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1、19.1 勾股定理勾股定理（第一课时）（第一课时）沪科版沪科版 八年级数学（下册）八年级数学（下册）数形结合之美数形结合之美张艳丽赵爽弦图赵爽弦图 “ 赵赵爽弦图爽弦图”表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国数学的骄傲。中国古代的数学家们不仅很早才智，它是我国数学的骄傲。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。正因为此，这个图案被选为赵爽
2、。正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数年在北京召开的国际数学家大会会徽。学家大会会徽。 这个图案公元这个图案公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注世纪我国汉代的赵爽在注解解周髀算经周髀算经时就已经给出，人们称它为时就已经给出，人们称它为“赵爽弦图赵爽弦图”赵爽根据此图指出：四个全等的赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形形，中间的部分是一个小正方形 （黄色（黄色）1 直角三角形的定义是什么直角三角形的定义是什么2 直角边，斜边的概念直角边，斜边的概念3 说说我们学习过的直角三角形的性质说
3、说我们学习过的直角三角形的性质（1） 直角三角形两直角互余直角三角形S2S1S3（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2ABCabcACBS2S1S3观察左边图观察左边图1、图、图2完成下表：完成下表：图图形形S1S2S3关系关系图图1图图2991891625S1+S2=S3S1+S2=S3abcS S1 1=a=a2 2S S2 2=b=b2 2S S3 3=c=c2 2ABCabcS1S2S3S1+S2=S3其中，其中，关系：关系：总结规律：总结规律：a2+b2=c2故：故： 直角三角形两条直角边的平直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。方和
4、，等于斜边的平方。 文字表述：文字表述： 观察上表，你能用观察上表，你能用a，b，c表示刚表示刚才的结论吗？才的结论吗？ 对于上述结论，要使人信服，必对于上述结论，要使人信服，必须加以证明。如何证明上述结论呢？须加以证明。如何证明上述结论呢？证明结论证明结论已知：已知： 如图如图1，在，在RtABC中，中，C=90，AB=c,BC=a，AC=b.求证：求证： 图图1a ABCcb证明：证明：取取4个与个与RtABC全等的全等的直角三角形，把它们拼成直角三角形，把它们拼成边长为（边长为（a+b）的正方形。）的正方形。 证明证明a a、b b、c c 之间的关系：之间的关系：a2 +b2 =c2a
5、 aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc cc c用用面面积积法法证证明明 证明证明a a、b b、c c 之间的关系：之间的关系：a2 +b2 =c2用用面面积积法法证证明明 证明证明a a、b b、c c 之间的关系：之间的关系：a2 +b2 =c2a aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc cc cADBCA1B1C1D1用用面面积积法法证证明明a a2 2+b+b2 2+2ab +2ab c c2 2+2ab+2aba2 +b2 =c2a a2 2+b+b2 2+2ab+2abc c2 2+2ab+2ab 证明证明a a、b b、c c 之间的关
6、系：之间的关系：a2 +b2 =c2S正方形正方形ABCD=4S直角三角形直角三角形+ S正方形正方形A1B1C1D1 S正方形正方形ABCD=(a+b)2=a2+b2+2aba aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc cc cADBCA1B1C1D1aabbcc有趣的总统证法有趣的总统证法: 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话数学史上被传为佳话 a2 + b2 = c2)ba)(ba(21S+ + += =梯形梯形2212121cababS+=梯形勾勾 股股 知知 识识毕达哥拉斯毕达哥拉斯定理就是勾股定定理就是勾股定理哦！理
7、哦！勾勾股股 在中国古代，人们在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的把弯曲成直角的手臂的上半部分称为上半部分称为“勾勾”，下半部分称为下半部分称为“股股”。我国古代学者把直角三我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为角形较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边，较长的直角边称为称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”.因此，我们称因此，我们称上述结论为上述结论为勾股定理勾股定理。 勾股定理勾股定理 如果如果直角三角形直角三角形两直角边分别为两直角边分别为a、b,斜边斜边为为c，那么：，那么： 即：直角三角形两直角边的平方即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。和等于斜边的平方。abc师生共识
8、：师生共识：勾股定理给出了勾股定理给出了直角三角形直角三角形三边之间的关三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。cba公式变形公式变形c2=a2 + b2a2=c2b2b2 =c2-a2勾股定理的作用：勾股定理的作用： （1）、知道两条直角边可以求出斜）、知道两条直角边可以求出斜边，应用公式；边，应用公式； （2）、知道斜边和一条直角边，可）、知道斜边和一条直角边，可以求另一条直角边，应用公式。以求另一条直角边，应用公式。归纳总结：归纳总结： 勾股定理的作用就是知道直角三角形中勾股定理的作用就是知道直角三角形中任意两边就可以求出第三边。任意两边就可
9、以求出第三边。 已知直角三角形任意两边求第三边已知直角三角形任意两边求第三边勾股定理有什么作用呢？勾股定理有什么作用呢？注意：一定注意：一定要在要在直角三角形直角三角形中哦！中哦！ 1.1.在在ABCABC中中, C=90, C=90，a =6,c=10,=6,c=10, 则则b=_b=_82、 ABC中，C=90若a=3cm, b=4cm,则c= _cm若a=12cm, c=13cm,则b= _ cm若c=17cm, b =8cm,则a= _ cm5515看谁算得快CABcba小试牛刀，可要小试牛刀，可要当心当心哦！哦！（1）在直角）在直角ABC中，中，C=90a=3，b=5，则则c的值是的
10、值是 (2) 在直角在直角ABC中，中，B=90，a=3，b=4，则则c的值是的值是 (3) 在直角在直角ABC中，中， A= 90 b =6，C=8,则则a 是是_5(4)在直角三角形中，两边为在直角三角形中，两边为5，12 则第则第三边三边_13或10l运用勾股定理时应注意： 在直角三角形中，认准直角边和斜边；在直角三角形中，认准直角边和斜边； 两直角边的平方和等于两直角边的平方和等于斜边斜边的平方的平方。1 1这节课你学到了什么知识？这节课你学到了什么知识？这节课你学到了什么知识？这节课你学到了什么知识？小小 结：结：3 3、你还有什么疑惑或者没有弄懂的地方？课后与、你还有什么疑惑或者没有弄懂的地方？课后与、你还有什么疑惑或者没有弄懂的地方？课后与、你还有什么疑惑或者没有弄懂的地方？课后与同伴相互交流。同伴相互交流。同伴相互交流。同伴相互交流。2 2 运用运用运用运用“ “勾股定理勾股定理” ”应注意什么问题？应注意什么问题？应注意什么问题？应注意什么问题？作业：作业： 课堂作业：课堂作业： 思考题：若一个直角思考题：若一个直角三角形的三边长分别为三角形的三边长分别为3 3，4 4， x x，则，则x x. . 再见再见
