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1、廿一世紀廿一世紀的的數學數學展望展望Mathematics in the 21 Century丘成桐丘成桐哈佛大哈佛大學學1/9, 2006 於台灣中央大學於台灣中央大學 在新世紀開始，全世界科學家對這個新在新世紀開始，全世界科學家對這個新時代的來臨，有着無比的興奮，期待着人類時代的來臨，有着無比的興奮，期待着人類有史以來最新的有史以來最新的發發現。數學是所有推理學問現。數學是所有推理學問的基礎，我希望在這個的基礎，我希望在這個演演講裏能夠指出今講裏能夠指出今後後數學數學發發展的一些綫索。展的一些綫索。 由希由希臘臘數學家數學家發發展展歐歐式幾何的公理系統式幾何的公理系統開始，人開始，人類對嚴
2、謹類對嚴謹的三段論的三段論証証方法才有實體方法才有實體的認識，影響所及，凡是需要推理的學問都的認識，影響所及，凡是需要推理的學問都與數學有關，推理的學問可分物理科學，工與數學有關，推理的學問可分物理科學，工程科學和社會科學。程科學和社會科學。 數學數學社會科學社會科學工程科學工程科學物理科學物理科學社會科學社會科學經濟經濟金融金融保險保險估值估值病病歷歷調調查查生生物統計調查物統計調查都市規劃都市規劃人口流動人口流動人口調查人口調查民意調查民意調查文文獻獻整整理理歷歷史史研究研究訊訊息息科科學學網網絡絡科學科學工程科學工程科學計計算算機機科科學學，圖圖像像識識別別，密密碼碼問問題題半半導導体体
3、，量量子子工工程程學學，分分子子結結構構固固体体科科學學軟軟体体結結構構材材料料力力學學結結構構理理論論地地質質結結構構流流体体科科學學血血液液流流問問題題氣氣象象科科學學Fusion熱熱力力學學油油管管科科學學航航空空，航航天天湍湍流流問問題題海海洋洋大大氣氣太太空空物理科學物理科學弦弦理理論論量量子子多多体体問問題題多多体体問問題題古古典典力力學學電電磁磁理理論論廣廣義義相相對對論論量量子子力力學學量量子子場場論論基基本本粒粒子子統統一一場場論論n n數學和工程科學乃是社會科學的基礎數學和工程科學乃是社會科學的基礎n n理論物理乃是工程科學的基礎理論物理乃是工程科學的基礎n n數學乃是理論
4、物理的基礎數學乃是理論物理的基礎 人類科技愈進步愈人類科技愈進步愈人類科技愈進步愈人類科技愈進步愈有有有有能能能能力去力去力去力去發現新發現新發現新發現新的的的的現現現現象象象象。種種繁複種種繁複種種繁複種種繁複的的的的現象使現象使現象使現象使我們更加我們更加我們更加我們更加迷惘迷惘迷惘迷惘，而亦，而亦，而亦，而亦因此而更加興奮。因此而更加興奮。因此而更加興奮。因此而更加興奮。( ( ( (例如：湍流問題例如：湍流問題例如：湍流問題例如：湍流問題、黑洞問題黑洞問題黑洞問題黑洞問題) ) ) ) 但是主宰所有現象變化但是主宰所有現象變化但是主宰所有現象變化但是主宰所有現象變化的的的的只是幾個小數
5、只是幾個小數只是幾個小數只是幾個小數的基本定律。的基本定律。的基本定律。的基本定律。在高能物理裏有所謂在高能物理裏有所謂在高能物理裏有所謂在高能物理裏有所謂Standard model (Standard model (Standard model (Standard model (標準模型標準模型標準模型標準模型) ) ) )，這個理論，這個理論，這個理論，這個理論統一統一統一統一而而而而解釋解釋解釋解釋了三個基本場了三個基本場了三個基本場了三個基本場：電磁場、弱力、強力。：電磁場、弱力、強力。：電磁場、弱力、強力。：電磁場、弱力、強力。但是但是但是但是重力場和這三個重力場和這三個重力場和這
6、三個重力場和這三個力力力力場還未場還未場還未場還未得到得到得到得到統一統一統一統一，主要，主要，主要，主要是因為與量子力學未能融合。是因為與量子力學未能融合。是因為與量子力學未能融合。是因為與量子力學未能融合。重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和和牛頓力學統一牛頓力學統一後後而形成的而形成的理論。理論。這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創作這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創作。愛因斯坦方程是愛因斯坦方程是 其中其中 g gij ij ij ij 是測度張量是測度張量（引力場）（引力場） T Tij ij ij ij 是物質張量是物質張量 R Rij ij ij
7、ij 是是RicciRicci曲率張量曲率張量弦理論企圖統一重力場和其他所有弦理論企圖統一重力場和其他所有弦理論企圖統一重力場和其他所有弦理論企圖統一重力場和其他所有力力力力場。場。場。場。這是一個這是一個這是一個這是一個宏大的搆想。宏大的搆想。宏大的搆想。宏大的搆想。在廿一世紀，在廿一世紀，在廿一世紀，在廿一世紀，我相信我相信我相信我相信基本數學會遇到同樣的挑戰：基本數學會遇到同樣的挑戰：基本數學會遇到同樣的挑戰：基本數學會遇到同樣的挑戰：基本數學基本數學基本數學基本數學也將會來個也將會來個也將會來個也將會來個大統一，大統一，大統一，大統一，也也也也只有在只有在只有在只有在數學數學數學數學各
8、門分各門分各門分各門分支大統一支大統一支大統一支大統一後後後後，這些這些這些這些分支才會放出燦爛的火花。分支才會放出燦爛的火花。分支才會放出燦爛的火花。分支才會放出燦爛的火花。因為因為因為因為只有經過統一後，這些只有經過統一後，這些只有經過統一後，這些只有經過統一後，這些學問才學問才學問才學問才會會會會得得得得到到到到本質上的瞭本質上的瞭本質上的瞭本質上的瞭解。解。解。解。數學的大統一將會比物理的大統一來得基數學的大統一將會比物理的大統一來得基本本，也也很可能很可能由由物理學的物理學的統一場論孕育而統一場論孕育而出。近代弦論的發展已經成功的將出。近代弦論的發展已經成功的將 微分幾何微分幾何 代
9、數幾何代數幾何 群表示理論群表示理論 數論數論 拓樸學拓樸學相當重要相當重要的的部份統一起來。部份統一起來。而這二十年來而這二十年來數數學已經由學已經由弦論弦論得到豐富的果實。得到豐富的果實。 大自然提供了大自然提供了最最為重要的數學模型，以為重要的數學模型，以上很多模型都是從上很多模型都是從物理直覺或從物理直覺或從實驗觀察出實驗觀察出來的，但是數學家卻可以用自己的想像，在來的，但是數學家卻可以用自己的想像，在觀察的基礎上創造觀察的基礎上創造出出新的結構。新的結構。 成功的數學結構往往是幾代數學家的共成功的數學結構往往是幾代數學家的共同努力得出的成果，也往往是數學中幾個不同努力得出的成果，也往
10、往是數學中幾個不同分支合併出來的火花。同分支合併出來的火花。 幾何和數字幾何和數字(尤其是整數尤其是整數)可說是數學裏最可說是數學裏最直觀的直觀的對象，對象，因此在因此在數學的數學的大統一中大統一中會會起起着着最最要緊的作用。要緊的作用。 廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法已經將整數方程的一部份與幾何已經將整數方程的一部份與幾何結合結合，群表，群表示理論示理論是是數論和幾何學數論和幾何學結合的一個橋樑結合的一個橋樑。 每次每次數學分支的結合數學分支的結合都有結構性的變化都有結構性的變化, 例如算術幾何的產生例如算術幾何的產生，將數論和幾何都帶入新，將數論和幾何
11、都帶入新的的境境界，解決了一系列的古典問題界，解決了一系列的古典問題。 在在過去過去廿年，拓樸學和幾何已經融合。廿年，拓樸學和幾何已經融合。 三維空間和四維空間的研究三維空間和四維空間的研究不能缺乏不能缺乏幾幾何何的工具的工具。 Thurston 的猜測的猜測和和 Hamilton 的工作的工作是是在三維空間上引在三維空間上引進進幾何結構，這些創作新結幾何結構，這些創作新結構的理論構的理論具具有劃時代的重要性，正等如十九有劃時代的重要性，正等如十九世紀世紀的數學家創造的數學家創造 Riemann surface 概念一概念一的的重要。重要。 分析和幾何分析和幾何分析和幾何分析和幾何已經已經已經
12、已經逐漸融合，逐漸融合，逐漸融合，逐漸融合，這三十年來這三十年來這三十年來這三十年來，微分，微分，微分，微分方程在複幾何方程在複幾何方程在複幾何方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出的貢獻和拓撲學上有極為傑出的貢獻和拓撲學上有極為傑出的貢獻和拓撲學上有極為傑出的貢獻。通過通過通過通過分析方法，陳氏類，分析方法，陳氏類，分析方法，陳氏類，分析方法，陳氏類，HodgeHodge 理論，理論，理論，理論，AtiyahAtiyah-Singer-Singer 指指指指標定理和我在標定理和我在標定理和我在標定理和我在複複複複流形上搆造的流形上搆造的流形上搆造的流形上搆造的 KahlerKahler-Einst
13、ein-Einstein 度度度度量，在代數幾何中解決了很多極為重要的問題。量，在代數幾何中解決了很多極為重要的問題。量，在代數幾何中解決了很多極為重要的問題。量，在代數幾何中解決了很多極為重要的問題。 最近最近最近最近 HamiltonHamilton 的的的的 Ricci FlowRicci Flow 通過通過通過通過 PerelmanPerelman 工工工工作可能解決了作可能解決了作可能解決了作可能解決了 ThurstonThurston 的猜想，這些都是數學上百的猜想，這些都是數學上百的猜想，這些都是數學上百的猜想，這些都是數學上百年年年年來來來來的大事。的大事。的大事。的大事。 在
14、四維空間上，在四維空間上，在四維空間上，在四維空間上，DonaldsonDonaldson 利用利用利用利用 TaubesTaubes，UhlenbeckUhlenbeck 在規範場上的存在性定理得到四維在規範場上的存在性定理得到四維在規範場上的存在性定理得到四維在規範場上的存在性定理得到四維拓撲的突破。拓撲的突破。拓撲的突破。拓撲的突破。 上述工作和上述工作和上述工作和上述工作和 Donaldson-Donaldson-Uhlenbeck-YauUhlenbeck-Yau在在在在複複複複幾何中規範場的工作都與代數幾何和弦理論幾何中規範場的工作都與代數幾何和弦理論幾何中規範場的工作都與代數幾何
15、和弦理論幾何中規範場的工作都與代數幾何和弦理論息息相關。息息相關。息息相關。息息相關。 事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深入的暸解。入的暸解。入的暸解。入
16、的暸解。 在二十一世纪的在二十一世纪的在二十一世纪的在二十一世纪的數學裡數學裡數學裡數學裡，三维的双曲空，三维的双曲空，三维的双曲空，三维的双曲空間間間間和四維和四維和四維和四維的代數曲面理論的代數曲面理論的代數曲面理論的代數曲面理論會變會變會變會變得如黎曼曲面一得如黎曼曲面一得如黎曼曲面一得如黎曼曲面一樣樣樣樣重要，重要，重要，重要，數學數學數學數學會進會進會進會進入一入一入一入一個個個個盡情享受低维空盡情享受低维空盡情享受低维空盡情享受低维空間間間間特殊性质的局面，代特殊性质的局面，代特殊性质的局面，代特殊性质的局面，代數數數數幾幾幾幾何裏的二维、三维和四维流形會有更何裏的二维、三维和四维
17、流形會有更何裏的二维、三维和四维流形會有更何裏的二维、三维和四维流形會有更徹徹徹徹底的理底的理底的理底的理解。解。解。解。 我我我我們們們們希望希望希望希望 HodgeHodge 猜测猜测猜测猜测會會會會得到圆满的解决，得到圆满的解决，得到圆满的解决，得到圆满的解决，從從從從而而而而得知一得知一得知一得知一個個個個拓拓拓拓樸樸樸樸子流型什子流型什子流型什子流型什麼時麼時麼時麼時候可以由代候可以由代候可以由代候可以由代數數數數子流子流子流子流形來形來形來形來表示。同表示。同表示。同表示。同樣樣樣樣的的的的問問問問题也题也题也题也適適適適用用用用於於於於 Vector bundleVector b
18、undle 上。由弦上。由弦上。由弦上。由弦理理理理論論論論得到的得到的得到的得到的啟啟啟啟示，有些特殊的子流形或可代替代示，有些特殊的子流形或可代替代示，有些特殊的子流形或可代替代示，有些特殊的子流形或可代替代數數數數流流流流形形形形。 現在舉一個理論物理，數學和應用科學現在舉一個理論物理，數學和應用科學上的共同而重要的問題：上的共同而重要的問題：基本物理上的基本物理上的Hierachy 問題，是一個問題，是一個 Scale 的問題的問題。 引力場和其他力場的引力場和其他力場的 Scale 相差極遠，相差極遠，如何統一，如何解釋？如何統一，如何解釋？ 在古典物理，微分方程，微分幾何和各在古典
19、物理，微分方程，微分幾何和各類分析中亦有不同類分析中亦有不同 Scale 如何融合的問題。如何融合的問題。 在統計物理和高能物理中，用到所謂在統計物理和高能物理中，用到所謂renormalization group 的方法，是非穩定的方法，是非穩定系統的一個重要工具。系統的一個重要工具。 如何如何如何如何用用用用基本基本基本基本數學數學數學數學發發發發展出展出展出展出來的方法去處理來的方法去處理來的方法去處理來的方法去處理不同不同不同不同 Scale 是應用數學中一個重要問題是應用數學中一個重要問題是應用數學中一個重要問題是應用數學中一個重要問題。而而而而事事事事實上，實上，實上，實上，純數學
20、純數學純數學純數學本身本身本身本身亦有亦有亦有亦有不同度量的不同度量的不同度量的不同度量的問題問題問題問題。 在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或在研究漸近分析時，在研究漸近分析時，在研究漸近分析時，在研究漸近分析時，Blowing upBlowing up 分析是一個分析是一個分析是一個分析是一個很重要的工具很重要的工具很重要的工具很重要的工具，而這種，而這種，而這種，而這種 Blowing upBlowing up 的工具亦的工具亦的工具亦的工具亦是代數幾何中最有效的工具。是代數幾何中最有效
21、的工具。是代數幾何中最有效的工具。是代數幾何中最有效的工具。 在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定性和定量的分析來研究由性和定量的分析來研究由性和定量的分析來研究由性和定量的分析來研究由 Blowing upBlowing up 得出来的結得出来的結得出来的結得出来的結果，因此對不同果，因此對不同果，因此對不同果，因此對不同 scalescale 的量得到進一步的認識。的量得到進一步的認識。的量得到進一步的認識。的量得到進一步的認識。 微分幾何的張量分析微分幾何的
22、張量分析微分幾何的張量分析微分幾何的張量分析 ( ( ( (曲率張量曲率張量曲率張量曲率張量) ) ) ) 在在在在multiscalemultiscale分析中應該會有重要的應用分析中應該會有重要的應用分析中應該會有重要的應用分析中應該會有重要的應用，因為即使在同一點上，因為即使在同一點上，因為即使在同一點上，因為即使在同一點上，物理現象會有不同方向的變化，而此種變化亦應當受物理現象會有不同方向的變化，而此種變化亦應當受物理現象會有不同方向的變化，而此種變化亦應當受物理現象會有不同方向的變化，而此種變化亦應當受到到到到 scalescale 的影的影的影的影響響響響，而張量是研究它們的主要工
23、具。，而張量是研究它們的主要工具。，而張量是研究它們的主要工具。，而張量是研究它們的主要工具。 當一個圖當一個圖當一個圖當一個圖 ( ( ( (graphgraph) ) ) ) 逼近一個幾何圖形或微分方程逼近一個幾何圖形或微分方程逼近一個幾何圖形或微分方程逼近一個幾何圖形或微分方程的解時，的解時，的解時，的解時，multiscalemultiscale 分析極為重要，如何分析極為重要，如何分析極為重要，如何分析極為重要，如何使圖本身有使圖本身有使圖本身有使圖本身有一個自然的一個自然的一個自然的一個自然的 scaling scaling 的結搆的結搆的結搆的結搆無論在純數學和應用數學無論在純數
24、學和應用數學無論在純數學和應用數學無論在純數學和應用數學都是重要都是重要都是重要都是重要的的的的問題問題問題問題，我希望研究離散數學的學者亦注意，我希望研究離散數學的學者亦注意，我希望研究離散數學的學者亦注意，我希望研究離散數學的學者亦注意到這一點。到這一點。到這一點。到這一點。近代弦論發現有不同的量子場論可以互相近代弦論發現有不同的量子場論可以互相同構同構 ( (isomorphic) ) 然而然而scale 剛好相反剛好相反因此因此找到找到一一些些強強 Coupling Constant 的理的理論可以同另一論可以同另一些些弱弱 Coupling Constant 的的理論同構理論同構。
25、由於由於R R 這種奇妙的對稱可以保持量這種奇妙的對稱可以保持量子場論的結構，使得我們可以用擾動性子場論的結構，使得我們可以用擾動性（perturbation analysis）的方法去計算非擾的方法去計算非擾動的場論，在數學上得到驚人的結果。動的場論，在數學上得到驚人的結果。 更要注意到的一點是時空的結構可能因此有更要注意到的一點是時空的結構可能因此有基本上的觀念的改變。極小的空間不再有意義。基本上的觀念的改變。極小的空間不再有意義。時空的量子化描述需要更進一步的探討。物理時空的量子化描述需要更進一步的探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構
26、來描述這個量子化的空間。有不少學者建議用來描述這個量子化的空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到目標矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到目標但已得到美妙的數學現象。但已得到美妙的數學現象。 約在兩百年前，約在兩百年前，Gauss 發現發現 Gauss 曲率曲率的觀念而的觀念而創造內蘊幾何創造內蘊幾何時，就感歎到空間的觀時，就感歎到空間的觀念與時而變，和人類對大自然的瞭解有密切的念與時而變，和人類對大自然的瞭解有密切的關係。關係。 這二十年來，超對稱的觀念深深地影響著這二十年來，超對稱的觀念深深地影響著基本物理和數學的發展，在實驗上雖然尚未發基本物理和數學的發展，在實驗上雖然
27、尚未發現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝的現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝的能力，我們寧可相信在極高的能量時，超對稱能力，我們寧可相信在極高的能量時，超對稱確實存在，但如何看待超對稱在現實時空中的確實存在，但如何看待超對稱在現實時空中的殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學的一殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學的一個重要命題。個重要命題。 舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電磁場會舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電磁場會舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電磁場會舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意味著這種日常與完全不相關的子流形理論
28、同構，是否意味著這種日常與完全不相關的子流形理論同構，是否意味著這種日常與完全不相關的子流形理論同構，是否意味著這種日常能見的場論能見的場論能見的場論能見的場論可以用可以用可以用可以用不同的手法來處理？不同的手法來處理？不同的手法來處理？不同的手法來處理？ 種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何接近。在所謂會與算術幾何接近。在所謂會與算術幾何接近。在所謂會與算術幾何接近。在所謂 ArakeloArakelov v 理論中，除了在理論中，除
29、了在理論中，除了在理論中，除了在複數上定義的代數空間外，還需要考慮特微為複數上定義的代數空間外，還需要考慮特微為複數上定義的代數空間外，還需要考慮特微為複數上定義的代數空間外，還需要考慮特微為 p p p p 的代數的代數的代數的代數空間，才能夠對算術空間有完滿的瞭解，是否表示它們空間，才能夠對算術空間有完滿的瞭解，是否表示它們空間，才能夠對算術空間有完滿的瞭解，是否表示它們空間，才能夠對算術空間有完滿的瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界的問題？由此觀之，數論上的能夠幫助我們瞭解現實界的問題？由此觀之，數論上的能夠幫助我們瞭解現實界的問題？由此觀之，數論上的能夠幫助我們瞭解現實界的問題？
30、由此觀之，數論上的L L L L函数和函数和函数和函数和 Birch-Birch-SwinnertonSwinnerton-Dyer-Dyer 猜测有没有其他解釋？猜测有没有其他解釋？猜测有没有其他解釋？猜测有没有其他解釋？我們希望在上面提出的從弦理論産生的我們希望在上面提出的從弦理論産生的我們希望在上面提出的從弦理論産生的我們希望在上面提出的從弦理論産生的 dualityduality 在算術在算術在算術在算術幾何也會出現，二百多年來數論學家以橢圓曲綫為主要幾何也會出現，二百多年來數論學家以橢圓曲綫為主要幾何也會出現，二百多年來數論學家以橢圓曲綫為主要幾何也會出現，二百多年來數論學家以橢圓曲
31、綫為主要工具，一個自然的高維推工具，一個自然的高維推工具，一個自然的高維推工具，一個自然的高維推廣廣廣廣就是卡拉比丘空間。希望就是卡拉比丘空間。希望就是卡拉比丘空間。希望就是卡拉比丘空間。希望這個空間在算術幾何上有大的進展。這個空間在算術幾何上有大的進展。這個空間在算術幾何上有大的進展。這個空間在算術幾何上有大的進展。 现在用一个簡單的例子来解釋上述现在用一个簡單的例子来解釋上述现在用一个簡單的例子来解釋上述现在用一个簡單的例子来解釋上述 duality duality 的现象的现象的现象的现象。例子：例子： Laplace 算子算子 我們要求我們要求 在在 上定義，上定義， Z Zn n 是
32、一個是一個是一個是一個 latticelattice R Rn n 而而而而 l l 必定要在這個必定要在這個必定要在這個必定要在這個 latticelattice 的對偶中的對偶中的對偶中的對偶中 (Z(Zn n)*)* 的對偶是的對偶是的對偶是的對偶是 這個對偶在弦論中這個對偶在弦論中這個對偶在弦論中這個對偶在弦論中起相當重起相當重起相當重起相當重要的作用。要的作用。要的作用。要的作用。在在在在 FourierFourier 分析和數論中也已得重要的發分析和數論中也已得重要的發分析和數論中也已得重要的發分析和數論中也已得重要的發揮揮揮揮。 在在 L2(T)上的譜上的譜 (Spectrum)
33、是是 它的譜分解全部可以算出它的譜分解全部可以算出如果如果 f：R R 則則 如果我們有辦法用分析方法算出如果我們有辦法用分析方法算出 f()，則可，則可以得到以得到 trace formula舉例來說舉例來說 f(x) = exp(tx)exp(t) 的核函數可以算出為的核函數可以算出為 因此因此Poisson formula： 數論上的基本公式！數論上的基本公式！Trace formula Automorphic form 群表示理論群表示理論, , 數論數論這個這個 Torus 的對偶正是弦理論對偶的基的對偶正是弦理論對偶的基礎，現代數論的一個最重要的環節叫礎，現代數論的一個最重要的環節
34、叫Langlands 理論，也有對偶的問題，與代理論，也有對偶的問題，與代數幾何和表示理論有密切的關係。希望數幾何和表示理論有密切的關係。希望能夠與這一系列的想法也掛能夠與這一系列的想法也掛鈎鈎。另外一個在物理和數學科學共同而有力的工具就是另外一個在物理和數學科學共同而有力的工具就是另外一個在物理和數學科學共同而有力的工具就是另外一個在物理和數學科學共同而有力的工具就是對稱的概念，它有種種不同的表示方法，比較簡單對稱的概念，它有種種不同的表示方法，比較簡單對稱的概念，它有種種不同的表示方法，比較簡單對稱的概念，它有種種不同的表示方法，比較簡單的是由群的觀念開始。的是由群的觀念開始。的是由群的觀
35、念開始。的是由群的觀念開始。群的觀念群的觀念群的觀念群的觀念小群：小群：小群：小群：如鏡對稱如鏡對稱如鏡對稱如鏡對稱 如雪花的對稱如雪花的對稱如雪花的對稱如雪花的對稱連續群連續群連續群連續群 ( ( ( (李群李群李群李群) ) ) ) ：物理上用途物理上用途物理上用途物理上用途非緊離散群：非緊離散群：非緊離散群：非緊離散群： 在數論和幾何上的用途在數論和幾何上的用途在數論和幾何上的用途在數論和幾何上的用途無限維對稱：無限維對稱：無限維對稱：無限維對稱： 規範場中的規範群規範場中的規範群規範場中的規範群規範場中的規範群種種不同對稱的觀念種種不同對稱的觀念種種不同對稱的觀念種種不同對稱的觀念在廿
36、世紀後半期的理論科學有基本貢在廿世紀後半期的理論科學有基本貢在廿世紀後半期的理論科學有基本貢在廿世紀後半期的理論科學有基本貢獻獻獻獻。DualityDuality 比比比比 SymmetrySymmetry 更廣義，不同理論的基本同構將是廿更廣義，不同理論的基本同構將是廿更廣義，不同理論的基本同構將是廿更廣義，不同理論的基本同構將是廿一世紀的一個重要命題一世紀的一個重要命題一世紀的一個重要命題一世紀的一個重要命題。 如何在現實界找出如何在現實界找出如何在現實界找出如何在現實界找出對稱對稱對稱對稱？ 運用之妙運用之妙運用之妙運用之妙 存乎一心存乎一心存乎一心存乎一心在在在在於於於於作者的經驗和直
37、觀。作者的經驗和直觀。作者的經驗和直觀。作者的經驗和直觀。 由于現實界的問題，産生了由于現實界的問題，産生了由于現實界的問題，産生了由于現實界的問題，産生了廿一世紀基本科學的基本命廿一世紀基本科學的基本命廿一世紀基本科學的基本命廿一世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的物理基本現象題：如何將對稱的物理基本現象題：如何將對稱的物理基本現象題：如何將對稱的物理基本現象與與與與非對稱的世界聯合？非對稱的世界聯合？非對稱的世界聯合？非對稱的世界聯合？Symmetry breakingSymmetry breaking眾生色相眾生色相眾生色相眾生色相 何由而生？何由而生？何由而生？何由而生？ 舉例來說，舉
38、例來說，舉例來說，舉例來說，基本的物理定律是基本的物理定律是基本的物理定律是基本的物理定律是對時間來說對稱對時間來說對稱對時間來說對稱對時間來說對稱的，為何的，為何的，為何的，為何我們擔憂時光消逝？我們擔憂時光消逝？我們擔憂時光消逝？我們擔憂時光消逝？由對時間對稱的定律來解釋沒有對時間由對時間對稱的定律來解釋沒有對時間由對時間對稱的定律來解釋沒有對時間由對時間對稱的定律來解釋沒有對時間對稱的直觀世界是現代數學和物理的一個重要問題。對稱的直觀世界是現代數學和物理的一個重要問題。對稱的直觀世界是現代數學和物理的一個重要問題。對稱的直觀世界是現代數學和物理的一個重要問題。一個重要的解釋是由物理學上的
39、熵而來。一個重要的解釋是由物理學上的熵而來。一個重要的解釋是由物理學上的熵而來。一個重要的解釋是由物理學上的熵而來。熱力熱力熱力熱力第二第二第二第二基本定理說基本定理說基本定理說基本定理說 Randomness Randomness Randomness Randomness 隨時間而增隨時間而增隨時間而增隨時間而增 Entropy increase with timeEntropy increase with timeEntropy increase with timeEntropy increase with time 這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的瞭解。這是一個奇妙的定理，到如
40、今還未得到徹底的瞭解。這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的瞭解。這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的瞭解。 時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題目時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題目時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題目時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題目Roger Penrose Roger Penrose Roger Penrose Roger Penrose 和和和和 HawkingHawkingHawkingHawking都花了很多時間都花了很多時間都花了很多時間都花了很多時間去去去去討論。討論。討論。討論。這是因為這是因為這是因為這是因為EinsteinEinst
41、einEinsteinEinstein方程對時間來說是對稱的，然而方程對時間來說是對稱的，然而方程對時間來說是對稱的，然而方程對時間來說是對稱的，然而在現實世界，時間是不對稱的。在現實世界，時間是不對稱的。在現實世界，時間是不對稱的。在現實世界，時間是不對稱的。 熵的研究在現代物理和現代數學都起熵的研究在現代物理和現代數學都起熵的研究在現代物理和現代數學都起熵的研究在現代物理和現代數學都起了了了了極重要極重要極重要極重要的作用的作用的作用的作用，它在上面談到的，它在上面談到的，它在上面談到的，它在上面談到的 Hamilton Hamilton Hamilton Hamilton 理論就起着重要
42、理論就起着重要理論就起着重要理論就起着重要的功用的功用的功用的功用。但是如何找到它的基本意義而將不同領域但是如何找到它的基本意義而將不同領域但是如何找到它的基本意義而將不同領域但是如何找到它的基本意義而將不同領域的的的的熵熵熵熵的觀念融合起的觀念融合起的觀念融合起的觀念融合起來來來來是有需要的是有需要的是有需要的是有需要的 湍流的問題，湍流的問題，湍流的問題，湍流的問題，極為復雜，有不同極為復雜，有不同極為復雜，有不同極為復雜，有不同 scalescalescalescale 的問題，的問題，的問題，的問題，也應當有熵的問題。也應當有熵的問題。也應當有熵的問題。也應當有熵的問題。 流体力學中的
43、奇異點和流体力學中的奇異點和流体力學中的奇異點和流体力學中的奇異點和 boundaryboundaryboundaryboundary l l l layerayerayerayer 也也也也需要需要需要需要大量的理論投入，需不需要引力場方程来幫忙解大量的理論投入，需不需要引力場方程来幫忙解大量的理論投入，需不需要引力場方程来幫忙解大量的理論投入，需不需要引力場方程来幫忙解釋釋釋釋，我認為是有意義的，我認為是有意義的，我認為是有意義的，我認為是有意義的。 基本的方程式或基本的物理現象，用數學形式基本的方程式或基本的物理現象，用數學形式基本的方程式或基本的物理現象，用數學形式基本的方程式或基本的
44、物理現象，用數學形式表達出來時，表達出來時，表達出來時，表達出來時，都都都都是用等式來表達。是用等式來表達。是用等式來表達。是用等式來表達。 但往往在徹底研究這種等式以前，不等式但往往在徹底研究這種等式以前，不等式但往往在徹底研究這種等式以前，不等式但往往在徹底研究這種等式以前，不等式會産會産會産會産生，同時生，同時生，同時生，同時起起起起着着着着無比的重要性。無比的重要性。無比的重要性。無比的重要性。 波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也
45、是一波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一切分析和應用數學的精華。切分析和應用數學的精華。切分析和應用數學的精華。切分析和應用數學的精華。 Superposition是線性方程的特微，在研是線性方程的特微，在研究非線性究非線性integrable方程時，也方程時，也有有非線性的非線性的Superposition，一般而言，我們有沒有辦法，一般而言，我們有沒有辦法由少數的解來產生新的解是一個重要的問題。由少數的解來產生新的解是一個重要的問題。非線性現象是二十一世紀的研究物件。非線性現象是二十一世紀的研究
46、物件。 由由 Stationary 的物理現象到的物理現象到 Dynamical的物理現象，我們會遇到極為困的物理現象，我們會遇到極為困擾擾而又刺而又刺激的數學問題。在方程的觀點來說，橢圓激的數學問題。在方程的觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型的方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型的方程組，有極度困難的奇異點處理問題，方程組，有極度困難的奇異點處理問題，在物理上有震波的處理問題，既要研究估在物理上有震波的處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。機能夠幫忙。 高維空間的非綫性波和各種物理幾何高維空間的非綫性波和各種物理幾
47、何的關的關係係將會影響這幾十年的應用數學，其將會影響這幾十年的應用數學，其中有孤立子的現象，有震波現象，多種粒中有孤立子的現象，有震波現象，多種粒子在非綫性的互動時得出的宏觀現象，方子在非綫性的互動時得出的宏觀現象，方程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學的重要題目。的重要題目。 很多古典的方法或近代物理的方法應很多古典的方法或近代物理的方法應當可以應用到離散問題上去。大型的網絡當可以應用到離散問題上去。大型的網絡極為復雜，如何有極為復雜，如何有效效的傳播訊息，如何尋的傳播訊息，如何尋找資料，提供暸找資料，提供暸解解數學極有意義的問題。數學極有意義的問題。 圖
48、像處理和計算幾何更是一個電腦、圖像處理和計算幾何更是一個電腦、幾何、組合數學結合的好地方，在醫學上幾何、組合數學結合的好地方，在醫學上有重要的貢獻，自動控有重要的貢獻，自動控制制論和上述種種應論和上述種種應用都會結合，要得到最有用都會結合，要得到最有效效的用途需要數的用途需要數學學家家密切合作。密切合作。 研究研究應用數學應用數學的方法的方法 Modeling實驗實驗數字計算，統計數字計算，統計物理物理應用需要應用需要分析分析純數學，方程，統計純數學，方程，統計物理，化學，生物物理，化學，生物理論理論應用應用 當微分方程和幾何和組合數學，真正大當微分方程和幾何和組合數學，真正大統一時，應用數學
49、會有大進步。統一時，應用數學會有大進步。 有宏大胸襟的數學家會在前進途徑上創有宏大胸襟的數學家會在前進途徑上創造新的結構來因應這個統一的使命，來瞭解造新的結構來因應這個統一的使命，來瞭解不同的數學分枝。不同的數學分枝。數學數學在工業上的應用在工業上的應用工業問題，科學觀察實驗工業問題，科學觀察實驗統計，分析處理統計，分析處理理論，模型理論，模型計算，程序計算，程序應用應用預預測測控控制制優優化化仿仿真真設設計計 單靠程序和計算的數學即使有短暫的生單靠程序和計算的數學即使有短暫的生長力量，不會有深遠的影長力量，不會有深遠的影响响。 如何解釋由計算得出來的現象，如何與如何解釋由計算得出來的現象，如
50、何與物理和工程的現象物理和工程的現象相相吻合，如何利用計算結吻合，如何利用計算結果作有意義的預測，乃是計算數學的目標。果作有意義的預測，乃是計算數學的目標。因此理想的應用數學家，應該有數學家的根因此理想的應用數學家，應該有數學家的根基，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。基，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。數學提供應用數學幾個重要工具數學提供應用數學幾個重要工具概率，隨機分析概率，隨機分析組合理論組合理論代數代數( (Coding理論理論) )幾何幾何( (圖像處理，壓縮圖像處理，壓縮) ) 分析分析微分方程微分方程調和分析，調和分析，Fourier分析分析小波分析小波分析動力系統動力系統 由
51、於應用科學的產生，所有連續性的數由於應用科學的產生，所有連續性的數學理論或存在性定理，都有定量的逼近問學理論或存在性定理，都有定量的逼近問題，因此產生很多有意義的新的數學。題，因此產生很多有意義的新的數學。 物理，生物，化學，工程將會提供大量物理，生物，化學，工程將會提供大量有意義的問題和新的觀念。有意義的問題和新的觀念。 好的應用數學家需要融合各種的科學，好的應用數學家需要融合各種的科學，經費不是唯一的問題！經費不是唯一的問題！ 七零年代，七零年代， 應用數學家堅持分家，這是應用數學家堅持分家，這是由於聘請教授的觀點不同和經費收入不同所由於聘請教授的觀點不同和經費收入不同所致的毛病。致的毛病
52、。分家的結果：分家的結果：1、數數學學家家比比較較注注重重純純科科學學的的命命題題，尤尤其其理理論論物物理理提提供供了了豐豐富富的的題題材材和和方方法法，給給予予數數學學新新的的生生命命，雖雖然然搞搞分分析析數數學學和和組組合合數數學學的的教教授授也也接接觸觸應應用用數數學學，但但是是接接觸觸並並非非全全面面性性的的，用用時時往往往往缺缺乏乏應應用用能能力力，相相反反交交流流也不多。也不多。在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都是一流的數學家是一流的數學家是
53、一流的數學家是一流的數學家Von NeumannVon Neumann C. C. C. C. LinLin CourantCourant FederichFederich StokerStoker GlimGlimmm LaxLax Keller Keller MoserMoser主要發展應用數學的美主要發展應用數學的美，研究所為研究所為n nCourant Instututen nM. I. T.n nCaltech.n nStanfordn nBerkeley， Yale2、應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳統的數學訓練是不必要的。統的數學訓練是不必
54、要的。 在工業在工業 尤尤其是電腦工業其是電腦工業和金融企業的引誘下，急和金融企業的引誘下，急進猛追，結果優秀的學生捨本逐利，年青進猛追，結果優秀的學生捨本逐利，年青的應用數學隊伍很難建立起來。的應用數學隊伍很難建立起來。 分析分析微分方程微分方程 數學數學 幾何幾何代數幾何代數幾何數論數論組合數學組合數學統計統計 統計物理統計物理物理學物理學 古典力學古典力學 量子物理量子物理 廣義相對論廣義相對論n n計算數學計算數學n n工業界的顧問工業界的顧問謹作一詩，讚美統一的偉大謹作一詩，讚美統一的偉大謹作一詩，讚美統一的偉大謹作一詩，讚美統一的偉大時空統一頌時空統一頌時乎時乎時乎時乎時乎時乎時乎
55、時乎逝何如此逝何如此逝何如此逝何如此物乎物乎物乎物乎物乎物乎物乎物乎繁何如斯繁何如斯繁何如斯繁何如斯弱水三千弱水三千弱水三千弱水三千豈非同源豈非同源豈非同源豈非同源時空一体時空一体時空一体時空一体心物互存心物互存心物互存心物互存時兮時兮時兮時兮時兮時兮時兮時兮時不再嶼時不再嶼時不再嶼時不再嶼天兮天兮天兮天兮天兮天兮天兮天兮天何多容天何多容天何多容天何多容亙古恒遷亙古恒遷亙古恒遷亙古恒遷黑洞融融黑洞融融黑洞融融黑洞融融時空一体時空一体時空一体時空一体其無盡耶其無盡耶其無盡耶其無盡耶大哉大哉大哉大哉大哉大哉大哉大哉宇宙之謎宇宙之謎宇宙之謎宇宙之謎美哉美哉美哉美哉美哉美哉美哉美哉真理之源真理之源真理之源真理之源時空量化時空量化時空量化時空量化智者無何智者無何智者無何智者無何管測大塊管測大塊管測大塊管測大塊學也洋洋學也洋洋學也洋洋學也洋洋
