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1、初中数学中的分类思想方法初中数学中的分类思想方法 北京市团结湖三中北京市团结湖三中 付长虹付长虹20102010年年2 2月月2828日日 所谓所谓分类讨论分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答得到整个问题的解答 实质上，分类讨论是实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零化整为零，各个击破，再积零为整为整”的策略的策略. 简单地说，
2、简单地说，把研究的对象，按照一定的标准，划分成把研究的对象，按照一定的标准，划分成为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做分类讨论法。分类讨论法。一、分类思想方法定义与特点一、分类思想方法定义与特点 分分类类讨讨论论首首先先是是分分类类，没没有有正正确确的的分分类类，就就不不可可能能有有正正确确的的讨讨论论，而而分分类类本本身身是是一一种种逻逻辑辑上上的的划划分。分。 划划分分是是揭揭示示概概念念外外延延的的逻逻辑辑方方法法，逻逻辑辑划划分分原原则则是是进进行行逻逻辑辑划划分分的的依依据据，也也是是借借以以进进行行分分类类的的标标准。
3、准。 因因此此，弄弄清清划划分分的的依依据据于于规规则则是是正正确确进进行行分分类类讨论的基础。讨论的基础。 分类讨论法的理论依据：分类讨论法的理论依据：逻辑划分原则逻辑划分原则二、二、分类讨论法的理论依据分类讨论法的理论依据二、二、分类讨论法的理论依据分类讨论法的理论依据l逻辑划分原则是：逻辑划分原则是： 一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。进行，不可以越级。 l划
4、分的规则：划分的规则：1 .划分后各个子项应当互不相容划分后各个子项应当互不相容（不重）。（不重）。2.划分后各个子项必须穷尽母项划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。（不漏）。3.每次划分都应按同一标准。每次划分都应按同一标准。 规则规则1 1：划分后各个子项应当互不相容划分后各个子项应当互不相容（不重）。（不重）。 从集合的角度看，划分后的子集两两交集均为空集。从集合的角度看，划分后的子集两两交集均为空集。 例如例如：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的关系如图所示关系如图所示 如果把平行四边形分为矩形、菱形、正方形三类，这如果把平行四边形分为矩
5、形、菱形、正方形三类，这其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则1。划分规则举例：划分规则举例： 规则规则2 2：划分后各个子项必须穷尽母项：划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。（不漏）。 从从集集合合的的角角度度看看，划划分分后后所所有有的的子子集集的的并并集集应应该该等等于于是全集。是全集。 例如例如：自然数可以分为奇数和偶数两类。：自然数可以分为奇数和偶数两类。 如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然数数1，因为，因为1既不是素数也不是合数。既不是素数也不是合数。 从集合的角度看，划分后两个的子集的
6、并不等于全集，从集合的角度看，划分后两个的子集的并不等于全集，因此，这样分类不符合规则因此，这样分类不符合规则2。 划分规则举例：划分规则举例： 规则规则3 3：每次划分都应按同一标准。：每次划分都应按同一标准。 分分类类的的标标准准直直接接影影响响到到分分类类的的结结果果，如如果果在在一一次次分分类类中标准是变化的，那么这个分类就失去了意义。中标准是变化的，那么这个分类就失去了意义。例如例如：三角形可以如下分类：三角形可以如下分类 锐角锐角 有两边相等的有两边相等的 直角直角 三边都不等的三边都不等的 钝角钝角 按边分按边分 按角分按角分 如如果果把把三三角角形形分分为为等等边边三三角角形形
7、、等等腰腰三三角角形形和和直直角角三三角形，就没有按同一标准进行划分，不符合规则角形，就没有按同一标准进行划分，不符合规则3。 划分规则举例：划分规则举例：三、分类思想方法的作用三、分类思想方法的作用l可化繁就简，化难为易。可化繁就简，化难为易。l可使思维有序、有条理。可使思维有序、有条理。l可使思维全面、缜密。可使思维全面、缜密。人教版人教版3.2解一元一次方程（一）中的例解一元一次方程（一）中的例4如下：如下：例例4 根据下面的两种移根据下面的两种移动电话计费方式表，考方式表，考虑下列下列问题。一个月内在本地通话一个月内在本地通话200分钟和分钟和350分钟，按方分钟，按方式一需交费多少元
8、？按方式二呢？式一需交费多少元？按方式二呢？对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式一样多吗？一样多吗？引申：引申：怎样选择计费的方式？怎样选择计费的方式？作用举例作用举例: 化繁就简，化难为易。化繁就简，化难为易。25（5分）分） 如如图，OC是是AOB的平分的平分线，且，且AOD90（1）图中中COD的余角是的余角是 ；（2）如果）如果COD= ；求求BOD的度数的度数.，朝阳区朝阳区0910年七上期末考试年七上期末考试作用举例作用举例:使思维有序、有条理使思维有序、有条理23.23.在在ABCABC中，中，AB=AC,AB=AC,点点D D是直
9、是直线BCBC上的一点（不与点上的一点（不与点B B、C C重合），以重合），以ADAD为一一边在在ADAD的右的右侧作作ADEADE，使，使AD=AE, AD=AE, DAE=BAC,DAE=BAC,连接接CE.CE.(1)(1)如如图，点，点D D在在线段段BCBC上，若上，若 BAC=90BAC=90，则BCEBCE等等于于 度；度；(2)(2)设BAC=BAC=，BCE=.BCE=.如如图，若点，若点D D在在线段段BCBC上移上移动，则与与之之间有怎有怎样的数量关系？的数量关系？请说明理由；明理由；若点若点D D在直在直线BCBC上移上移动，则与与之之间有怎有怎样的数量的数量关系？关
10、系？请直接写出你的直接写出你的结论. .(1)(2)朝阳区0910年八上期末考试作用举例作用举例当点当点D在射线在射线BC上时，上时，+=180；当点当点D在射线在射线BC的反向延长线上时，的反向延长线上时，=作用举例：作用举例：使思维全面、缜密使思维全面、缜密25.25.如如图，在直角坐，在直角坐标系中，点系中，点A A的坐的坐标为(1,0)(1,0)，点，点B B在在y y轴正半正半轴上，且上，且AOBAOB是等腰直角三角形，点是等腰直角三角形，点C C与点与点A A关于关于y y轴对称，称，过点点C C的一条直的一条直线绕点点C C旋旋转，交，交y y轴于点于点D D，交直，交直线ABA
11、B于点于点P P（x,yx,y），且点），且点P P在第二象限内在第二象限内. .(1)(1)求求B B点坐点坐标及直及直线ABAB的解析式；的解析式；(2)(2)设BPDBPD的面的面积为S S，试用用x x表示表示BPDBPD的面的面积S.S.朝阳区0910年八上期末考试作用举例作用举例ABOxyCDP点点P在直线在直线AB上，则上，则P(x，-x+1). 设过设过P、C两点的直线的解析式为两点的直线的解析式为y=kx+b.C(-1,0)在直线在直线y=kx+b上，上，-k+b=0.k=b, y=bx+b.点点P(x，-x+1)在直线在直线y=bx+b上，上，bx+b=-x+1,解得解得b
12、= . 点点D的坐标为（的坐标为（0， ）. 作用举例作用举例ABOxyCDPABOxyCDP点D的坐标为（0， )作用举例作用举例 (1) 确定同一分类标准；确定同一分类标准； (2) 恰当地把对象整体进行分类，按照标准对分类做恰当地把对象整体进行分类，按照标准对分类做到到“既不重复又不遗漏既不重复又不遗漏”； (3) 逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行； (4) 综合概括小结，归纳得出问题结论综合概括小结，归纳得出问题结论 确定分类标准，是分类讨论的重要一环。确定分类标准，是分类讨论的重要一环。四、四、分类讨论思想方法的步骤：分类讨论思想方法的步骤：
13、五、隐含分类思想方法的教学内容五、隐含分类思想方法的教学内容1、数与式、数与式有理数的分类有理数的分类相反数相反数绝对值绝对值有理数的大小比较有理数的大小比较有理数的运算法则有理数的运算法则（1）有理数）有理数（2）实数）实数平方根、立方根平方根、立方根无理数的形式无理数的形式（3）式）式 式的分类式的分类 分式的加减分式的加减实数的分类实数的分类 二次根式的化简二次根式的化简五、隐含分类思想方法的教学内容五、隐含分类思想方法的教学内容2、方程与不等式、方程与不等式方程的分类方程的分类不等式的性质不等式的性质分段函数分段函数一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质一次函数、反比例函数、二次函数
14、的图像性质不等式组的解集不等式组的解集3、函数、函数一元二次方程的解一元二次方程的解五、隐含分类思想方法的教学内容五、隐含分类思想方法的教学内容4、图形的认识、图形的认识线的分类线的分类面的分类面的分类垂线性质垂线性质三角形按边、按角的分类三角形按边、按角的分类角的分类角的分类图形的分类图形的分类三线八角三线八角三角形高的位置三角形高的位置三角形外心的位置三角形外心的位置三角形全等的条件三角形全等的条件等腰三角形边和角计算等腰三角形边和角计算勾股定理的应用勾股定理的应用四边形的分类四边形的分类弦、弧的分类弦、弧的分类与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系圆周角定理圆周角定理五、隐含分类思想方法的
15、教学内容五、隐含分类思想方法的教学内容5、图形与变换、图形与变换相似三角形的对应关系相似三角形的对应关系列举法列举法6、统计与概率、统计与概率六、初中阶段分类思想方法教学六、初中阶段分类思想方法教学 步骤：步骤：一、抓准时机，渗透分类的思想方法一、抓准时机，渗透分类的思想方法。三、深化提高三、深化提高， 应用分类的思想方法研究问题应用分类的思想方法研究问题。二、启发诱导二、启发诱导， 揭示分类思想方法的本质揭示分类思想方法的本质。1. 在概念的学习中，渗透分类的思想。2.在法则的探究中，渗透分类的方法 。3.在图形的求解中，渗透分类的意识。1.根据问题的需要，进行分类。2.分类要有明确的标准。
16、 1.根据字母的取值范围分类 2.根据几何图形的位置关系分类六、初中阶段分类思想方法教学六、初中阶段分类思想方法教学 策略：策略：1、根据字母的取值范围分类、根据字母的取值范围分类 二次根式的化简二次根式的化简方程的分类方程的分类不等式的性质不等式的性质一元二次方程的解一元二次方程的解一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质3策略举例策略举例4、5.6. 抛物线ya2c与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式（y2x23或y8x23） 策略举例策略举例六、初中阶段分类思想方法教学六、初中阶段分类思想方法教学 策略：策略：2、根据几
17、何图形的位置关系分类、根据几何图形的位置关系分类垂线性质垂线性质三线八角三线八角三角形高的位置三角形高的位置三角形外心的位置三角形外心的位置三角形全等的条件三角形全等的条件等腰三角形边和角计算等腰三角形边和角计算勾股定理的应用勾股定理的应用四边形的分类四边形的分类与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系圆周角定理圆周角定理相似三角形的对应关系相似三角形的对应关系1.2.3.策略举例策略举例4.5.策略举例策略举例已知已知 O的半径为的半径为5cm，AB、CD是是 O的弦，的弦，且且AB=8cm，CD=6cm，ABCD，则，则AB与与CD之间的距离为之间的距离为_ （1cm或或7cm）已知已知 O1
18、和和 O2相切于点相切于点P，半径分，半径分别为1cm 和和3cm则 O1和和 O2的的圆心距心距为_ （2cm或或4cm）6.7.策略举例策略举例8.9.策略举例策略举例七、分类思想方法在新课探究中的应用举例七、分类思想方法在新课探究中的应用举例 探究三角形全等的条件探究三角形全等的条件 问题问题 ：探究三角形全等的条件探究三角形全等的条件 标准：标准：1、元素个数；、元素个数；2、元素内容、位置、元素内容、位置 分类：分类：6大类，大类，14小类小类研究：研究：证明证明 归纳：归纳：（1）判断两个三角形是否全等至少）判断两个三角形是否全等至少 需要三个条件；（需要三个条件；（2）能够判断两
19、个）能够判断两个 三角形全等的方法有：三角形全等的方法有： SSS、SAS、ASA、AAS。 八、分类思想方法在中考综合题中的应用举例八、分类思想方法在中考综合题中的应用举例已知关于的一元二次方程已知关于的一元二次方程 有实数根，为有实数根，为正整数正整数.（1）求）求k的值；的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函的二次函数数 的图象向下平移的图象向下平移8个单位，求平移后个单位，求平移后的图象的解析式；的图象的解析式；（3）在（）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿轴翻折，
20、图象的其余部分保持不变，得到轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象有两个公共点时，与此图象有两个公共点时， b的取值范的取值范围围. 09年北京中考第年北京中考第23题题09年北京中考第年北京中考第23题题根据字母的范围根据字母的范围找到符合要求的找到符合要求的类别，有三类类别，有三类09年北京中考第年北京中考第23题题根据函数图像不同的根据函数图像不同的位置分类，有两种不位置分类，有两种不同的位置同的位置09年湖北黄冈年湖北黄冈第第20题题(3)当0t 时,PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,PQF为等腰三角形?请写出解答 过程09年湖北黄冈年湖北黄冈第第20题题09年湖北黄冈年湖北黄冈第第20题题09年湖北黄冈年湖北黄冈第第20题题09年湖北黄冈年湖北黄冈第第20题题根据等腰三角形的腰的位根据等腰三角形的腰的位置分类，有三类情况置分类，有三类情况07年北京中考第年北京中考第21题题根据直角三角形的位置分根据直角三角形的位置分类，有两种情况类，有两种情况
