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1、公元前公元前500年，古希腊的毕达哥拉年，古希腊的毕达哥拉斯斯( (Pythagoras) )学派认为学派认为“宇宙间的宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述即都可用有理数来描述. .这学派的成员希伯索斯这学派的成员希伯索斯( (Hippasus) )发现边长为发现边长为1的正方形的对的正方形的对角线的长不能有理数来表示，这就动角线的长不能有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他在逃回家的路上，信徒们的恐慌，他在逃回家的路上，遭到毕氏成员的追捕，被投入大海遭到毕氏成员的追捕，被
2、投入大海. .知识与技能：知识与技能：1. .了了解解无无理理数数的的概概念念和和它它的的本本质质特征特征-无限不循环；无限不循环；2. .会用整数估计无理数的大小；会用整数估计无理数的大小；教学重点：教学重点：教学难点：教学难点：无理数概念的本质；无理数概念的本质；无理数的发现过程和概念的建立无理数的发现过程和概念的建立. .把两个边长为把两个边长为1的小正方形通过的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形剪、拼，设法得到一个大正方形1111可能是整数吗？可能是整数吗？可能是分数吗？可能是分数吗？小组讨论：小组讨论：做一做做一做( (1) )以直角三角形的以直角三角形的斜边为正方形的面积斜边
3、为正方形的面积是多少？是多少？( (2) )设该正方形的边长为设该正方形的边长为b，b满足什么条件满足什么条件？( (3) )b是有理数吗？是有理数吗？21在在直直角角三三角角形形中中，若若两两条条直直角角边长为a，b，斜，斜边为c，则有有a2+ +b2=c2. .在在这个个题中中，两两条条直直角角边分分别为1和和2，斜斜边为b，根根据据勾勾股股定定理理得得b2=12+ +22，即即b2=5，则b是是有有理理数数吗？因因为22=4，32=9，459，所所以以b不不可可能能是是整整数数. .没没有有两两个个相相同同的的分分数数相相乘乘得得5，故故b不不可可能能是是分分数数. .因因为没没有有一一
4、个个整整数数或或分分数数的的平平方方为5，所所以以5不不是是有有理数理数. .用用16个边长为个边长为1的小正方形拼成的小正方形拼成了如图的网格，任意连接两个格点，了如图的网格，任意连接两个格点，就得到一条线段，就得到一条线段，试分别画出一条长度试分别画出一条长度是有理数的是有理数的线段和一条长度不是有理数的线段线段和一条长度不是有理数的线段随堂练习随堂练习1、如如图图，正正三三角角形形ABC的的边边长长为为2，高高为为h，h可可能能是是整整数数吗吗？可可能能是是分分数数吗？吗？解解：由由正正三三角角形形的的性性质可可知知BD=1，在在RtABD中中，由由勾勾股股定定理理得得h2=3. .h不
5、不可可能能是整数，也不可能是分数是整数，也不可能是分数. .创设问题情景：创设问题情景：探究活动：探究活动：拿拿出出边边长长为为2cm的的正正方方形形纸纸片片，按按照照如图所示的方式折纸如图所示的方式折纸. .问问题题：阴阴影影部部分分的的正正方方形形的的面面积积是是多多少少？边长是多少？边长是多少？小小结结：阴阴影影正正方方形形的的边边长长恰恰好好是是边边长长为为1cm的的正正方方形形的的对对角角线线，所所以以边边长长为为1个个单单位位长长度度的的正正方方形形的的对对角角线长为线长为. .1折纸活动折纸活动2探索新知过程：探索新知过程：是面积为是面积为2的正方形的边长，是的正方形的边长，是边
6、长为边长为1的正方形的对角线长，是的正方形的对角线长，是2的算术平方根，那么的算术平方根，那么等于多少等于多少呢？是否能估算出它的大致范围？呢？是否能估算出它的大致范围？1. .4142135622_. .用计算器计算：用计算器计算：_；计算器显示计算器显示的不是全部数的不是全部数据，是一个近据，是一个近似值似值. .1. .414213562问题：问题：1. .414213562不是不是的算数平方根的算数平方根是什么原因？是计算器算错了吗？是什么原因？是计算器算错了吗？1. .999999999可设可设用计算器计算得，用计算器计算得，所以所以因为因为1. .41421356221. .999
7、9999992，0r1，两边平方，得两边平方，得21. .414213562221. .414213562rr2，21. .414213562221. .414213562r探究活动探究活动想一想：想一想：1. .414213562有什么特点？有什么特点？是我们学过的数吗？是我们学过的数吗？把下列各数表示成小数：把下列各数表示成小数：6，；问题：问题：它们的小数部分有什么特点？它们的小数部分有什么特点？结论：结论：有有理理数数都都可可以以用用有有限限小小数数或或无限循环小数表示无限循环小数表示. .探究活探究活动问题：问题：什么样的小数可以化成分数？什么样的小数可以化成分数？结论：结论：有有限
8、限小小数数或或无无限限循循环环小小数数都都可可以以化化成成分分数数. .有有理理数数只只能能和和有有限限小小数或无限循环小数等同数或无限循环小数等同. .把下列小数化成分数：把下列小数化成分数：0. .25，；无理数定无理数定义：问题：问题：你能举出一些无理数的例子吗？你能举出一些无理数的例子吗？小结：小结：无限不循环小数无限不循环小数叫做无理数叫做无理数. .有有理理数数可可以以用用数数轴轴上上的的点点表表示示，无理数也可以用数轴上的点表示无理数也可以用数轴上的点表示. .你能在数轴上找到表示你能在数轴上找到表示的点吗？的点吗？活动与探究活动与探究面积为面积为2，5的正方形的边长的正方形的边
9、长a，b究竟是多少呢究竟是多少呢？边长边长a面积面积s1a21S41. .4a1. .51. .96s2. .251. .41a1. .421. .9881s2. .01641. .414a1. .4151. .999396s2. .0022251. .4142a1. .4143 1. .99996164s2. .00024449例例题讲解解:下列各数中，哪些是有理数？下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是无理数？解：有理数有：解：有理数有：无理数有：无理数有：有理数集合有理数集合无理数集合无理数集合3.14159，-5.232332123345678910113.14159，-5.232332，12334567891011(由相继的正整数组成由相继的正整数组成).练习练习1、填空填空1、通过拼图活动，感受有理、通过拼图活动，感受有理数又不够用了数又不够用了2、判断一个数是否为有理数、判断一个数是否为有理数3、探索不是有理数的数的大小、探索不是有理数的数的大小4. .无无理理数数的的本本质质特特征征是是无无限限不不循循环；环；5. .探索探索的过程；的过程；6. .数形结合的思想数形结合的思想. .
