2023年经济数学基础考点版（线性代数电大考点版）

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1、经济数学基础线性代数一、单项选择题1 .设巾为3 x 2矩阵, 8为2 x 3矩阵, 则卜列运算中（AMAB B .屈 C. A+S） 可以进行.D. F/f2 .设A, 3为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ）A. (A6)T = ATfiTB. (AB)T = fiTATc . =A -(BT)- D. (ABT)- =A -,(B )T3 .设A , 8为同阶可逆方阵，则下列说法对的的是( D ).A .若M = / , 则 必 有 力 = / 或8= I B. ( AB)T = ATBTc .佚( A + 3 ) =秩( A) +秩( B) D. ( AB)-1 = fi - A-

2、 14 . 设A, B均 为 ” 阶方阵, 在下列情况下能推出，是单位矩阵的是(D .AAB=JB B AB=BA C. A A I o. A- 1 = I5 .设A是可逆矩阵，且A +A B = / .则A =( c ).A. B B. 1 + B C. I + B 0, (I-A B )-6 f A = ( 1 2 ). 6 = ( - 1 3 ). /是单位矩阵，则A , B / = ( D .A.- 1- 27. 设下面矩阵4 B,- 26。能进行乘法运算， 那 么 （B - 2 - 2 ） 成立.- 2 3-36A. AB= AC, X w 0 ,则 =CB . 49 = A C,

3、可逆，则方=CC . 4可逆，则4 5= BAD. AB = 0 ,则有 A = 0 ,或 =08.设A是 阶可逆矩阵， 是不为0的常数， 则（ & A） =（ C ） .A. kAB. A c . -kA D. Alkn k1 2 0 - 39. 设 A = 0 02 4- 1 3 ， 则 （ = （D ）.-1 -3A. 4B.3D. 11 3 1 2 60 - 1 3 1 4i o .设线性方程组AX = b的增广矩阵通过初等行变换化为0 0 0 2 -10 0 0 0 0则此线性方程组的一般解中白由未知量的个数为（A ） .D. 4X1 + 工2 = 111. 线性方程组 解的情况是（

4、A ） .项+= 0A .无解 B .只有0解 C .有 唯 解 D .有无穷多解_ 1 几 2一1 2. 若线性方程组的增广矩阵为A =2 1 0则 当%= G A，） 时线性方程组无解.2C. 1 D.213 .线性方程组AX = 0只有零解，则AX = Z ? S w 0） B）.A .有唯一解 B .也许无解 C .有无穷多解 D .无解1 4 . 设线性方程组4 * =6中，若 ，（ 4 6） = 4 ,广 （4 =3,则该线性方程组 （B ）.A .有唯一解 B.无解 C.有非零解 D .有无穷多解1 5 .设线性方程组AX = 6有唯解, 则相应的齐次方程组AX = O c ）.

5、A .无解 B.有非零解 C.只有零解 D.解不能拟定1 6 .设力为3 x 2矩阵, 夕为2x 3矩阵， 则下列运算中（A ） 可以进行.M A B B.C. A+S D.17. &. A , B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ）A. (AB)T =ABB. (AB)T = BrAT(W )T =D. (AJ3T)_| = A -(5-)T1 8 .设 A, 5为同阶可逆方阵, 则下列说法对的的是（ D ）.A .若AB = /,则必有4 = / 或 =/ B. （ AB）T = ATBTc. 秋 （ 4 + 8）=佚 （ A ） +佚 （8）O.（AB）- =B-A-l19 . 设

6、 A , 8均为阶方阵， 在下列情况下能推出力是单位矩阵的是（D ）.A. AB = B B. AB= BA c. AA = I D. A-1 = 120 . 设A是可逆矩阵， 且A +AB = / ,则= （ c ） .A. B B. 1 + B C, Z + B D. (/-A B )-12 i.设A = (1 2), 8 = (- 1 3), I是单位矩阵，则A.B -1 =().-1 3-I -23 6-2 -23 5-2 32 2 . 设卜面矩阵4 B.。能进行乘法运算, 那么（B） 成立.A. AB = AC, A * 0 ,则 B = CC. 4 可逆，则= BAB./15 =

7、AC, /f可逆， 则 8 = CD. AB = 0 , 则有力=0 , 或 6 = 0-12 3 . 若线性方程组的增广矩阵为A =2A12，则 当 X =（D）时线性方程组有无穷多解.4A. 1 . B. 1 C. 224. 若非齐次线性方程组. 展* = 6 的（D.2） ， 那么该方程组无解.A.秩 （ 给=n 。 B . 秩（ 力 ）= m C .秩 （ 用w 秩（A）X , + x2 = 12 5 .线性方程组 解的情况是（A ）.x + x2 = 0D .秩 （ 力 ） =秩（A）A. 无解 B . 只有0 解 C. 有唯一解 D .有无穷多解2 6 .线性方程组AX = 0只有

8、零解， 则AX = h （ A w 0）（ B ） .A .有唯一解 B . 也许无解 C ,有无穷多解 D. 无解27 .设线性方程组用 学中， 若M4 6) = 4 , r (A) = 3,则 该 线 性 方 程 组 (B ).A.有唯一解 B .无解 C有非零解 D .有无穷多解2 8 .设线性方程组AX = 人 有 唯 解，则相应的齐次方程组AX = 0 ( C ) .A .无解B.有非零解 C ,只有零解 D .解不能拟定3 0.设4 6均为同阶可逆矩阵， 则下列等式成立的是(B ).A. .AB) = B. = BO/C . AB T) 1 = * D , AB 7) = A (

9、)解析：AB ) =B A (40，= R * 故答案是 B31.设4 = ( 1 2 ), B= ( - 1 3 ), 是单位矩阵，则 才 夕 - =( A ).-2 3 -2 B.-1 3 -2 -2D .0=1*(1)1 |_2*(-1)1 30 -13 2 .设线性方程组AX = 2的增广矩阵为0 00 2-2 0 50 2 43 2 - 10 -4 -8则此线性方程组殷解中自由先知量的个数为(A ).13-2050-1024解析：0032-1020-4-80 . 413-205, + * 2 、0-10240032-100000f l 233.若线性方程组的增广矩阵为储，B)=A.

10、1 B. 4 C . 2 .则 当2= r （ A）= l选A3 5. 以下结论或等式对的的是（C ） .A.若A , 8均为零矩阵, 则有A = BB.若 A B = A C，且 A w O,则 8 = CC .对角矩阵是对称矩阵D.若 A w 0, 3 w O.则 A B w O36. 设 A为 3 x 4矩阵， 8 为5 x 2 矩阵，且乘积矩阵A C B ，故意义，则为（A）矩阵.A. 2x 4 B. 4x 2. c. 3 x 5 D. 5X33 7 .设 4,3 均为阶可逆矩阵， 则下列等式成立的是（c ）.A. ( A + B y1 = A -1+ 5-1B. (A B )T= A

11、 T 8Tc . A = B / D. A B= B A3 8 .下列矩阵可逆的是（A).2 2 23 9. 矩 阵 A = 343 3的秩是（4 4B ) .1 10 01 1A. 0B. 1C . 2D . 3二、填空题1 .两个矩阵A, B既可相加又可相乘的充足必要条件是 A与8是同阶矩阵- 2 3 - 14 - 6 22 . 计 算 矩 阵 乘 积1 2 0 = 4 L J 0 1 13 . 若 矩阵4 = - 1 2 打=1 2 3 1 ,则 / 庐4 . 设A为2 X n矩阵，3为 $ X，矩阵，若 A B 与 B A都可进行运算， 则1 , , S ,，有关系式2 =， ， =

12、S5 . 设 A = a26 . 当 。w 3-1 ci7 . 设A, B为两个已知矩阵，且I 一3可逆, 则方程A + 3X = X的 解X = ( 1 B)-1 A0 20 3 ，当 = o 时 ,A是对称矩阵.3 - 1F 1 3一时，矩 阵A = 可逆.8 .设A为n阶可逆矩阵, 则r( J)= n2 - 19 .若矩阵力=4 00 - 322 , 则 刀用31 0 . 若垃= 4 , 7- ( / 1 ) = 3,则线性方程组4 v二十 ，无解，。.1 1 .若线性方程组X - %2 = 0$ + AX2 = 0有非零解， 则2 =1 2 .设齐次线性方程组A x X x l = 0

13、 且秩(4) - r n ,则其般解中的自由未知量的个数等于 n - r ,1 - 11 3 . 齐 次线性方程组A X = 0的系数矩阵为A = 0 10 02 30 - 2 则此方程组的一般解为0 0( 其中工3，工4是自由未知量)14 . 线性方程组AX = b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为12 0 1X- 0 4 2 - 1010 0 0 0 d + 1则当d =-1 时, 方程组 AX = 人 有无穷多解.15 .若线性方程组AX = Z ? ( w 0 )有唯一解，则AX = 0只有o解 .16 .两个矩阵A , B既可相加又可相乘的充足必要条件是 .答案：同阶矩阵17. 若矩阵力

14、= 1 2 , = 2 一1 ,则才庐二答案- 2 14 一21 018. 设 A = a 02 323 .当a = _ _ _时，A是对称矩阵. 答案： 。=0- 1A131 9 .当 4时， 矩阵可 逆 . 答案：a w 3- 120 .设A , B为两个已知矩阵, 且/ 一 5可逆, 则方程A + BX = X的 解X =答案：( 7 - B ) A2 1 . 设A为 阶可逆矩阵， 则 / ( 4)=.答案：n2-122 2 . 若矩阵力=4 0 20 - 3 3则r（ 冷 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ . 答案：22 3 . 若 r （ 4 6） = 4 , r（ J） = 3

15、 , 则线性方程组力X = 5.答案:无解X , - X2 = 02 4 . 若线性方程组 10010-101010-2-417-121-1-20371012100010001-1203-710-12所以 A04 .设矩阵A二124 , 解由于5I )所 以A =15 .设 矩 阵 /15.解 由于AB1-1201101224030-7-12， 求逆矩阵A-111-110010024-3/20-224001001010022-200I00001-124T113-3/2100011-342-8000001010-20024001-1-2I-1-2-21I1-1/26312-2-1-2I111-1

16、/2, B0410-2， 计算00-23-211126. 设 矩 阵 A0-2B6.解由于明二202-3010-1202(B A I )=-所以-27.解由于-5-342101-12,计算（ 班 ）I101-200-1-42-1-11142001-2450-2%-27 .解矩阵方程(4)104011 11 133 40 1Il l 1 1fo 1 -3 _2产o0 41 -33-2所 以 /8 .解 ： 由于8.解矩阵方程2即-1 -3019 .谀线性方程俎1 0 -50 1 32-1所以,x0-1 -5+ 叼 =223H-1-8043X + 2% 2 -工3 = 02司 + 九2 - a x

17、3 = b讨论当a, 为什么值时,9 .解由于方程组无解，有唯解, 有无穷多解.1 0 1 2 1 0 1 21 2 - 1 0- 0 2 -2 -22 1 -a b0 1 - a - 2 b -41 0 1 2- 0 1 -1 -10 0 - a - b-3所以当a = - 1且b w 3时. 方程组无解;a a * 1 时，方程组有唯一解;当a = 1且b = 3时，方程组有无力多解.x + 2xj 110.设线性方程组 - X + * 2 - 3%3 = 2 , 求其系数矩阵和增广矩阵的秋，并判断其解的情况.2X 1 - x2 +5%=010 .解 由于1 0印=-1 12 -12 -1

18、1 1 0-3 2f o 15 0 J |_0 -12 -1-1 11 21 0 2- 01 10 0 0-113所以 r(0) = 2 ,r(A ) = 3 .又由于r (4) * 7 ( A ) ,所以方程组无解.11 .求下列线性方程组的一股解：再 + 2xj - x4 = 0, 一尤| + -3 / + 2*4 02 元 - x2+ 5X3- 3X4 = 0u.解由于系数矩阵102-1102-1A = -1I-320I-112-15-30-11-11 0 2 - 10 1 - 1 10 0 0 0所以一般解为 2 / +（ 其中x3. x4是自由未知量:）12.求下列线性方程组的一般解

19、:2% | 5X2 + 2xj 3$ + 2X2 - x3 = 32XI + 141212 .解 由于增广矩阵22123A-5-3-1-1-9-9-214-61218-818-1 0 -1/9 1T 0 1 -4/9 10 0 0 012304014%+ 1所以一般解为（ 其中X 3中自由是知山,+ 113 . 设齐次线性方程组x- 3X2 + 2 无3 = 0100- 1106- 30- 330102 - 3问A取何值时, 方程纨A X = b有解？ ” 1方程组有解时，求方程组A X = b的一股解.1 5 . 解 ：*几= 3时 ,r( A ) = r( A ) = 2 ,方程组有解.当

20、 4 = 3 时，A - 般解为100-1I06-30-3301001000I0301-303000$ = 1 3X3x2 - 3X3 3X4其中x3. x4为自由未知量.1 6 .设 矩 阵A =1解 由 于40(BA I ) 11022410017.设矩阵A - - 2-3解：由矩阵减法运算得-20. 8-322-212-310210402,计算 01 J | _ 013 10 011-21010 -30 11 1 3f 0 1 10 0 - 11- 2- 101- 101 fl 1 0 -20 0 10 -31 J o 0 1 1- 3 30 11 - 110 0 1-0 1 0 30

21、0 11- 3 20 11 - 1即 （ / - A ） T =- 1 - 1is.设矩阵A - - 1 22 21 - 3 2- 3 0 11 1 - 1oi r 2-I , B= -13 1求 箱8解：运用初等行变换得1-12- 1220 1 0 01 p1 0 1 0 - 0- 113 0 0 1 J | _ 0 40 10 01 1 1 03-20 11 - 1T 0 10 00 1 01 1 1- 1 - 6 - 4ol p - 10 - 0 11 0 00 1 0 00 - 5 - 3 116 4-110 0 -4-3 1-0 10 -50 0 16- 341- 1即A-1由矩阵乘

22、法得A-B-4-56-4-56-3-3411-1-34-319. 求解线性方程组的一般解X - 3X2 + 2光3 + 冗4 = 0 X 1 + 2 / -七 + 2% 4 = 0$ - 2% 2 + 3% 3 - 2X4 = 0解: 将方程组的系数矩阵化为阶梯形1-3211-3 211-3211-3 0-12-12T0-1 130-113 01 01-23-201 1-3002000 11-301 0 0 - 8- 0 1 0 - 30 0 1 0般解为匹= 8x4 x2 = 3X4 （ 工4是白由未知量）无3 =02 0.求当几 取何值时，线性方程组X | + -2七一Z 二 -2 0 -

23、 1 11 5 104 + 1 9 1 |_0 0 0 0 2 -12 + 1所以， 当X = 1时, 方程组行解,且有无穷多解,10 94801 -11-5-1000 000王= 8 -4匕笞案：4 其中, *4是自由未知量x2 = -10 + 11当 +5X421.求 当A取何值时, 线性方程组2% - x2 + x3 + x4 = 14项 + 2X2 -X3 + 4X4 =:X j + 7X2 4X3 + 1 IX 4 =解，将方程组的增广矩阵化为阶梯形-1 4 23 -7 -3-3 7 2 - 2-2 -1 1 1 r 212- 142f0 f1 7 -4 11 20 51 2 -1-

24、 0 - 5 30 0 04 2-7 -30 2 -5当4 = 5时, 方程组有解, 且方程组的一般解为46xt =3 3 7X2 - - + - - 3 7X4其中%3， %4为自由未知量.解-112 31-12 2 1-32 |_ 22431912-4-72 4 56 1 03 - 2 71705 15 21 11 0-3 -2 -142 32 3 .设矩阵A = 1 10 -1|4同解由于= 恸2 3网=1 10 -1- 1 2 31 = 1 11 0 -122 22 = (-I E* 2= 2oi1 2* 1 10 13 1 22 = 0 -11 0 13-1 =0I所 以|A0 =|

25、川 =2x0 = 0( 注意： 由于符号输入方面的因素, 在题4题7的矩阵初等行变换中, 书写时应把(D弓成；(2 )写成：(3)闿成; )1 224. 设矩阵4= 2 21 141 ，拟定 力 的值，使r(A)最小.0解1 2 42 2 11 1 0_1 2 43四 1 1 02 2 11 2 40 -1 -490 2 04当4 = W时，r(A) = 2达成最小值.2 -55 -82 5 .求矩阵A =1 -74 -13 2 15 4 34 2 01 2 32 - 5 3 2 15 - 8 5 4 34 -1 - 7 4 2 04 - 1 1 2 3(2)+(1)-1(3)+(M-202

26、-4 -74 - 1 1 2 3( )、-1 -7 4 2 0-5 - 8 5 4 32 - 5 3 2 1(2附 -5怵i雅“ (A) = 2.2 6 .求下列矩阵的逆矩阵:1-7420(2(3)-31-7420027-15-6309-5-2109-5-2100000027-15-6300000A21解同1001001-31-301-3-30121-1+(1”(3)+(。 ( -1 )001-1-321 00 973 104-3-1 0-321-311-1(3 用 2)41 -1 -3102-111-130-140-29-310-523-834-1879+(2)3 、1000I0001400

27、1010021100100010001123134379(1)+(3)-2(2卜 A123134379-13 -6 -3-4 -2 -12 1 1（ 2） 4-13 - 6 - 3 1 0 0-1 0 0 1 - 3 0解 :A/ =- 4 - 2 - 1 0 1 0。） +（2-3 ）-4 -2 - 1 0 1 02 1 1 0 0 12 1 1 0 0 10（ 2） +（ 1） .-4（ 3Ml2100-130-100-130（ 1 消1 ）0-2-1-4130（ ， ） ）0112-610112-610-2-1-41300130100（ 3 用 2 1 2）：.A27.设矩阵4-6（ 2

28、附口）10-1302-7-10122 -7-1, B.求解矩阵方程XA=B-3 1 +（ 2） 2.（ 2 旧 1. -5 23 -13502-12T-53 32-1- 1 0-1 1解10031121010101200003212251 011223121 01 000四、证明题1 .试证：设4 8,力均为阶对称矩阵，则力81 .证由于I = A , = B,( 力力=A B所以 A B = (A B ) = S1 / = B A2 . 试证: 设A是阶矩阵，若4, = o,则 ( / - A)-1 = / + A + A ? .2.证由 于 ( / A)(/ + A + A2)I + A

29、+ A2- A - A2-A3 =7-A3= I所 以(7-A)-1 = I + A + A2123. 己知矩阵 A =万(8 + /) ,且A = A， 成证3是可逆矩阵， 并求8 .3.证由于 A2 = (B + /)2 = (B2 4 - 2B + /) ,且 A? = A .即4 41 7 1 (82+28+/) = (8 + /),4 2得= / .所 以B是可逆矩阵，旦B = B .4. 设 阶矩阵A满足A? = I A4T = I,证明A是对称矩阵.4 . 证由于A = AI = AAAr=IAr = Av所以A是对称矩阵.5 .设月，笈均为阶对称矩阵，则4屏胡也是对称矩阵.5.

30、证由于 AT = 4 3T = B a.(AB + BAY = (AB)T + (BA)T = BTAT + ATBT0 = BA+ AB AB+ BA所 以 必 是 对 称 矩 阵 .6、试证：若Bx, 斗都与A可互换,则, B B2也与A可互换。证: 丁 BA = AB, BA = AB：.( 耳 + 斗) A = 8 A + % A = AB1 + AB2 = A(B( 4 - B2)即B + B2也与A可互换。（ 耳 B2）A = B（ B2 A）=BAB2） =（ B, A）B2 = A（ B 1 B2）即B、B2也 与A可互换.7 . 试证：对于任意方阵4. A + A A4T,A

31、TA是对称矩阵。证： : （ A + A7 y = +（Ar）r =Ar +A = A + Ar：.A+ A 是对称矩阵。. AAr是对称矩阵。.（ ArA）r=Ar-（ AT）r =ArA，ArA是对称矩阵.8 .设A, B均 为n阶对称矩阵，则AB对称的充足必要条件是：AB = BA证：必要性： = A . BT =B若AB是对称矩阵, 即 （ 必丁 = AB而（ AB） =8AT = BA 因 此AB=BA充足性：若 AB= BA.则（ AB） ， = BrAr = BA = AB . A3是对称矩阵.9.设A为 阶对称矩阵，B为 鹿阶可逆矩阵, 且B = B1,证 明Bl A8是对称矩阵。证： ：AT = A Bl = B1（B- AB）r = （ A6） J 3T =BT，AT -（BT =B-ABB A8是 对 称 矩 阵 . 证 毕 .