高等数学_第四章不定积分课后习题详解

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1、第4章不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设f ( x) , x wl ,若存在函数尸( x) ,使得对任意x e /均有 F ( x ) = f ( x )或dF( x ) = f ( x )dx ,则称尸( x)为/ ( x)的一个原函数。/ ( X )的全部原函数称为“X )在区间/ 上的不定积分，记为J / ( x) d x = F ( x) + C注：( 1 )若f ( x)连续, 则必可积；( 2 )若F ( x) , G ( x)均为/ ( x)的原函数，则F ( x) = G ( x) + C。故不定积分的表达式不唯一。性质性质 1 ： J % 9 = /W 或

2、 d J / ( x)时 =f ( x )dx ；性质 2 : F x )dx =/ ( x) + C 或 p F ( x) = F ( x) + C ；性质 3 ： j a / ( x) p g( x ) dx = af ( x )dx p g( x )dx 为非零常数。计算方法第一换元积分法( 凑微分法)设 / ( ) 的原函数为F ( ) ， = 夕( 外可导，则有换元公式：J 7( e ( x) ) ”( x) d x = f ( ( p x )d( p ( x ) = F ( ( x) ) + C第二类换元积分法设x = p ( t )单调、可导且导数不为零，

3、f l p ( t ) ,积分没困难。3r3解： 2 -3 5 -2 右= r(2 _5 (2 丫址= 2x-5 + C.J 3 J 3 In2-ln3 (15) cos2tZrJ 2思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降病，再积分。序卜 . fc os ? x a, = r-l-4-cosx d,x = 1 x + 1 si. n x + C.J 2 J 2 2 2 (16) f JdxJ1 + cos 2x思路:应用弦函数的升降森公式，先升赛再积分。解： f- !- dx = - dx = sec2 xdx = - tan x + C.J1 +cos2x J 2 cos x 2

4、J 2 (17) f c o s 2x dxJ cos x - sin x思路:不难，关键知道 “cos2x = cos2x-sin2 x = (cosx + sinx)(cosx- sinx) ”。解： I* - dx = (c o s x + s i n x )dx = s i n x - c o s x + C.Jc o s x - s i n x J (18) j s , ,J c o s - x s i n x思路：同上题方法，应用“ c o s 2x = c o s2 x - s i n 2” ,分项积分。解：J 8 s 2 X ,仆 ssin鼠=JJ c o s x s i

5、n x J c o s - x - s i n x Js i n x Jc o s x= j c s c2 x dx -j s ec2 x dx = - c o t x - t a n x + C. (19) +J产班J v 1+x V 1- x思路:注意到被积函数月+户应用公式即可。Vi+ x Vi- x 7 17 ? ViT？ Vi7 (20)Jl + c o s 2x思路:注意到被积函数 2左 = 匕华 ,s ec + L则积分易得。1 + c o s 2x 2 c o s x 2 2解： 31，即2妨+ 1防 =吗匕 +心J 1 + c o s 2x 2 J 2 J 2 2、设

6、 W (x )4x = a r c c o sx + C 求 / (x )。知识点：考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1 ：枭7(x )x = / (x )即可。解：等式两边对x求导数得：xf (幻 = ，f (x)= V 1- X2 XA/1 -X2 3、设/ (x )的导函数为s i n x ,求/ (x )的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，/ (x ) = j s i nx dx = - CO S X + Cj所以y(x )的原函数全体为： ! (-c osx + C

7、x = - s i n x + C X + C2。 4、证明函数和e*M x都是一- 的原函数2 c hx shx知识点：考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。解： - - = /，，而 (- e2) = e shx = e c hx = e2c hx - shx dx 2 dx dx 5、一曲线通过点( / , 3 ) ,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即

8、可。解：设曲线方程为y = / ( x ) ,由题意可知： / (% ) = 1, .- ./ (% ) = I n I x I +C ；dx x又点(/ , 3)在曲线上，适合方程，有3 = ln (e2) + C.C = l,所以曲线的方程为/ (x ) = ln 1x 1+1. 6、一物体由静止开始运动，经f秒后的速度是3户( m/ s ) ,问：( 1 ) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？( 2 ) 物体走完3 6 0米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数( 不定积分) 与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带

9、入方程即可。解：设物体的位移方程为：) ， = / ( ； ) ,则由速度和位移的关系可得：- ? - / ( / ) = 3 r2 = / ( ? ) = ?+ C ,d t又因为物体是由静止开始运动的，，/ ( 0 ) = 0 , . . C = 0 , . . f ( t )=r.( 1 ) 3秒后物体离开出发点的距离为： 3 ) = 3 ? = 2 7米;令尸= 3 6 0 = # 丽秒。习题4 - 2 1、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。解：( 1 )公=-d( 7x -3); ( 2)x dx = x2); ( 3)x3dx

10、= J ( 3 x4 - 2 ) ;7 2 1 2( 4 ) e d x = -d( e2x); ( 5) = - d ( 5 1 n I x I ) ; ( 6 ) = - - J ( 3 - 5 1 n x I ) ;2 x 5 x 5( 7)-=dt = 2 d ( ) ; ( 8 ) g = J ( t a n 2 x) ; ( 9 ) -= - t / ( a r c t a n 3 x) .y f t c os2 2x 2 1 + 9/32 、求下列不定积分。知识点：( 凑微分) 第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有

11、没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ (1)/ 小思路: 凑微分。解：p dt = 1 J * /7) = 2sin/7 + C ( 7 ) Jtan10 xsec2xJx思路: 凑微分。解：ftan10 xsec2xdx = Jtan10 xd(tan x) = yj-tan x + C. ( 8 ) f把 J xhixlnlnx思路: 连续三次应用公式凑微分即可。解： = ( lnllnxl) = ln| lnlnx| + cJxlnxlnlnx Jlnx

12、lnlnx J In Inx (9 ) ftanVl+A-2 d x思路 : 本题关键是能够看到是什么，是什么呢？就是dG!这有一定难度！解：jtan /l + x2 = jtan ll + x2dl + x2 = -ln I cosll + x2 I+C (1 0 ) d xJ sin x cos x思路: 凑微分。解:方法一：倍角公式sin2x = 2sinxcosx。r dx r 2dx f 八 . 八八 - -= - .= esc 2xd 2x = in I csczx- cot 2x I +CJsinxcosx J sin 2x J方法二：将被积函数凑出

13、tan工的函数和tan x的导数。- -= CS X dx = - -sec2 xdx = - -J tan x = In I tan x I+CJ sin xcos x Jsinxcos x J tanx J tanx方法三：三角公式sin2% + cos2x = l ,然后凑微分。. 2 2f dx rsin- x + cos-x .-=-dxJsinxcosx sin x cos xrsinx . rcosx . .=-dx+ -dx = -J cos x J sinx d cosx cd sin x= - In I cos x I + In I sin x I+C = In I ta

14、n x I+C(1 1 )产J ex +e思路: 凑微分：=半dex dex1 + e2x 1 + (/ I解： /=层H 舟c (1 2 ) J xc os(x2)J x思路: 凑微分。解：J x c os(x2 Mx = g jc os x dx2 = si nx2 + C (13)x dx - 3 x2思路：由J d x _1 -y j 2, 3x 2， 2 3 f常字凑微分易解。解：. x d x =-代2-3尸)= f(2 - 3 x2p / (2 - 3 x2) = - - V2 - 3 x2+ CJ； 2 3 7 6J 7 2 3 7 6J 3 (14) jc o

15、s2(ty z )si n(w z ) / /思路: 凑微分。解：J c os2(6y r )si n(6y r )t/ r = jc os2 ( c ot ) si n ( c ot )c l c ot =J c os? 3M c os(碗 )1 a- - - - C OS (69 / ) + C .3 6y (15) d (4 - 5 x) - - - - - -Z (4 - 5 x)=2 5 J (4 - 5 x)2(2 D思路: 分项后分别凑微分即可。版 .f x % x _ r (x- l + l)2J x _ r (x- 1 )2杵 JJ (x . 1 ) 1 , . x - 1

16、. 1 2JU2T-)2Z+1 dx = -8l n I x2： + i I 4arctanx +C. (23) jcos3 xdx思路: 凑微分。cos xdx = d sin x o解：jcos3 xdx = jcos2 xcosxJx = jcos2 xd sin x = J(1-sin2 x)f/sin x= sinx-sin3x + C3 (24) Jcos1M + e)力思路: 降赛后分项凑微分。解： jcos2(6y/ +(p)dt = jl + cos2(& + )cos 2(cot +(p)d2cot + (p)2=t + sin 2(切 + *) + C2 4G (

17、25) jsin2xcos3xdx思路: 积化和差后分项凑微分。解：jsin 2xcos3xdx =5 5 x -g jsin xdx- - cos5x + -cosx + C102 (26)卜in5xsin7x思路: 积化和差后分项凑微分。解：jsin5.rsin7x6/x = (cos 2x - cos 12x)dx = jcos 2xd2x - jcos 12xd(12x)=- sin 2x- sin 12x + C.424 (27) pan3 x sec xdx思路：凑微分 tan x sec xdx = d sec x。解： jtan3 xsecxdx = jtan2 x t

18、anxsecxtir = jtan2 xd secx= j(sec2 x-)d secx= jsec2 xd sec x - jt/ sec x = sec3 x - sec x + C (28)唔 ;思路 :凑微分=dx = d(- arccos x) oV i-7解： Qarccos xl - xi rjarccosx= -flOarcwsxJ arccos x =+ C.J In 10 (29)/dx(arcsinx)2vl - x2思路: 凑微分3=dx = d(arcsinx)。V T 7解： dx(arcsinx)2Vl -x2r d arcsin x 1 =- T = -

19、 + CJ (arcsin x) arcsin xarctan yfx4 ( 1 + x) (3 0 ) fdx思路:号分= 4 = 2arctan& (34 ) .解：嘴号” 喈帝= (arctan Vx)2 + CIn tan x , (3 1 )- dxJcosxsinx思路: 被积函数中间变量为tanx , 故须在微分中凑出tanx , 即被积函数中凑出sec。,In tan x , In tan x-dx = ； -cos xsin x cos xtanx, In tan x 。 , In tan x .dx =-sec- xdx =- a tan xtanx= In tan xJ

20、(ln tan x) = 4/( (Intan xtan x)2)周AS午 . r- -In- t-an- x- . r In tan x . fin tanx , r, IZ1 、dx = ；- - - - -ax = - d tan x = In tan xa (In tan x)J cos x sin % J cos x tan x J tanx J1)= (In tanx)+C思路: (l(x In x) = (1 + In x)dx解： j 1 + .二dx = f !-d(xn x) =-5 + CJ (xlnx)- J(xlnx), xnx (3 3 ) J l-e ，解：方法一

21、：思路: 将被积函数的分子分母同时除以e * ,则凑微分易得。f - = -dx = - fl d(e-s) = - f !( / * - ) = -n I e7 - I +CJje* Je-1 Je-X-1 Je-l方法二:思路: 分项后凑微分J曰 =IT =T沙 ( ”)= x -ln ll-erl+C = x-ln(ex le- v-ll) + C= x - (In e1 - In I - 11 ) + C = - In I - 11+C方法三：思路：将被积函数的分子分母同时乘以裂项后凑微分。=x - In 1 1 - I+ C = - In I

22、-1 1 + C削/解：方法一:思路：分项后凑积分。r 4dx _ 1 产 6 + 4 -x6dxL (X6+ 4 ) - 4x(l+ 4 )=In I x I4方法二：思路: 利用第二类换元法的倒代换。令x = 则 d x = - - dt ot v. f dx _ f _L f伫 - 一 !w 6 + ), L - (x6+4) b ,4( /) - 2 41 + 4- 2 41 + 4 /t6i i 4=ln(l + 4Z6) + C =ln(l + ) + C .2 4 2 4 x6 (3 5 ) f- v-Jx8(l- x2)解：方法一：思路：分项后凑积分。p dx 1 炉 + 戈

23、/ p(l - %2)(1 + % )(1 + 戈4 ) j , p dxh8(l- x2) = J x8(l- x2) J / (1 - x2) C + J匚7 l + x2+ x4+ x6 . f dx- - - dx + -x8 J(l- x)(l + x)=- - - - - - - - - - -： - - - - - - - In- - - -+ C7/ 5 * 3x3 x 2 + x方法二：思路：利用第二类换元法的倒代换。令x = - 则 d x = - dt odx-Jx8(l- ? )=J T X ( - J d f ) = -J = - (/ + / + +l +=p &

24、一 3=-j(r6 + r4 + r2 + l)d t- J( ，- 严f = - J (J +/+t2 + )dt - J (勺出7 5 34 K+c = l- 二匕+C2 z + 1 7x? 5 x$ 3 x3 x 2 1 + x3、求下列不定积分。知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。思路分析：题目特征是被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式?三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。s in2 x + cos2 x = I ; s ec2 x -tan2 x = .为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐

25、角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 ( 1) f d.X1 +J1 - -思路: 令x = s in f， M ,先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降赛公式。解 : 令 x = s in t, ， | , J 5 J dx = c os t dt. - L= dt - =J1 + V 1 - X2 + C O S 1 J Jl + cos r 2 cos 2、2f x=f - tan + C = ar cs in x - - - + C.2 1 + VT?( 或二ar cs in + C )x( 万能公式 tan = 丝又 s in / = x 时，cos r

26、= V l- x2 )2 1 + cos t s in rJ X思路: 令x = 3 s ecf/ G ( 0 , ) 9 三角换元。2解：令x = 3 s ecf, f e ( 0 ,生) ，则 = 3 s ecf tan f / f。23 tan t3 se c t- 3 s ec t tan t dt = 3 Jtan = dr = 3 J( s ec - l) df(x = 3 s ecx 时，cos x = 3 , s in x =旦,tan x = )x x 3 + 1)3思路: 令x = ian f， MB ，三角换元。解：令 X = tan f, W g ,则 dx = s

27、ec2 t dt odxr s ec2 t dt f 力 , X 厂=- - - - - = - - - - = cos far = s in r + C = - / + C+ 1 )产 J s ec t J s ec/ J J 1 + / (4)dx1 +/ ) 3思路: 令工=atan f, “ 1 ,三角换元。解：令 x = fltan r , |r | ,则 dx = a s ec2 t dt。 / dx _ a s ec2 t dt _ p dty j ( x2 +a2)3 / s ec31 J a2 s eer=J jcos /山=Js in / + Cv . + C.a2 J/a

28、2 + x 9 (5) j-X2 + 1思路: 先令 = 进行第一次换元；然后令 = 进行第二次换元。/ + i解： . =c l x = f ，+ dx2，令 u = x2 得:u + X l x4 + 1rdu 9 = tan r , | r | y ,贝 ! du = s ec2 t dt ,3u + , I r tan r + I 2 , 1 r tant +1 ,du = - - - - - - - - - s ec t at = - - - - - - -s ec t at2 J tan f s eer 2 J tan r=( es c I + s ec / )力=J In |s

29、ecf + tan + ； In |cs c t - cot t | + C= g In |V 2 + 1 + “ + J+ In+ C = - ln24 + 1 + x2| + - ln+ C .（与课本后答案不同） (6) 5 - 4 x - x2dx思路: 三角换元，关键配方要正确。解： 5 - 4 x - = 9 - ( x + 2 )2, 令x + 2 = 3 s in ，， W /l + x 1. 5、设 ln = jtann xdx,求证：In = tan0-1 x - /H_2,并求 jtan5 xdx。思路：由目标式子可以看出应将被积函数tan x分开成tan,-2xt

30、an2x , 进而写成：tanfl-2 x(sec2 x-1) = tan xsec2 x - tan-2x,分项积分即可。证明：/,7 = Jtan xdx = j(tan/1-2 xsec2 x - tan/,-2 x)dx = jtann_2xsec2 xdx- jtan/,-2 xdxJianxd tsn x _ I - - tsn/, x n-2,n =5时，/5 = jtan5 xdx = tan4 x - I3 = ；tan x-gtan? x + 人= tan4 x - - tan2 x+ ftan xdx = - tan4 x - - tan2 x-ln Icos x + C

31、.4 2 J 4 2 1 1习题4-31、求下列不定积分：知识点：基本的分部积分法的练习。思路分析：严格按照反、对、森、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分J的原则进行分部积分的练习。 ( 1 ) jarcsin xdx思路: 被积函数的形式看作d a rc s in x ,按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序，森函数X。优先纳入到微分号下，凑微分后仍为公。解： farcsin xdx = x arcsin x - fx = J= Jx = x arcsin x + - , z/(l-x2)=x arcsin x + ll-x2 + C. ( 2 ) jln(l

32、 + x2)Jx思路：同上题。解：jln(l + x2y/x = xln(l + x2) - jx 2 dx = xln(l += xln(l + x2) -“ I ： ! - / = xln(l + J )-+ 2=x ln(l + x2) - 2x + 2 arctan x + C. ( 3 ) jarctan xdx思路：同上题。解： farctan xdx = x arctan x - fx -7 = x arctan x - -JJ 1 + x2 212=x arctan x - ln(l + x ) + C ( 4 ) fe-2xsinc/A-J 2思路：严格按照 “ 反、

33、对、森、三、指”顺序凑微分即可。解：*/ p-2r sindx = jsin， ( _g2x) = _ge_ 2x s.i n X + 1 f e_ 2r 1 cosX Jx.2 22 2 -2x si. n x + 12 4e21e21e2Jcos 夕( 一# 、 )-2x . x 1 .1 .2x X 1 sin + ( e cos-2 4 2 2 4-2x . X 1 _2x X 1 rsin- e cos-e2 8 2 16 J-2xe2x sin，a)sin r2f -2x - X , Ze， . x XJe sin = (4sin + cos ) + C. ( 5 ) JX2 ar

34、ctan xdx思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解： Jx2 arctan xdx = jarctan xd (g ) = x3 arctan x - 1 fX3 +X-X . 1 3 1 r. X .= -x arctanx - ：ax = x arctan x (x- )dx3 3J 1 + x2 3 3 J 1 + x2= x3arctanx- xdx- = - x3arctanx- - x2 + frJ(l + x2)3 3J 3 Jl + x2 3 6 6 Jl + x21 1 1 2 1 1 2 X -.x arctan x x H ln(l + x

35、 ) + C.3 6 6 ( 6 ) fxcosv/xJ 2思路：严格按照 “ 反、对、赛、三、指”顺序凑微分即可。解：fxcosA/x = 2 xJsin = 2xsin - -2 fsin-dx = 2xsin - -4 fsin d J 2 J 2 2 J 2 2 J 2 2x x= 2xsin + 4cos + C.2 2 ( 7 ) jxtan2 xdx思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解：tan2xdx = j.v(sec2 x - Y)dx = j(xsec2 x - xylx = jxsec2 xdx -jxdx= xd (tan x)

36、- xdx = x tan x - jtan xdx - = x tan x + In |cos x|-x2 +C. ( 8 ) n2xdx思路：严格按照 “ 反、对、赛、三、指”顺序凑微分即可。解：= xln2 x- |x- 2 1 n x Jx = xln2 x- 2 jln xe/ x = xln2 x- 2 xln x + 2 jx t/ x= x n2 x -2x n x + 2p / x = x n2 x -2x n x + 2x + C. Jxln ( x- 1 0 x思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。2 . .解： ln ( x-V)dx

37、= Jin * - 1 ) J x2 ln ( x- 1 ) - -2 2x- l d x = x2 ln ( x-1 ) - ； J* + + x= x2 In ( x- l) - - x2 -x- -ln ( x- l) + C2 4 2 2 (10) J詈思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解：-dx = jin2 x d( -)=-In2 x + 2 n x dx = 一 - In2 x + 2x J x xX x= In2 x + 2x) = - -In2 x- -ln x + 2 dx = -In2 x- -In x- - + CJ x x x O x x

38、 x=- - ( In2 x + ln x + 2 ) + Cx (11) |cos In x dx思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解：, / jcos ln AJX = xcos ln x+ jxs in ln x-dx = xcos ln x +xjs in n x dx=xcos ln x + xs in In x - jxcos In x -dx = xcos In x + xs in ln x- jcos In x dx/ . jcos In x dx = 3 ( cos n x + s in In x ) + C. (12)思路：详见第（ 10）小题

39、解答中间，解答略。 (13). n x dx ( 0 - 1 )思路：严格按照 “ 反、对、猴、三、指”顺序凑微分即可。解： Jn + i ix n In x dx = fln xJ- - -=- - - -xn +i In x-J n + 1 + 1LxX= - - xr t+ , In x -n + 1In x- - - - ( + D+ C. (14) j x2e xdx思路：严格按照 “ 反、对、赛、三、指”顺序凑微分即可。解： jx2exdx = -x2e-x + ex2xdx = -x1ex - 2xex + 2 exdx= x*, 2xe 2e + C = e

40、A (A + 2,x + 2) + C ( 1 5 ) jV ( nx) 2公思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解：jx3(ln x)2dx= j(ln x)2(-x4) = -x4(ln x)2 1x4 -21nx-Jx= +4(lnx)2 一 ; jx3Inxdx = (n x)2 Jlnxdx，= ，/(lnx)2 L /ln x +，x4 Jx = x4(lnx)2 - - x4 lnx + - x3dx4 8 8 J x 4 8 8 J= x4(lnx)2 - - x4 lnx + x4 + C = -x4(21n2 x-lnx + ) + C.4 8

41、 32 8 4 ( 1 6 ) J用x思路：将积分表达式则心写成In ln m (ln x ),将In i看作一个整体变量积分即可。x解：rln In A _ jnlnxd(lnx) = In.rlnlnx - flnx t/x = In jrlnlnx- dxJ x J J Inx x Jx= In xlnlnx- lnx + C = In x(ln lnx-l) + C. ( 1 7 ) jxs inx cos xdx思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解：IxsinxcosxJx= jgxsin2xdx=： j*W( 一 ;cos2x)

42、= 一 ;xcos2x + ； |cos2xdx= - - xcos 2x + - fcos 2xd2x = - - x cos 2x + - sin 2x + C.4 8 J 4 8 ( 1 8 ) fx2 cos2 2dxJ 2思路：先将co sN降森得匕况，然后分项积分；第二个积分严格按照“ 反、对、2 2霹、三、指顺序凑微分即可。解： 2 cos2 dx = x2 + x2 cosx)dx = ； Jx2Jx + g 卜2 c o sxdx= - x3 + - d sin x = - x3 + x2 sin x - flxsinxt/x6 2 J 6 2 2 J= x3 +

43、 x2 sinx+ xd cos x = - x3 + x2 sin x + xcos x - fcos xdx6 2 J 6 2 J= - x3 + x2 sin x 4- x cos x - sin x + C6 2 ( 1 9 ) |(x2-l)sin2xdx思路：分项后对第一个积分分部积分。解：j(x2 -l)sin2xe/x= jx2 sin 2xdx - jsin 2xdx = 卜2d(-gcos2x) + gcos2x=一 -x2 cos 2x + f2xcos2x6/x +cos2x = - - x2 cos2x + xd sin 2x2 2 J 2 2 2 J22222xdx

44、 +cos2x2=- - x2 cos 2x + x sin 2x + cos 2x + cos2x + C2242=1 x 2 cos2c x + 1xsi.nz.A3+cos2x + C = (xsinzx )cos2x + sin 2x + C.2 2 4 2 2 2 ( 20)上及公思路：首先换元，后分部积分。解：令正，则x =产,公=3产力，jedx = 卜 3/ 力=3 efrdt = = 3产 / 一 312k力= 3产 3= 3/ / - 6e + 6* 力=3t2e -6e,t + 6e, +C=3 聆e孤-6泌盯 + 6& +C = 3e 取 ( 疗2板 + 2)

45、+ C. ( 21) J(arcsinx)2dx思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解:j(arcsin x)2dx = x(arcsin x)2 -2a.r csinxa x.= x(arcsin x)2 + J亍sin - x2) = x(arcsin x)2 + 2 jarcsin xd X -x1)= x(arcsinx)2 + 2!-x2 arcsinx -2 ll-x2 . dxJ Vl- x2= x(arcsinx)2 + 2A/1 - x2 arcsinx - 2 p/x = x(arcsinx)2 +2V1 - x2 arcsinx -2 x +

46、 C.( 22) sin2 A Z/X思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解：方法一：ex sin2 xdx = jsin2 xdex =ex sin2 x - J / 2sin xcosxdx=ex sin2 x -sin 2xdx,/ sin Ixdx = jsin2xdex = ex sin 2x - jer2cos Ixdx = ex sin 2x- 2 jcos 2xdex=ex sin 2x - 2ex cos 2 x -4 /sin 2xdxf v . 3， /(sin 2x-2cos2x) , J e sm 2xdx = - - - + Cex s

47、in2 xdx = sn 2 刀 -sin 2x + 2cos2x) + C方法二：fev sin2 xdx = e - 8 s ”公=exdx - ex cos2xdx = ex - - fe cos 2xdxJ J 2 2 J 2 J 2 2 J,/ ex cos 2xdx = cos 2xdex = ex cos 2x + fe 2 sin Ixdx = ex cos 2x + 2 fsin 2xdexex cos 2x + 2ex sin 2x - 4 P cos 2xdxJe* cos 2xdx =ex (cos 2x + 2 sin 2x) + 05/. ex sin2 xdx =

48、 - xsin 2 x - - ex cos 2x + CJ 2 5 10 (23)y/x思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解：严1 + x)J Vxdx令”4,则 dx = 2%悟小可小= 4 力-4层-yJr = 4/ -4 arctan t - C=4x -4 arctan yfx - C所以原积分厂 (1 jxx = 皿1 + x)- 4/x +4arctan/x +C 0 (24)产詈 )思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解： ”. )dx = Jl n ( l + e * M( - e 7 ) = - e f l n

49、( l + e ， ) += - e -r l n ( l + A) + j - dx = -ex ln(l + e)一出+e1 + e= -e-， ln(l + e*) - ln(l + e ) + C.注：该题中J E7ax的其他计算方法可参照习题4-2, 2 (33). (25)同事J 1-x思路：严格按照 “ 反、对、赛、三、指力顺序凑微分即可。解：Jxln-x=J喈小小喈 T卡 l -(1x-+xl)+2xdx1 7. 1 + X f X2 . 1 9 . 1 + X f . f 1 ,= -x In-.-rax = x In- + dx- - -dx2 1-x Jl

50、-x2 2 1-x J Jl-x2= x2 In匕 + j(! + )dx = x2 In-！- + x - - -ln(l-x) + ln(I + x)2 1 x 2 1 x 1 I x 2 1 JC 2=一1 r 7I .n -l -+- x+ x 1 ,I n- -+- -X- + Cc = 1 /( x 2 -l)iln -1- -+- X- + x + C2 - x 2 1-x 2 1-x注：该题也可以化为fxxllnn-l! 4/xJ 1- x= E ln(l + x)-ln(l- x)dx再利用分部积分法计算。x In ； * = jxln(l + x)-ln(l-

51、 x)dx = jln(l + x) - ln(l - x)d ,2 .1 +X= In - - - - +2 1 - x.X2 t + xax = In - - - - +2 1 - x所3+乙心X2 . 1 + X 1 , 1 + x= In - - - - + x In - - - -2 1 - x 2 1 - x+ C ( 2 6 ) f 空 Jsi n 2 x c o sx思路：将被积表达式 dx 写成纹 = 经 * =迎吧，然后分部积分即可。si n 2 x c o sx 2 si n x c o s x 2 si n x 2 si n x解:dx r dx _ r s

52、e c2 x dx _ c d t a n xsi n 2 x c o sx 2 si n x c o s2 x 2 si n x 2 si n xt a n x l r , - t a n x 1 r .= - - - - - - - - - t a n x ( - e sc x c o t x )dx = -+ e sc x dx2 si n x 2 J 2 si n x 2J= ；( se c x + In |c sc x - c o t x |) + C.2 、用列表法求下列不定积分。知识点：仍是分部积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照

53、各种方法完成。我们仍然用一般方法解出，不用列表法。 ( 1 ) x ei xdx思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解： x ei xdx = J* e、， ) = g M 1 e3xdx = 1 M 1 + C. j ( x + l ) e * d x思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解：J( x + )exdx = J( x + 1 We * = ( x + l ) e * - = x e + C , , j x2 c o s x dx思路：严格按照 “ 反、对、鬃、三、指”顺序凑微分即可。解：Jx2 c o sx dx =

54、 j x 2 d sjn x = x2 si n x - 2 j x si n x dx = x2 si n x + 2 c o sx= x2 si nx + 2xc o sx -2 Jc o sx dx = x2 si n x + 2 x c o sx - 2 si n x 4 - C ( 4 ) j ( x2 + )e -xdx思路：分项后分部积分即可。解：j ( x2 + )e xdx = x2e xdx + e xdx = x1d -e x)+ e xdx= -e xx2 + 2 x e xdx + e xdx = -e xx2 + 2 j x J( - e- v) + Je d x=

55、 -e xx2 - 2x e x + 2 e xdx + e xdx = -e xx2 - 2x e x + 3 e xdx=3 , +2 x + 3 ) + C. ( 5 ) j x l n ( x + l ) 6 / x思路：严格按照 “ 反、对、森、三、指顺序凑微分即可。解： l n ( x + = Jl n ( x + l / ( - j X2) = x21 n ( x + l ) - g J X -dx= x2 l n ( x + l ) f ( x - l d = x2 l n ( x +1 ) - - x2 + x-l n ( x + l ) + C.2 2 J x +

56、 1 2 4 2 2 ( 6 ) j e- xc o sx Jx思路：严格按照 “ 反、对、霹、三、指”顺序凑微分即可。解：*/c o s x dx = j c o s x d( e x) = -e K c o s x - j e- t si n x dx= -e x c osx - Jsi n x ( 一c osx + e x si n x - p -J c o sx dxr_ exj e c osx dx = ( si n x -c osx ) + C. 3 、已知我是f & )的原函数，求引( 戈心。知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。思路分析：积分J Vu世中

57、出现了广，应马上知道积分应使用分部积分，条件告诉你如是/ ( X)的原函数，应该知道仅外公=包e + C.XJX解：v x f x )dx = 卜d ( f ( x ) ) R ( x ) - f ( x )dx口、， si n x _ 、 x c o sx - si n x ， / 、 x c o sx - si n xX v f x dx = + C,. / ( x ) = - - - - - - z - - - - - ， = VW = - - - - - - - - - - - -；J X X X ， / x c o sx - si n x si n x _ 2 . 人

58、 x f ( x )dx = -+ C = c o sx sm x + CJ X X X已知 f ( x )= ,X 4 、求 x fn( x )dx o知识点：仍然是分部积分法的练习。思路分析：积分中出现了广 (Q, 应马上知道积分应使用分部积分。解：V x ff ,( x )dx = j x J( /F( x ) ) = x f x )- f x )dx =x f x ) - f ( x ) + C.又：/ U ) =- ,. - . 7(x)= *4=e * a - 1 ), . R ,( x尸 e ” ( x - l )；X X X X x f ( x )dx = _ +

59、c = e ( x - 2 ) + cJ XX X5 、设 Y，( 2 2 ) ；证明:1 c o sx n - 2 ,- - - - - - - - - r - + - - - -n - s i n F n - 知识点：仍然是分部积分法的练习。思路分析：要证明的目标表达式中出现了/ “ ，岑和人提示我们如何在被积si n x函数的表达式中变出和一呢？这里涉及到三角函数中1的变形si n x si n x si n x应用，初等数学中有过专门的介绍，这里1可变为s i n2 x + c o s2 x 0证明： v l = s i n2 x + c o s2 x.2 2 2 -s i n

60、 x + c o s x , r c o s x , r s i n - x , r c o s - x ,- - . . . . dx = ax + -ax - ax +s i n ” x J s i nH x Js i nnx J s i nM xs i n xJs m x Jf c o s2x . .=-dx + lJ s i n xrf c o s x , . , ,n -Z )= II n d s i n x + 1n L)Js i n xCOSX . f .一s i n x s i n x-/? s i nM 1- s mx - s m x-s i n x- Js i n2 r t

61、xxc o s2 x . ,- dx f -2行c osx +r -+ Jr c o s2k X , + *r =赤c o s x +/r-+ 6、设/G )为1-s i n2 x , ,-dx + In 、s i n ” x Ic o s x , r c o s x , , +/.2+n /-M/,+/.2= + n /-(n -2 )/.2c o s xn - s i n/, -1 xJ - 2十力 ”2单调连续函数，/ , （ X ）为其反函数，且,求：J /-(x)d A -.知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。思路分析：要明白x = /(

62、尸(x)这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。解：1 j / 1 (x) d j f = x/ 1 (%) - p d (/, (%)又.x = f (尸(x). . j f M dx a T (x)- J x(/T (x)=尸(x)- 7(广(X )d (/T (X )又：J f (x)d x = F(x) + C. . j r (x)d x = /-(%) -J /(r )/(/- (x) = /-(x)-F(/- (x) + C.习题4-41、求下列不定积分知识点：有理函数积分法的练习。思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，

63、通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析。l x3思路:被积函数为假分式, 先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。解:V + 2 7-2 7x + 3= X2-3X + 9 - -x + 3x + 3J i x J (x 3x + 9- y/x = J &2 3x + 9 )t Z x J - -i 3x 1 + 9 x - 2 7 I n |x 4- 3| + C . （ 2 ） /上-8公J r -x思路:被积函数为假分式, 先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。+ x4 8（ X ， Y） + （ J -厂）

64、 + （ 7 x） + X- + x - 8 2 + . + + * + / - 8X3 X x3 - x X3 - X而丁一 X = x ( x + l )(x - 1),令华兰 = 4 + - +上，等式右边通分后比较两边分子X的同次项的系数得:x - x x x + x -A+ B+ C = C- 3 = 1解此方程组得:4 = 8B = -4C = -3炉+/一8xy - XJ- xX x + 1 x -,r 2 1 8 4 3dx = (x + x + l + -)dxJ x x + l x-1A = 8+ x + x + 8 l n |x| - 4l n |x + l |

65、- 31n |.t i j + C （ 3） f 3 +1思路：将被积函数裂项后分项积分。解： V X3 + 1 =（ X + l ）（ x2 - x + 1） ? 令Y等式右边通分后比较两边分子x的X * + 1 X + 1 X X + 1同次项的系数得:A +B = OB +C -A = O解此方程组得:A +C = 3A = 1B = -C = 23 1 -x + 2 1x3 + 1 x + l x2 - x + x + / I、，&(x) +()2 21x + lg Q D 3 (x - ； )2+ ( 2(A-1)2+( )2” 由 “ Er I工： T )Q j - 5 -(X

66、-2)2 + 4 2 (X-Rdx印小 + 卜会；3d(T)2 + 5 + G J -r -(x ) + X2 4 (告+iV32= ln|x + l|- - ln(x2 - x +1) + V3 arctan(=-) + C.2 v3 (4) J (思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令号= 嗫+号+舟 ,等式右边通分后比较两边分子、的同次项的系数得:A = 0, B-2A = 1, A B + C = l ,解此方程组得：4 = 0, 8 = 1, C = 2x + 12- = - H - -U -1)3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 3X + d x = f ! r-dx+ f= -

67、dx - -J(X-l)3 & -1)2 3(X - I)37 - (x - i)2+ c = W+ c 3思路：将被积函数裂项后分项积分。= 令_- + 旦+ _+ _2_x(x+l)3 (X +1)3 x(x+l)3 x(x +1)3 X x + 1 (x + 1)2 (x + 1)3等式右边通分后比较两边分子K的同次项的系数得:A + B = 034 + 2B + C = 0解此方程组得:3A + B + C + D = 0A = 22 _ 2 _ _ 2_ _ 1 2X(X + I)3 X x + 1 (X4- I)2 (X 4- I)3A = 2B = -2C = -2。 = -23

68、x + 2 _ 3 2 _ _ 2 2 2 1 2 _ _ 2 2x(/ + l)3 - * + l)3 x -x + T -(x + l)2 (x + I)3 -(x + 1)3 x -x + T -(x + l)22dxX.：3x + 2，公=f !_-d x- f- -y d x - dx+ Jx(x + 1)3 J(x + 1)3 J(x+1)2 J.r + l J= - - -r + - - 21nk + l| + 21nM + C2(x + l)2 x + 1 1 1 1 1= 21nx4x + 3-1 -x + 1 2(X + 1)2+ C. (6 )xdx(X + 2)(X +

69、 3)2思路：将被积函数裂项后分项积分。解:x _ x + 2 -2 _ x + 2(x + 2)(x + 3 - (x+2)(x + 3 - (x + 2)(x + 32(x + 2)(x + 3)z1(x + 3)2一? 一令一? _ = 4+ 旦+ 二(x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3) x + 2 x + 3 (x + 3),等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:f-xdx- f _-d x - -dx+ - -d xJ(x + 2)(x + 3)2 * + 3)2 Jx + 2 Jx + 34 + 8 = 064 + 5B + C = 0解此方程组得：

70、9/4 + 65 + 20 = 2, A = 2B = -2C = -222 22(x + 2)(x + 3)2x+2 x+3(x + 3)2x1 2 2- )=a + 3 y3 22+ -x + 3(x + 2)(x + 3)2 (x + 3)2 x+2 x + 3(x + 3)2 x + 2= - - -2 1 n |x + 2| + 21n|x + 3| + C = l n f | l - - + C. ( 7 )联也Jx3-1思路：将被积函数裂项后分项积分。解 . .3x 3 (x-l) + 3 3 3 x3 -1 x3 -1 x2 +x + l x3 -1令 Y= + 半 , 等式

71、右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:x -1 x - 厂 + X + 1A+B=O A = 思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令 _=4 +卑，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:x ( x +1) X X +1A + B = O. C = O解之得:A = -1- - - -*1 .xx(x2 + 1) X X2 + 1A = ， B = -1C = Of -7-dx = J x- j dx = I n |x | - f t /(x2 + 1)Jx(x2+1) Jx Jx2+1 1 1 2JX2+1. . 1 7 x =I n |x | l n (x- + 1) + C

72、= I n ； + C.2V x2 +1 (12 )E思路：将被积函数裂项后分项积分。解 : . , = (X2 + x)(x2 + 1) X(X 4- l)(x2 + 1)令亏+ 与+ 学，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数(x +x)(x +1) X X + 1 X +1得:A + 8 + C = 0, A + C + O = 0, A + B + D = O,A = 1 ,解之得:A = 1, B , C = , D =2 2. 1 1 1 1 _ _ j_(x2 + x)(x2 +1) x 2 x + 1 2. 1 1 1 1 _ _ _(x2 + x)(x2 4-1) x

73、2 x+ 2x + x2 +1X 1x2+ l 21x2 + lJ(/ +奈2+1)=七 T/X , 1 r dx= In |x| 一； 1巾 + 1卜( J J +1) - arctan x= In x g In 卜 + 1| 一； ln(x2 + 1)arctan x + C.24 (13)dxx4 +1思路：将被积函数裂项后分项积分。解： “+ l = (x2 +1-V2X)(X2+14-V2X)令-Ax + B1Cx + DX， + 1 X2 + 1 y2.X + 1 + V2x1,等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:A = - -4A + C = OB = -0 A +

74、 8 - V5C + O = 解之得.2A+CB + C- 6D = G 0C = 8 + 0 = 14D = -21 1 y flx -2 I &X + 2, - = - 1 - x4 + 4 x2 +1-V2X 4 J V2 + 1 + V2jr(2x +扬 Q x - C )5/2 (2x V2) 5/2 + yp2, (2x + 5/2)+ -/28 / 以，1 8JI 21 1/ a 1(X + -) - + -2 2& 1 , 夜、2 12 2 2 2- 8 1后( X +Tf dxI + ； (x -(2x + V2)4(2x - V2),叵、,1 , & 1(x + - )

75、 + - (X- - - ) + -2 2 2 2dx + f-+ - 7=-Mx4 J ,夜、2 i z a i(X + ?) + - (x - - ) 4- ,2 2 2 2二争上篝与yT詈磊阳+J 产 +j 阳(X + ) + - (X- - )2 + -2 2 2 2= 字 +* / + 1 + 后- 1 一国 + 争 /( & 二) ? + /( 缶+ D + 1 g L + /gf=In + 里 +1 +-arctan(V2x +1) + arctan(V2x -1) + C8 X2-V2X + 1 45/2 x2 -f2x + 1 y/2, In /= + 8 X2 +

76、V2X4-1 4(arctan注:由导数的性质可证 arctan(V2x + 1) + arctan(V2x - 1)= arctanlx1-x2本题的另一种解法:1 _1 x2+lx4+l _ 2 x4+lx2- l/+ 1I，隔4罔小点 3l+7- dx-八Ax, T 匕 -dxX= 3TT( TTX d.-X ! + 1 X XW14 J r2 _1 ,V2xr 1 1- - :- d(x + - + + XX= arctan4x2- i A/2, x2- /2 x + -in-y2x 8 X2 + yjlx + 1+ C+ C.2 x + V2x + 1 5/2= In- ；=- +

77、 (arctan8 X2-V 2X + 1 4注：由导数的性质可证arctanX2 -1 71y/2x- 1= = F arctan-。V2x 2 1-x2 ( 4 / /思路：将被积函数裂项后分项积分。 x - 2 + x + l x + l( x2 4-x + l)2( x2 + x +1)21 1 2x + l 3 1%2 + x + 1 2 ( x + x +1) 2 ( x2 + x +1 ) *,2-2-X + 1)2dx. f dx lr 2x + l , 3dx = - I - z - 1 - I -7 - dx W +x + l 2 J( x2 + x + l)2 2-vdx

78、+ x +1)dx+ 1 + 1) 2-2-V-3- a r c ta n (,2x +- l)、-1 - -1- -3 r ； -1- -亍 dx,3 6 2X2+X + 1 2 J(X2+X + 1)2又. Id.x = -1 - ：2-x-4-1- -+ -f r -d-x- -2 X +x + JX +x + ,1、2 32 41 2x 4-1 2 G z2x + 1 -=- -F-a r c ta n( ；= ) + C2 - +X + 1 3 百(* x - 2 . 4-/3 2. x + 1. x + 1 -I ； - dx =- a r c ta n( f =- ) ； -F

79、C.M +x+iy 3 6 x2+x +注：本题再推到过程中用到如下性质：( 本性质可由分部积分法导出。 )若记 /“ =卜 , 其中为正整数，” 0 ,则必有:J( x + a )X2/( 1)( 心不产+ ( 2 -3) Z ,1.2、求下列不定积分知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习。思路分析: 求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成。J 3 + s i r r x思路：分子分母同除以s i n、变为e s c ? x后凑微分。解：f - dx _ r e s c2 x dx _ r d c o tx J 3 + s i n2 x 3c s e

80、2工 + 1 J3c o t2 x + 4c o t x )( c o t x )2 + 1A/3=-a r c6c o t x ) + C = a r cta n x ) + C. ( 2)J3 + c o s x思路：万能代换!解：令- a弓，则c s x = 胃，小言 2dt1dx3 + c o s xf l +t2= f-dt2 + r2 - V2a r c ta n -y = - + Cr ( h _ l a r c ta n( = ta n ) + C.J3 + c o s x y /2 J2 2注：另一种解法是:/ _ = _ _ _虫 _ _ _=1 / _ =1 f _

81、 _ _ _ _d xJ3 + C O S X3 + 2浸1-1 2 1 + c o s - 2 Js e c2- + l2 2 2f 1 . X f 1 , X 1 /lx、- 1 / ta n = - a ta n = j = a r c ta n( ta n ) + C.La n 1+ 2 2 J ( ta n |)2 +() 2 2 0 & 2 ( 3) f J 2 + s i nx思路：万能代换！解：令 , = ta弓则s i nx =号=若2dt“ 2 + 1、f dx . f 1 + 产治 f 小. c dt 2 f J3J2 + sin x+ m J + l + 1) 2+

82、 3 G 1 +( 亨)1 +广 2 4 V32 /2/ + 1、-= ；=a r c ta n( j =-) + C6 7 3X 2 ta n F1r dx 2 / 6J-2- +- -s-i-n-x = Gf = a r c ta n( -6 )+ C. J1 + ta n x思路：利用变换r = t a n x !( 万能代换也可，但较繁！ )解：令 / = t a n x ,贝U x = a r c ta nf ,d x = - v；1 + rdt./ dx .f 出J1 + ta n 戈 J 1 + z J ( 1 + r ) ( l + f 2)1 1 z 1 r -k 1 z 1

83、 t 1 、 ,-= ( - ) = ( - 1 -)( 1+ 0( 1+ /2) 2 1+ r 1 + r2 2 1+ f 1 + r2 1+ z2f - - J( l + r ) ( l + r ) 2 Jl + r 1+厂 Jl+ r2+ z2) + a r c ta n r + C/ . f = In 1 1 + ta nx - - ln( l + ta n2 x ) + x + C.J1 + ta n x 2 1 1 2 ( 5) 生J1 + s i nx + c o s x思路：万能代换！= y ln|l+ /|-ln( l解：令7 = ta nJ?1 s i nx = -r ,

84、c o s x = -1,dx =2 1 + z2 1 + r2 + r2dtJ-； + ： = = In|l + r | + C = In 1 + ta n + C1 + r + r1+ r2 1+ /2 ( 6 ) f 包J5 + 2s i nx -c o s x思路：万能代换！解: 令呜,贝 ! ) s i n x = 2 ； .1+广1 一广 2dtc o s x =-,dx = -71+ z2 1 + r22dtdx = r l-t-r f dt5 + 2s i nx -c o s x J _ _ 2t -t2 3t2 +2t + 25 + 2- - -1 + r2 l + t2

85、而dt, 12 A， + 3 + gj 1 3 ta n +1r ax 1/2/ . - = j = a r c ta n( -声 J5 + 2s i nx -c o s x J5 J5 ) + C. ( 7 ) -J Idx( 5 + 4 s i n x ) c o s x思路一：万能代换!解：令/= t a n ,则 s i nx = j c o s x =2 1 + /1-z2 J 2dt- -ydx = - -l + r2 1 + r2dx( 5 + 4s i nx ) c o s x ( 5 + 4= -(22dt1 + rIt -t1+ r l+ r42( 1 +J)力2 ( 5尸

86、 + & + 5) ( 1-r )25 r+8， + 5 + ( 5产 + 劭 + 5) ( 一1)dt而4( 5产 + & + 5) (产-1) ( 5t2( 5 广 + 8 f + 5) ( f -1) ( / +1)4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _+ 8 / + 5) ( z -l) ( z + l) ?令4. / + B .+ -2,等式右边通分后比较两边分子t的同次5t + 8 / + 5 / 1 / + 1项的系数得:A + 5 C + 5 D = 05 + 13C + 3 D = 0 A+ 13c - 3 0 = 08 + 5C 5 0 = 4解之得:4_ 一 . .

87、 . 95/ +& + 5 16 7 7 1651A = -C = 2167 9B二一D = 816201 + 71 1,( 5z2+ 8 r + 5) ( r -l) ( r + l)-811+ 119 11 10r + 8 9江口n 771 4,5/2 + 8 r + 5 - 8 * 5 r24-8 r + 57dx119 11 10f + 8( 5 + 4s i nx ) c o s xr dx16 7 T+16 7 + 1 4 5r2+ 8 f + 5 8 5r2+ 8 r + 5( 5 + 4s i nx ) c o s x瑞谆高忌中思路二：利用代）出= -lnp -l| + -j

88、 ln|r + l|- ln( 5r2 + 8 1 + 5) 一 & a r c ta n( ；，) + C16. x ,In ta n 1 +2o JC 1 x x * 7 In ta n +1 ln( 5 ta n2 + 8 ta n + 5) - a r c ta n(1624_ x ”5 ta n + 4；) + c2422换， = s i nx !解：令/ = s i nx ,|x |/x-4Vx + 41n(l + Vx) + C (13)泛竺思路：变无理式为有理式，三角换元。解：令 x = tan r,|r| y ,则dx = sec2 tdt.tan tse

89、ersec2 tdt = jtan3r sec tdt = jtan2 td sec t = j(sec21 - l)d sec t= sec3/-secr+ C = -l + x2 - l + x2 + C.33 ( 1 4)思路:变形为y!a2-x-a + x后，三角换元。解：令x = asinf， W 0 时，有/) F ( x ) = s in2 2j 且产( 0 ) = 1 , F ( x ) 0试求/ ( X)。知识点：原函数的定义性质考察。思路分析：注意到d f ( x ) =/ ( x g ,先求出F ( x ) ,再求/ ( x )即可。解： / ( x ) F

90、( x ) = s in2 2x ； f ( x )F( x )dx = js in2 Ix dx即 jF ( x ) J F ( x ) = js in2 2x dx , / . ( F ( x ) )2 = js in2 2x dx ,( F ( x ) )2 = 2 js in2 2x dx = j( l- c os 4% Xr = x - - s in4x + C ;又 F( 0) = 1 , / . C = l; . ( F ( x ) )2 = x - - s in4x + l; ( x 0 . )4又 F ( x ) 0 , . F ( x ) = J、 - ；s in4x +

91、1 ,又 f ( x )F( x ) = s in2 2 x , . f ( x ) = 2 x 。Jx s in 4x 4- 1V 45、求下列不定积分。知识点：求不定积分的综合考察。思路分析：具体问题具体分析。 ( 1 ) J x j2 - 5x 4x思路：变无理式为有理式，变量替换, =j 2-5 x。解：令/ 二令-5x ,则 X ；- 、 dx 二一二dt , ? / ) = - - J ( 2 z2- z4) / r = - ( - r,- - z5) + C5 5 2 5 2 5 3 5= 一4 J ( 2 _ 5x ) 3 + 展 j( 2 - 5x ) s + C = -

92、 3 * ； 8 JQ _ 5x ) 3 + c匕三思路：变无理式为有理式，变量替换“s e c /。解：令x = s e c / , O r 贝 d x = s e c / t a n， d f。2se c t t a nrs e c f t a nfdt = J力洋2、思路：将被积函数总变为- 后换元或凑微分。,2解：令 / = ( / ，贝4力= ( 令In gdx。f -J )2 *3*9X 4 r( |r-c l x = J - - - - - - - - - -dx =1 - ( | ) 2dtI n2 - ln3 J1 - r. - )dl2 ( ln3- ln2 )

93、J t - r + 1I n2 ( ln3- ln2 ) t + + C =- - - - - - - - - -I n2 ( ln3- I n 2 )+ C.- - - - - - - - - - - - I n2 ( ln3- ln2 )3、- 2、3r + 2x+ C2 三/ 制 0 )思路：凑微分。解：.”占心乜热心舄不好令 V, f x2 1 r 1 , 1 fz 1 1 t ayJI-67- x6-r dx 3 JI (a3r -ri/f = - r I (- - rW， = - T 卜 - - - - + C)2- r2 6 / J f t + a3 6a3 t

94、+ a3 3思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元。解：方法一:, 一dxJx(l + x)dxJ(x +权 - ( 权令x + = secr,Oz 贝4 dx = secf tantdt2 2 2 2心 sect tan /j , t A - = -dt = jsec/Jr = ln|secr + tan t + CJx(l + x) A tan z2= In 2x + 1 + 2A/X2 + X + C.方法二:dx _ 2 r d4x _ 】r dxJx(l + % ) 4 + x Jl + ( 4 y令号TJ卷再令ytan z,|z| 贝4 力=sec2 zdz,. “x =

95、2 广。dz = 2 fsec zdz = 2ln I sec z + tan z| + CJx( + x) J secz J=2 In | Jl + H + y/-x + (7 = In |2x +1 + 2l x + + C.Jx(2 + x10)思路：倒代换！解：令x = l , ,则 dx = !力,t r1 1 y10= ln(2r10 +1) + C = ln( ) + C.20 20 ,0 + 2 ( 7)件。s廿3si吧?J5cosx + 2sinx思路:大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分，一般思路是将被积函数的分子写成分母和分母的导数的线性

96、组合的形式,然后分项分别积分即可。解： , / 7c os x - 3s inx = 5c os x + 2 s inx + ( 5c os x + 2 s inx )rr7c os x - 3s inx , r5c os x + 2 s inx + ( 5c os x + 2 s inx )r .-:dx = -；- - - - - - - - - - - -axJ5c os x + 2 s in J J 5c os x + 2 s inx卜 + ( 5c os x + 2 s inx八d , _ / 八 + f ( 5c os x + 2 s inx )J 5 c os x + 2 s i

97、n x J 5 c os x + 2 s in x=体+ (5cosx + 2sinx)= 升间5c os x +2 s inx | + CJ J 5c os x + 2 s inx ( 8 )e ( l + s inx ) ,二 -ax1 + c os x思路：分项积分后对前一积分采用分部积分，后一积分不动。解：. . . 任红包与= / ( _ +色 ”9= f ( ，_ + / t a i ) d xJ 1 4- C O S X J 1 + C O S X 1 + c os x J C O J, 2 2C 0 S 2= - - -dx +2 c os2 2f r x . r v 2 x

98、, x r r x , e t a n -dx = e s e c d - + e t an -dxJ 2 J 2 2 J 2 exd t a n + 卜 t a n -dx = ex t a n f e * t a n -dx + ex t a n -dxJ 2 J 2 2 2 J 2tx 八c t a n F C .2 6、求不定积分：狂” 一口 3 团J / （ X ） f x ）”知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性。思路分析：分项后，第二个积分显然可凑现成的微分，分部积分第二个积分，第一个积分不动，合并同种积分，出现循环后解出加一个任意常数即可。解：喘-隼*E得3而J的 ,

99、二需广 - Jr。）， / （累）2 / (幻/“( x ) - 3 / ( x ) T( x ) r ( x )dx尸。）97 3哼给J f M f x ) f 2( x ) J f ( x ) f x ). 邛 &J ? ” 团a + c.J f M f X) 2f 2( x ) 7、设 /, = J t an x 4 x , ( ” 1 ) ,求证：/ = 一t an x -1_2,并求 jt ar r x d x .知识点：分部积分法考察，三角恒等式的应用，凑微分等。思路分析：由要证明的目标式子可知，应将t an x分解成t an x t an? x ,进而写成t anw_

100、2 x ( s ec2 x - 1 ) ? 分部积分后即可得到kO证明：In = jt anHx d r = | t an, r - 2 x t an2 x dx = jt anz ,2 x ( s ec2 x - )dx=jt ann- 2 x d t an x - jt ann_2x J x = ! j - t an x - In_2 jt an5x =八=；t an4 x - Z3 = (t an4 / 一( ；t an? x - 4 )=t an4 x - -t an2 x + ft anx J x = t an4 x - - t an2 x - ln| co s x | + C4 2

101、 J 4 2 1 1 8、jJ 产 d x =.思路：化无理式为有理式，三交换元。解：: J + , ，令x = s inr , k | 9 则 dx = c ost dt。V i- x 2+ s inrco s r=ar cs in x - j -x2 +C.co s z J z = J ( 1 + s n t )dt = t- co st + C 9、设不定积分L = J 二团 , Y ( 1 + X )若 u = x ex 9则有( D) o思路：提示我们将被积函数的分子分母同乘以，后再积分。解：. T = / +xx ( l + x )dx = jdxe”( l + x ex)又

102、 du = ( ex + x ex )dx = ex ( 1 + x )dx ;.,=0 = A 选。J ( l + )1 0、求下列不定积分：知识点：求无理函数的不定积分的综合考察。思路分析：基本思路将被积函数化为有理式。、思路：先进行倒代换，在进行三角换元 .解：令 X = - 5 贝 4 dx = y Jr ot / 1 -i-( 一 -dt) = -2令产=tanw,0 w 则 dr = sec2 udu 。2sec2 udu 1 f ,- =secudusecu 2 J=7 2= -ln|secw + tanw| + C =- - ln(Vl + /4

103、+f2) + C = -ln(；-)+ C2 2 i + Ji + /=ln(2Vl+X4 -19x)+c 、x + 1思路：进行三角换元，化无理式为有理式。X+1dx = r ) 贝4 dx = sec/ tantdt,2, 1 + secr , rl + seer , c - secrtanrJr= dt = (cosf+ 1)/sec t tant J seer J解：令 = $60= /+sinf + C = arccosL T + c = lX X注： (arccos - / = (- arcsin )-arcsin- + C.X 、xxf x +

104、2 J. dx.JX2VT7x思路：进行三角换元，化无理式为有理式。解：令.v = sinr,0r 则 dx = cos tdt；2r x + 2 / dx =x2l-x2 sinr + 2 . - cos tat =sin rcosrcscz(/r + 2 jcsc2zr/z= In |csc z - cot r | - 2 cot / + C = ln+ C. 、J -dx(1 + x2 )J1 尸思路：进行三角换元，化无理式为有理式。解：令 = sinf,O/ 工，则 dx = cos tdt2r dx r cos td

105、t r dt f dt r sec2 tdt(1 + x2)/l-x2 J(l + sin2r)cosr Jl + sin2r Jcos2r + 2sin2f l + 2tan考J；1常力亭d.） + C冬曲n（急） + C. 、思路：进行三角换元，化无理式为有理式。解：令戈=2sin/,0/ 2 ，则 dx = 2cos/力；22cosm r dt 1 r . 1 . - = -= cscrJr = In cscr-cotr +C2sinr2cosr 2sinr 2 21 1、求下列不定积分:知识点：较复杂的分部积分法的考察。思路分析：基本思

106、路一一严格按照 “ 反、对、嶷、三、指 ”顺序凑微分。 ( 1 )、jln(x + yj + xz)dx思路：分部积分。解：fln(x + y/l + x2)dx = xln(x + Vl + x2)- f5(1 + 7x + y/ + x2 yjX+ X=)dxx ln(x + Jl + x2) 2= xln(x + Jl + x2)一=x ln(x + Jl + ) - Jl + r + C ( 2 )、jln( l + x2X / A -思路：分部积分。解：fln(l4-x2X/x = xln(l4-= xln(l + x2)

107、- 2 jt/x+2 j- rdx = xln(l +X2)-2X + 2arctan x + C o+x 、xtun xsec4xdx思路：分部积分。解：. 卜tan x sec,xdx = Jx sec与 sec x = x sec4 x - jsec x(sec3 x+ 3xsec3 x tanx)dx = x sec4 x - jsec4 xdx-3 jxtanxsec4xJx= x sec4 x - j(tan2 x + 1)J tan x - 3 jx tan x sec4xdx= xsec4 x -tan3 x-tanx-3 jxtanxsec4xJxxtan x

108、sec4xdx = x sec4 x - - tan3 x - - tan x + C.4124 ( 4 )、j -arctan xdx思路：分项后分部积分。解:f X , ar ct an x dx = ar ct an x dx = far ct an x dx - f -ar ct an x dxJl + x2 J 1 + x2 J Jl + x2=x ar ct an x- 上收far ct an x d ar ct an xJl + x2 J= x ar ct an x - - ln( l + x2) - - ( ar ct an x )2 + C.2 2 、思路

109、：分部积分后倒代换。解： )dx = fln( l + x2) 4 / ( - - . v- 2) = - - x- 2 ln( l + x2) + -Ix dxJ / J 2 2 2 J 1 + /= - 内 + / ) +J /对于积分J( ， 2)应用倒代换，令x = ；，则d x = -5力，Jf x ( l;- d+-x -x 72-) = Jf - - -1f -7-z( 一 -1 fd. 。x = 一 f ；t dt - = -1- l. nZ(1 l+ r2 、) +八 C = - -1l1n)( + 厂、) + C产 J + 产 2 2

110、X2d n( l + x2) _ ln( l + x2)_l n (_)+c. 、f- - dxJ1 + C O S X思路：将被积函数变形后分部积分。解： f - dx = - dx = - fx s ec2 dx = fx s ec2 - d = x d t an J l + co s x 2 2 J 2 J 2 2 J 22 co s -2X C X x r X X X X= xt an t an dx = x t an - - 2 t anJ = x t an + 2 I n co s + C2 J 2 2 J 2 2 2 2=x t an + I n21 + co s x2+

111、 C = t an + ln| l + co s x | + C 1。 1 2、求不定积分： / = x exdx ,n为自然数。知识点：较复杂的分部积分法的考察。思路分析：基本思路一一严格按照 “ 反、对、霹、三、指 ”顺序凑微分，推一个递推关系式。解：/ = x ex -x + Cln = xnexdx = x dex = xnex - n xnexdx = xnex - n ln_x= e ( x - n x - + n( n - l) xz-2 - n ( n -1 ) ( - 2 ) x - -3 + + ( - l/ n(

112、 n - l) ( n - 2)-( n -k + + + n !J C) + ( - l) n! /( 1= e* ( x -n x +n ( n -1)x 2 -n ( n -1)( n -2)x 3 + + ( - 1 / n( n - l) ( n - 2 ) - - - ( n - k + l) x -* + + ( - 1 )1 n x ) + n ex + C 13、求不定积分：j， - 2 x + 3 ) co s 2x dx .知识点：较复杂的分部积分法的考察。思路分析：基本思路一一严格按照“ 反、对、零、三、指”顺序凑微分，分项后32x dx ) ( x s in 2x -

113、 js in 2x dx )+s in 2x分别积分。解： J ( x2 - 2 x 4 - 3 ) co s 2x dx = J x 2 co s 2x dx - 2 J x co s 2x dx + 3 jco s 2x dx= ；J x 2 d s in 2x - x d s in 2 x + - 1 jco s 2x d2x= g ( x2 s in 2 x _2 jx s in=( x2 s in 2x + x d co s 2 x ) - ( x s in 卜in2 x d 2 x ) + ；s in 2x=x2 s in 2x + - x co s 2. x - fco s 2x

114、 dx - x s in 2x -co s l x + s in 2x2 2 2 J 2 2= x2 s in 2x + x c os 2x s in 2x -x s in 2 x - -co s 2x + s in 2x + C2 2 4 2 2= ( ；/ 一工 + s in2 x + ( ；x - ； ) co s 2 x + C .14、求下列不定积分：知识点：求解较复杂的有理函数和无理函数的不定积分。思路分析：基本思路有理式分项、无理式化为有理式。、七思路：将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式，然后积分.解：爰 ”小谎制1 1 8 x7 + 1 2工3-丁 c 0 7 1

115、c 3/ + 3 / + ； dx = /4 - 江： +3 : 2公+ 2 0 j x3dx _ 1 4 3 已，+3x4+2 ) + 5 +1 0(x-2 ) + 5 ; 2 x + 1 . 2 ) ， + 6 (x - 2 ) + 1 0(x 2 ) + 5 , 尢fW J - m亚 -dxJ (x-2 ) 9 7 J (x_2 )9 8 J (x-2 ) 9 9 J (x_2 ), t ) o1 6 5 5ZZZ - 1 - - - - -9 6 (x-2 )% 9 7(x-2 )9 7 49 (x-2 )9 8 9 9 (x-2 - , 、J (x?+1 ) (3+4) 4思路：将

116、被积函数裂项分项后积分。解：上+ 1 )父 +4). 1 f dx2 i r c dx2 r d x? / + 、dx+ l ) (x2 + X + 1 )思路：将被积函数分项后积分。解：令(x2 +l ) (x2+ x + l )铲+ 4匕，等式右边通分后比较等式两边分子上X的X - + 1 X +x+同次赛项的系数得： A + C = O,A + B + D = O,A + B + C = O,B + D = ；解之得：A = -l , 8 = 0, C = O = l .-x x + 1(X2 +l )

117、 (x2 + X + 1 ) X2 +1 X2 +X+dx+ l ) (x2+ x + l )= - dx +Jx2+1x + 1 .： dx =-r + x +1dx2x + 22 Jx2 +1dx + 2 .J x2 + x +1-dx1 r dx1 , 1 r 2 x4-1 .= ： dx + - - - dx +2 Jx2 +1 2 Jx2+ x + ldx1 . . 2 1 1 fd (厂+ x + l )=l n(x2 +1 ) + - - -2 2 J x2+x + l 、“2 x + l a(十)+ - f-T = - - l n(x2 + 1 ) + l n(x2 + x +

118、 1 ) + -= f - - -2兀 + % + 3 2 22 , 4上=-l n(x2 4-1 ) + l n(x2 + x + 1 ) + act an(2空 )+ C.2 2 V 3 V 3f y/x .L( 4 + W)思路 : 化无理式为有理式，第二类换元法。该题中欲同时去掉五 , 4,应令 / = 五。解：令 /= 五，则 d x = 6 r d ， ;七, 2( 4+狐 )出( + 五 )- J f6 3 + )=6为悬6rdi = 6dtW + l )6 # - 6 j g = 6 1 n+ C. 、R /xJ x +

119、 l七r + 1+ C思路 : 分母有理化，换元。解 := j j x(犬 + l ) (J x + 1 -x)dx = | (x+ )4xdx- J x j x + Id x对于积分X + DA/ /X ,令r = 4,则 d x = 2 rJxdx = - x2 + x2 4- Cj对于积分 xy/x + ldx ,令 =J x + 1 ,则 dx = 2udu 2 2x y f x + dx = j (w2 - )u 2u du = 2 j (w4 -u2)du =不+ 。2f. - 2 2 2 3/ . j Xy /x +l dx = (x + 1 )2 -

120、 - (x + l )2 + C2fy ： )dx (x + 1 ) + x； H x； + (x +1 ) 5 + C.y j X 4-y f x +i 5 3 (8)、 -d xJ(x-l ) V 2-2思路：换元倒代换。解：令x-l = L,则 d x = -gdt ;t t(解题过程中涉及到开方，不妨设r = - L 0 ,若小于零，不影响最后结果的形式。X -1也就是：不论正负，结果都一样。 )g)g ( ； + 1尸-2 r -1 ) 2 卜伊t 1 , , . r _ 1 . 2 X二 srcsi n -尸 + C = arcsi n 产 C = arcsi n -产 -F C

121、.V 2 V 2 V 2 (x-1 ) (9)、 L _些 _:J .(X +l ) 2 (X -l ) 4解答详见习题4 -4 第 2 题的 (15 ) 题。 (10)、匕叱J l + f + “ + .2 ) 3思路：“ 一路”换元。解： ./ x dx = f dx。 = r rf(l + x2)y j +X2 +y ( l + X2) 2 J 1 + + & 1 +2 ) 3 2 J l + / + # + X： ) 3令/ = 1 + / ，贝1Jf x dx _ 1 r dt 1 r dt _ 1 r dt _r d4ty j l + x2 +y ( + x2y 2 y j

122、t + 2 y j T+bJt 2 77J l + d J】 + 令 “ = 则L m g = 2后 + C = 2 A M 7 7 + c.Ji+ r+ 屈7 7 s + m+ “15、求下列不定积分：知识点：求解较复杂的三角函数有理式的不定积分。思路分析：基本思路一一三角代换等，具体问题具体分析。、f竺Jsin2x + 2sinx思路:万能代换。解： f = tan 9 则 dx = ,sin x = 、， cosx = ， =:2 1 + / i + r 1 + r， dxsin2x+2sinx2dt1+3二三+ 2且l + t2 + t2 l+ t2山中 T井邛们= 加1+ -

123、 r2+C = -ln8 4tan i tan2 I- C.2 8 2 (2 )、Jx ,tan - ax21 + sinx + cosx思路:万能代换。解：令呜贝小 M , s i n x仔修x .tan dx21 + sin x + cos x=f-2dt1 +产 2t - i1 H - 7 H - y1+广 1+Zy = J * = J -居= f- m | i + 4 + cx .tan ax2 +sin JV + COSXx x x= tan In 1 + tan + C.22 、 -HJsin xcosx思路: 将被积函数的分子1变换一下， 1 = sin2 x +cos2 x

124、 o解:sin5 xcosxsin2 x + cos2 xsin3 xcosx1 cosxsin.rcosx + sin3xsin2 x + cos2 x cosxsin x cosx +sin3x2 2= tan x + cot x + esc- x cot x = tan x + cot x -F esc xcot x- = (tan x + cot x + esc2 x cot x)dx = (tan xdx + cot xdx + esc2 x cot xdxJ sin xcosx J J J= -ln |cos x + In |sin x - jcsc xdcscx = -n |co

125、s x + In |sin x esc2 x + C 、= In | tan x| 一-esc2 x + C.2r sinxcosx ,- dxJ sin x + cosx思路: 注意到 sinxcosx = sin2(x + , 94 2. 2z 1解 . . .sinxcosx _s_in_ _(_x_ _H_4 ) 2”. sin + 8 s&s g 马4而 sinx + cosx = Vsin(x +马,此题易解。4r sin x cos x ./. -dx =Jsinx + cosx. 3 乃、1sin-(x + - ) - - Zbc =& sin(x + 令 / 冗、

126、，sin(x + )t/x -, 7 T .,csc(x + Xx= _ 8 S * +为- 变2 4 4In csc(x + ) + cot(x + 为4 4+ c. 、Jsin九 sin 2xsin3xdx思路: 将被积函数积化和差。解： ,/ sin xsin3x = (cos 4x - cos 2x)jsin x sin 2x sin 3xdx = 一;j(cos 4x - cos 2x) sin 2xdx= fcos 4x sin 2xdx + fcos2xsin 2xdx2 J2 J= - ; j(2cos2 2x-l)sin 2xdx + Jsin 4xdx= - jeos2

127、2xsin 2xdx + jsin 2xdx + jsin 4xdxI f , 1= cos- 2xJcos2r+ -2 J 4jsin 2xd2x + jsin4xd4x13cl e= cos 2x cos 2x -64cos 4x + C.16注：另一种解法是:jsin xsin 2x sin 3xdx = 一； j(cos 4x - cos 2x) sin 2xdx= - - fcos 4x sin 2xdx + fcos 2xsn2xclx2 J 2 J= - - f (sin 6x - sin 2x)dx + sin Axdx = - cos 6x - - cos 2x - - c

128、os 4x + C.2 J2 4J 24 8 16 、一：dxJsin x + cos x思路: 注意到被积函数的分子sinxeosx = sin2x ?分母sin x + cos4 x = 1- -sin2 2x 9 易解。2 2解：v sinx cosx = sin 2x,sin4 x 4-cos4 x = 1 sin2 2x,1 c 1 c. sin 2x sinzxsin x cos x , r 2 , r 9 ,-7dx= -dx= - dx =sin X + C O S X J . 1 . 2 o 1 - 2 n1 sin 2x 1 sin 2x2 21 r 1 c- a cos

129、 2x2 J1 + cos 2x- ；arctan(cos 2x) + C. 、、- 一- - - -ri/x(0 r ,-7T X 7T)2 J1 -2rcosx + r思路: 万能代换。解：令f = t a n ,则八= - 7 ， cosx = i-9 代入得：21 + r 1 + r 2 Jl - 2 r c o s j c + r2 2 J( l + r2) ( l + /2) - 2 r ( l - r2), 1 + r_ l -产, 2dt _ I -产/ 2dt _ _ , 小工， ) T J ( l + r )2f2+ ( r - l )2 2 J ( l + r )2

130、/2+ ( r - l )2 - -J + r 2 -; t ) + 1r-1 + T* 1 + r x=- ar c t an ( - - -1) + C = - ar c t an ( - - - - t an ) + C.r - 1 r - 1 2 、产 in x + 3 c s rJ s i n x + 2 c o s x思路：非常典型的解题思路将被积函数的分子4 s i n x + 3 c o s x 表示成分母s i n x + 2 c o s x和分母的导数c o s x- 2 s i n入的线性组合的形式。解： 4 s i n x + 3

131、c o s x = 2 ( s i n x + 2 c o s x ) - ( c o s x - 2 s i n x )=2 ( s i n x + 2 c o s x) - ( s i n x + 2 c o s x )1r 4 s i n x + 3 c o s x , r 2 ( s i n x + 2 c o s x) - ( s i n x + 2 c o s x ),：. - - -ax = - dxJ s i n x + 2 c o s x J s i n x + 2 c o s x= 2 的 -畔叶也包= 2 l n卜i n x+ 2 c o s x| + C .J J

133、 + ； + C , | x | 1 .2 1 7、设) g _y ) 2 = x,求上又一3 y思路：变量替换。解：令 , = x _ y,则八沼=备山;；= 1曰=i f T F = ；l n | 产一1 | + C = ；I n | ( x - y ) 2 -1 | + C。 1 8、设/ ( x)定义在( a/ )上，c e ( a,6 ) ,又/ ( x)在( 4 ,b ) c 连续，c为 f( x)的第一类间断点，问 / ) 在5内是否存在原函数？为什么？知识点：考察对原函数定义的理解。思路

134、分析：反证法。解证：假设F ( x)为/ ( x)的一个原函数，考察F ( x)在点c的导数，l i m 外| 匕气。= / ( c - 0) , l i m . 叱 3 = / ( ( + 0) ;X- K - X-C XT- X-C而 l i m 二一/ = F c ) = / ( c ) ,. - . / ( c - 0) = / ( c + 0) = / ( c )I C X-C/ ( x)在点c连续，这与c为f ( x )的第一类间断点矛盾 !课外典型例题与习题解答 1、r x d +x x2)

135、思路分析：此题属于有理函数的积分，且分母的次数大于分子的次数，可使用倒代换。下面的解答采用另一种方法，仔细体会，你会收获不小！解：Jf - = f -r v -= f - x-dxx6( l + x2) J x6( l + x2) J. t6 3x4( + x2) Jx6 J x4( l + x2)dx( 1 + f)_ c dx c dx rdx r dx二乒一万+ b=- - -r + r - - - -ar c t an x + C.5x5 3x3 x2、底灰思路分

136、析：此题属于有理函数的积分，且分子的次数大于分母的次数。经典的解法一一将被积函数写成一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。解： .X5 _ X4 ( 1 + X) - X4 _ / X4 _ / X3 ( 1 + X) - X3 _ 尤41 + X +x1 + X + x1 + X4 3 厂( 1 + X) - / 4 3 ，X -x + - - -= x -X + J C1 + Xx2 + xx( l + X) - Xl + x= x4 -x3 + x2 - x +

137、 - = x4 -x3 + x2 + - - = x4 - x3 + x2 7 + 1 l + x l + x l + xJ - j dx J ( x4 + x x + 1 - - - - dx J ( x4 一 / + 厂x + )dx J - - - dx- x5 - - x4+ - x5- - x2+ x- l n | l + x| + C .5 4 3 2 1 1 3、 j c o s5 x dx思路分析：经典思路若被积函数为弦函数的奇数次霹，则取其一次凑微分,余下部分化为余函数的形式积分即可。解：j c o s5 x dx = j c o s4 x J (s in x ) = j (

138、l - s in2 x )2d( s n x )=j (l - 2 s in2 x + s in4 x )d (s in x ) = s in x - s in3 x + s in5 x + C. 4、j s in4 x dx思路分析：经典思路若被积函数为弦函数的偶数次森，则将被积函数降瓶,然后分项积分即可。解：s in4 x = ( -8s2与=(l - 2 c o s 2 x + c o s2 2 x ) = -c o s 2 x +c o s2 2x2 4 4 2 41 I c 1 1 + c o s 4 x 3 1 . 1 .=- - - - c o s 2x +- - - - - -

139、 - - - - - =- - - -c o s 2x + - c o s 4 x ;4 2 4 2 8 2 8fs. m 4 x d1x = r(3 1 c o s c2 x + 1 c o s 4A x )K d,x = 3 x1 s.i n 2 x + 1 s i. n 4A x + 厂C.JJ 8 2 8 8 4 3 2 5、jex s in 2x dx思路分析：经典思路大凡被积函数表现为反三角函数、对数函数、零函数、三角函数、指数函数等五大类基本初等函数中的某两类的乘积的形式，则使用分部积分法求解！且按照 “ 反、对、霹、三、指”的顺序，顺序排后者优先纳入到微分号下凑微分。

140、其中 “ 反、对、霹、三、指”依次代表 “ 反三角函数、对数函数、零函数、三角函数、指数函数”五类函数。解：卜 s in 2x dx = j s in 2x dex = ex s in 2x -2 c o s 2x dx = ex s in 2x -2 j c o s 2x dex= ex s in 2x - 2ex c o s 2 x - 4 / s in 2x c l xs in 2x dx = ex (s in 2x -2c o s 2x ) 4 - C.c r 1 , l + x0、 I - - -7 In - - - -dxJl - x2 -x思路分析：凑微分。1-

141、x2 2dx = J l n (l + x )- l n (l - x ) = In2 2 Il + x解她 .： r- ：1 I, n 1 + xd xf = -I e ,I n 1 + xd , ,n + x = -1l,n2 1 + x+ C-OJx2- 1 i -x 2 3 -x l -x 4 l -x7、2思路分析：凑微分。J (l n (x + V l + x2)=d( x + l + x2)X + J l + X + J l + X ,八 x dx=(1 + i )dx = l l + x2 V l + x2解. (皿/_ 工，dx = l n (x + . 2 )d l n

142、(x + J + x2) = l n2(x + - J l + x2) + CJ V l + 7 2注：第一类换元法j 7 (0 (x )“)d x = = F ”(x ) + C , 6、7小题均为中间变量较复杂的情形，这需要大家对第3章求导数过程比较熟悉，请大家好好体会!8、Jx解：方法一：凑微分。注意到被积函数中有1 - l n x ,而d L上？公，这同样需X x 要大家对经常出现的求导过程比较熟悉。r 1 - In x ,- -dx =J(x + l n x )21- l n x , r 1 , In x r 1- - - - -i - - - -= ;- - - - - -d =

143、：- - - -d 1 +X-2(/i + In x)2 J( 1 + In x).2 2 人x (1+In x .)2 2 I1x x xIn xx卡+c = _ 1 + cX方法二：分部积分法。先分项，再用分部积分法，注意到d (x + l n x ) = (l + 3 x。Xr 1- l n x . f - x - l n x + x + 1 . r 1- - - - - - - - 7 dx = - - - - -： _dx = - - dx +J(x + l n x ) (x + l n x ) J x + In xx + 1 .- 浊(x + l n x )-= - dx + f

144、 xJ x + In x Ji+iX(x + In x )2dx = - dx + x - - - - - - - - 7 Z (x + l n x )x + l n x ， (x + l n x )= 一 ( dx - x d - =- 5 dx - +Jx + l n x x + l n x Jx + l n x x + n x -1 a,x = -x- - +i C_x + l n x j v + l n x( r s in x + c o s x , 兀、，、 / = dx (0 x 2x,0 x , 求/(x )。思路：先求f,(x )，再积分求f(x ).解:,/ /(sin2 x) = cos2x + tan2 x = cos2 x-sin2 x +sin2 xcos2 X1 c . 2 sin2x1 -2sin x +- -l-sin2xY 1 r 1 Ifx ) = 1_ 2x H- = 1 - 2x-= - 2x H-(0 x 不是周期函数。COSX+ l.sinx 0( D )令/(x) = 2 x ,单增函数。但尸(x) = V不是单调函数。故答案为A。

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高等数学_第四章不定积分课后习题详解

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