《2022-2023学年高二数学题型归纳与分阶培优练09椭圆离心率题型归类（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年高二数学题型归纳与分阶培优练09椭圆离心率题型归类（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题9椭圆离心率题型归类目录【 题型一】离心率基础. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1【 题型二】利用椭圆第一定义求离心率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2、. . . . . . .3【 题型三】焦点三角形与余弦定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5【 题型四】顶角直角三角形型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3、. . . .7【 题型五】焦半径与第二定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10【 题型六】第三定义与中点弦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4、. . . . . 12【 题型七】焦点三角形：双底角型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14【 题型八】焦点三角形：双余弦定理型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16【 题型九】焦点
5、弦与定比分点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19【 题型十】焦点圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6、 . . . . 22【 题型十一】椭圆与圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24培优第一阶基础过关练. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7、. . . . . . . . . . . 27培优第二阶能力提升练. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31培优第三阶培优拔尖练. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8、. . . . . . . . . . . . . 36综述：1. 椭圆离心率求解方法主要有：求出a, c ,代入公式e = （；只需要根据一个条件得到关于a, b, c 的齐次式，结 合 = / 一 / 转 化 为 小 。 的齐次式,然后等式（ 不等式） 两边分别除以a或 转化为关于e的方程（ 不等式） ，解方程（ 不等式） 即可得e（ e的取值范围） .特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a = l,分别解出c 或 b 的值，c 值就是离心率2. 椭圆扁平程度：因为小，椭圆越圆所以e 越大，椭圆越扁；e 越【 题型一】离心率基础【 典例分析】r如果椭圆一2 + 乙v2 =1伙 一8 ）的离
9、心率为0 =I：, 则欠=（ ）Z + 8 9 25 4 4A . 4 B . 4或 C . D . 4或 4 5 5 答 案 B【 彳析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到力的表达式，进而求得。 的表达式,然后根据离心率得到关于2的方程，求解即可.【 详解】解：因为椭圆上一+ 二= 1伏 - 8 ）的离心率为e =攵 + 8 9 2当4 + 8 9时，椭圆焦点在x轴上，可得：a = y J k+ S, b = 3 , c = a2 b2 = :.e=, =,解得& = 4 ,y /k + 8 2当0 & + 8 轴上，可得：a = 3 , h = y /k + 8 , : . c = y
10、 /a2 h2 = J l - e = = 解得 k - .a 3 2 4Z = 4或& = - * . 故选：B .【 提分秘籍】基本规律椭圆离心率:2. 椭圆扁平程度：因为0=台霏7=匚1 1一 你 ,所 以e越大，椭圆越扁;越小，椭圆越圆【 变式训练】1. 已知椭圆会+ 上= 1 （山 0 ）的离心率6 = 半，则 /的值为.【 答案】g或3【 分析】分别对焦点在x轴和y轴讨论，结合离心率求解， “ 即可.【 详解】已知椭圆方程为片 + 二= 1 （机 0且相片5 ） .当焦点在X轴上，即0 % 5时，有V 5 5a = y m , b = /5则c =。 仔 ，依题意有差5 =典解得?
11、 = ? , 即? 的值为3或个. J m 5 3 J故答案为：3 或g2 22. 方程 一 + 二 一 =1表示的曲线是椭圆，则 离 心 率 的 取 值 范 围 是 .m - 3 ni- 4【 答案】（ 0,1） ；【 分析】根据椭圆的标准方程求解.f/rz-40【 详解】由题意 、八且加 3wm 4 , 解得加 4 , 所以m-3m -4,故焦点在x 轴上。 m - 3 0 / = m-3,/?2 = m-4c2 = a2 b2 = 1 , e = s y = / 1 e （ 0, 1）Va2 Jm - 3故答案为：（ o,D .2 23. 在平面直角坐 标 系 中， 若椭圆E ： 事 +
12、 与 =1 5 6 0） 的两个焦点和短轴的两个端点恰a b，为正方形的四个顶点，则椭圆月的离心率是.【 答案】2【 分析】由题易得6 =。 ，再利用计算即可.【 详解】由己知，h = c ,所以。 =后万= J 5 c ，故离心率为e = = 也 .a 2故答案为： 亘.2【 题型二】利用椭圆第一定义求离心率【 典例分析】已知耳， 鸟分别是椭圆J + / = l（ a 6 0 ） 的左、右焦点，尸为椭圆上一点，且 尸百, 夕入，若| 尸用=石归周 ，则椭圆的离心率为（）A .瓜 -G B. 2- 百 C. V3-1 D. 22 答案C【 3 析】利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率
13、.【 详解】设|P闾 = 加 ，则忸制=鬲，由椭圆定义知：（ 6 + 1） 加 = 2 ；Pf； _LP6，. . 附 + | 尸 玛 = 懈周 2，即 4 / = 4 ， z = c,.（ 百 + l） c = 2a, . 椭圆的离心率e = ； = = 6 _ 1 .故选：C.【 提分秘籍】基本规律1 . 椭圆第一定义： PFl + PF2 =2 a2 . 一般情况下， 见到与一个焦点有关的长度， 则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。|P4 |= 2a-| 尸名|【 变式训练】1 . 已知椭圆C : =r2 +二v2=1 （ 。0 ） 的左、右焦点分别为耳， 居 ， P为椭圆C上一点，
14、且a- b-7 TNFFK =,若耳关于/ 耳尸6 平分线的对称点在椭圆C上， 则该椭圆的离心率为【 答案】立【 详解】3因为耳关于ZFPF2的对称点Q在椭圆。上，则PF = PQ , / 6 /。= 60,； . 八 尸。为正三角形，. . 片 。= ，又- FQ + F2Q = FiP + F2P 2a,:. FQ = F?P，所以PQLx轴，设尸乙=/,则P 4 = 2 / ， 6E =Gf，即2c - 3t 2c2cl 3t 2。c 四 百=e =- =a 3t 3,故答案为 立 .32 . . 已知椭圆C的左、 右焦点分别为耳，勺 直 线 A B 过 与该椭圆交于A , B两点， 当
15、 工 ”为正三角形时，该椭圆的离心率为（）A .昱 B . JL C.旦 D.克4 3 3 2【 答案】B【 分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.【 详解】设正三角形鸟4 8 的边长为俄，2 2设椭圆的标准方程为：0 + 与 = 1 ( 。 匕 0 ) , 设左、右焦点分别为片( - c , 0 ) , 8( c , 0 ) ,a. b设3 耳=x，则有人耳=m-x,由椭圆的定义可知: BFX+BF2 =2a= x + m = 2a ,4 2AFX 4 - AF2 = 2a = m-x-m = 2a ,解得：m = a 9 x = - a ,在。 耳耳8中，由余弦定
16、理可知：= BF + BF - 2BFt-BF2 cos,. 2 42 1 6 2 c 2 a 4 。 1 2 r 2 C 、 + n4 c = 一 cr 2-ci = 3 c2 = e = 故选：B9 9 3 3 2 a 33 . 已知椭圆C ：二 +ay2Fi（ 4 b 0 ）的左、 右焦点分别为B,尸 2 , 点 P为 C上一点，若线段p 片的中点在y 轴上，且 N P 4 K = 3 0 , 则椭圆C的离心率为（ ）【 答案】D【 分析】 由线段尸片的中点在y轴上， 得 p 玛 ，x 轴， 由通径长得卢用| , 由直角三角形得忸制,然后由椭圆定义得” , 瓦关系，转化可得离心率.【 详
17、解】由已知可得尸轴，归 段 = ） ,又 乙 % 鸟 = 3 0 知 则 归用 = 2 归 用 = 当 ,2a -1PFt| + 1PF21 = 3b2 = 2a2, e = = = 走 .故选:D .a a v a 3【 题型三】焦点三角形与余弦定理【 典 例 分 析 】已知尸是椭圆x2 y2靛+5= 1 （ a b 0 ）的一个焦点, 若 直 线 、= 丘 与 椭 圆 相 交 于A , 8两点，且Z AF B = 6a ,则 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 （）A.（ 争） B . （ 0 , ） C . （ 0 , 1 ） D . （ p l ）【 答 案 】A【 分析】将A
18、 , B与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.【 详 解 】如 图 设 耳F分别为椭圆的左、右焦点，设 直 线y = H与椭圆相交于A , B ,连接AFt, AF , BFt, BF .根据椭圆的对称性可得：四边形尸为平行四边形.由椭圆的定义有： | 州| + | A F | = 2 a ,忻耳| = 2 c , N A F = 1 2 0。由余弦定理有： 忻6-=w片+ 卜同2 2 | A f ； H A F | c o s l 2 0。即 府=（ | | +四 _/.网却/+明）2一F ”网）所以 4 c
19、2 训A用 +1-= 4 a2- a2= 3 /【 提 分 秘 籍 】基本规律焦点三角形（ 1 ）焦点三角形面积：椭 圆 ：= b ? t a n刍空2 .顶角椭圆顶角在短轴顶点处最大。3 .与正余弦定理结合设 椭 圆 二 + 与 =1（ a 0 , b 0 ）的两个焦点为B、F P （ 异于长轴端点）为椭圆上任意a b一 点 ， 在P B F 2 中 ， 记 4 F P F ? = a , ZPF,F2=/3 , Z FF2P = y ,则 有s i n a c- = = e.s i n y + s i n 3 a【 变式训练】2 21 .已知厂是椭圆E：夕 + / = l （ a / ?
20、0 ）的左焦点，经过原点。的直线/ 与椭圆E交于P ,。两点，PF=3QF,且N P F Q = 1 2 0。 ，则椭圆E的离心率为（）A .直 - B . | C .在 D .在42 4 2【 答案】A【 分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得。和c的关系，即可求得椭圆的离心率.【 详解】解：设椭圆的右焦点F,连接P F , Q F ,根 据 椭 圆 对 称 性 可 知 四 边 形 为平行四边形，则 | Q F | = | P产 1,且由 N P F Q = 1 2 0。 ,可得N FPB = 60。 ,1q P F + PF = 4PF = 2a,则 | P F = / a ,
21、 | P F | = 1 a由余弦定理可得（ 2C）2= | P F |2+ | P F |2- 2 | P F | | P F |C OS60 = （ | P F | + | P F | ）2- 3 | P F | | P F,| ,即椭圆的离心率2 22. 已知椭圆+2 = 1 （。 。 0 ）的左、右焦点分别为 ，尸2,若椭圆上存在一点尸使得a b2FxPF2= - n ,则 该 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 .【 答案】 , 1 ）【 分析】根据椭圆定义，结 合 余 弦 定 理 得 到 尸= 4加 ，再由基本不等式得到4从4后,转化为关于离心率的不等式，求出取值范围.【
22、详解】由椭圆的定义可知：PFt+PF2=2a,在4 P 6鸟中，由余弦定理得:S/日 尸一片尸+ 吊尸一片用 一 （ 月尸+ 用尸丫2片尸熊P 一耳仅一伤2 2耳尸鸟1L Oo Z - z i Z 2 -） - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,2 F 、 P F P 2 F 、 P - F 2 P 2 FP F2P 2所以小乙尸=4 ，又6 P . l P4（P+.P）=/,即4加4
23、42,当且仅当尸= 鸟尸时等号成立，故4/ 4 2 4 a 2 ,所以3/44 c 2 , e2 ,解得：e * ） . 故答案为： # , 1 ）3. 已知椭圆方程为， + （ = 1 （ 4 。 0 ） ,左、右焦点分别为耳、F ” P为椭圆上的动点，若 P F?的最大值为夸,则 椭 圆 的 离 心 率 为 .【 答案】B2_ _ _ _ _【 分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得 萼 ，再利用公式e =、1 5可求得该椭圆的a V a2离心率的值.【 详解】由椭圆的定义可得归耳| + | % | = 2 %由余弦定理可得c os / 耳PF2- - -4- -a-2-4- -c-2 -
24、 - I , 、- - - - - - - -4-b-2- - - - - - - - ,I - ，-4 b2 - ,I - , l b2 - ,I一2四H 也 | - 2 * （邑 赳 空1 J - 2a l - 标 .因为/ 百? 鸟的最大值为 多 ，则 若 一i = c o s = L,可得与 = _1 ,3 / 3 2 _ _ _ _ a2 4因此，该椭圆的离心率为e = 3 = JR - ? = J 1 一 。 = .卅 用2 +附 |2 - |即f （ / | + | 明 - 田 曰 -2 |明 . | 明2 1 P 用疗用 2 1 M . i2【 题型四】顶角直角三角形型【 典
25、例 分 析 】2已知椭圆二+ay2F它关于原点的对称点为4,点尸为椭圆右焦点,且满足W班设= 且a eA.怪砌 B.冬孚 C则该椭圆的离心率。 的取值范围是= l ( t z / ?0 ) _ h一点 A)【 答案】B【 分析】设椭圆得左焦点为F ,连接尸 ，则四边形4方产为矩形，从而有 AE = F F = 2 c,由N A B P = a,可得| 所| =| 阴s i n a ,| M | =|阴c o s a ,再根据椭圆的定义计算即可得解.【 详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为尸 ，连接AF IF ,则四边形A F B P为矩形， 则| 的 = 网 = 2c,网= 网,所以忸尸| +
26、忸尸 =忸尸 |+|AF| = 2 a ,在Rt A B F,由得|AFj = |ABkina = 2csinajBF|=|AB|cosa = 2ccosa,c _ 1 _ 1 、所以265皿0 + 200 = 2 4 ,所以 sin a + cos a J7sina + 工) ，因为f l W 所以所以& sin (a+ m ) 坐 , 0 , 所以e = e . 故选：B.I 4 J 2 a 2 3【 提分秘籍】基本规律焦点三角形定角为直角：1 . 点P 是椭圆上一动点.B 是短轴端点，则有：动点角范围：0WNF1PF2WNF1BF2；2 . 利用椭圆的定义和勾股定理【 变式训练】2 21
27、.设椭圆C := + 3 = l（ 人 0） 的右焦点为F , 椭圆C 上的两点A , B关于原点对你，且满a b-足 E4-F8 = 0 ，|fB|FA|FB| , 则椭圆C 的离心率的取值范围为（）【 答案】B【 分析】设椭圆的左焦点尸 ，由已知条件知四边形A月才 为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到 + 巴 = 与，再根 据 网 引 啊 4 用 F B |,得到竺的范围，然后利用对勾函数n m b 的值域得到耳的范围，然后由ea1 -探 求解.【 详解】如图所示:由椭圆的对称性可知，四边形AF3 9 为平行四边形，乂E 4 7 B = 0，即E 4 _ L F B , 所以四边形A
28、必尸为矩形，. ,. | 明=忻产 | = 2 。 ，设| AF = ， 从目=机，在直角乙 4 5 9 中，机+ = 2 ，t n2 + n2 = 4 c2, 得加 = 2 从 ，所以t n n 2 c2 人2 . 4 日1 2 c 之+ = 5-，令一 = 乙 得 1 + - = - ，n m b n t b) F B F A /3 F B ,得g = / w 1 ,G, 所以， + ； = * w 2 , - ,所以 p -G即2a -,2- 4 ,所以 ?4-2所以椭圆c的离心率的取值范围为e = ea / 3 -1 , 故选：B2 22 . 设椭圆二+与= 1 ( 0 ) 的左、 右
29、焦点分别为、 死， P是椭圆上一点， | 尸耳卜川沙| ,a bIJT( - A 1 0 ） 的两焦点为耳， 鸟. 若椭圆C 上有一点P满足 柱= 90 ,a b则椭圆C 的离心率的最小值为（）A. B . 昱 C. - D.如2 3 3 3【 答案】A【 分析】由椭圆的几何性质求解【 详解】由椭圆的几何性质知当点尸在短轴顶点时. ，N F , PF 最 大 ,设短轴顶点为B,则N F ； B 月 * 90 。 ，W - s i n 4 5 = ,a 2故选：A【 题型五】焦半径与第二定义【 典例分析】2 2已知椭圆C ： 0+ =1 （ 4 方 0 ） 的左， 右焦点耳， 鸟， 过原点的直线
30、/ 与椭圆C 相交于M ,a b-N两点. 其中M在第一象限. | M N | = 忻 用 ， 耦2等 ， 则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A. （ 0 , 1 B . （ 0 , 7 6 - 2 c. D.（ 乎 , 6 - 1 【 答案】D【 分析】由题设易知四边形”隼 鸣 为 矩形，可得|g F - 2 al M 舄| + 2 = 0 , 结合已知条件有 卜 | 华但”-1 ） 4即可求椭圆0的离心率的取值范围.【 详解】由桶圆的对称性知：| N | 二 | | , 而| g | + | G I = 2 a,乂| M N | = | 耳闾，即 四 边 形 与为矩形，所以|M E + |
31、M F=4C2 ,则2 1 M - 4 a| Mg | + 4 / = 4 , 2 且M在第一象限，整理得 M F2 - 2 a M F2 + 2 b2 =0, A = a2- 2 b20所以 | M 6 | = a - ， / 一 抄2 , 乂摺= 耨= 之当 即 a d M A l N l 百 1 ） 。，2用 I M / I 2 a - M F2 3 -心 M F . = a - y icr- l b2 （ y /3 - l ） a M r azo 1 , c2 r -亚 r综上，整理得 / i , 所以a2 2 a2- 2 c2 2 a 2故选：D .【 提分秘籍】基本规律点 P是椭圆
32、上一动点，则有:1.焦半径范围：acW|PFl W a+c （ 长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点） ;2 P o i范围：bW|P0|Wa（ 长、短轴顶点到原点最远、最近;3. 椭圆焦半径：忸 尸 | =用 士a【 变式训练】2 221. 设6 ,鸟分别为椭圆二+ 5 = 1 （ 。 匕 0） 的左、 右焦点，若在直线x = - 2（ c 为半焦距）a b c上存在点P , 使| 尸用的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（）【 答案】B【 分析】根据题意得到| 岬 隹 2 c , 得到C _ a 4 2 c , 求得正 ，进而求得椭圆离心率的ca 3范围.【 详解】如图所示，
33、椭圆三+ 2 = 1 , 可得焦距w 间 =2c,a b2因为在直线x =- 土 上 存在点P , 使|p制的长度恰好为椭圆的焦距，C可 得 4 区 2 c , 即 且 - c 4 2 c ,可得a2 43c2 , 即解得 之 c a 3 a 3是底角为30。 的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A. - B . 在 C. - D . ；4 2 4 2【 答案】C【 分析】 由AF2PB是底角为30。 的等腰三角形， 把| 尸 鸟 | = | 耳 闻 用 表示出来后可求得离心率.【 详解】由题意可得| 尸闾= | 耳闾，6 （ 。 , 0） , | 用 = 2|E用 = 2 叱 c） , 如图
34、，3/ 3 玛= / 月?耳= 30。 ，则/ 尸工七= 60。 ，/ 工尸 = 30。 所以2（ Q C） = 2C, ，3a=4c,3e =：. 故 选 ：C.4【 题型六】第三定义与中点弦【 典例分析】若椭圆侬2+期2=1（ m0, 0）与直线丫 = 1-%交于人，8两点，过原点与线段AB中点的连线的斜率为3 ,则椭圆的离心率为（）A. | B. C. B D .2 2 2 2【 答案】B【 分析】 把 =1-代入椭 圆 / ? + 犯2=1得 蛆2+ 。一力2 = 1 ,由根与系数的关系可以推出线段A8中 点 坐 标 为 再 由 原 点 与 线 段A3中点的连线的斜率为：，能够算出 m
35、 + n t n- k- nj 2，进而利用离心率的计算公式求出即可.n 2【 详解】解：把y = i- x代入用整理得（ 机+ ） / -2/1X4-71-1 =，线段4 ?中点坐标为 , m - - nmk rn n- =- = -n n 2m + n ）x - x由 椭 圆1 1 一 ，可知。 ？ = t n n， 书 = 浒 = 旧 I m故 选 :B.【 提分秘籍】基本规律第三定义，又叫中点弦定理2 ,+ 7 V - 11.A B是 椭 圆a b-用圆如2 + y2 =得/ 加2 +41 x） =1 ,0. 设 B（ 苍, %） ， 则, yt + y2 = 2m + n nz +
36、，原点与线段A B中点的连线的斜率m + n Jb2= ,则。2=。2 -= 1 - 则椭圆的离心率m n m n/2的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ，M为A B的 中 点 ， 则k（） M， kAB =-4= -1 .a丫 2土 + 2 _ = 12 . A B是椭 圆 / 方 的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B 的任一点，若斜率存在，则 kpA , kpB = - - - -a【 变式训练】丫 2 21 . 已知椭圆C东 + % = l （ a b 0 ） 上关于原点对称的两点为A , 8 , 点M为椭圆C上异于A ,B 的一点，直线AM和直线8M的斜率之积为-!，则椭圆C的
37、离心率为（）A . - B. y C. B D.巫42 2 4【 答案】C1 1 . 2【 分析】设”（ / , 九 ） ,代入椭圆的方程，表示出W，由原的 原即可得 冬 ，据此即4 a 可求出离心率.【 详解】由已知可设A （ - a , 0 ） , 8 （ a , 0 ） .设 （ /， 几） ， 由题设可得， 与+ / = 1 , 所以 =4（ / - 引 .因 为 女 ,k = _ _ _ _% l _/ （ 一跖） ， 也AM B Mxa + a x0- a x - a2 x 1 - a2 - a2 4所以 ， 则/=q= = 1 - 1 = 3 , 所以e = 3 .a1 4 a2
38、 a2 a2 4 2故选：C .2 . 已知直线x + y - l = O 与椭圆C： b2x2 + a2y2 a2b2 （ 。 匕 0）相交于A , B 两点，且线段 A5的中点M 在直线/ ： x- 2 y = 0 上，则椭圆C的离心率为（）A . B . C . 0 D.；2 2 2 答案A【 3 析】 将宜线 + - 1 = 0 代入椭圆方程整理得关于彳的方程，运用韦达定理，求出中点坐标，再由条件得到储 = 劝 2,再由。，b, c 的关系和离心率公式，即可求出离心率.【 详解】解：将宜线x+ y 1 = 0 代入椭圆方程得，b2x2 + a2（ l - x ）2 = a2h2,即（
39、b2 + a2 ） x2 - 2 a2x + a2 - a2h2 = 0 ,设 A （ X，y ） , B（ x , , %） ，则 X+、 2 =2，- a + b22. 2即A3 中点的横坐标是J , 纵坐标是二J ,cr + t r a + h由于线段A3 的中点在直线/ ： x- 2 y = 0 上，则/ = 劝 2 ,又从 =/ 。 2 ,则片 = 2/,。= 叵,即椭圆的离心率为也 .a 2 2故选：A3. 若A, 8 分别是椭圆E : / + f = 1, 短轴上的两个顶点，点尸是椭圆上异于A, Bm4的任意一点，若直线AP与BP的斜率之积为- 上，则 椭 圆 的 离 心 率 为
40、 .m【 答案】也24【 分析】点 P ( X。 ， ) ，利用直线AP与直线BP的 斜 率 之 积 为 结 合 点 P 在椭圆m 炉 + 汇 = 1上，求出用 利用离心率公式即得解.m【 详解】 设直线AP、 8 P 的方程为丁 =心. (x 1), y = k“ (x + l),点尸( xo,加) ，北 =七 ，则怎=缶=-：,2 2又点P 在椭圆E :x ? + L = l 上，/2 -1 = - 迎 ,m m由得，m2 = 4,：m, 即离心率 6= = 二 = 也a y/2 2故答案为：去【 题型七】焦点三角形：双底角型【 典 例 分 析 】设 P 为椭圆上一点，且 4丹心= 30。
41、 , / 尸鸟耳= 45。 ，其 中 几 K 为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 的值等于()A (2+ 万 (1 + 石)-2C (2 + & )(6 -1 )- T【 答案】BB （ 2- 夜 ） （ 1 + 拘,2D （ 2- 0 ） （ 百 -1）,2【 分析】设| 尸制= 见归周= ，利用正弦定理，求 得 与 c 的关系,率，得到答案.【 详解】设|P| = 闻尸闾= ， 忻 段 =2%进而求得椭圆的离心在 叼 2中，由正弦定理 得 砧n _ 2csin 30 sin 105, 口 m + n 2c可 、于 = ,sin 45 + sin 30 sin 105又由| 户制+ 归闾=
42、机+ = 2 0 所 以 . 4、 ?. m = 广 仁sin 45 + sin 30 sin 105所以e sga sin 45 + sin 30sin（ 60 +45 ）sin 45 + sin 303x变 + k变2 2 2 2y/2 1-H 2 2G6（ 2-& ） （I+G ）2（ /2 + l）- 2. 故选：B.【 提分秘籍】基本规律设椭圆=1(a 0 ,b 0 )的两个焦点为R 、F2,P ( 异于长轴端点) 为椭圆上任意/ 十3一 点 ，在 PF1F2 中 ， 记 Z FiPF2 = a , Z P F1F2 = /3 , /F F ? P = y ,则 有s i n a c
43、- = =esin/ +sin/? a【 变式训练】1. 设椭圆5 + ， = 1(“ 0 ) 的左、右焦点分别为耳、K ，且 昭 I = 2 c ,若椭圆上存在点M 使得在月心中，包 工 竺 三 = 包 卫 竺 近 ，则该椭圆离 心 率 的 取 值 范 围 为 .a c【 答案】V 2-1 e 【 分析】设NM耳片= a , / 照 耳 = 夕 ，| 峥 卜 机 ，| 闾 = ，根据题意由正弦定理化简可得” = 等，再根据a - c |g | a + c 列式，结合离心率公式求解即可.【 详解】设 M F2F /3 , M Ft = m , M F2 = n.i 十* m sinZMER s
44、inZ M F F . c m 2 a - n在中， 由正弦定理有 二 二 二- -， 且- - - - - -= - - - - - - - - ， 贝 | = 一 =- - - - -,sin/y sina a c a n n解得= 2 a .由于 a c|M 居| a + c , 即(a + c)(a-c) v 2 a2 (tz + c)2.a + c又a?- / v 2 / 恒成立，则右及 + ( : ，得0 lv e /2-1 e 盍 ,又由|P制+|P段 = 2 a , 即 胎 + 击= 2 % 即 靠 = 2 ，所以e = 2 =乎. 故答案为：乎-） 23. 设P 为椭圆二+
45、=1（ 。 8。 ） 上一点，两焦点分别为K ，尸 2 , 如果N P6月=75。 ，a b/ 尸工耳= 15。 ，则椭圆的离心 率 为 （）A 瓜 R 6 瓜 pj 百（ - D. - V - - U - -3 3 2 2【 答案】A【 分析】利用正弦定理可求归用+ 归国的值，此值即为椭圆的离心率的倒数，故可求椭圆的离心率.【 详解】设椭圆的半焦距为c , 则 归 国 =2c.在APKK中，由正弦定理有I明 归国 / 打sin /P /f； - sin/ 尸 耳 乙 sin / P g所以凶_此_也心I呐 + 1叫 怩小sin 15 sin 75 sin 90 sin 15 + sin 75
46、 sin 90整理得到呷晔1 = s i n k + sin75。=四 $&+ 45。 ） =逅 ,内国 sin 900 2故 网 =避 即 e = . 故选: A.2c 2 3【 题型八】焦点三角形：双余弦定理型【 典例分析】己知椭圆C 的 焦 点 为 % K ，过 的的直线与C 交于A , B两点，若|A段 = | 耳目= 三8用 ，则C 的离心率为（）A. B . 立 C. ； D . -2 3 2 3【 答案】C【 解析】由题意可表示出 做 、8巴、B片 ,在在AA耳耳和AB耳玛中利用余弦定理，再根据cosNAE+cosNAf； g = 0 , 得到方程，解得.【 详解】解：M闾 =
47、闺 用 = 忸制= 2c； .A f； = 2 a-2 c, Bf； = |c , BF2= 2ac在根 斗鸟和ABKK中利用余弦定理可得AF = AF - + FlF72- 2 AFt - FXF2 cos Z AFtF2 o BF =BF + FXF - 2 BFt F2cos Z BFtF2BP（ 2c）2 =（2a-2c）2 + （ 2c）2 - 2（ 2a- 2c） 2c cosZAFF2=（ 4C） +（ 2C）2 - 2-C- 2C- COSZAFF2.CO SZ F2+C O S = 0 . （ 2 - 2 ， +（ 2C） 2一（ 2C） （豹 + （ 2。 ） 2 -（ 2
48、”| ，_O2（2a-2c）-2c 2 -c -2 c5化简可得2c2+9ac-5a2 = 0 同 除 / 得：2e+9e-5 = 0 解得e = g 或e = 5 （ 舍去）故选：C【 提分秘籍】基本规律双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图:【 变式训练】2 21 . 已知椭圆C : +方 = l(a 6 0 )的上顶点A (O R ),左右焦点分别为% K 连接A 6 , 并延长交椭圆于另一点P , 若I科 = 归6 | , 则椭圆C 的离心率为()A. - B. - C . 迫 D . 逅3 6 3 6【 答案】C【 分析】根据题意及椭圆的定义，可求得忸制、归口的长，根据三角函数定义
49、，求得005乙4耳 0 = 根 据余弦定理，可求得cos/P 4 巴，根据两角的关系，列出方程，代入离心a率公式，即可得答案.【 详解】由题意得| 。 制 = 。 , | 。4 |= 6 ,所以|曲 卜 。，贝 U|AP| = |M |+ |P 4 | = a+|P周 ，由椭圆的定义可得归耳|+ |尸耳| = 2 ，所以|P闾 = 2 a - |P |,因为| 网 = |%所以a+|Pd = 2 -阀 | , 解得归用 = ，|尸周= 日，在M A O 中，cosNA耳 0 = 5 ，在 和中，MP 和叫 7 可-手 上) y- 闺=至 工,因为2 . 附 | 附 |2 x x 2 c a c
50、2N A O + N P 耳鸟=4，所以c osZ A E O = - c osN P 与玛， 即 = 一 生 三 ， 所以片 = 3 0 2 所以e = = J /3 0 2 6 n 7 62 3 3 3【 答案】B( 分析】 设 F 为椭圆的右焦点， 根据椭圆的对称性， 得到| | = |Q F | =闻弘 | = |Q F| =勿,分别在 尸。 尸和, 尸。 尸 ，利用余弦定理列出方程组，求得a = 3 , 结合离心率的定义，即可求解.【 详解】 解： 设 尸 为椭圆的右焦点， 根据椭圆的对称性可知， 四边形P F0 F 为平行四边形，令忸尸| = |0 尸 1 = 叫 我 1 = |0
51、 耳 = 2 - /? 1 , 在 P Q F 中， PQ = 2 OP = 2 x y f7 =2 s /l ,则 |P F|2 + |F2 |2- 2 |P F|F2 |C O SN P F Q = |P 2 |2 = 28,即 irr+ (2 a - x )2 + x (2 a - x ) = 2 8在中，Z F P F = 1 8 0 - Z P F Q = 60 ,则| P F|2 + |P Ff - 2 |P F|PFCOSZ F PF = F F = 2 ,/M2 + C2 a-r 2+ x ( 2 a- x ) = 2 8 50即+ ( 2 a- x ) 2 - x ( 2 a
52、- x ) = 1 2 ,联立方程组， + ( 2 - ( 2 ) = 1 2 解得E浴. 故 迄 BJ? V23. 已知小 F2, 8 分别是椭圆C : + 方 = l(a 6 0 ) 的左焦点、 右焦点、 上顶点， 连接3名并延长交C 于点尸，若耳8 为等腰三角形，则C 的离心率为()A. - B. 1 C .在 D . 也3232【 答案】C【 分析】根据题意和椭圆的定义可得l叫 = |叫，进而求出 陷 可 ，网= | 四 = 日,利用余弦定理求出C O S/ BKAC O S/ PF ，结合4工 /+ /尸 /资 = 列 出关于 与 。 的方程，解方程即可.【 详解】由椭圆的定义，得忸
53、用+ 怛用= 2 a , 山椭圆的对称性，善 阙 = | 明 =”,设|P闾 = / n , 则忸 = 4 + 加 ，又归周+ |尸局= 2 a , 所以归用 = 一 / n , 因 为 P耳B 为等腰三角形，所以忸耳= 户周,即a + m = 2a m , 得 = 怖 ，所以|叫 = 垓 ，网 =啊 | =率 在期鸟中，由余弦定理，得cosNB月片=a2 + 4c2- a22a 2c_ ca(-)2+4C2 - ( )2 2 2 _ 2在鸟中，由余弦定理，得c o s/尸凡耳= N -2 = - 6 a ,2 2 ， 讹2G 2 2. 义 NBFF +4 PFF = Jt, 所以) ，则I叫
54、 | = 2a 3 |M用 = 3 h |M图 = 2a 3 % ,由4COSZMNF2= ,利用余弦定理，可得a = 3左，在. 叫 巴中，利用余弦定理，即可求椭圆C的离心率.【 详 解 】由题意，如图:设 忻N卜 小 0 ） ,因M 4= 3两，则 | 阿=3 | N | = 4 4由椭圆的定义知，幽| = 2a T ,廊 | = 2 4 - 3 4在 ，M N鸟 中 , 由余弦定理得：+ |N g2 |MV |N R|c osN MN /V即（ 2 a_ 3 & ） 2 = （ 4 % ） 2 + （ 2 a _ Z y _ 2 （ 4 k” 2 a_ & ） ,整理得a = 3 Z ,
55、在, N K心中，由余弦定理得： 恒 用2 = |N用? + |N用2 2 |N |N周c osN耳”,即（ 2 ） 2 =公 + （2 4 _ & ） 2 _ 2 h （ 2 4 左 ）1 ,即 4 c 2 = 1 8 6 ，即 2 c 2 =9/ =/ ,所 以 ，椭 圆C的离心率为e = =正 . 故选：A .a 2【 提 分 秘 籍 】基本规律椭圆焦点弦定比分点，有以下结论:.焦点弦直线斜率若直线斜率为k,g股 屿 碇 翳 焦 岫 轴 上 ,e为离心率）；如 旧 需 焦 点 在y轴上,e为 离 博【 变 式 训 练 】j.2 v21. 已知椭圆C : + 1 = l （ a b 0 ）
56、的左右焦点分别为耳, 鸟， 过 片 的 直 线 与C交 于A , B两点.a b-若|A制=2忻却， AB = BF2 ,则C的离心率为（）A . 1 B.也 C .昱 D.述3 3 3 3【 答案】C【 解析】 由| 初|=2 |防|, |明 =忸 闾 ， 利用椭圆的定义， 求得丹卜a , |A B | = |a ,1展|+ |附= 2 a , |A止2忻 或 陷 = | 阳=3防，所以3|明+ |耳目= 2 a ,故展| = ：可得I泪= “ ，A闯=a , M - ， ，归 周 =2 c ,利用| 明 =|阳，则& 4B鸟为等腰三角1 1 1 0cos N BAB = -j p = =
57、1 IA B a 3 s inZ OAF . = - ,K A P _0 / n A l7 - = l - 2 （ - ）2形, 所以， 2 , a , NB A F 2 =2 NO A / 可 得 3 ” ，_ c _ A/3可得3 .故选：C-） 22. 已知椭圆C : + = l （ a 人0）的左右焦点分别为K，K，点A是椭圆上一点， 线段A 6的垂直平分线与椭圆的一个交点为8 ,若AB = 3 F ? B,则椭圆C的离心率为（）A . - B.3 C . - D.近3 3 3 3【 答案】B【 分析】 线段A耳的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ,可得|A B |=|3 |.根据A B
58、 = 383, BFt + BF2 =2 a ,可得|即| ， AF2 =a .点A是椭圆短轴的一个端点， 不妨设为上端点. 作B C _ Lx轴，垂足为点C.可得AAOKSABCK.利用性质可得点B的坐标. 代入椭圆方程可得离心率.【 详解】由题意知|明 =忸 |, 又43 = 3玛5 ,所以线段A B过点K且| 伍 | = 2后却，不妨设内可 =% , 故 忻 用=|/ 0=|伍 |+ 国川=3出 川 =3 % ，由椭圆定义可得|耳目+ 忧 3|=2 a = 4m ,I q故出却= ? ，忸闻= ，|A闾=a , |A用 = 2 a |A K卜 % 故点A为椭圆短轴的一个端点，不妨设A （
59、 0, 6） ,过点B作轴于M,由A A。 鸟和刚明相似，又|A闾=2厄回，可得 M B = AO = ,所以点卜 ;优 0| = ，所以点8( 年, 一斗,代入椭圆的方程可 得 纥 + 与= 1,解得g = L即e = 3 . 故选:4 / 4 b2 a2 3 32 23 . 直线1 - 6 ) ， - 百 = 0 经过椭圆的右焦点尸，交 椭 圆 = + 当 = 1 ( 。 / ; 0) 于 0 ，Q两点,a b交 y 轴于C点，若 F P = 3 C P ，则该椭圆的离心率是() .A . V 2 - 1 B . 2 72 - 2C . D . 6 - 12【 答案】D【 分析】由直线方程
60、求出F , C的坐标，再由向量关系b = 3C P 得出?点坐标，利用椭圆定义可得2 a , 然后可计算出离心率.【 详解】= 0 中， 令， = 。， 得到彳 =百 ， 所以椭圆的c = W ， 令* = 0, 得到y = T ,设 P ( x, y ) ，而 F ( 73, O ) , C ( O , - 1 ) ,【 典例分析】己知p为椭圆上一点，6 ，K是椭圆的左、右焦点，若使 P E G 为直角三角形的点p有且只有4 个，则椭圆离心率的取值范围是()A 。 当 B.俘, 1 C . ( 1 词 D . ( & , + 勾【 答案】A【 分析】 首先考虑通径上有四个点满足题意， 然后根
61、据以巴鸟为直径的圆与椭圆无交点得到关于“，b, c 的不等式，通过不等式求解椭圆离心率即可.【 详解】方法一：当尸轴时，有两个点尸满足f / =； 玛为直角三角形；同理当尸鸟，x 轴时，有两个点尸满足尸耳名为直角三角形. . 使尸耳耳为直角三角形的点P有且只有4个，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，c 6 ,：.ci0,解得0 e 立 .方法二： 由 题 意 耳耳为直角三角形的点尸有且只有4个， 根据椭圆的几何性质可知， 当产点落在椭圆的短轴端点时，居取得最大值，可得此时/ 耳 用 0,故) =$ 访(/ ， 64 o,乎 . 故 选 : 人 .【 提分秘籍】基本规律以椭圆两个焦点为直径
62、端点的圆，简称为“ 焦点圆” ：1 . 如果C b ,则该圆与椭圆有、四个交点。2 . 可以借助焦点三角形( 直南) 来解决，也可以通过圆的方程x ? + y 2 =c 2与椭圆方程联立解交点坐标。【 变式训练】1.已知圆 + 2 = 4与x轴的交点分别为A 3 ,点尸是直线/ : x -y + 4 = 0上的任意一点，椭圆C以48为焦点且过点P ,则椭圆C的离心率e的取值范围为( )【 答案】A【 分析】由题意易得椭圆的半焦距c = 2,然后求得点以2 , 0 )关于直线/ : y = x + 4的对称点为？( x , y ) ，由2 a = 此时椭圆C的离心率取得最大值求解.【 详解】；圆
63、/ + = 4与无轴的交点分别为( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ,不妨令点4 -2 , 0 ) , 8 ( 2 , 0 ) ,椭圆的半焦距c =2 .设点4- 2 , 0 )关于直线/ : y = x+4的对称点为A ( x , ) ， ) ，2 , , 2 ，解得- = -1x + 2AX-4,2).如图所示:连接A8交直线/ 于点P ,此时皆有最小值, 此时的最小值为2亚，当长轴长最小时，椭圆c的离心率取得最大值，即= + = 噜.又e e ( O , l) , 椭圆C的离心率e的取值范围为( 0 ,噜， 故选:A2 22. 己知椭圆C: = +与 =1 ( a 6 0 )的左
64、右焦点分别为耳,B , 直线y =心 0 )与C相交于M ,a bN两 点 ( 其中M在第一象限) ，若M, F、 , N,尸2四点共圆，且直线N鸟倾斜角不小于 ,o则椭圆C的离心率e的取值范 围 是 ()A.争 ) B.(冬G- 1 C.回1 , 1 ) D . ( 0 , 7 3 -1 【 答案】B【 分析】设椭圆的半焦距为c,由椭圆的中心对称性和圆的性质得以耳人为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以c，再根据直线M K倾斜角不小于( 得 山 例区6区 例 | , 由椭圆的定义得a - J 2 c 2 - / 2(4- 1 )，由此可求得椭圆掰心率的范围.【 详解】解：设椭圆的半焦距为c,由椭
65、圆的中心对称性和例，K，N,尸2四点共圆得，四边 形 次 叫必为一个矩形，即以打心为直径的圆与椭圆C有公共点，所以cb,所以2 c2 ，所 以 也 e l ，2因为直线N F ?倾斜角不小于2,所以直线“耳倾斜角不小于2,所 以 留 N坐 ，化简得,6 6 FM 3 FtM a2， 所以优= a - l 2 c2 a2， 所以 a - J 2 c ? a ， (6 - l ) a ，所以。 e 4 6 1,所 以 也6 0 ) ,点尸是C上任意一点， 若圆O 2 + y 2 =从上存在点 、N,使得Z M * V = 12 0 , 则C的离心率的取值范围是（ ）【 答案】c（ 分析 连接O P
66、 , 设直线P A、 P B 分别与圆。切于点A.B, Z.OPA = a , 根据题意得到a2 6 0 。 ,r t在直角三角形中，利用正弦函数的定义得到| 。 耳4 耳 ，再结合| 。 外网=，得到C的离心率的取值范围.【 详解】连接OP,当尸不为椭圆的上、下顶点时，设直线抬 、P B 分别与圆。切于点A、C上任意一点，则10 P lm 百 ，又10PL= 匹 , 江， 则由 =从 + 。 2 , 得/ ；， 又0 e l , . . . e 40 , ； . 故选： C .【 变式训练】2 21. 已知K 为椭圆 6 0 ） 左焦点，直线/过椭圆的中心且与椭圆交于A , B 两a h点.
67、 若以A3为直径的圆过， 且合 4 / 耳4 84 ? ,则椭圆C的离心率的取值范围是（） .【 答案】A【 分析】设A B = ， 由以A f i 为直径的圆过耳， 可得| A O H BO= OFt=c,即AB= 2 c , 运用直径所对的圆周角为直角， 以及锐角三角函数的定义， 以及辅助角公式, 结合离心率公式可得所求范围.TT 7T【 详解】解: 设N K A B = e , 则 看 4 64 :由以A3为直径的圆过6, 可得I 1 = 1 BO= OFX |= c， 即| AB | = 2 c在直角三角形6 A B 中. | A | = 2 c c o s a怛用=2 c s i n
68、 6即有.一夜s i n + |故选:A .2 . 椭圆的焦点 ( -2立, 0 ) ,由椭圆的对称性可得| A耳| + | 8耳 | = 2。 = 2 夜 $m ( 6 1 + ?f ； ( 2 72 . 0 ) ,长轴长为2 ”，在椭圆上存在点P,使/耳尸8 =9 0 ,对于直线 = 。，在圆V + ( y - l ) 2 = 2上始终存在两点M,N使得直线上有点。，满足NMQN = 90,则椭圆的离心率的取值范围是( )A. 华, 1) B . g , l ) C. 多平 D-( 0 ,平【 答案】A【 分析】椭圆上存在点P,使NP玛=9 0 ,只需最大角N f JP入29 0 ,结合直
69、线丫 = 。 上存在点。到圆心距离等于2,可建立不等关系求出离心率的范围.【 详解】由题：椭圆的焦点斗 -2拒, 0 ) , FQ& 0 ) ,长轴长为2 a ,在椭圆上存在点P,使3 % =90,只需最大角N P K 2 9 0 ,即当P为短轴端点时,得最大角 NF 9 0 即9 0 “ P O N 45 ,所以s i n N P O = g会坐，即此 变 ,回2 2又对于直线y = a,在圆/ + ( ) ， - 1) 2 = 2上始终存在两点M,N使得直线上有点。，满足NMQV = 9 0 ,临界情况即过点Q作圆的两条切线互相垂直，此时点Q到圆心的距离为2 ,直线上存在点。到圆心距离等于
70、2 ,只需( 0 , 1)到直线丁 = 。 距离小于等于2 , 4142 , 2a6 0 )的左、右焦点分别为 、鸟，第二象限的点M在椭圆C上，且| Q W | =| O g | ,若椭圆C的离心率为辛，则直线知心的斜率为()A . 4 B. - C . 2 D.4 2【 答案】D _ _ _ _ _【 分析】根据离心率e = = Jl - ，将椭圆C的方程变形整理为：4+竺 = 1,再根据a a2 a - 4 a2 OM = OF2 ,列方程/ + 丫2= |/ ,两方程联立，求解, 再计算斜率即可.【 详解】 依题意，e =、 兀M =亚 ， 解得耳,， 故坊， 则椭圆C ： +竺 =1
71、；a a2 3 a2 9 9 a2 4 /而|0时 = / +2= 0 2= #,联立, 2 4 J ，解得丫 = 右“，则 =一 己 ，故x2 + y2 = - a294k.w2 = - - . 故选：Dr = - ClV5 3M分阶培优练培优第一阶基础过关练2 21. 设和尸2为 椭 圆 + = 1（ 4 0） 的两个焦点，若 月 ,F2, P（O,力） 是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（）A . 且 B.迈 C . 3 D . 独7 7 3 3【 答案】B【 分析】由三角形耳居P 是等边三角形，得 到 尻 c 的齐次式，即可求出离心率.【 详解】设椭圆是焦距为2c因为月，F2,
72、P （ O,M） 是等边三角形的三个顶点，所以tan2 = = 3, 有3 /= 4 = 4（ /一 /） ,则e = = 侦 .6 2b 3 a 7故选：B.2-二 +工=12 . 椭圆 旷a + 2 的左、 右焦点分别为B , F2,过 点 B 的直线/与E 交于A, B两点，若 ABB的周长为1 2 ,则 E 的离心率为（）【 答案】A【 分析】由椭圆的定义，求得。 = 3 , 再由02= 2-从 ，求得c 的值，结合离心率的定义，即可求解.【 详解】因为行的周长为1 2 ,根据椭圆的定义可得44 = 1 2 ,解得”3,c 2则。 2= 片 - 。 - 2 = 4 , 所以c = 2
73、, 则椭圆上的离心率为6 =上=彳. 故选：A.a 33 . 已知桶圆的两个焦点为K ，F2,若椭圆上存在一点P 满足玛=120 , 则椭圆离心率的最小值为.答案】B2【 分析】不妨设椭圆的两个焦点在了轴 匕 故 当 点 P 为 椭 圆 的 上 下 顶 点 时 6 最大设椭圆的上顶点为玲，则6 居2 1 2 0 ,结合tan/O 42 6，e ， = 。，分b a y j h + c析即得解【 详解】不妨设椭圆的两个焦点在X 轴上，故当点尸为椭圆的上下顶点时N K P 每最大设椭圆的上顶点为外，若椭圆上存在一点尸满足/石尸玛=1 2 0 ,则/的4名 2 1 2 0且t a n N O A6
74、= t a n 6 0 = 6 ，故人 4 已 故y/b2 + c2=昱一 2则则椭圆离心率的最小值为且 故 答 案为：宿2 22 24 . 已知椭圆C: 二 + 马 = 1 （ 4 0 ） 的左、 右焦点分别为耳, 6 ， 直线y = q 卡 。 ） 与C 相交于“ 2 b-M,N两 点 （ M 在第一象限）. 若M , 4 , N , 工四点共圆，且直线N F ?的倾斜角为2,则椭圆CO的离心率为（)石2A a2B. 6 - 1D . V 2 - 1【 答案】B【 分析】依据M， K， M 入四点共圆，且直线N%的倾斜角为2,利用椭圆定义可得Oc = （ V 3- l ） a,进而求得椭圆
75、C 的离心率【 详解】根 据 题 意 四 边 形 工为平行四边形,乂由M , 0N , 每四点共圆，可得平行四边形用片叫为矩形，即N 耳，N 鸟乂直线N 6的倾斜角为9则有“ 可 带则四6| = 不用= c,四用 =正 忻 用 =石 , ，则2 a = |峙 | + 可 周 = （ 1+6） 。，即2 2品 “ 二 (g ) ”则椭圆C 的离心率e = = 右 7 故选：Ba2 25. 已知椭圆C: + 今 =l （ a 0）的左、 右焦点分别为耳，鸟， 椭圆上点尸（ x , y ）到焦点F ,的最大距离为3 ,最小距离为1 ,则椭圆的离心率为（）A. g B .且 C. - D . 22 2
76、 3【 答案】A【 分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为4 + C ,最小值为a - C ,可求出a ， c,即可计算出离心率f a + c = 3【 详解】设椭圆的半焦距为C ,由题意可得 ,解得a = 2 , c = l ,所以椭圆C的离 a - c = l心率e = = ,a 2故选：A.6 . 椭圆C ： W + = i m b 0）的左顶点为A ,点只。均在。上，且关于原点对称. 若直线cr bAP ， 4 Q的斜率之积为-g,则C的离心率为（）A .且 B. C. 1 D.-【 答案】B【 分析】设P小,再 根 据 直 线 的 斜 率 之 积 为- g列式，结合椭圆的方程化简即可
77、.【 详解】设 尸小, ） , 。（ 一事, 一% ） 且/# ，则 毕2= 二 = b 0) ,点，满足N M A 8 = 30, N M B A = 4 5 ,设椭圆C的离心率为e ,则 /=.【 答案】1 一 日 【 解析】设M （ % ， x , ） . A （ 。 ,0） 8（。 ,0）,因为Z M A B = 3 0 Z M BA = 4 5 ,所以可得 L k, . = = 2，x 0- a xQ + a 3 + 其= 1 ,三等式联立消去知 凡 可得与n X l _ i eZ /Mi且故答案为a b- a 3 31 一 包 . 故答案为38 . .设 鸟分别是椭圆 : + 耳
78、=1 （ 4 8 0）的左、 右焦点， 过点片的直线交椭圆E于A Ba b3两点，| A片| = 3| 8耳 | , 若co s N A 6 3 = g ,则 椭 圆 上 的 离 心 率 为 .【 答案】2【 分析】求椭圆的离心率，要列出关于“ ， c的等量关系式，设| 耳例= （ 0） ,根据椭圆的定义以及I 4 耳l = 3| 8 4I, 可以表示出三角形各边的长度， 通过余弦定理得到各边关于左的表达式，根据几何关系可以列出关于a ， 。 的等量关系式，从而求出离心率【 详解】设 | 耳 8 | = k(k0)则| A 耳| = 3 k AB =4 k:. AF2 | = 2 a - 3A
79、 , BF1 =2 a - kaCOSZAF2B = -,在* A B 鸟中，由余弦定理得， AB2= AF2 F + I B K I2 - 2 AF2 - BF2 cos Z AF2B ,( 4 Z :)2 = (2A-3 k)2 + (2 a- )2- 1( 2 - 3A :) ( 2 a -k),化简可得( a + &) ( a - 3&) = 0 ,而 + % ( ) , 故a 3 k ，. 14 玛| = | 4 4 1= 3 , | 36 | = 5 ；：,1 8居 = | 4 或 | 2 +| 4 6 ，4 耳_ 1 45，. . “ 耳居是等腰直角三角形， , . 椭圆的离心率
80、e = = ，故答案为：2a 2 29. 已知入分别为椭圆方 = 1的左、右两个焦点, 户是以K 心为直径的圆与该椭圆的一个交点，且 NP6g =2NP& K ，则这个椭圆的离心率为（）A . V 3- 1 B . 7 3 + 1 C.且 D.迫 上2 2【 答案】A【 分析】由几何关系得/尸月= 9 0, 再由椭圆性质求解【 详解】 由题意? 耳人为直角三角形，“ PF ? = 9 0。 ， 而= 2 N P / y j , 则入 = 6 0。 ,又 F F =2 c,PFt=c, P F?= & ，由椭圆的定义知，PK + P g = c+ 辰 = 2 a ,二离心率为e = = g _
81、l .a故选：Ar2 210.如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭 圆 C ： 0 + 4 = 1 的左、右焦点分别为a bB,尸 2 , P为椭圆上一点（ 在 X 轴上方） ， 连结P F / 并延长交椭圆于另一点Q , 且 P F / = 3 B 。，若 尸 尸 2 垂直于x 轴，则椭圆。的离心率为（）OPA . - B . - C .叵 D . 33 2 3 2【 答案】C【 分析】求得椭圆的左右焦点，设由题意可得m = c ,代入椭圆方程求得“，再由向量共线的坐标表示可得。的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值.2 2【 详解】解：设椭圆C :二 + 4 =
82、i m b 0 ) 的左、右焦点分别为耳( - c, 0) , g ( G O ) ,设 0, 由P 6垂直于X 轴可得w = c ，由1 =层 ( 1- 鼻 ) = 与 ，可得 = 三 ，a a a,2q ,2设 Q G M ) , 由尸耳= 3 4 0 , 可得一 c- c = 3( s + c) ,= 3r ,解得 s = - ； c, t = ，a 3 3 a将Q( 3C, 一当代入椭圆方程可得 争 : +悬 = 1 , 即2 5 / + / - / =9/,即有 = 302 ,3 3a 9 a2 94则9 = =且 ，故选：c.a 32 211. 以椭圆C: + = l ( a 0)
83、 的右焦点尸为圆心、 c 为半径作圆，O为坐标原点，若圆尸与椭圆C交于A , 8两点，点 。是 。 尸的中点，且 A O _ L O F , 则椭圆C的离心率为()A . B . 2G- 3 C . 7 3- 1 D . 5 / 5 - 22【 答案】C【 分析】由几何性质得出A点坐标，代入椭圆方程求解【 详解】 不妨令点A在第一象限， 由。是 OF的中点， 且| 0曰= | 人尸| 。 可知A O A F是正三角形，则 / 三 当 4 ，c2 3 2将点4坐标代入椭圆C方程可得即b 2 c2 +3“ * = 4 2 氏 即下 + 丁 =1(a2- c2)c2+ 3 a2c2=4 a2(a2-
84、 c2),整理得/ - &介 2 + 4 / = 0 ，即e4-8e2+4 = 0 ,得e? =4-26或e? = 4 + 26-因为0 e 6 0 ) 的两个焦点，过 作椭圆的弦A 8 , 若 ， A& B的a - b周长为8 , 椭圆的离心率e = 3 ,则椭圆的方 程 是 ()2【 答案】D【 分析】根据椭圆定义求得a = 2, 结合椭圆离心率公式、椭圆中。 力,c 的关系求得从= 1即可得出椭圆方程.【 详解】由椭圆的定义知|4 用+ 忸用+ |钻 |= 而 = 8, 所以 = 2 ,又因为e = = X l , 所以c = G ，b2= a2- c2= l ,所以椭圆的方程为V+ =
85、 l.a 2 4故选：D2 . 若斗 鸟 是椭圆C 的两个焦点，P为 C 上一点，且 4=60。 ，归制= 3 归周/ 下代的离* C? 率为.【 答案】巨4【 分析】由椭圆的定义与余弦定理求解【 详解】由椭圆定义得|P |+ |% | = 2 a , 又 四 = 3 附3 1解得归用=5，|尸用=5%而lK K i = 2 c 在尸6月 中 ,由余弦定理得99 o 1 9 3 14 c = a + 。 - - 2 x ax 6 0 ） 的左、右焦点分别为耳,K，尸为椭圆C 上一点，且a- h-/ 耳尸耳= （，若 K关于N K P 8平分线的对称点在椭圆C 上，则 该 椭 圆 的 离 心 率
86、 为 .【 答案】昱3【 分析】根据椭圆的定义与几何性质判断A f J P Q 为正三角形，且 P Q _ L x 轴，设尸舄= 匕可得PF、=2t,FiF2 = J G r , 从而可得结果.因为耳关于 的对称点。在椭圆C 上,则于耳= 尸。，尸 0 = 6 0 ,，八 大 尸 。为正三角形，耳 。= 耳尸，又FiQ + F2Q = FlP + F2P = 2a,:.F2Q = F2P ,所以PQLx轴，设 户人= ，则尸耳= 2 r ,6鸟 = ，即，一粤=今故答案 为 当、 24 . . 椭 圆 + 方 = 1（ 。 6 0 ） 上 存 在 一 点 尸 满 足 耳 耳 ,居 分 别 为
87、椭 圆 的 左 右 焦 点 ,则椭圆的离心率的范围是（ ）A . （ 0 ,1 B . （ 0 当 C .匕/ ） D.呼,1）【 答案】Df v2【 分析】当点P位于短轴的端点时，/ 耳尸鸟最大，要使椭圆* +2=1 （ 。 6 0 ） 上存在一点尸满足耳尸，鸟P，只要N a P玲最大时大于等于即可，从而可得出答案.2 2【 详解】解：当点P位于短轴的端点时，/ 耳尸名最大，要使椭圆二+ 4 = 1 （。 匕0 ）上存ar b在一点尸满足P J L E P ,只要N 耳 尸 鸟最大时大于等于即可，即当点P位于短轴的端点时，N Q P K 2 ? ,所以si n / O P F ； = N s
88、i n巳 = 也，又椭圆的离心率O vev l ,所以椭圆的离心率的范围是1 a 4 2V与直线/ ： X =4相交于点。. 且 A F Q是顶角为12 0。 的等腰三角形， 则该椭圆的离心率为（）c【 答案】C【 分析】根据 A F Q是顶角为12 0。 的等腰三角形，建立等式3 e2 + e- 2 = 0,解方程可得结果 .【 详解】如图，设直线/ 与“ 轴 的 交 点 为 由 A F Q是顶角为12 0。 的等腰三角形，知|FC|=|M| = G + C, ZQFH =60.于 是 ,在R M Q H中 -m 一5匹. 而2结合= 从+ 2得3 c 2 + ac - 2 a2 = 0 ,
89、即3 e2 + e- 2 = 0,解得e = . 故选：C.2 26. 已知点A、8为椭圆E : 0 + 4 = l（ a b O ）的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线以，PBa h-的 斜 率 之 积 的 范 围 为 则 椭 圆E的离心率的取值范围是()【 答案】A【 分析】根据椭圆性质k , .A - kPII= - 4结合离心率=4=1 - 4运算处理.a a - a【 详解】由题得：5=-，/ - 1 1右 - | ) , 所以岑故选：A .7. 在平面直角坐标系x o y中，已知A A B C的顶点A ( - 4 ,0 ) ,C( 4 ,0 ) ,顶点8在椭圆2 2厂J2 5 9,
90、si n A + si n C1 ,- - - - - - - - - -si n B, 2 2【 答案】7【 解析】 由题意椭圆去 +于 =1中 。= 5 , b = 3 , c = 4 ,故A ( T ,0 ) ,C( 4 ,0 )是椭圆的两个焦点，. . A 3 + B C = 2 a = 10 , A C = 8，由正弦定理得a b c- = - -= -= 2 r,si n A si n B si n C_s_i_n_A _+_ s_i_n_C_ _a_ +_ _ c _A_ _B_2_-_B_ _C _1_0 _5 - si n B - b A C 8 42 28. 已知椭圆三+
91、= l( a 6 0 )的右焦点为凡椭圆上的4 , 8两点关于原点对称， | 阿= 2 |F B |,a b4 _且 必F B W - 6 /2,则该椭圆离心率的取值范围是( )A . ( 0 , B . ( 0 ,# C .号 :1) D . 4 , 1)【 答案】B【 分析】如图设椭圆的左焦点为E ,根据题意和椭圆的定义可知怛尸| = |a,忸同= ，利用余弦定理求出CO S N 8 E 4 ,结合平面向量的数量积计算即可.【 详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为4则| 明 + 忸q=为 ，因为点A、8关于原点对称，所以四边形BE4为平行四边形，由| AF | =2怛F | ,得,2 4
92、 BF =- a , BE = - a ,BE? + BF |12 - EF 在1 ?中 ，c o s Z EBF = J1 , 一2 BE BF | 2 16a -2 + -4 a -2 4 c*-2 , 0一% 所以3 39 5c o s Z .BF A = - c o s Z .EBF = e2 ,4 4由 E4 . F B4 1a 2, 得WA| F B| c o s NBE4 = g a x | a （ e 2整理， 得又。 e 8 0 ） 的左右焦点，3为椭圆的下顶点，P为az b过点石，F, B 的圆与椭圆C 的一个交点，且 2 耳工白耳，则2 的值为.a【 答案】避 二 1【
93、详解】设过, 工 8 三点的圆的圆心为 P f F P G是通径2的一半,aPR是圆M中的一条弦，根据圆的对称性可知M的坐标M 0, I 2 aJMB2 = MF = R1整理得 ac1 = b + ab2 c2 =cr -b整理得。 2+ 4 0 4 2=0. + 2 一1 = 0 解得2 = 避 二 1, , 舍去负根 a ） a 210 . 已知产是椭圆C 的一个焦点, B是短轴的一个端点， 直线B F 与椭圆C 的另一个交点为Q,且 8尸=2尸 。，则 C 的 离 心 率 为 （ ）A .且 B . 2 C .也 D .克32 3 2【 答案】A【 分析】设力（/ 见 、） ，根据3
94、F = 2 F O 得 加 = -3 c ， = - Wb，代入椭圆方程即可求得离心率.2 2【 详解】设椭圆方 程 = + = 1, 4 60, 。 2 = /-从，所以8 （ 0, 9， 尸（ c , 0） ,设。 （ 也” ） ,a hBF = 2 F D所以（ 一 c , - Z ?） = 2（ ?+ c , ） ，所以机= - j, ” = -5 ，。 （ 风封在椭圆上,由 z 9 c 2 b2 c2 1 6 .所 以 7 H- - - = 1 t - 7 = , ? = - - - . n X i - i ： A4 / 4 从 a2 3 32 211 . 在平面直角坐标系x Qy
95、中，已知椭圆C: = + 2 = l （ a b 0 ） 的右顶点为A ,以A 为圆心a b的圆与直线仪 - 力 =0 交于例、N 两点， 且 4 t4 N = 60。 ， 0N = 5 0 M ， 则C 的离心率为（）A. B. C. y D . -2 3 2 3【 答案】C【 分析】 根据题意可设出M V的中点为G ，由ON=5OM 可得出MG = 2OM即MG = 2OW ,在 用 OAG可求出tanNAOG即为直线直线分- 力 = 0 的斜率，从而可得到C 的离心率.b【 详解】设MN的中点为G, 则|MG| = |G N |,由ON = 5OM，得O M-MN = O M-2MG =
96、 5O M，即 MG = 2OM ，设 OM = ， ，MG = 2 t ,在等边 AMAN 中，A G = 2 ,在 Rf OAG 中有 tan N A O G =49 = = 2 亘 = 2 ,O G O M + MG t + 2 t y /3而直线o x -力 = 0 的斜率是：， 所以: = 义 ， 即3 / = 4 / = 4 （ /_ 0 2 ） , 解得e = = !故 选：b b V3 a 2C培优第三阶培优拔尖练2 21 . 已知K 、 尸2是椭圆 + * = i s 人 0） 的两焦点， 过 尸2且垂直于y 轴的直线与椭圆交于A、B 两 点 ,若 A86 为直角三角形，则该
97、椭圆离心率的值为（）A. - - B. C. -2 + 1 D. -/2 12 5【 答案】D【 分析】根据椭圆的几何性质及定义得到。 = （ 忘 + 1卜 ，即可求出离心率.【 详解】如图示，由椭圆的对称性知A8耳为等腰直角三角形，所以 斗 鸟为等腰直角三角形.由椭圆的定义知： AF + AF2 = 2 a ,而国段=| 伍 |= 2 c , 所以 AFt = 2 a - AF2 = 2 a - 2 c = y 2 （ 2 cy所以 a = (& + l)c,所以离心率e = ?= & - L 故选：D2 . . 已 知点P 是椭圆:。 + % = 1（ ” 6 0） 上的一点， 、鸟为椭圆
98、的左、右焦点，若2 6 产居=60。 ，且的面积为由则椭圆的离心率是.4【 答案】g #05【 分析】根据三角形面积公式求出| 尸国 | %| = /,利用椭圆的定义及三角形余弦定理即可求出结果.【 详解】由4 牝 = 60。 ，P/ 谴 的面积 为 在 4 2 , 可得4； 归 用 伊 号. s i n / K P / l P K H P F z b q / ，： . PFt - PF2 = a2.再根据椭圆的定义可得| P周+ | P玛| = 2a .再利用余弦定理可得4 c 、 俨用2+ | ” -2|WH % .COS60。,1i= ( PF , + PF2 ) - - 3 PF ,
99、- PF2= 4 a2 - 3 a2, a = 2 c, ： .e = - = .故答案为：3. 已知椭圆C 的方程为: + = l ( 0 b o ,最后得到实数优的取值范围 2【 详解】 . 椭圆C 的标准方程为? + 专( 0 2) , ，a = 2,又 椭圆C 的离心率e = g,，c = l ,则从= -C2 = 3 ,若点P ( 九) 在椭圆上，m = 2 cos a /则 厂 , ( a 为参数) ， 则尸片= ( 一 l- 2cos a, - J 3s i na) , P = 1 2- 2cos a, - V3s i nal / i = /3 s ina ， 若 为锐角，则 P
100、F 】 % = cos2 0，即cos aw l, 7 工2, 乂由cos a = - l时，与尸 4 同向，/ 6 时 =0 ,故COS2W 1,利 2,即实数用的取值范围是( - 2, 2)故答案为：( - 2, 2)2 24 .过原点的- 一条直线与椭圆二+ 与 = l( a % 0 ) 交于A , B 两 点 ,尸 2为椭圆右焦点，且 A Ba br r Sn长度等于焦距长，若 乙4 8f ( 二 , 咚 ) ，则该椭圆离心率的取值范围为()【 答案】B 分析1 由椭圆的对称性可知四边形AF2BFt是平行四边形, 且A B长度等于焦距长则该四边形为矩形，进而用角Z A 8玛分别表示A
101、耳, A 亮 ，进而由椭圆的定义构建方程并表示离心率，最后由三角函数求值域方式求得取值范围.【 详解】由题可知，A8 长度等于焦距长且直线48 过原点，由椭圆的对称性可知，四边形7 TAF2BF,是矩形，则 Z AF2B = 5 , A E = 2cs i n ABF2, AF = BF2= 2ccos/ABF 2 ,又因为点A在椭圆上，则 A E + A 6 = 2 c s i n 乙钻K+ 2ccos N A 叫= 2 % 即_ 1_ _ _1 _* s i n N ABF ? + cos N A B F ? 一 血 豆 。 (Z ABF2 + ：) ，因为N A B g 哈 , 盘 )
102、，即Z A B 鸟与) 则0 s i n( /A 叫等， & ,故丫25 .设耳( - c, 0 ) , E ( c, O) 分别为楠圆 + 方 = l ( a 1 0 ) 的左，右焦点，若直线x =. 上 存在点尸，使| ” | = 2 c , 则 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 为 .【 答案】0 e 4显3【 分析】由题设易知| P 居 及 至 -c ,结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围.C【 详解】由题设，| P K| = 2cN 至-c ,则e2 =q w2 ,而0 e l,c a 3所以0 e 4 也 .故答案为：0 匕 0 ) 的左、右顶点，点尸在E上，在/ WZ
103、中，1 7t a n Z PAB = - , t a n Z PBA = -,则椭圆E的离心率为2 9【 答案】述312 分析设 / ? , ) ，进而根据t an N PAB = - , t an N PBA =；求出m , n,然后将m , n代入椭圆方程进而得到a , b的关系，然后求出离心率.【 详解】根据椭圆的对称性不妨设点尸在x轴上方，设P（ 八） （ 0） ,由 tanNPAB = n = 1 , tanZPfiA = - = =- ,2 t n + a 2 9 a m 94n = a联立解得： ;，代入到椭圆方程得：所以。2=9年 /） = & = = 逑. 故答案为：述 .v
104、 7 a 3 3x2 v28. 如图，椭圆M： 什 的左、右焦点分别为“，卜 3两平行直线幻“ 分别过 耳，5交M于A, 8、C ,。四点，且 整 ,呼， M b4）。 ， 则M的离心率为 .r答案】叵3【 分析】设|O6| = x ,根据椭圆定义、对称性得到|A闾 = 4x、| 做 | = 2a-4x、忸团= x、 B F 2 a - x ,再利用勾股定理得到参数的齐次方程，进而求离心率.【 详解】设解卜x ,则 图 | = 4 x ,故|A制 = 2a 4x.由椭圆的对称性知：|防 卜 。 闾 = 彳 , 连 接 即 ，则忸闾=2“一二又4 ，AF21 D F2,所以 N4A居=N4入。=
105、90在Rt 48鸟中忸月产= ,8|2+|4闾2 ,即（ 2a-3x） 2+（ 4x） 2=（ 2a- 4 ，解得彳 = , 贝|jI M考，| 伍 |哼 .在Rt A耳巴中, 用 词 整 = 忻 周） 即 管 + 第 一 =（2 4 ,得5a2=如 ，所以M的离心率 e = = a 3故答案为：叵39 . 已知椭圆C:+ g = l （ a 6 0 ） 的左，右焦点分别为片，F2,以坐标原点。为圆心，线段百鸟为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A.若|A |V 2 |A g |, 则椭圆C的离心率的取值范围为_ _ _ _ _ _ .【 答案】停手【 分析】 根据题意可得N E A 入 =
106、9 0 , n .c b ,再根据焦点: . 角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【 详解】由题意，因为线段耳玛为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A .故半径即O b ,且 N 耳4 巴= 9 0 .又离心率=至二甯闾=5H周2 = J（ |A|+|A段 ） 2 -2 |曲 |卜 a2aAF + AF2 AFt + AF2 一 |A 用+ |斗 乙 |= I 2MH伤 | _ h 2N （ | 明 + |明|） ： 狗 + 产| + 2 ， A 周 |祐|因为|A 国 4 2 1 A 闾 ，结合题意有1 6 0 ） 的左焦点，过 作倾斜角为6 0 。 的直线与椭圆交于A , 8
107、两点，若|跖 | = 2 |A 用 ，则椭圆E的离心率为.【 答案】|【 分析】设直线为y = 6 （ x + c ） 联立椭圆方程，应用韦达定理 求 % + % 、以 %,根据已知有为 = - 2 % ，进而可得椭圆参数的齐次方程，即可得离心率.【 详解】由题设，令直线为y = 6 （ x + c ） ,联立椭圆，消去尤并整理得：(3/ +b2)y2 -2y5b2cy + 3b2(c2- a2) = 0,所以 + 为 = 辱，% 力 = 3*2差 ，又1M |=2|A 用 ，易知：% = -2 % ，则3a +h 3。+b2y/3b2c力 = 寿寿，所以力力=3?： 靖 = -2助4* 且合
108、一 62 = /，整理得e?= ：，3a +b (3 +Zr)- 9由0 e 人 0)的上焦点，点 P 在椭圆E 上，线段P尸与圆cr brh2M +(y = 幺相切于点。，。为坐标原点，且(OP+。 尸) .RP = O , 则椭圆E 的离心率为2 16()A . 渔 B . C. I D . ；3 3 3 2【 答案】B【 分析】根据(O P + O F )/P = 0 可 得 对 ，尸尸，结合圆的相切关系可得| 耳 = 仇 然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率.【 详解】设椭圆的下焦点为 ，圆/ + ( ) ,_)2= 上 的 圆心为A , 线段尸尸的中点为B,2 16因为(OP+OF)尸 尸 = 0 ,所以( 02+ 0 尸 ) ( 0 尸-0 尸 ) = 0 , 即| 。 8 = |。 尸卜c ； 所以O8_LPE,由于。 8 耳，所以 耳工尸尸；因为线段P/与 圆 Y + (y 3， , 2 = 幺h2相切于点。，所以A Q L P F ,所以尸石4 。，所以2 16AQ _AF西 一 同因为|W | = 2c,|AQ| = ，|AF| = , 所以|P用 = b ；根据椭圆定义可得|PF| = 2 a -人，所以有(2a-h)2 +b2 =4c2, 整理得: = | ,所以离心率 e = = J l - 2 j = 4 故选：B
