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1、第一节、微分中值定理第一节、微分中值定理 第三节、泰勒公式第三节、泰勒公式 第第3 3章章 本章内容：本章内容：第二节、洛必达法则第二节、洛必达法则 第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节、函数的极值与最大值最小值第五节、函数的极值与最大值最小值 第六节、函数图形的描绘第六节、函数图形的描绘 第第3 3章章微分中值定理微分中值定理 与导数的应用与导数的应用 第七节、曲率第七节、曲率 第八节、方程的近似解第八节、方程的近似解 1二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、
2、泰勒公式的应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算泰勒泰勒 ( Taylor )( Taylor )公式公式 第三章第三章 2用多项式近似表示函数的作用用多项式近似表示函数的作用理论分析理论分析近似计算近似计算一一. . 泰勒公式的建立泰勒公式的建立令令以直代曲以直代曲特点特点: :在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式 : :需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ? ?如何估计误差如何估计误差 ? ?34不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.51. 1. 求求n n次近似多项式
3、次近似多项式要求要求: :故故令令则则62. 2. 余项估计余项估计令令( (称为余项称为余项) ) , ,则有则有78公式公式称为称为 的的n n阶泰勒公式阶泰勒公式 . .公式公式称为称为n n阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 . .泰勒中值定理泰勒中值定理 : :阶的导数阶的导数, ,时时, ,有有其中其中则当则当9公式公式称为称为n n阶泰勒公式的阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺( (PeanoPeano) )余项余项 . .在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时, ,泰勒公式可写为泰勒公式可写为注意到注意到* * 可以证明可以证明: : 式成立式成立10特例特例
4、: :(1)(1)当当n n=0=0时时, ,泰勒公式变为泰勒公式变为(2)(2)当当n n=1=1时时, ,泰勒公式变为泰勒公式变为给给出拉格朗日中值定理出拉格朗日中值定理可见可见误差误差11称为称为麦克劳林（麦克劳林（MaclaurinMaclaurin）公式）公式 . .则有则有(3)(3)在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取则有误差估计式则有误差估计式若在若在公式成立的区间上公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式1213注意注意: :14二二. . 几个初等函数的麦克劳林公式几个初等函数的麦克劳林公式因故的 n 阶麦克劳林公式为其中15因因故故的的 n n 阶麦克劳林公式为阶麦克劳林
5、公式为其中其中16类似可得类似可得的的n n阶麦克劳林公式为阶麦克劳林公式为其中其中17因因故故的的n n阶麦克劳林公式为阶麦克劳林公式为其中其中18类似可得的n阶麦克劳林公式为其中19三三. . 泰勒公式的应用泰勒公式的应用1. 1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用误差误差M M 为为 包含在包含在的某区间上的上界的某区间上的上界. .20例例1.1. 计算无理数计算无理数e e的近似值的近似值, ,使误差不超过使误差不超过解解: :已知已知 的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为令令x x=1=1, ,得得由于由于欲使欲使由计算可知当由计算可知当 n n = 9= 9 时上式成立时上式成立
6、, ,因此因此21解解2 2. .利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限用洛必塔法则不方便 !22例例3 3 证明证明证证: :3 3. .利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式23内容小结内容小结1. 1. 泰勒公式泰勒公式其中余项其中余项当当时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式 . .242. 2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 3. 3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) (1) 近似计算近似计算(3) (3) 其他应用其他应用求极限求极限, ,证明不等式等证明不等式等. .(2) (2) 利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数 , , 2542246420246泰勒多项
7、式逼近泰勒多项式逼近2642246420246泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近27思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限28思思考考题题解解答答2930泰勒泰勒(1685(168517311731) )英国数学家英国数学家, ,他他早期是牛顿学派最早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一优秀的代表人物之一 , , 重要著作有重要著作有: : 正的和反的增量方法正的和反的增量方法(1715) (1715) 线性透视论线性透视论(1719) (1719) 他在他在1712 1712 年就得到了现代形式的泰勒公式年就得到了现代形式的泰勒公式 . .他是他是有限差分理论的奠基人有限差分理论的奠基人 . .31麦克劳林麦克劳林(1698(169817461746) )英国数学家英国数学家, ,著作有著作有: :流数论流数论(1742)(1742)有机几何学有机几何学(1720)(1720)代数论代数论(1742)(1742)在在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数麦克劳林级数 . .32
