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1、 自动控制理论 http:/第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型机电学院自动化研究所：柯海森仰仪南楼310 电话：869145491 自动控制理论 http:/2.1 2.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法2.22.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化2.32.3 传递函数传递函数2.42.4 系统框图及其等效变换系统框图及其等效变换2.62.6 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用2 2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.52.5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数2 自动控制理论 http:/ 系统的数学模型：描述系统
2、系统的数学模型：描述系统输入输入、输出变量输出变量以及以及内部其内部其它变量它变量之间关系的数学表达式。之间关系的数学表达式。2.1 2.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法 实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、（例如微分方程、传递函数传递函数等）等） 。 建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中最重要的建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中最重要的内容，与系统性能密切相关。内容，与系统性能密切相关。3 自动控制理论 http:/2. 2. 状态变量描述：不仅可以描述系统的输入、输出之间的
3、关系，而且还可以描述系统的内部特性。或称内部描述，例如状态变量空间法（矩阵），适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。控制系统中常见的控制系统中常见的两两种数学模型形式：种数学模型形式：1. 1. 输入输入输出描述：把系统的输出描述：把系统的输出量输出量与与输入量输入量之间的关系用之间的关系用数学方式表达出来。或称端部描述，例如数学方式表达出来。或称端部描述，例如微分方程微分方程、传递函传递函数数、框图框图和差分方程。适用于单输入、单输出系统。和差分方程。适用于单输入、单输出系统。2.1 2.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法4 自动控制
4、理论 http:/数学模型分为静态模型和动态模型两种。数学模型分为静态模型和动态模型两种。系统的动态特性系统的动态特性建立系统数学模型建立系统数学模型2. 2. 根据所应用的根据所应用的系统分析方法系统分析方法，建立，建立相应的数学模型相应的数学模型。1. 1. 全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型。定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型。2.1 2.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法微分方程微分方程代数方程代数方程解析法解析法实验法实验法5 自动控制理论 htt
5、p:/1.1.明确明确系统每一元件的输入输出量系统每一元件的输入输出量：根据基本的物理、化学：根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中的输入与输出的微分方程式。等定律，列写出系统中的输入与输出的微分方程式。2.2.明确明确系统的输入输出量系统的输入输出量：各元件方程叠加，：各元件方程叠加，消中间量消中间量，求，求得系统输入输出微分方程；得系统输入输出微分方程；3.3.标准化处理：与标准化处理：与输出量输出量有关项列有关项列左侧左侧，输入量输入量有关项列有关项列右侧右侧。建立系统微分方程的步骤：建立系统微分方程的步骤：2.1 2.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法6例2
6、-1：图2-1为一R-L-C电路，其输入电压为ur，输出电压为uc。试写出ur与uc之间的微分方程式。 图图2-12-1 R-L-C电路解：解： 根据电路理论中的基尔霍根据电路理论中的基尔霍夫定律，写出下列方程式夫定律，写出下列方程式消去中间变量，则得消去中间变量，则得（2-1） 在列写每一个元件的微分方程式时，必须注意到它与相邻在列写每一个元件的微分方程式时，必须注意到它与相邻元件间的相互影响。下面举例说明元件间的相互影响。下面举例说明7例2-2：已知R-C网络如图2-2所示，试写出该网络输入与输出间的微分方程。图图2-22-2 R-C滤波网络解：解：对于图2-2所示的电路，由基尔霍夫定律基
7、尔霍夫定律写出下列方程组消去中间变量消去中间变量 ，得（2-2）可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。8例2-3：设弹簧-质量-阻尼器系统如图2-3所示。试求外力与质量块位移之间的微分方程式。 式中，f 为阻尼系数；k为弹簧的弹性系数。（2-3）经变换得经变换得解：根据牛顿第二定律牛顿第二定律得可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。9 自动控制理论 http:/2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 严格讲，构成控制系统的元件，在其输出信号与
8、输入信严格讲，构成控制系统的元件，在其输出信号与输入信号之间，都具有不同程度的非线性。因此在研究控制系统动号之间，都具有不同程度的非线性。因此在研究控制系统动态过程时就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而，对于态过程时就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而，对于高阶非线性微分方程来说，在数学上不可能求得一般形式的高阶非线性微分方程来说，在数学上不可能求得一般形式的解。因此，当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将解。因此，当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将会遇到困难。会遇到困难。问题提出问题提出10 自动控制理论 http:/2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性
9、化 但是，如果对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研但是，如果对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研究问题的范围，那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其究问题的范围，那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的，并可用常系数输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的，并可用常系数线性微分方程来描述。这种将线性微分方程来描述。这种将非线性微分方程在一定条件下近非线性微分方程在一定条件下近似似转化为转化为线性微分方程线性微分方程的方法，称为的方法，称为非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化。通过线性化得到的线性微分方程将通过线性化得到的线性微分方程将有条件
10、地、近似地有条件地、近似地描述系统描述系统的动态过程。也就是说，只有近似条件成立时，基于线性化微的动态过程。也就是说，只有近似条件成立时，基于线性化微分方程来讨论系统的运动状态才有实际意义。分方程来讨论系统的运动状态才有实际意义。11 自动控制理论 http:/2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化线性化的基本思想线性化的基本思想1. 1. 对于一些较复杂的函数，为了研究方便，往往希望用一对于一些较复杂的函数，为了研究方便，往往希望用一些简单的函数来近似表达。些简单的函数来近似表达。2. 2. 由多项式表示的函数，只要对自变量进行有限的加、减、由多项式表示的函数，只要对自
11、变量进行有限的加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。项式来近似表达函数。12 自动控制理论 http:/ 控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作点。非线控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作点。非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小。离很小。微偏法：微偏法： 若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级理论
12、可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶和二阶以上的各项，用所得到的线性化方程代数，并略去二阶和二阶以上的各项，用所得到的线性化方程代替原来的非线性方程。这种线性化的方法就叫做微偏法。替原来的非线性方程。这种线性化的方法就叫做微偏法。2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化13 自动控制理论 http:/ 必须注意：如果系统在原平衡工作点处的特性不是连续的，必须注意：如果系统在原平衡工作点处的特性不是连续的，而是呈现折线或跳跃现象，如图而是呈现折线或跳跃现象，如图2-10，那么就不能应用微偏法。，那么就不能应用微偏法。yxyx图图2-10 2-10
13、本质非线性特征本质非线性特征2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化14y yx xy。x。 x xA A图图2-112-11非线性特征的线性化非线性特征的线性化设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图2-11所示，相应的数学表达式为y=f(x) （2-5） 在给定工作点（在给定工作点（ ）附近，将上式展开为泰勒级数：）附近，将上式展开为泰勒级数：或写为或写为（2-6）式（式（2-62-6）就是式（）就是式（2-52-5）的线性化方程。）的线性化方程。0 015 微分方程式是描述线性系统运动的一种基本的数学模型，微分方程式是描述线性系统运动的一种基本的数学模型，
14、通过求解，可以得到系统在给定信号作用下的输出响应。通过求解，可以得到系统在给定信号作用下的输出响应。 1 1）求解难度大；）求解难度大； 2 2）很难反映系统的结构、参数与其性能间的关系。）很难反映系统的结构、参数与其性能间的关系。 在控制工程中，一般也在控制工程中，一般也不需要精确不需要精确的知道其输出响应。的知道其输出响应。 希望用希望用简单的方法判断简单的方法判断系统的系统的稳稳定性和定性和动态性能指标动态性能指标，以，以及判别当系统中某些及判别当系统中某些参数改变参数改变或校正装置对系统或校正装置对系统性能的影响性能的影响。 以以传递函数传递函数为工具的根轨迹法和频率响应法就可以实现上
15、为工具的根轨迹法和频率响应法就可以实现上述要求。述要求。16 自动控制理论 http:/v拉普拉斯变换拉普拉斯变换v传递函数的定义传递函数的定义v传递函数的基本性质传递函数的基本性质v典型环节函数的数学模型典型环节函数的数学模型2.3 2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数17 自动控制理论 http:/拉普拉斯变换拉普拉斯变换1. 复数有关概念 复数 复函数 例：2. 拉氏变换定义 18 3. 几种常见函数的拉氏变换 单位阶跃单位阶跃：单位速度：单位速度： f (t)=t单位加速度：单位加速度： p30 19指数函数：指数函数： p30 正弦函数正弦函数：0 020微分的拉氏变换微分的
16、拉氏变换 令令微分定理：设微分定理：设 则则 积分定理：设积分定理：设 则零初始条件下有则零初始条件下有21若若其中分母多项式可以分解因式为：其中分母多项式可以分解因式为：P Pi i为为A(S)A(S)的根的根( (特征根特征根) )，当，当无重根时：无重根时：22 自动控制理论 http:/例1： 待定系数法待定系数法 代入特殊值代入特殊值x=3 x=3 得得 B=6B=6x=2 x=2 得得 A=-5A=-5拉普拉斯变换拉普拉斯变换23 自动控制理论 http:/例2： 解：解： 终值定理（终值定理（极限极限确实确实存在存在时）时）拉普拉斯变换拉普拉斯变换24 自动控制理论 http:/
17、 引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数传递函数代代替替微分方程微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见根轨迹法、奈奎斯特稳定判据）、分析控制系统的运动过程（见根轨迹法、奈奎斯特稳定判据），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供，以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。了可能性。 拉普拉斯变换拉普拉斯变换25 自动控
18、制理论 http:/2.3 2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 微分方程式的阶次一高，求解困难，且计算量也大。微分方程式的阶次一高，求解困难，且计算量也大。 对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。问题的提出：问题的提出： 在控制工程中，一般并不需要系统的精确解，而是希望用在控制工程中，一般并不需要系统的精确解，而是希
19、望用简单的方法了解系统简单的方法了解系统是否稳定是否稳定及其在及其在动态过程中的主要特征动态过程中的主要特征，能判别某些参数的能判别某些参数的改变改变或或校正装置的加入校正装置的加入对系统性能的影响。对系统性能的影响。26 自动控制理论 http:/传递函数的定义传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下零初始条件下系统（或元件）输出量输出量的拉氏变换与输入量输入量的拉氏变换之比。设系统输入r(t)，输出c(t) 则系统传递函数为 当传递函数和输入已知时C(s)=G(s)R(s)。通过反变换可求出时域表达式c(t)。2.3 2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数27将上式求拉氏变化，得(
20、令初始值为零令初始值为零）称为环节的传递函数式中：r(t)为输入信号，c(t)为输出信号为常系数,设系统或元件的微分方程为： 因为控制理论着重分析系统的因为控制理论着重分析系统的结构、参数结构、参数与系统的与系统的动态动态性能性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条件为零。之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条件为零。系统阶次系统阶次系统极点系统极点系统零点特征方程特征方程p2128 自动控制理论 http:/以Ur为输入，I为输出：经拉氏变换得到经拉氏变换得到2.3 2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数29 R-L-CR-L-C电路电路经拉氏变换得经拉氏变换得经拉氏变换得经
21、拉氏变换得30 自动控制理论 http:/传递函数的求取方法及应用举例v依据系统微分方程确定输入输出间传递函数；v依据微分方程组代入消元法求传递函数；v电网络可利用复阻抗直接求取传递函数； v依据系统输入输出信号求取传递函数。 31 自动控制理论 http:/方法方法3 3求解如下： 复阻抗(R,1/CS,LS)和分压定理使电网络传递函数的求取过程大大简化。p2832 自动控制理论 http:/系统单位输入及零初始条件下的输出相应为： 求传递函数方法方法4 433关于传递函数的几点说明v传递函数的概念适用于线性定常系统适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对
22、应。v传递函数不能反映系统或元件的物理性质不能反映系统或元件的物理性质。物理性质截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。v传递函数仅与系统的结构和参数有关仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。34v传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。对于多输入多输出系统，不能用一个传递函数去描述，而是用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出间的关系。v传递函数忽略了初始条件忽略了初始条件的影
23、响。v传递函数是S的有理分式的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。v 一个传递函数由相应的零、极点零、极点组成。35 自动控制理论 http:/ 传递函数是经典控制理论中最重要经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以： 不必求解微分方程不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统参数或结构变化时系统动态过程的影响-分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数对传递函数的要求-综合2.3 2.3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数361 1. . 比例环节（又叫放大环节）比例环节（又叫放大环节）特
24、点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。 运动方程: c(t)=Kr(t) K放大系数，通常有量纲。传递函数：372 2. . 微分环节微分环节运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：3. 3. 积分环节积分环节38 4 4. . 惯性环节惯性环节( (又叫非周期环节又叫非周期环节) ) 特点：其输出量延缓地反映输入量的变化规律特点：其输出量延缓地反映输入量的变化规律传递函数：传递函数：运动方程：运动方程：39 5 5. . 振荡环节振荡环节 式中：阻尼比，T T振荡环节的时间常数时间常数。特点：特点：包含两个独立的储能元件两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进
25、行交换能量进行交换，使输出带有周期性振荡的性质。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：406. 6. 纯滞后环节纯滞后环节x(t)ty(t)t特点：它的输出是经过一个延迟时间后， 完全复现输入信号，如右图所示。其传递函数为： 延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或41 自动控制理论 http:/小小 结结1. 不同物理性质的系统，可以有相同形式的传递函数。 如前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。 2. 同一个系统，当选取不同的输入量、输出量时，就可能得到不同形式的传递函数。 例如：电容：输入电流，输出电压，则是积分环节。 反之，输入电压，输出电流，则为微分环节。42 自动控制理论 http:/ 谢 谢43
