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1、2021-2022中考专题5-几何模型5 隐圆问题知识点储备:构造出隐圆出来，可以运用与圆有关的几何性质去解题。1、点圆距离。点P 是圆0外一点，连接P 0交圆与点A , 点B , 贝 ！1P A 是点P 到圆上PR， A 的最短距离，P B 为点P 到圆上的最长距离。B A 0 证明：在P 0B 利用到三边关系：即P 0+ 0B P B ，, O B = 0BP O + O B = P B P B . 在A P O A 利用到三边关系： 即P A + 0A O A + P A , O A = O A , P A P A .A 点P 是圆。 内一点，连接P 0交圆与点A , 点B , 则P A
2、 是点P 到圆上悭 = _0 P N 的最短距离，P B 为点P 到圆上的最长距离。以 证明：同上；2 、直径最长。P在圆中所有的弦中，直径最长。A B 为直径，最长的弦。3 、点弦距离。p cA - r BHE H V0PDD点P 是孤A B 上一动点，过圆心作弦A B 的垂线交于点E , 交圆0于点C ,点D , 若点P 在劣弧A B 上，当点P 与点C 重合， 则点P 到A B 的最大距离为C E ,若点P 在优弧A B 上，当点P 与点D 重合， 则点P 到A B 的最大距离为D E , （ 此时点C 为劣弧A B 的中点，点D 为优瓠A B 的中点）证明：可以过点P 作A B 的平行
3、线L , L 与A B 的距离就是点P 到A B的距离，当L 与圆0只有一个交点时，即相切时， L 与A B 的距离最大，此时点P 与点C 重合，或点P 与点D 重合。由上述结论可知：点P 在圆上运动，线段A B 长度固定，当P A B , 为等腰三角形时， P A B 的面积取最大（ 也要分在优弧和劣弧两种情况。）证明：因 为aPAB底AB不变，此时AB边上的高最大，得面积也是最大的。拓展：此时得到的aPAB的周长也是最大的。 （ 也要分在优弧和劣弧两种情况。）证明：1、当点P在劣瓠AB上时，如图所示：AB为定值，求APAB的周长最大，即求PA+PB最大。延长AP,使得PC=PB,连接CB并
4、延长，交圆0于点D ,连接A D ,过点D作AC的垂线交于点E。则四边形APBD为圆的内接四边形，ZPC=PB.*.ZC=ZPB C.NDAP=NPBC （ 内对角相等）.ZC=ZD A P.DA=DC.*.AC=2AEVAE=AD sinZADEAAC=2AD sinZADEVAP+BP=AC，AP+BP=2AD sinZADENAPB为定角N ADE为定角即s i n N ADE为定值. . . 当AD为直径时，AP+BP值最大。即APAB的周长最大；AD为直径ZABD=90即 N ABC=90 .,.ZBAP+ZC=90 ZAPB+ZPBC=90，NBAP=NAPB.*.AP=BP即点P
5、为劣弧AB的证明：2、当点P在优瓠AB上时，如图所示：证明过程同上。t ）4 、点直线距离。A点P 是圆0上一点，过点0作直线L 的垂线交直线L 于点D,交圆0于点A ,点B , 则点P 到直线L 的最小距离为B D , 最大距离为A D . 证明：可以过点P 作直线L 的平行线17 , L 与1 7的距离就是点P 到L 的距B 离，当L 与圆0只有一个交点时，即相切时，当点P 与点A 重合，L与L ，的距离最大，当点P 与点B 重合。L与L 的距离最小。模型一：定点到动点定长点A 为定点，点B 为动点，A B 为定长,露瓢 则点B 的轨迹为圆心为点A , 半径为A B 的蛇如图，在矩形A B
6、 C D 中，A B = 4 , A D = 6, E 是A B 边的中点，F是线段B C 上的动点，将4E B F沿E F所在直线折叠得到A E B F , 连接B D , 则B D 的小值是解题思路：抓住谁是定点，谁是动点，是否存在定长。如图所示： 点E是定点，点B ，是动点，由折叠的性质可知，E B ，为定值。 所以点夕的轨迹为以点E 为圆心，E B,为半径的圆上运动。当点D 、 B 、 E 三点共线的时候B D 的值最小。 （ 参照知识点储备1解题）证明：参照知识点储备1 , 点圆距离。变式：在R t Z k A B C 中 , Z C = 9 0 , A C = 6, B C = 8
7、 , 点F在边A C 上, 并且C F= 2 , 点E 为边B C 上的动点， 将4 C E F沿直线E F翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边A B 距离的最小值是解题思路：同上题，不难看出点P 的运动轨迹为以点F为圆心，P F为半径的圆上运动，求点P 到A B 的距离最小，可过点F作A B 的垂线于点M , 交 圆 F于点P , 此时，最小值为P M 。根据A M P s A A C B 可以先求出P M 的值,再根据P M = FM - FP , 可算出最小值。CB证明：参照知识点储备4 ,点直线距离。模型二：定角对定长1、9 0所对的弦： （ 定角的顶点在动，定长线段位置不变）& c
8、已知A B 为定线段, （ 长度和位置不变） , C 为动点， 且NA C B = 9 0 , B 由直径所对的角是直角， 我们可以推出动点C 的轨迹为：以A B 为直径的圆上的任意一点。2 、3 0所对的弦： （ 定角的顶点在动，定长线段位置不变）C 已知A B 为定线段, （ 长度和位置不变） , C 为动点， 且NA C B = 3 0 ,-3。 。 . 由3 0的圆周角所对的圆心角NA 0B = 60。，可以确定圆心0的位置， 由0 C* 、60。 ./ A B 的长度，可以确定半径的大小，所以点C 的轨迹为：以0为圆心，半径为A 0的圆上。且只能在优瓠A B 上运动。A B3 、4
9、5 所对的弦： （ 定角的顶点在动，定长线段位置不变）C已知A B 为定线段, （ 长度和位置不变） , C 为动点， 且NA C B = 4 5 ,.45。 . 由4 5 的圆周角所对的圆心角NA 0B = 9 0 ,可以确定圆心0的位置， 由.0 、欢 （ 杷的长度，可以确定半径的大小，所以点C 的轨迹为：以0为圆心，半径为A 0的圆上。且只能在优瓠A B 上运动。A B4 、60所对的弦： （ 定角的顶点在动，定长线段位置不变）C 0 已知A B 为定线段, （ 长度和位置不变） , C 为动点， 且NA C B = 60 ,C C6皿 -6叽 由60的圆周角所对的圆心角NA 0B =
10、12 0 ,可以确定圆心。 的位置，0由A B 的长度，可以确定半径的大小，所以点C 的轨迹为：以0为圆心，、120。 ，B 半径为A 0的圆上。且只能在优瓠A B 上运动。5 、12 0。所对的弦： （ 定角的顶点在动，定长线段位置不变）C已知A B 为定线段， （ 长度和位置不变），C 为动点，且NC 12（ T C. B A C B = 12 0 ,可以先作出NC = 60 ,得N C 所对的圆心角N060。A 0B = 12 0 ,可得圆心0的位置和半径的大小，所以点C的轨迹为：以0为圆心，半径为A 0的圆上。且只能在劣瓠A B上运动。6、 前面5种， 都是定角的顶点在动， 定长线段位
11、置不变。 还有一种就是定角的顶点不动，定长线段位置在变化。已知NA C B = 3 0且点C固定，A B为定线段， 但位置在变化，这种情况下说明aA B C的外接圆在变化，也就圆心不确定，但是，可以 确定 A B C的外接圆的半径还是不变的。 我们可以得到以下结论： 过点6。*n0作A B的垂线，交A B于点E ,此时O E = A A B , O C = A B ,当点C、0、B三点共A E B 2线时，可得C E取最 大 值 为 巫A B + A B。也可以理解为点C到A B的最大值2为：4AB+AB2题型识别：有一条长度固定的线段，这条线段所对的张角固定不变。总结：定角对定长，关键在于确
12、定圆心的位置和半径的大小。确定圆心- - 圆心在定长线段的垂直平分线上，再根据圆周角与圆心角之间的关系， 求出此定角所对的圆心角的大小，即可确定圆心的位置。计算半径一- 根据垂径定理及锐角三角函数可求半径的大小。如图，RtaA B C 中， A B B C , A B = 6 , B C = 4 , P是A A B C 内部的一个动点，且满足N PA B =Z PB C , 则线段C P长的最小值为解题思路：由 N PA B = N PB C 和 N A B C = 90 ,可得N P= 90 A B = 6 , 为定长且位置不变，定角N P 的顶点是动点,由定角对定长， 可得动点P的轨迹为：
13、以A B 为直径的圆上，圆心为A B 的中点。取A B 得中点0 , 连接0 C , 交圆0 为点P , 此时C P取最小值为 0 C - 0 P= 2 .证明：参照知识点储备1 , 点圆距离。如图，在边长为6 的等边aA B C 中，A E = C D , 连接B E 、A D 相交于点P , 则C P的最小值为解题思路：由等边三角形和A E = C D , 可证A B E C A D ,可得 N A B E = N D A C , Z A B E + Z B A D = 6 0 , 即Z A PD = 1 2 0 A B = 6 , 为定长且位置不变， 定角N A PD的顶点是动点， 由定
14、角对定长， 可得动点P的轨迹为：劣瓠A B 上。 圆心和半径的确定可以参照模型二中第5个。连接C 0 交圆于点P , 此时C P的最小值为O C - O P=2 7 3证明：参照知识点储备1 , 点圆距离。B C（ 江苏南京中考）在A A B C 中，A B = 4 , Z C = 6 0 , N A N B , 则B C 的长的取值范围是解题思路：由定角对定长可得点C 的运动轨迹， 如图所示，当NC CA = N B 时，B C 取最小为4,当B C 为直径时，可取最大C值为所以：4 f iC X变： 1 ：如图，点A 在射线0 E 运动，N E 0 B = 6 0 ,点B 在x 轴正半轴上
15、运动，在A B 右侧以它为边作矩形A B C D , 且A B = 2 V L A D = 1 , 则0 D 的最大值为E 解题思路：此题同题的解题思路，但是要注意一点，虽然知道y ,ADC0B xEyA ,DF0B 1O F 、F H 、D H 长度不变，但是点0 、F 、H 、D 四点不会共线，因为，Z F H D = 1 2 0 始终保持不变，所以0 D 的最大值并不是0 F + F H + D H 的值，可以连接D F ,通过计算发现D F 的值也是不变的，点0 、F 、D 三点可以共线，所以0 D 的最大值为：D F + 0 F = g + 2变式2 ：如图，点A 是直线y = -
16、x 上的一个动点，点B 是x 轴上的一个动点，若皿= 2 , 则4A 0 B 面积的最大值为y . y ： y ,A、 ） A -B - / D0 x h E B0 B x 0 xFA解题思路：此题要考虑讨论两种情况，当点A在第二象限定角1 3 5 ,当点A在第四象限定角4 5 ,可参照知识储备3 , 点弦距离。 （ 注意：不同的是此题定角的顶点不动，弦在动，而知识储备3说的是弦不动，定角的顶点在 动 ，但 思 考 的 结 果 是 一 样 的 。 ）已 知 正 方 形A B C D的 边 长 为4 ,点M , N分 别 从 点B , C同时出发， 以 相 同 的 速 度 沿B C , C D方
17、 向 向 终 点C和D运 动 ，连 接A M和B N ,交 于 点P.求4 A PB周 长 的 最 大 值 ？A D A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _n A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _P0NP0N. P： (M )BM C BM ( ： B(解 题 思 路 ：可 参 照 知 识 储 备3 ,里 面 讲 的 拓 展 内 容 ，也 就 是 此 时A P= B P时 ， A PB周长取最 大 值 。A C为 边 长26的 菱 形A B C D的 对 角 线 ，N A B C = 6 0 , 点M和N分 别 从 点B、C同时出发 ， 以 相
18、 同 的 速 度 沿B C、A C向 终 点C和A运 动 ，长 的 最 大 值 ？K M C MC解 题 思 路 ：可 参 照 知 识 储 备3 ,里面讲的拓展内容连 接A M和B N ,交 于 点P ,求4 A PB周7DAD:K M C，也 就 是 此 时A P= B P时 ，A A PB周长取最 大 值 。如图，点E 、F分别为正方形A B C D 的边B C 、C D 上的动点，连接A E 、A F , 且满足NE A F = 4 5 (1 )求证:B E + D F = E F ；(2 )若正方形的边长为1 , 则4 A E F 的面积最小值为解题思路：第一问可以通过旋转A B E
19、, 证4 A E F 义* F , 然后通过线段的和差关系可以证明B E + D F = E F 。第二问由第一间的全等，可以得出A E F , E F 边上高线A H = 1 , 求aA E F 的最小值就是求E F 的最小值。虽然此题，定角N E A F = 4 5 , 但是N E A F 所对的线段长E F ,位置和大小都在变化，所以此aE A F 的外接圆的圆心和半径都在变化，先作出任意位置4 E A F 的外接圆，再取E F 的中点G , 连接A O 、 O G 、 G C , 可得A O = Y E F , O G = - E F ,2 2G C = - E F , 由此可得：2A
20、 O + O G + G C = E F + - E F + - E F = E F 2 A C = 所以 E F2 2 2 22 2 及 - 2 面积最小值为：V 2 - 1A0GDFBEC模型三：四点共圆判定1四点围成的四边形，对角互补，外角等于内对角；若NA+NDCB=180 ,或NB+ND=180AH 或NDCE=NA,则点A、B、C、D四点共圆。0B （： 卜：判定2连接四点围成的四边形的对角线，被交点分成的两条线段长度的积相等;若EC AE=ED BE,则点A、B、C、D四点共圆。,DA0 zEB C判定3运用圆嘉定理中的割线定理；若EA ED=EB-EC,则点A、B、C、D四点共圆。DA0BC判定4四点连成共底边的两三角形，两三角形的顶角都在共底边的同侧且相等;若N A = N D ,则点A、B、C、D四点共圆。DAB0C
