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1、xyCH.4CH.5CH.5测量误差的基本知识测量误差的基本知识本本章章要要点点1 1、测量误差概念（、测量误差概念（、测量误差概念（、测量误差概念（重点重点重点重点）2 2、评定精度的标准（、评定精度的标准（、评定精度的标准（、评定精度的标准（重点重点重点重点）3 3、误差传播定律（、误差传播定律（、误差传播定律（、误差传播定律（重点重点重点重点）4 4、等精度直接观测平差（、等精度直接观测平差（、等精度直接观测平差（、等精度直接观测平差（难点难点难点难点）xyCH.5本章目录本章目录本章目录本章目录l第一节第一节 测量误差概述测量误差概述l第二节第二节 评定精度的指标（评定精度的指标（m
2、m）l第三节第三节 误差误差传播定律传播定律 ( (函数式函数式中误差函数式中误差函数式) ) l第四节第四节 等精度等精度直接观测平差直接观测平差2xyCH.55-1测量误差概述测量误差概述5.1.1 测量误差及其来源l误差存在的现象:观测值与理论值不符，如高差闭合差fh。l测量误差：观测值与相应真值之差。观测值：测量所获得的数值。l真误差()关系式：(真误差)=L(观测值)X(真值)，即：=LX （或：=X L）例：例： =（L1+L2+L3）-1803xyCH.5l l观测误差来源观测误差来源：（1）仪器、工具的精密程度；仪器、工具的精密程度；（2）观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；
3、观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；（3）观测时的外界条件好坏。观测时的外界条件好坏。l l观测条件观测条件v观测条件：观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个方面综合起来称为化这三个方面综合起来称为。v观测条件与观测成果精度的关系：观测条件与观测成果精度的关系：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；若观测条件相同，则可认为观测精度相同。若观测条件相同，则可认为观测精度相同。v等精度观测：等精度观测：在
4、相同观测条件下进行的一系列观测在相同观测条件下进行的一系列观测v不等精度观测不等精度观测: :在不同观测条件下进行的一系列观测在不同观测条件下进行的一系列观测4xyCH.5l l研究误差理论的目的研究误差理论的目的由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论不是为了去消灭误差，而是要不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。际问题。l l研究误差理论所解决的问题：研究误差理论所解决的问题：（1
5、）在一系列的观测值中，在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值；确定观测量的最可靠值；（2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；度等；（3）根据精度要求，确定测量方案根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定（选用测量仪器和确定测量方法）测量方法）。5xyCH.55.1.2测量误差的分类测量误差的分类测量误差按其测量误差按其性质性质可分为：可分为：l系统误差系统误差l偶然误差偶然误差l粗差粗差6xyCH.51 1系统误差系统误差l定义：定义：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观
6、测，若测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为这种误差称为。l产生的原因产生的原因：仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响。惯的影响；外界环境的影响。l系差的特点：系差的特点：具有累积性。具有累积性。系统误差系统误差对观测值的准确度对观测值的准确度（偏离真值的程度）（偏离真值的程度）影响很大影响很大，应尽量消除或减弱它对测量成果的影响。应尽量消除或减弱它对测量成果的影响。例：例：水准测量中水准测量中LL/CC产生产生的的i角误差对尺读数的影响：角误差对尺读数的影响：
7、即：即： =aa = S tani随着随着S的增长而加大的增长而加大-系统误差系统误差7xyCH.5l系统误差系统误差消减方法：消减方法：（1）在观测方法和观测程序上采取一定的措施。）在观测方法和观测程序上采取一定的措施。 水准测量中前后视距相等：消减仪器水准测量中前后视距相等：消减仪器 i 角误差、球气差及角误差、球气差及调焦误差对调焦误差对 h 产生的影响。产生的影响。 测角中盘左盘右取均值：消减经纬仪的测角中盘左盘右取均值：消减经纬仪的CCCC不垂直于不垂直于HHHH；HHHH不垂直于不垂直于VVVV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。 水准测量往返
8、观测取均值水准测量往返观测取均值仪器和尺垫下沉对仪器和尺垫下沉对h的的影响。影响。（2）找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。）找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。（3）仔细检校仪器。）仔细检校仪器。经纬仪的经纬仪的LL不垂直于不垂直于VV对测角的影响对测角的影响例例例例例例8xyCH.52 2偶然误差偶然误差l 定义：定义：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为。l 产产生生的的原
9、原因因：主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。l 偶偶差差的的特特点点：随随机机性性。就就单单个个偶差而言无法预知，但正因其随机性而具有其内在的统计规律性。将将每每次次观观测测结结果果视视作作一一次次字字样样抽抽取取，所所含含有有的的这这种种偶偶差差视视作作一随机变量，则可以证明，它是服从于正态分布的随机变量。一随机变量，则可以证明，它是服从于正态分布的随机变量。即即(0，2)9xyCH.53. 3. 粗差粗差l定义：定义：亦即亦即错误错误（有时也称之为（有时也称之为粗差粗差）。）。l产生的
10、原因：产生的原因：较多较多v作业人员疏忽大意、失职。如：读错、记错、瞄错等；作业人员疏忽大意、失职。如：读错、记错、瞄错等；v仪器突发性故障；仪器突发性故障；v容许误差取值过小造成。容许误差取值过小造成。粗差对成果影响极大，所以在测量成果中必须剔除。粗差对成果影响极大，所以在测量成果中必须剔除。l发现错误的方法：发现错误的方法：v必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；v恪守有关恪守有关测量规范测量规范，严格作业程序等。，严格作业程序等。10xyCH.5（1）系统误差）系统误差（3）粗）粗差差（2）偶然误差）偶然误差误差理论研究的主要对象
11、误差理论研究的主要对象规定测量程序；结果中加以改正规定测量程序；结果中加以改正须发现并剔除须发现并剔除无法预知，不可避免无法预知，不可避免测测量量成成果果中中11xyCH.55.1.3偶然误差的特性偶然误差的特性l偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差误差l偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。偶然误差分布的表示方法偶然误差分布的表示方法表格法表格法直方图法直方图法误差概率分布曲线误差概率分布曲线-正态分布曲
12、线正态分布曲线12xyCH.51、表格法表格法例如：在相同观测条件下观测了217个三角形（见图5-J1）的内角，每一个三角形内角和的真误差为三内角观测值的和减去180，即：=+-180。将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d（如表5-1中的3）；统计出每一个小区间出现的误差个数k及频率，频率=个数k/总数n（n=217），），得出统计表。图图5-J113xyCH.5表表表表5-15-1三角形内角和真误差统计表三角形内角和真误差统计表三角形内角和真误差统计表三角形内角和真误差统计表误差区间误差区间d正正误误差差负负误误差差合合计计个数个数k频频率率k/n个个数数k频频率率k/n个个数数k
13、频频率率k/n0336699121215151818212124242727以上以上0.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.0460.0370.0280.00900594133302216114100.2720.1890.1520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合合计计1080.4981090.5022171.00030211514128521014xyCH.5从表从表5-1中可以看出中可以看出:该组误差的分布表现出如下规律：1小误差出现的个
14、数比大误差多；2绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；3最大误差不超过27。15xyCH.52、直方图法、直方图法1横坐标以偶然误差为横坐标，2纵坐标以频率 d(频率/组距)为纵坐标，在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积=误差出现在该区间的频率(K n )所有区间的矩形构成了直方图，如图5-1所示统计表和直方图是偶然误差的实际分布。16xyCH.5有有斜线的矩形面积：斜线的矩形面积：为误差出现在为误差出现在+6+9 之间的频率之间的频率(0.069)17xyCH.53、误差概率分布曲线、误差概率分布曲线-正态分布曲线正态分布曲线当直方图中：n，d各区间的频率也就趋
15、于一个完全确定的数值概率.若若d 0时，时，则直方图成为误差概率曲线正态分布曲线。它服从于正态分布。(1)正态分布曲线的方程式为：正态分布曲线的方程式为：式中：式中：为偶然误差为偶然误差；（0）称为标准差，称为标准差，是与观测条件有关的一个参数。它是与观测条件有关的一个参数。它的大小可以的大小可以反映观测精度的高低。反映观测精度的高低。18xyCH.5标准差标准差定义为：定义为：1.(2)误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布(见图见图5-2)误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1图图5-2的误差分的误差分布曲线是对应布
16、曲线是对应着某一观测条着某一观测条件的，当观测件的，当观测条件不同，其条件不同，其相应的误差分相应的误差分布曲线的形状布曲线的形状也随之改变。也随之改变。19xyCH.51.(3)偶然误差的四个特性偶然误差的四个特性l特性一特性一 有限性有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；会超过一定的限值；l特性二特性二 集中性集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；现的概率大；l特性三特性三 对称性对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；同
17、；l特性四特性四 抵偿性抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即均值趋近于零。即: 在在数数理理统统计计中中，(5-5)(5-5)式式也也称称偶偶然然误误差差的的数数学学期期望望为为零零，用用公公式表示：式表示： E(E()=0.)=0.20xyCH.5(4)不同精度的误差分布曲线：不同精度的误差分布曲线：如图如图5-3：曲线曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。曲线。v v 曲线曲线I较陡峭，即分布比较集中，或较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因称离散度较小，因而观测精度较高。而观
18、测精度较高。v v 曲线曲线II较为平缓，即离散度较较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。大，因而观测精度较低。精度与准确度的区别精度与准确度的区别21xyCH.5vv当当=0 时，时， vv上式是两误差分布曲线的峰值。上式是两误差分布曲线的峰值。其其中中曲曲线线的的峰峰值值较较曲曲线线的的高高，即即12，故故第第组观测的小误差出现的概率较第组观测的小误差出现的概率较第组的大。组的大。由由于于误误差差分分布布曲曲线线到到横横坐坐标标轴轴之之间间的的面面积积恒恒等等于于1，所所以以当当小小误误差差出出现现的的概概率率较较大大时时，大大误误差差出出现的概率必然要小。现的概率必然要小。v v 曲
19、曲线线I表表现现为为较较陡陡峭峭，即即分分布布比比较较集集中中，或或称称离离散度较小，因而观测精度较高。散度较小，因而观测精度较高。v v 曲线曲线II相对来说较为平缓，即相对来说较为平缓，即离散度较大离散度较大，因而，因而观测精度较低观测精度较低。如如图图5-3中，曲线中，曲线、对应着不同观测条件得出的两对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。组误差分布曲线。22xyCH.5v精精度度是是指指一一组组观观测测值值的的密密集集与与离离散散程程度度，也也可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。v例例:对对A边三次丈量值为边三次丈量值为56.882,56.
20、885,56.884后对后对A边丈量了三次边丈量了三次为为56.882,56.883,56.883，可以看出：，可以看出：前前者者离离散散度度大大,精精度度低低;后后者者离离散散度度小小，精精度度高高。但但为为了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。评定精度的指标评定精度的指标:中误差、相对误差、极限误差和容许误差中误差、相对误差、极限误差和容许误差5-2评定精度的指标评定精度的指标23xyCH.5一、中误差一、中误差l注意注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差差 出现的大小和符号各
21、异，而观测值的中误差却是相同出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度：的，因为中误差反映观测的精度：只要观测条件相同，则中误差不变只要观测条件相同，则中误差不变。中误差代表的是一组观测值的误差分布中误差代表的是一组观测值的误差分布。式式（5-3）定定义义的的标标准准差差是是衡衡量量精精度度的的一一种种指指标标，是是理理论论上上的的表表达达式式。在在测测量量实实践践中中观观测测次次数数不不可可能能无无限限多多，因因此此实实际际应应用用中中，以以有有限限次次观观测测个个数数n计计算算出出标标准准差差的的估估值值定定义义为为中误差中误差m，作为衡量精度的一种标准，计
22、算公式为：作为衡量精度的一种标准，计算公式为：24xyCH.5【例例5-1】l有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：的真误差）分别为：甲：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3；乙：乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。试分析两组的观测精度。试分析两组的观测精度。【解解】用中误差公式（用中误差公式（5-6）计算得：）计算得：25xyCH.5l从上述两组结果中可以看出，从上述两组结果中可以看出，甲组甲组的中误差较小的中误差较小（ 2.0），所以观测）
23、，所以观测精度高于乙组（精度高于乙组（ 4.3）。l而直接从观测误差的分布来看，也可看出而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测甲组观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高于乙组。于乙组。l在测量工作中，在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的普遍采用中误差来评定测量成果的精度。精度。26xyCH.5二、相对误差二、相对误差l绝对误差绝对误差:有符号，并且有与观测值相同的单位的有符号，并且有与观测值相同的单位的误差，被称为误差，被称为。（如真误差和中误差。（如真误差和中误差）l绝对误差：用于衡量绝对误差：用于衡量其误差与观测值大小无关
24、的观其误差与观测值大小无关的观测值的精度。测值的精度。（如角度、方向等）（如角度、方向等）l相对误差相对误差:在某些测量工作中，在某些测量工作中，绝对误差不能完全绝对误差不能完全反映出观测的质量反映出观测的质量。 相对误差相对误差“K K ” 等于误差的绝对值与相应观等于误差的绝对值与相应观测值的比值。测值的比值。它是一个不名数，常用分子为它是一个不名数，常用分子为1的分的分式表示，即：式表示，即：27xyCH.5l相对中误差：相对中误差：当误差的绝对值为中误差当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时，的绝对值时，K称为称为。l相对较差：相对较差：在距离测量中还常用往返测量结果的在距离测量中还常用
25、往返测量结果的 相对较差相对较差来进行检核。来进行检核。相对较差定义为：相对较差定义为：相对较差是相对真误差，它反映的只是往返测的符相对较差是相对真误差，它反映的只是往返测的符合程度，合程度，显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。28xyCH.5三、极限误差和容许误差三、极限误差和容许误差1极限误差 l l在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。在一组等精度观测值中，（ 中误差）绝对值大于 的偶然误差，其出现的概率为31.7%；绝对值大于2 的偶然误差，其出现的概率为4.5%；绝对值大于3 的偶然误差，出现的概率仅为0.3
26、%。 l l在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。大于3m的误差出现的机会只有3，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现。所以，可取3作为偶然误差的极限值，称极限误差。29xyCH.52 2容许误差容许误差 l l在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即： l l当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。30xyCH.55-35-3误差传播定律误差传播定律在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。v误差传播定律：说明观测值中误
27、差与其函数中误差之间关系的定律。31xyCH.5v 间接观测量: 在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的, 由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为。 例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的：h =ab 。v 间接观测量的误差： 由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此 间接观测量函数(h)也必然受到影响而产生误差。 32xyCH.5一、误差传播定律一、误差传播定律设设Z是独立观测是独立观测量量x1，x2，xn的函数，即的函数，即式中：式中：x1，x2，xn为直接观测量，它们相应的为直接观测量，它们相应的观观测
28、值的中误差分别为测值的中误差分别为m1，m2，mn，则则观测值的观测值的函数函数Z的中误差的中误差为为:式中式中 为函数为函数Z分别对各变量分别对各变量xi的偏导数，并将观的偏导数，并将观测值（测值（xi= =Li）代入偏导数后的值，故均为常数。代入偏导数后的值，故均为常数。33xyCH.5任意函数中误差计算方法和步骤：任意函数中误差计算方法和步骤：1、列出函数式、列出函数式：2、对函数式全微分，、对函数式全微分，得出函数与观测量（自变量）的得出函数与观测量（自变量）的真误差关系式：真误差关系式：4、求出中误差关系式。、求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，只要把真误差换成中误差的平
29、方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：系数也平方，即可直接写出中误差关系式：3、独立性判断、独立性判断：注意单位统一！注意单位统一！34xyCH.5表表5-2 5-2 常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式函函数数式式函函数数的的中中误误差差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数若若35xyCH.5【例例5-25-2】 在比例尺为在比例尺为1：500的地形图上，量得的地形图上，量得两点的长度为两点的长度为 d= =23.4 mm，其中误差其中误差 md=0.2 mm，求该两点的实际距离求该两点的实际距离D及其中误差及其中误差 mD 。解解：函数关系式：函数关系式：D= =M d
30、，属倍数函数，属倍数函数，M= =500是是地形图比例尺分母。地形图比例尺分母。两点的实际距离结果可写为：两点的实际距离结果可写为：11.7 11.7 m0.1 0.1 m。二、应用举例二、应用举例36xyCH.5【例例5-35-3】水准测量中，已知后视读数水准测量中，已知后视读数a = =1.734 m，前视前视读数读数b= =0.476 m，中误差分别为中误差分别为ma=0.002 m，mb=0.003 m，试求两点的高差及其中误差。试求两点的高差及其中误差。解解：函数关系式为函数关系式为h=a- -b，属和差函数，得属和差函数，得两点的高差结果可写为两点的高差结果可写为1.258m0.0
31、04 m。37xyCH.5【例例 5-45-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为在斜坡上丈量距离，其斜距为L= =247.50 m，中误中误差差mL=0.05 m，并测得倾斜角并测得倾斜角= =1034，其中误其中误差差m=3，求水平距离求水平距离D及其中误差及其中误差mD解解: : 1 1）首先列出函数式）首先列出函数式 2 2）水平距离）水平距离这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分， 3 3）先求出各偏导值如下）先求出各偏导值如下 38xyCH.5 5 5）得结果）得结果 ： D= =243.30m0.06m。4 4）写成中误差形式：）写成中误差
32、形式：39xyCH.5【例例5-55-5】 图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为m mi i=2 mm=2 mm，假定视距平均长度为假定视距平均长度为50 m50 m，若以若以3 3倍中误倍中误差为容许误差，试求在测段长度差为容许误差，试求在测段长度为为L L km km的水准路线的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。解解:1):1)每站观测高差为：每站观测高差为： 2)2)每站观测高差的中误差：每站观测高差的中误差： 因视距平均长度为因视距平均长度为50m，则每公里可观测则每公里可
33、观测10个测站，个测站，L公里共观测公里共观测10L个测站，个测站，L公里高差之和为：公里高差之和为：L(km)(km)高差和的中误差为：高差和的中误差为：40xyCH.5往返高差的较差（即高差闭合差）为：往返高差的较差（即高差闭合差）为：高差闭合差的中误差为：高差闭合差的中误差为：以以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：在第二章中，在第二章中，取取 作为闭合差的容许作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界（如外界环境的影响、仪器的环境的影响、仪器的i角误差等）角误差等）。41
34、xyCH.5三、注意事项三、注意事项应用误差传播定律应注意以下两点：1要正确列出函数式例：用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为ml=5mm，求全长D及其中误差mD。(1)函数式按倍数函数式求全长中误差，将得出：(2)实际上根据测量过程全长应是10个尺段之和，故函数式应为：用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为：按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。42xyCH.52 2在函数式中各个观测值必须相互独立，即互在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关不相关。 如有函数式：如有函数式： 而：而：若已知若已知x的中误差为的中误差为mx，求
35、，求Z的中误差的中误差mz。1 1）直接用公式计算直接用公式计算, ,由（由（a a）式得：式得：由（由（b b）式得：式得：代入（代入（c c）式得式得43xyCH.5上面所得的结果是错误的上面所得的结果是错误的!因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是：先把（a）式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。3、注意单位统一！、注意单位统一！44xyCH.5l多余观测多余观测:对一个未知量，进行重复观测对一个未知量，进行重复观测.l多余观测目的多余观测目的:提高观测成果的质量，发现和消除错误。提高观测成果的质量
36、，发现和消除错误。有一个多余观测，就会产生一个矛盾（闭和差），消除矛有一个多余观测，就会产生一个矛盾（闭和差），消除矛盾的过程，称为盾的过程，称为测量平差测量平差。l直接观测平差直接观测平差:重复观测重复观测.也就产生了观测值之间互不相等也就产生了观测值之间互不相等这样的矛盾。如何由这些互不相等的观测值求出观测值的这样的矛盾。如何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值，同时对观测质量进行评估，即对一个未知量的最佳估值，同时对观测质量进行评估，即对一个未知量的直接观测值进行平差直接观测值进行平差.l根据观测条件，有根据观测条件，有等精度直接观测平差等精度直接观测平差和和不等精度直接观不等精度
37、直接观测平差测平差。5-4等精度直接观测平差等精度直接观测平差45xyCH.5 最或然值最或然值: :平差的结果是得到未知量最可靠的估平差的结果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值的估值为的估值为“最或然值最或然值”，或，或“最可靠值最可靠值”，有时也，有时也称称“最或是值最或是值”，一般用，一般用x 表示。表示。一、等精度直接观测值的最或然值算术平均值(最或然值x )46xyCH.5二、评定精度二、评定精度（一）观测值的中误差（一）观测值的中误差1 1由真误差来计算由真误差来计算当观测量的真值已知时当观测量的真值已知时
38、, ,可根据中误差估值的定义即由观测值可根据中误差估值的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。的真误差来计算其中误差。2 2由改正数由改正数（最或然值误差最或然值误差v v）来计算来计算 在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。得的。因此在多数情况下，我们只能因此在多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值按观测值的最或然值来求观测值的中误差。的中误差。47xyCH.5（1）改正数及其特征）改正数及其特征l 观测值的改正数:最或然值x与各观测值Li之差称为，其表达式为:在等精度直接观测中，最或然值x即是各观测值的算术平均值
39、。即显然l式是改正数的一个重要特征，在检核计算中有用。48xyCH.5（2 2）观测值的中误差）观测值的中误差白塞尔公式：上式即是上式即是等精度观测用改正数计算观测值中误等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式差的公式。49xyCH.5（二）最或然值的中误差（二）最或然值的中误差l一组等精度观测值为一组等精度观测值为L1、L2、Ln，其中误差均其中误差均相同，设为相同，设为m，l最或然值最或然值x（算术平均值算术平均值）的中误差）的中误差M为：为：50xyCH.5【例例5-65-6】对某角等精度观测对某角等精度观测6次，其观测值见次，其观测值见表表5-3。试求观测值的最或然值、观测值的中误差以
40、及最或然试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。值的中误差。解解：观测值的最或然值观测值的最或然值:x=753215.5观测值的中误差观测值的中误差:最或然值的中误差最或然值的中误差:51xyCH.5表表5-3 5-3 等精度直接观测平差计算等精度直接观测平差计算观测值观测值改正数改正数v（）vv（2）L1=753213L2=753218L3=753215L4=753217L5=753216L6=7532142.5-2.50.5-1.5-0.51.56.256.250.252.250.252.25x =L/n =753215.5v=0vv=17.552xyCH.5l一般一般袖
41、珍计算器袖珍计算器都具有统计计算功能（都具有统计计算功能（STAT），），能能很方便地进行上述计算（参考各计算器说明书）很方便地进行上述计算（参考各计算器说明书）l算术平均值的中误差是观测值中误差的算术平均值的中误差是观测值中误差的倍倍,这说明这说明算术平均值的精度比观测值的精度要高，且算术平均值的精度比观测值的精度要高，且观测次数愈多，精度愈高。观测次数愈多，精度愈高。l所以所以多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法。提高成果精度的有效方法。l当观测的中误差当观测的中误差m一定时，算术平均值的中误差一定时，算术平均值的中误差
42、M与观测次数与观测次数n的平方根成反比，如的平方根成反比，如表表5-4及及图图5-4所示。所示。53xyCH.5观测次数观测次数n算术平均值的算术平均值的中误差中误差M20.71m40.50m60.41m100.32m200.22m表表5-4图图5-4观测次数与算术平均值中误差的关系观测次数与算术平均值中误差的关系54xyCH.51）应设法提高单次观测的精度，应设法提高单次观测的精度，如如:使用精度较高的仪器、使用精度较高的仪器、提高观测技能提高观测技能在较好的外界条件下进行观测。在较好的外界条件下进行观测。2）进行适当的多余观测进行适当的多余观测观测值个数大于未知量的个数观测值个数大于未知量的个数，分配闭合差（超限重测）分配闭合差（超限重测）;求观测值的最可靠值求观测值的最可靠值(算术平均值或改正后平差值算术平均值或改正后平差值)偶然误差的削弱的方法偶然误差的削弱的方法55xyCH.5思思考考题题与与习习题：题：教学参考书：教学参考书：P56
