区域型区域, 其中其中 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在上上连续, 则二重二重积分可化分可化为先先 对对 x、后对后对 y 的累次积分的累次积分 例例2 设 D 是由直是由直线 及及围成的区域成的区域(图图21-6), 试计算试计算: 的的值.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 若用先对若用先对 y、后对后对 x 的积分的积分, 则有则有 由于由于 的原函数无法求得的原函数无法求得, 因此改用另一种顺序因此改用
7、另一种顺序 的累次积分来计算的累次积分来计算: : 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 计算二重算二重积分分其中其中D为由直由直线 及及所所围的的 三角形区域三角形区域(图图21-7).解解 当把当把 D 看作看作 x 型区域型区域 时时, 相应的相应的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 例例4 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体 积积 V. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 设圆柱底面半径为设圆柱底面半径为a, 两个圆柱方程为两个圆柱方程为 利用利用对称性称性, 只要求出在第一卦限只
8、要求出在第一卦限(即即 )部分部分(见第十章第十章图10-9)的体的体积, 然后再乘以然后再乘以8 即得所求的体积即得所求的体积. .第一卦限部分的立体是一曲顶柱第一卦限部分的立体是一曲顶柱 所以它的体积为所以它的体积为 D: :底为底为四分之一四分之一圆域域 体体, ,曲顶为曲顶为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、在一般区域上二重积分的计算边界为分段光滑曲线的有界闭域边界为分段光滑曲线的有界闭域, ,一般可把它分解一般可把它分解 成有限个除边界外无公共成有限个除边界外无公共内点的内点的 x 型区域或型区域或 y 型区
9、型区 域域. .如图如图21-8 所示所示, ,D 被分被分 为为 x 型区域型区域, 为为 y 型区域型区域. 解成三个区域解成三个区域, 其中其中 、 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5 设 为 上的连续函数上的连续函数, ,试将二重积分试将二重积分 化为不同顺序的累次积分化为不同顺序的累次积分. 解解 (1)先先对积分分, 再再对积分分. (见图21-9), 其中其中 为此设为此设 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以有所以有 (2) 先先对积分分, 再再对积分分. 类似地有似地有: 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(见图见图21-10)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 计算算其中其中解解 记记 (见图见图 21-11) 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则又有又有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(2) 若若 则 复习思考题 1. 若可求面若可求面积的区域的区域满足条件足条件: 又又设在在上可上可积. 证明明: (1)若若 则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(1)在在上上连续;(2) 若若在在上上连续, 求求证:2.设是区域是区域上的可上的可积函数函数.其中其中求求证:其中其中
