《数学解题思维与思想》

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1、一、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不必须具有思维的变通性一一善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：( 1 )善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过象看其本质，这样才能确定解题思路，找

2、到解题方法。例如，求和 111 1 .1 2 2 3 3 4 n (n 1 )这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒1 1 ,因此，原式等于1 ! ； 1 1 1 1睫n (n 1 ) n n ! ! ； n n 1 n 1解决了。( 2 )善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。x y 2这个方程指明两个数的和为2 ,这两个数的积为3。由此联想到韦达定y是一元二次方程 2 2 /

3、 3 0的两个根，x 1例如，解方程组所以或x 3. 可见，联想可使问题变得简单。成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有之后，就要寻求转化关系。.r. , , I I I 1例如，已知 , (abc 0, a b c 0),j a b c求证Q、Z?、C三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转(a b)(b c)(c a) 0思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大必须

4、加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。二、思维训练实例( 1 )观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具采用特殊方法来解题。例1已知a,b, c, d都是实数，求证“ 2 bi C2 di (a c) 2 (b思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。! A(a/ )证明

5、不妨设A(a, h), B(c, d )如图1 - 2 - 1所示，2 2OA a 2 。2, OB ci d2,在 OAB中，由三角形三边之间的关系知：OA OB A B当且仅当0在AB上时，等号成立。因此，0 2 biC2 di(a c)2 (b d)2.则柿 a 4 (b d).I I J例2已知3 % 2 2 y 2 6 % ,试求X2 yi的最大值。解由 3 % 2 2y2 6%得3 22 -2n 3 2%o , -力 3 2 1 / 6 9又 X2 2 X2 - -(X 3)2当 2时，X 2 2有最大值，最大值为 ( 2 3 ) 2 4 .2 1思路分析要求X

6、22的最大值，由已知条件很快将X2 2变为一元二1 Q/ ( X ) (x 3 ) 2 然后求极值点的X值，联系到) 2 0 ,这一条件，既快求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。思维障碍大部分学生的作法如下：由3 % 2 2 y2 6%得先 !3 2 1八 2X22 X2 ( X 3 ) 2 2，9当x 3时，X2 y 2取最大值，最大值为一2这种解法由于忽略了九 0这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，意主要的已知条件，又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。有些问题的观察要从

7、相应的图像着手。例3已知二次函数f(x) ax2 bx c 0 ( a 0 ) ,满足关系/(2 x) /(2 x ) ,试比较/(0 .5 )与 /()的大小。思路分析由已知条件/(2 x) /(2 x )可知，在与 x 2左解 ( 如图 1 - 2 - 2)由 2 x ) / ( 2 x ) ,知 / ( % ) 是以直线x 2为对称轴，开口向上的抛物线它与 x 2距离越近的点，函数值越小。2 0 . 5 2 / ( 0 . 5 ) / ( )思维障碍有些同学对比较0 . 5 ) 与 /()的大小，只想到求出它们的值函数/ ( % ) 的表达式不确定无法代值，所

8、以无法比较。出现这种情况的原因，是分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通(2)联想能力的训练例 4在A B C中，若C 为钝角，则t g A吆8的值( A ) 等于 1 ( B ) 小于 1 ( C ) 大于 1 ( D ) 不能确思路分析此题是在A B C中确定三角函数t gA t gB的值。因此，联想到三tg A t g B可得下面解法。1 3 t gB解 C为钝角，t gC 0 .在A B C中 4 8 C C且 A、B 均为锐角，( A B)t gC蜂4t g ( A B)次( A

9、B)织 A t gB1 t gA t gB0,t gB 0 , 1 t gA t gB 0 . 即tg A t gB 1 .0 .故应选择 ( B )思维障碍有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基例 5 若 ( z x) 2 4 ( x y) ( y z ) 0 , 证明：y x z .思路分析此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件正切的两角和公式火( A B) -2可看作是关于t的一元二次方程 ( %y )t i ( z x)t ( y z ) 0 有等根的条进一步观察

10、这个方程，它的两个相等实根是1 ,根据韦达定理就有： 1 即 2y x z% y若 y 0 ,由已知条件易得z x 0 , 即 y z，显然也有 2 y x例 6已知a、b、c均为正实数，满足关系式Q 2 bi C 2 , 又为不小于数，求证：Q n bn C n .思路分析由条件4 2 bi C 2 联想到勾股定理， a 、b、c 可构成直角三角边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明设。、从 c 所对的角分别为A、B 、C . 则。是直角， A为锐角，a bc c当 3 时，有 sin “ A sin 2 A , c o sA c o s 2 A于是有 sin

11、 / ； A co si A sin2 A c o s2 A 1(1 b即从而就有思维阻碍C I n bn C n .由于这是一个关于自然数”的命题，一些学生都会想到用数学来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来(3)问题转化的训练我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。1 转化成容易解决的明显题目1 ,求证a、b 、 c中至少有一个等于1sinA ,

12、cosA，且0 sinA 1,0 cosA 1,()() 1,例11已知a b c证明 1 , he ac ab ahc.a I f于是（ a 1 ）（ b 1 ）（ c 1 ） abc （ ab ac be 1 ）（ a b c ） 0 .a 1 h 1 c 1中至少有一个为零，即a、 b 、 c中至少有一个为1思维障碍很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证中至少有一个为1 ,其原因是不能把要证的结论“ 翻译”成数学式子，把陌生为熟悉问题。因此，多练习这种“ 翻译”，是提高转化能力的一种有效手段例1 2直线L的方程为x ，其中p 0 ;桶圆E的中心为0 - （ 2

13、；, 0在X轴上，长半轴为2 ,短半轴为1 ,它的一个顶点为4 （ J。），问p在什么范值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线离。思路分析从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物 2 2 p x是，又从已知条件可得椭圆E的方程为% （ 2 ） 2 V 2 14因此，问题转化为当方程组（ 1 ）、（ 2 ）有四个不同的实数解时，求p的围。将（ 2 ）代入（ 1 ）得：2P ： 2 P o .4确定p的范围，实际上就是求（ 3 ）有两个不等正根的充要条件，解不等式组7 4 0P2P4P242P)0(7p4)22P 02 逆向思维的训练逆向思维不是

14、按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得例 13已知函数/ Q) 2 x 2 m x n ,求证 / 、 / ( 2 ) 、 / ( 3 ) 中至少有小于 1 .思路分析反证法被誉为“ 数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学解题方法。当要证结论中有“ 至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考反证法。证明 ( 反证法) 假设原命题不成立，即 / ( I ) 、 / ( 2 ) 、 / ( 3 ) 都小于 L/ ( 1 ) 1 1 2 m n 3 m n 1则/11 1 8 3 m n 1 1 9 3 m

15、 n 1 7 +得 1 1 2 m n 9 ,与矛盾，所以假设不成立，即 / ( I ) 、 / ( 2 ) 、 / ( 3 ) 中至少有一个不小于13 一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同可能得到几种不同的解法，这就是 “ 一题多解”。通过一题多解训练，可使学观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。例 14已知复数z的模为 2 , 求 z i的最大值。解法一 (代数法 ) 设 z 尤y i ( xy y R),则% = 4 . z i xi (y 1 ) 2 5 2 y .y 2 , 当 y 2 时，z im ax 3 .解法

16、二 (三角法 ) 设 z 2 (co s i si n ) ,则 z i 4 cos 2 + (2 sin 1) 2 5 4 siny1 8 2m n 19 2m n 7IIJZ 2 ,点Z是圆X2 y 2 4上的点，Z i表示z与i所对应的点之间的距离。如图1-2-3所示，可知当2 2 i时，z 3由3 .解法四(运用模的性质)z i 1 z z 2 1 3而当 z 2 1 时，z i 3 . z i 3 .m ax解法五(运用模的性质)z i 2 (z 0 ( z / ) z z (z z )i 15 2 / (2 ) , (/ (2 )表名的虚部) 2第二讲数学思维的反思性一

17、、概述数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培的创造性思维。二、思维训练实例(1 ) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。例 1 已知/ (%) ax ，若 3 1 / i 0 , 3 i / (2 ) i 6 ,求 3 )的范围.i错误解法由条件得bII又心月Z Zmax| 9, 4imax3.316/ /?- 03q 2a 2-i 6 X 2 - 得 :J凤上公徨 1 0 2 i 4 3 0 n 1 0 c

18、 m 4 3 + 付二 1 3。： 1 二，即二】 3 ) ； .3 i J J J错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件/(x) ax ,其值是同时受a和b 制约的。当a取最大(小) 值时，b不一定i(小 )值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有b21 23 3/(3) 3a 上双 /(2) /(I).3 9 9把 / 和 / ( 2 ) 的范围代入得个小 3) : .在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。例 2 证明勾股定理：已知在 A B C中， C 90 , 求

19、证C2 “2 bi .错误证法a ba b错误分析在现行的中学体系中， sin2 A cos2 A 1这个公式本身是从勾推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思现。/(I) a b解得：a 2/(2) A1), 2/( 1)/(2),在放 ABC中，sinA ,cosA，而sinN cosM 1,()2 ()2 1 ,即 C2 U2 b2.例3已知数列 a n的

20、前八项和S a 2 “ 1 ,求a ” .错误解法 an Sn Sn ! (2 n 1 ) ( 2 1 1 ) 2 . 2 1 2 1.错误分析显然，当n 1时，G S 1 3 2 1 1 1 ,错误原因，没有注an Sn Sn I成立的条件是 2 ( N) .因此在运用Un Sn Sn 1时，必须检S(n 1 )时的情形。即：Q 112点。错误解法 L2付 Xi (2 a ai 1 0 ( x 0 ) .0因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得2 a 02 2 1 0 .178错误分析 ( 如图2 - 2 - 1 ; 2 - 2 - 2 )显然，当a 0时，

21、圆与抛物线有两占八、、OyyoXSn(n 2,n N)例4实数a为何值时，圆%2 y2 2ax。2 1 0与抛物线yzx有两将圆X2y2 2ax 42 1 0与抛物线/ 入联立，消去1解之，得a0解之，得1 a 1 .一或1 a 1时，圆X2 y 2 lax az 1 0与抛物线y i8个公共点。12(1)有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检脸，舍弃增根，找回( 3 ) 独

22、立思考，敢于发表不同见解受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。例5 3 0支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？解因为每场要淘汰1个队，3 0个队要淘汰2 9个队才能决出一个冠军。安排2 9场比赛。思路分析传统的思维方法是：3 0支队比赛，每次出两支队，应有1+ 2 + 1 = 2 9场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1淘汰29支队，那么必有2 9场比赛。例6解方程X2 2 x

23、3 c os x.考察方程两端相应的函数y (x 1 ) 2 2 ,y c os x ,它们的图象无交点所以此方程无解。例7设、是方程登2 kx k 6 0的两个实根，则 (1 ) 2 ( 1 )值是 ( )7 ； 8 ; ( C ) 1 8 ; (0不存在4思路分析本例只有一个答案正确，设了 3个陷阱，很容易上当。当方程有一正根、一负根时，得2因此，当a思考题：实数。为何值时，圆X 2 y 2 2ax1 0 与抛物线/ x ,( 1 ) 2 ( 1)2 2 2 1 2 2 1()2 2 2( ) 2有的学生一看到 - ,常受选择答案（ A）的诱惑，盲从附和。这正是思

24、4反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、，4k2 4（攵 6） 0, k、2 或攵 3.当k 3时，（1） 2 （ 1） 2的最小值是8;当心2时，（1） 2 （小值是18 ;这时就可以作出正确选择，只有（ B）正确。第三讲数学思维的严密性二、概述在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面概念

25、模糊概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不易陷入思维混乱，产生错误。判断错误判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判13推理错误推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。1X解 I % 2 1,X)例如，函数y ( ) 、是一个减函数”就是一个错误判断。例如，解不等式尤.九，思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。（

26、1）有关概念的训练概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。 “ 正确理解数学概念是掌握数知识的前提。” 中学数学教学大纲（试行草案）例 1、不等式 log（ x 2 2 ）（ 3x2 2x 4） log（ x 2 2 ）。2 3x 2） .错误解法 X2 2 1,3尤2 2x 4 X2 3尤 2,32错误分析当 x 2 时，真数X2 3尤 2 0 且 x 2 在所求的范围内（因 2明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了 “ 对数的真数大于零”这造成解法错误，表现出思维的不严密性。正确解法 X2 2 11 13 、 1 132X 学 3尤2 3x 2 0 X 2或 1

27、32x 2 或 2.例 2、求过点（ 0,1）的直线，使它与抛物线yi 2x仅有一个交点。错误解法设所求的过点（ 0,1）的直线为y kx 1 , 则它与抛物线的交点为y kx 12，消去 y 得：（kx 1 ）2 2x 0.整理得kixi (2k 2)x 1 0 . 直线与抛物线仅有一个交点,112x2 x 6 0, x 或x 2.3x 2x 4 03x2 2x 4 X 2 3x 2x 或 2y 2x0,解得攵. 所求直线为y % 1.承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而法没有考虑相切的情况，只考虑

28、相交的情况。原因是对于直线与抛物线“ 相切有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判以它的二次项系数不能为零，即k 0 ,而上述解法没作考虑，表现出思维不严正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直X轴，因为过点( 0 , 1 ),所以y轴，它正好与抛物线y i 2x相切。当所求直线斜率为零时，直线为y 1 ,平行x轴，它正好与抛物线加 2 %只有点。设所求的过点( 0 , 1 )的直线为y依1 (左0)则y kx 1I212综上，满足条件的直线为：12 判断的训练造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。注意定理

29、、公式成立的条件数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，难免出现错误。例3、实数m ,使方程X2 (m 4 / ) x 1 2 m i 0至少有一个实根。错误解法方程至少有一个实根，( m 4Z)2 4 ( 1 2 m i ) m 2 2 0 0 .m 2 5 ,或用 i 2 5.2J正确解法设a是方程的实数根，则以 2 ( m 4 i )a 1 2 m i 0 ,Q 2 m a 1 ( 4 a 2 m )i 0 .由于a、山都是实数，a 2 m a 1 04 a 2 m 0解得 m 2 .例4已知双曲线的右准线为x 4 ,右焦点F ( 1 0 , 0

30、 )，离心率e 2，求双曲线错解 1 x - 4 , c 1 0 , az 4 0 , bi C2 a2 6 0 .c故所求的双曲线方程为也丫2 4 0 60错解2由焦点产( 1 0 , 0 )知c 1 0 ,ca故所求的双曲线方程为足 2 5 75错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件产生错误解法。正解1设P ( % , y )为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x 4 ，F ( 1 0 , 0 )，离心率e 2 ,由双曲线的定义知e 2, a 5,bi ci ai 75

31、.（ X 1 0 ） 2 ”|x 4| 一J正解2依题意，设双曲线的中心为( m , 0 )Q2a 4则 C加1 0 解得2 .m 2 .a所以 bi ci a2 6 4 1 6 4 8 ,故所求双曲线方程为 a 2 )2 p 11 6 4 8注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用我们知道：如果A成立，那么B成立，即A B ,则称A是B的充分条件。如果B成立，那么A成立，即B A ,则称A是B的必要条件。如果A B ,则称A是B的充分必要条件。充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍

32、用疏忽，就会例5解不等式x 1 x 3 .错误解法要使原不等式成立，只需x 1 0, 解得 3 1 x 5 .X 1( X 3 ) 2A 0错误分析不等式x 1 0x 1 (% 3)2所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件,x,而忽视了另一种情况X而不是充分必要条件，其错误解%3 0c m 4c 8rA Bi原不等式的解法只考虑了一种情况0x 1 0或X 1 0x i （ % 3 ） 2 y3 1 X 1 5 ,或 1 1 x 1 3 .原不等式的解集为X | 1 1 % i 5 M , p例6 （轨迹问题）求与y轴相切于右侧，并与O C :

33、X 2 y i 6x 0也相切的圆的圆心*的轨迹方程。 C（ 3,0）错误解法如图3 - 2 - 1所示，已知。C的方程为（ 3 ） 2 y i 9 . 图3 2 1设点P （x,y ）（ x 0 ）为所求轨迹上任意一点，并且。P与y轴相切于M点 ,与。C相切于N点。根据已知条件得CP P M 3 ,即（ x 3 ” 2 X 3 .化简得 y i 1 2 x （ x 0 ） .错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发正半

34、轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3 ）的圆也符合条以y 0 （ x 0且x 3 ）也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y 2 1 2 xy 0 （ x 0且 3 ）。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。防止以偏概全的错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问部答案，从而表现出思维的不严密性。例7设等比数列扇的全项和为S . 若S 3 S 6 2 s 9 ,求数列的公比x3 0x 3 0a i ( l q s ) a i ( l g6 ) 2 a i ( 1 * )1 q 1 q 1 q

35、整理得 q 3 ( 2 6 q 3 1 ) = 0 .由9 0得方程2 * 夕3 1 0 . ( 2 G 1 ) ( / 1 ) 0 ,3 4q 2 或 q i错误分析在错解中，由色皿3 ) 21 q 1 q 1 q整理得4 3 ( 2 / q 3 1 ) = 0 .时，应有a i 0和q 1. 在等比数列I中 ,G1 0是但公比q完全可能为1 ,因此，在解题时应先讨论公比q 1的情况，再在q下，对式子进行整理变形。正确解法若q 1 ,则有S3 3 ai ,Se 6ai ,So 9 a l.但QI 0即得S3 5 6 2 s 9 ,与题设矛盾，故9 1 .又依题意S

36、3 S 6 2 s 9 ,可得a( l q 3 ) m( l 6 ) 2 a i ( 1 4)1 q 1 q 1 q整理得q 3 (2 q 6 q 3 1 ) = 0 .即( 2 3 1 ) 0 1 ) 0 ,因为q 1 ,所以9 3 1 0 ,所以2幻1 0 .所以3q2说明此题为 1 9 9 6 年全国高考文史类数学试题第（ 2 1 ）题，不少考生的解误解法，根据评分标准而痛失2分。避免直观代替论证面和所成的二面角 y轴一等于60 . 已知内的曲线的 2 2 p xp 0）,求曲线在内的射影的曲线方程。错误解法依题意，可知曲线C八

37、是抛物线，在内的焦点坐标是尸入（， 0） ,p 0.因为二面角y轴一等于60 ,且二轴y轴，x轴y轴，所以xo x 60 .设焦点尸在内的射影是F（ x,y ）,那么，F位于x轴上，从而 y 0, F O F 60 , F F O 90 ,P l P P22 4 4是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线。人在内的射影的曲线方程是丁2 p x.错误分析上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为尸是射影（曲线）其次，未经证明默认C人在内的射影（曲线）是一条抛物线。正确解法在内，设点M （ r , /）是曲线上任意一点（如图3 - 2 - 3 ）过

38、点M作M N ,垂足为N ,过N作N y轴，垂足为 ”. 连接M H ,X人则M H y轴。所以M HN是二面角）尸八M N Jy轴一的平面角，依题意， M HN 60 . H又知HMHx八螭( 或M与0重合 )，一2图3所以。尸。广cos60 厮以点尸(,0)是所求射影的焦点。依题意在用 MNH中 ,HN HM cos60 V.1% 2x则2Ay y因为点在曲线y2 2pxp 0 )上，所以y2 2p(2x).即所求射影的方程为 y2 4Px(p 0).(3 )推理的训练数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求心。以已知的真实数学命题，

39、即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意的命题之间的相互关系( 充分性、必要性、充要性等) ，做到思考缜密、推理例9设椭圆的中心是坐标原点，长轴 %在轴上，离心率e , 已知点P2这个椭圆上的最远距离是7 ,求这个椭圆的方程。错误解法依题意可设椭圆方程为1 2 )， 2 IQ b 0)ai bi(n.1 C2 ai b2 1 b 2 3则 ei 1ai Q2 ai 4所以 b2 - a 2b.az 4设椭圆上的点( x ,y )到点P的距离为d ,贝 ” 小X2 (y )20w 92)2 3y ;3 ( y1 22x

40、x人,即Q ( 1J3 2) 4b2 3 .于是所求椭圆的方程为y2 1 .4错解分析尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的确只是碰巧而已。由当y 2时，心有最大值，这步推理是错误的，没有考的取值范围。事实上, 由于点（ % , y ）在椭圆上, 所以有b - i y - i 因此在求大值时，应分类讨论。12即 :于是( 7 ) 2 ( b3 22321212所以必有b 1,此时当y2时，（从而d ）有最大值,所以4 b 2 3 ( 7 ) 2 ,解得b i1 , 2 4 .于是所求椭圆的方程为止4y 2 1 .2s i n 2 %8C0S

42、Ctg 2 X) 8(1 tg2X)10 2(ctg2X 4fg 2 % )10 2 2 ctg 2 x 4rg 2 x18.其中，当 ctg2x 4 tg 2 X ,即c7g2% 2时，y 18. ymin 18.正确解法 2 取正常数k ,易得2 8y ( 2 sin 2 x) ( , k cos 2 x) k2 2k 2 8k k 6 2k k.其中 “ ”取 “ =”的充要条件是2 , . g 8 1, 攵 sin 2 x且sin2% cos 2 x 212第四讲数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角对一个题目能想出多种不同的

43、解法，即一题多解。“ 数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要体现在：(1) 一题的多种解法例如已知复数Z 满足|z | 1 , 求 |z i 1 的最大值。我们可以考虑用下面几种方法来解决:运用

44、复数的代数形式；运用复数的三角形式；-kcoszr, BPfgix 且左 18.因此，当时、y 6 2 k k iJIL n 18.运用复数的模与共辄复数的关系|z|2 z Z ；( 数形结合) 运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆|z| 1与|z公共点时，r的最大值。(2) 一题的多种解释12121212又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简可以变换为：logo a, , sin2 x COS2X, (log Z ?) (logt), sec? x tg ix ,等1.思维训练实例例 1 已知Z ?2 ,X2 yi 1 .求证：ax by分析1用比较法。本题

45、只要证1 (ax by) 0. 为了同时利用两个已知条需要观察到两式相加等于2便不难解决。证法1 i2121212所以 ax by -l.分析 2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立例如，函数式y原2可以有以下几种解释:可以看成自由落体公式S gt2.可以看成动能公式E mv2.可以看成热量公式。Rh.1 (ax by) (1 1) (ax by)3 bi X 2 ”)(ax by)( 6 Z 2 2ax X2)(bi 2by p)( x)2 (b y)2 0,只需证 1 (ax by ) 0 ,即

46、2 2 (Q X by ) 0 , I y因为 2 2 2 20所以只需证 2222即 (a x)2 (b y )2 0 .因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。图 4分析 3运用综合法(综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理 (平均值不等式)进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法7、正士法4 50 ax i ai Xi ,o v i bz V 2 . ax b, y - ai xi bi y i 1,.2 2 2 2即 ax by -1.分析 4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，

47、从而可以把原不等式数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法 4 h2 1 ,X 2 y i 1 , 可设a s i n ,b co s .尤 s i n , y co sax by s i n s i n co s co s co s ( ) -)1 ,分析 5 数形结合法：由于条件X 2 y2 1 可看作是以原点为圆心，半径为位圆，而ax by aX by .联系到点到直线距离公式，可得下面证法。, 2 2证法 5(如图4-2-1 )因为直线I: ax by 0经过圆X2 2 1的圆心0 ,所以圆上任意一点M (x,y)(a b x y) 2(ax by) 0,即 d

48、 ax by - ax byai bi简评五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法证法 4 、证法 5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。例 2 如果 ( x)2 4 (x y )(y z ) 0 ,求证：x y z成等差数列。分析 1 要证、y 、z , 必须有x y y z成立才行。此条件应从已知条出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。证法 1 (z x )2 4 (x y )(y z ) 0 ,Z 2 2 xz X2 4 孙 4 x z 4 y 2 4 y z 0 ,(x z )2

49、 2 2 y (x z ) (2 y )2 0 ,(x z 2 y )2 0 ,x z 2 y 0,故 y y z , 即 x 、y 、z成等差数列。分析 2 由于已知条件具有x y , y z , z % 轮换对称特点，此特点的充分是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。证法 2 设尤y a, y z b , 则 x z a b.于是，已知条件可化为：(a b)2 4ab 0 (a b)2 0 a b x y y z .所以 x 、y 、z成等差数列。分析 3已知条件呈现二次方程判别式 bi 4 4 c的结构特点引人注目，构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会

50、。证法 3当龙 y 0 时，由已知条件知z x 0 ,尤 y z ,即 x 、y 、z成等当 x y 0时，关于 f的一元二次方程： (x y )t 2 (z x)t (y z ) 0 ,由韦达定理知 / , /2 1 y y z .即、y 、z成等差数列。% y简评：证法 1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法 2简单明了，是解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法 3引入辅助方程的方法，技巧人以新鲜的感受和启发。例 3已知x y 1 ,求 2的最小值。分析 1 虽然所求函数的结构式具有两个字母小 y , 但已知条件恰有小式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二

51、次函数求最值问题。解法 1 x y 1 , y 1 x.设 z % 2 y 2 ,则 z X2 ( 1 x)2 2 x2 2 x 1 .二次项系数为2 0 , 故 z有最小值。k2 1 4 2 1 - ( - 2 ) 2 1当 X - - - - - - - - - - - - - - - -2 2 2 4 2 212分析 2 已知的一次式 y 1 两边平方后与所求的二次式% 2 有密切于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法 2 x y 1 , ( x y ) 2 1 , 即 X2 y i 1 2 xy .2 xy i X2 y i , X2 y 2 1 ( % 2 y 2 ) .

52、即 X2 y i 2 2分析 3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法 3设 z X2 y i .x y z Xi yi x y （x一1、（/ y -1）、21时，z最小值 =，当且仅当x y时取等号。尤2 y 2的最小值为分析4因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故用解析法求解的启发。解法4如图4 -2 -2 , x y 1表示直线l,xi y 2 V表示原点到直线 / 上的点P (x, y )的距离的平方。 1 1显然其中以原点到直线/ 的距离最短。此

53、时 ,12和 )最小 =；. 0图42注如果设X2 y z z ,则问题还可转化为直线x y 1与圆了2 y 2时，半径z的最小值。简评几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是形象直观，值得效仿。例4设z R, R求证：| z | 1.1 11分析1由已知条件 z 为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的1 Z 2在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共车厄虚根，运用韦达定理可以题途径。证法1改 a(a R),当a 0时，可得z 0与z R条件不合。1 za 0 . 于是有 az

54、 2 z 。0.z R ,该方程有一对共朝虚根，设为zi, Z2 ,于是zi Z2, |z“ 2 | zaa分析2由于实数的共相复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复注意到zz z 2这一重要性质，即可求出| z |的值。所以x y的最小值为.又由韦达定理知Z 2 1, Z1 Zi Z2 Z2 |1 |2版2 1. 1z| 1即z ( l Z2 ) z ( l Z 2)z z ( z z ) z z ( z z ) .但 Z Z I Z |2 , z z |z |2 z Z z 2 , ( z z ) ( l | z | 2 )0 .而 z z R, | z |2 1. 即 |

55、z | 1 .分析3因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于算的形式。再运用共朝复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。证法 3 , R, I” R,即 z ! z 1 z R.1 I Z ： I I从而必有z z 1 . |z | L简评设出复数的代数形式或三角形式，代人已知条件化简求证，一般也明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需的关键之处。证法3利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。例5由圆 2 % 9外一点尸( 5 , 1 2 )引圆的割线交圆于A、B两点

56、，求弦点M的轨迹方程。分析1 ( 直接法) 根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解法1如图4 - 2 - 3 ,设弦A B的中点M的坐标为M (x, y ),连接OP、则O M 4 B ,在 O M P中，由两点间的距离公式和勾股定理有X2 y i (x 5 ) 2 (y 1 2 ) 2 1 6 9 .整理，得X 2 y 2 5 x 1 2 y 0. 其中3 1 i 3 .分析2 ( 定义法) 根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。 y解法

57、2因为M是的中点，所以O M AB ,I。尸 I 1352A所以点M的轨迹是以。尸| 为直径的圆，圆心为(,6),半径为,该圆的方程为:化简，得 X2 y 2 5x 12 y o . 其中 3 i % i 3.分析 3 ( 交轨法) 将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解法 3 设过尸点的割线的斜率为左，则过尸点的割线方程为：y 12 kOM A B且过原点，的方程为y x .这两条直线的交点就的轨迹。两方程相乘消去左，化简，得：X 2 2 5x 12y 0. 其中 3 ix分析 4 ( 参

58、数法) 将动点坐标表示成某一中间变量( 参数) 的函数，再去参数。由于动点M 随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M 的坐标是直的函数，从而可得如下解法。解法 4设过p点的割线方程为： y 12 k(x 5)它与圆2 y2 9 的两个交点为B , A B的中点为M .解方程组:5) 12利用韦达定理和中点坐标公式，可求得M点的轨迹方程为：X2 y2 5x 12y 0. 其中 3 ix 1 3 .分析 5 ( 代点法) 根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点M 的坐标两交点8(X2,” )通过中点公式联系起

59、来，又点P 、M 、A、B构成4点和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。解法 5 设 M (x, y), A( , yi), B( % 2 , %),则 x xi 2 x, yi y i 2 y .X2 y 2 9,X2 2 y 2 2 9.两式相减，整理，得( X 2 xi) (X2 x i ) (y2 y i ) ( y i y2 ) 0 .y i y i xi X2 xxy 9,即为A B的斜率，而A6对斜率又可表示为是，5 x 5 x y化简并整理，得尤22 5x 12 y 0. 其中3 ix i3 .简评上述五种解法都是求就迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限

60、是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点P且与二次曲线。交于A、BA B中点M的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5通常利用kp M较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。二、解密数学思维的内核数学解题的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直问题，进行回顾的全过程的思维活动。对于数学解题思维过程，G .波利亚提出了四个阶段* （见附录），即弄拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字括：理解、转换、实施、反思。第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解

61、题方向和途径的积极的现过程，是思维策略的选择和调整过程。第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。数学解题的技巧为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探效，我们必须掌握一些解题的策略。一切解题的策略的基本出发点在于“ 变换”，即把面临的问题转化为一道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解的目的。基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单

62、化、直观化、特殊般化、整体化、间接化等。一1、熟悉化策略 1 0、，一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系多下功夫。常用的途径有：（一）、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从现有的问题。（二）、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自识和经验，

63、适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉方向。（三）恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。二、简单化策略所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便

64、通过对新题的考察，题思路，以简驭繁，解出原题。简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟易熟悉。因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点同而已。解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有：寻求中间环节，察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基经过适当组合抽去中间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。3、简单化已知条件：有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太

65、容易入手。这时，不妨简化题中知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对原题，常常能起到穿针引线的作用。4、恰当分解结论：有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破原题。三、直观化策略：所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及象之间的联系，找到原题的解题思路。（一）、图表直观：有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。对于

66、这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解（二）、图形直观：有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找合理的解题途径。（三）、图象直观：不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。四、特殊化策略所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题

67、的方向或途径。五、- 般化策略所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情法、技巧或结果，顺利解出原题。六、整体化策略径和办法。七、间接化策略所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论( 或问题) 的反思考，以便化难为易解出原题。数学解题思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直问题，进行回顾的全过程的思维活动。在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入

68、分析条件中的各个在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经的联系，为解题作好知识上的准备。第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验理使之系统化。所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。第二阶段的转换问题是解题思维活动的

69、核心，是探索解题方向和途径的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。通过以下探索途径来提高解题能力：( 1 ) 研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图考。因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。( 2 ) 清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的知的，哪些是所求的，即未知的。（3）深入地分析

70、并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习要元素，要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变目中（或图中）各元素的位置，看看能否有重要发现。( 6 )认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他联系。( 7 )如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语题的元素，以利于解题思路的展开。以上途径特别有利于开始解题者能迅速“ 登堂入室”，找到解题的起步制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：(1 )设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、(2)(3)(4)(5)(6)已知条件的解题方法。记住：题的目标是

71、寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能熟悉的方法去解题。解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整。尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件( 也拟条件简化了的同类题) 再求其解。再试试能否扩大题目条件( 编一个的题目 ) ，并将与题有关的概念用它的定义加以替代。分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骤条件的理解。尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题( 7 )研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。(8 )改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的

72、影响改变题部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“ 展望”。( 9 )万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示。附录：波利亚给出了详细的“ 怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连与建议，来表示思维过程的正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变连续地简化问题，把数学解题看成为问题化归的过程，即最终归结为熟悉的基加以解决。怎样解题G .波利亚第一：你必须弄清问题弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把条件分分开。你

73、能否把它们写下来？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已

74、知数据导出某的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了问题中的所有必要的概念？第三：实现你的计划实现计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的第四：验证所得的解回顾：你能否检险这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？数学解题方法一、换元法“ 换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题于数量关系明朗化，变繁为简，化难为

75、易，给出简便、巧妙的解答。在解题过程中，把题中某一式子如f ( x ) ,作为新的变量y或者把题中某一x ,用新变量t的式子如g (t)替换，即通过令f (x) = y或x=g(t)进行变量代换结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为换f (x) = y或x= g(t)o就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算式、条件等式或不等式的证

76、明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。二、消元法对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这方法，通常称为消元法，又称消去法。消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方题中，也有着重要的应用。用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择消元方法。三、待定系数法按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或其中含有若干尚

77、待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。（一）比较系数法比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必是对应项系数相等，即aoXn+aiXn-l+ .+an = boXn+blXn-l+. +bn的充分必要条件是ai=bi,. an=bn。（二）特殊值法特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数得到关于待定

78、系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式曲线的方程等。四、判别式法实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 0) 对于二次函数y=axz+bx+c (a * 0)它的判别式2=b -4 a c 具有以下性质： 0 , 当且仅当抛物线与x 轴有两个公共点； = 0 , 当且仅当抛物线与x 轴有一个公共点；0可知，a -b

79、, b -a ,又y = f ( x ) 在R上为增函数，故 f ( b ) , f ( b ) f ( - a ) ,反过来，由增函数的概念也可推出，a+ 一)。1 12 1 2上的是 ( )。(4) ( 一a, ( - a) (8) (a, g(-a) (0) (a, -g(a) ( ) ( -a,点评：本题从函数的奇偶性入手，先看括号内函数的奇偶性为奇函数，得到函数为奇函数，再根据g(-x)=-g(x),取x= a和x=-a加以验证。4 , 数列 ( a n ) 满足功=1, a尸2鼠_2( /?则必等于力2Q23、函数g()=2-YYJ- ，若a# 0且a 6 A,则下列点一

80、定在函数产g(x其中 3 18 等于 ( 8 )。( 4 ) 12 4 3 ( 8 ) 3 4 2 1 ( C) 4 12 3 ( 4 ) 3 4 12点评：先写出以1 开头、2开头、3开头的各6 个数，再按由小到大顺序排4 4 a = 9 , 则实数 a等于 (B ) 0i54 a 1 a(4)- I ( 0 - - ( ) - I3 3 3 3点评：通过观察可知a l , 则数值为负),且求和的各项成等比可以运用无穷递缩等比数列求和公式( 其中q = a , a l = 4 ) (.7 、已知圆锥内有一个内接圆柱，若圆柱的侧面积最大，则此圆柱的上底面圆锥的体积分成小、大两部分的比

81、是( )。( 4 ) 1: 1 ( 8 ) 1: 2 ( 。 )1: 8 ( Z ? ) 1: 7点评：通过平面展开图，达到 “ 降维”之目的，促使立体图形平面化，似等腰三角形中，求得小、大三角形的高的比为1： 2,由此可见，小的与全体比为 1: 8 , 从而得出小、大两部分之比( 特别提醒：小、大之比并非高之比的8 、下列命题中，正确的是 ( )。(A)片a r c c o s T 是偶函数 ( 8 ) a r c s i n ( s i n x) = x, xW R( C ) s i n ( a r c s i n ) = ( ) 若-贝卜 a r c s i n xC O点评：

82、反三角函数的概念、公式的理解与运用。注意：ar cco s ( - % ) = 口X ( 当- - X - 时)2 2-ar cco sx, a r c s i n ( s i n 0 =x 且 s i n T = s i n Z (当一 x 一时)2 ：9 、函数片 / ( x) 的反函数八( * ) = ( % 且 xo - 3 ) , 则片/ (T)的图象3 x( / ) 关于点( 2 , 3 ) 对称 ( 夕) 关于点( - 2 , - 3 ) 对称( 。 ) 关于直线片 3对称 ( ) 关于直线产-2对称点评：主要考核反函数的概念与对称性的知识。10、两条曲线l y

83、l = x 与x = - y的交点坐标是I B )。( / ) ( - 1 , - 1 ) (B) ( 0 ,(C) ( - 1 , 1 )和( 0 , 0 )0 )和 ( T , - 1 )( ) ( 1 , 一 1 )和( 0 , 0 )6、若 l i m i - K Y R - - - -14。 11 a(A) m n ( ) zzzl (8)a 0 且 aw l ( 。 )( ) a 点评：分类讨论，考虑对称轴与单调区间的位置关系，运用特殊值进行验15、函数产cosz(六 ) +sim(x+ )T 是 (C ) o1 2 1 2( 力) 周期为 2 兀的奇函数 ( 8 ) 周期为

84、7T的偶函数(C )周期为TT的奇函数 ( ) 周期为 2 冗的偶函数点评：用倍角公式降次，判断周期性，根据和差化积的结果来求奇偶性。16、若 a, bR,那么 - -a b(A) ab (B) ab(a-抗 0 ( 0) a 伏0 (D) a 3 ( x 6 1 , 2 ) ( 8 ) f ( x ) 5,则有 (/ )。dn(A) Tx 7 ； ( ) 大小不定点评：7 i = l ,用等比数列前n项和公式求K2 5 、设集合 / = ,集合 8 = 0 , 则下列关系中正确的是( C )( 力) 4=夕(B) A B (C) A B (D) A B点评：主要考核空集的

85、概念、以及集合与集合的关系。2 6 、已知直线1过点 (-1 , 0),并且斜率为1 , 则直线1的方程是(B(A ) x+ y + 1 = 0 x- y + 1 = 0(C) x+ y - 1 = 0 ( )xy = 0点评：直线方程的点斜式。2 7 、已知 o c - | 3 = , t g a = 3 , t g | 3 = 3 -m,贝 I m 的值是 (D )。6( / ) 2 - I - 2 ) 3 2点评：通过t a n a t a n | 3 = 1 ,以及t a n ( e x - | 3 )的公式进行求解。小值，那么下列说法不. . 的是（。）。点评：

86、主要考核象和原象的概念。2 9、有不等式 c os - c os O. 7 ; log o. s O. 7 log 2 - ; 0 . 5o. ? 2 2a r c t g a r c t g : o其中成立的是(D ) 。( 4 )仅 ( 8 )仅 ( 0)仅 ()点评：主要考核三角函数、对数、指数函数、反三角函数的知识。30、已知函数y = ，那么 (A )x 1( / ) 当( - 8 , 1)或6( 1 , + 8) 时，函数单调递减( 8)当T ( - 8 , 1 ) U ( 1 , + 8) 时，函数单调递增(。当 TE ( - o o ,()当 x ( - 0 0,

87、- 1 ) U ( - 1 ,-1 ) U ( - 1 ,+ 8 ) 时，函数单调递减+ 8 ) 时，函数单调递增点评：先对函数式进行变形，再运用有关大小比较的知识解题。31、若- 7 T 2 0 且 3 1）与圆加+ = 1的位置关系是（A（ / ）相交（ 8 ）相切（。）相离（）不能确定点评：运用点到直线的距离公式，比较半径与距离的大小。37、在正方体A G中，过与顶点A相邻的三个顶点作平面a, 过与顶点G相邻顶点作平面6，那么平面a与平面B的位置关系是（B ）（ / ）垂直（ 8 ）平行（ 0 ）斜交（）斜交或平行点评：作图后，找线线关系，由线线平行得出线面平行，从

88、而求得面面“ 平方后与 1的和的倒数”，其中从A到B的对应中是映射的是（A ）。（ 4 ）（ 8 ），（ C ），（），点评：映射的概念。39 、设 / = *| xi + p x+ q = Q , B= x 矛 2 + （ - 1 ） x + 2q= 0 ,若 / D 8 = 1 ,则（ A ） A B （ B ） A B（ O ）/ U 8 = 1 , 1 , 2 （）/ U 8 = （ 1 , -2）点评：考察集合与集合的关系。40 、能够使得 s i nx 0 和 t g x 0 同时成立的角x的集合是（D ）。（A ） 3 0 x （ B） U I 0 K 或

89、底）2( 0 U I k x k + ,左 W 番(P ) x2 k x U + ,在 2 2点评：通过不同象限，三角函数值的正负不同的特点，进行分析。41 . 已知函数y = | - + c os （ 2x + ） I , （） , 下列关于此函数的24相应的x的取值的结论中正确的是（B ) 。(B) y i a x =(C)加 = , x=51 2()%= 0 , x=5_6点评：对余弦函数最值进行分析。42、已知函数f (% )在定义域R内是减函数且尸(% ) 2 1 (C ) n 户 1 n 义64 25 16 16 9点评：旋转的过程中，焦点到准线的距离没有变，先找焦

90、点。53、直线x-y- 1= 0与实轴在y轴上的双曲线Xi - yi=m (00)的交点在以原点边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部，则m的取值范围是(C )(A) 0 b 0 )的离心率等于，若将这个椭圆绕着它的右5 5 、函数尸(6 = (1+ .点评：先讨论y = (lX(A) ai bi (B) 0 ) ( 1 -bi2 2点评：运用平方数、分数、对数、指数函数的概念进行分析。5 8 、若 l o g 2 l o gA2 0 ,则 (B ) o(4 ) (K a 欣 1 ( B) 0 b abl ( ) 板a l点评：先确定对数符号( 即真数和底数与1的关系一致时( 同时大

91、于或同时为正，不一致时，为负。 )再用换底公式。5 9、已知等差数列潟的公差d w O , 且 4a”多成等比数列，则 a 。 3 a 2 4 a( 。 )。3 ) ( B ) ( 0 ( D ) 1 4 1 3 1 6 1 6点评：先求 3 1 和公比的关系，再化简。6 0、如果 ot, 6 6 (I, 兀) ，且 t g a V c t g p , 那么必有 ( C )。、 3 3( 4 ) oc B ( 8 ) | 3 a ( C) a + B 一2 2点评：先用诱导公式化成同名函数，再借助函数图象解题。6 1 、已知集合 = 0| c os 0 s i n 6 , 0 0

92、2 n , 0 I tg 0 s i n 0 n 尸的区间(/ )。3 3 3 5( 4 ) ( , n) ( 2 ) ( , - ) ( C) (n ,- ) ( ) ( ，一!I 4 2 4 4点评：用图象法解题。6 2 、如果直线尸a x + 2与直线y =3 x+ b关于直线尸x对称，那么 (夕 )。1 13 3(C) a = 3 , b=-Lr ( )a=3 , b=6点评：运用反函数的知识。6 3 、已知 / () = ，则/ ( ) =(。 )。% 12 x(A ) ( x + l) 2 ( 8 ) (x- 1 ) 2 ( 。 ) 必一 x + 1 ( ) 生 + % +

93、 1点评：用换元法。kx 764、若函数 f (x)= 的定义域是R , 则实数 k 的取值范围是(A) 2 ( 8 ) 左一4 ( 0 ) % 2 或右一 4 ( ) 一4 k 2点评：画定点、平移圆、定区域。6 8 、适合| z- 2 | = l且 a r g z= 的复数 z 的个数是(8 )。I( /) 0 ( 8 ) 1 ( 。 )2 ( ) 3点评：在直角坐标系中画圆，找出适合条件的复数。6 9、已知 % 是等比数列, 且 0 , a 2 a 4 + 213 3 a 5 + a 4 a 6 = 2 5 , 那么分+ 金的值为( /) 5 ( 8 ) 1 0 ( 0

94、) 1 5 ( ) 2 0点评：用等比的性质：若数列为等比数列，m+ m= k+ l时，a an= Sk a i 。70、设a, b是满足 a 伏0 的实数，那么 (B ) o(A ) a + b a - b ( 8 ) a + b a- b( C) a- b a-b ()a-b a + I d |点评：从符号出发，取特殊值代入。71、如果ACs i np, 则 (C ) o(A) tg oc tg p ( c tg a c o s | 3 ( )sec a sec点评：结合特殊值，找出a 、 B 在 0, 2 冗上的大小关系。76 、下列命题：函数片t g x 是增函数；函数

95、尸 s inx 在第一象限是增函数2- , kZ ;5 1 0a 是第二象限的角，则角 2 c x 一定是第四象限的角。其中正确命题的个数是( /) 0 个( 8) 1 个( 。 2 个( ) 3 个点评：紧扣定义，逐个分析。7 7 、在中，是 c o s 2 分c o s 2 。的 (/ )。( 4 )非充分非必要条件 ( 8 ) 充分非必要条件( 。 ) 必要非充分条件 ( ) 充要条件点评：分若三种情况，取特殊值验证。78、若 ( K a 伏1 , 则下列不等式成立的是(A )。(A) lo g i 伏alo g z a ( B) lo g i b lo gba0, a l)的图象不

96、在二、四象限，则实的取值范围是(力 )。(A) al, b=- (8) 0al, b=-2 ( ) 051,人 2点评：先分析b ,再考虑a。97、设函数f ( 力=2-x- -1 (xWz R ,u D XH -；, ) 则 F ； (2)=( A )4x 3I(4) - - (8)5 (022(D) - -61155点评：令f O)= 2 ,求 x。98、如果a, p ( , y r ) ,且 tg ac tg |3 ,那么必有( 。 )。( N ) aB (3 )Ba ( 0 a + 0 2 2点评：用诱导公式，取特殊值。99、函数产sinxcosx+ 3 c o s z x -

97、】的最小正周期等于(力 )。(/)冗 (8) 2冗 (C) 一 ( )4 2点评：先用倍角公式降次，合并，再用周期公式。100、函数产:-ctgx, ( 0 ,冗 ) 的反函数为 (8 )。(4 )尸 - arctgx ( B )片 + arctgT()ab+ 冷 ab dJ(A ) a + ba - b ( 8 ) a + b a- b(C) a- ba + I b点评：特殊值法。1 0 2 、设 a, b , c R+,则三个数 a+ - - ( ) 。b c i( / ) 都不大于 2 ( 8 ) 都不小于 2(C )至少有一个不大于2 ( ) 至少有一个不小于2点

98、评：反证法。1 0 3、若一数列的前四项依次是2 , 0 , 2 , 0 , 则下列式子中，不能作为它的通的是 (D ) o(A) 1 - ( - 1 ) ( 8 ) a = l +( - l ) n +1(C) 5 = 2 s i n 2 ( ) & 产( 1 - C O S A J T) + ( - 1 ) (A-2 )2点评：验证法。1 0 4 、复数 z=-2+ /的辐角主值为，复数 2 2 = - 1 - 3/ 辐角主值为标，则等于 ( )。( 4 ) - ( 。 )工 (D) 4 4 6 4点评：辐角主值的概念。1 0 5 、平行六面体ABCD- AxBxCxIX的体积为3

99、0 ,则四面体A 3 C R的体积是(C( 4 ) 1 5 ( 8 ) 7 . 5 ( C) 1 0 ( ) 6点评：体积公式。1 0 6 、不论k为何实数，直线( 2 - 1 ) * - ( 左 +3) 7 - ( 4 - 1 1 ) = 0 恒通过一个定点定点的坐标是(8 )。( / ) ( 5 , 2 ) ( 8 ) ( 2 , 3) ( 。 )( 5 , 9 ) ( ) ( - ,3)点评：对原式进行变形。1 0 7 、方程 a x + 如 + c = 0 与方程 2 a x + 2 砥+ c + l = 0 表示两条平行直线的充要( 。 )。( A) ab0, c* 1 (8

100、 ) ab l o g 0 . 7 0 ,则 m , n 的大小关系是( 。 )。(A ) ( B) i i n i ( C) 0 n /n l ( )0 m n 0 ) 的最小正周期是4 n , 则常数3 为 ( 4 ) 4 ( 8 ) 2 (C)- ( 。 ) -2 4点评：先用倍角公式，再用周期公式。1 1 3、若 ( 1 - 2 X ) 产加+ & 2 乃 2 + a s * ? + .+ ai xi ,刃口么 a 1 + 力+ 力+ . +于 (4 )。( / ) - 2 ( 8 ) - 1 ( C) 0 ( ) 2点评：取 x = 1 。1 1 4 、当 2 0 , = 2 5

101、时，( 1 + t g / ) ( 1 + t g 6的值是 (B )。( 力 ) 3 ( 夕) 2 ( 。 )1 + 2 ( ) 2 + 3点评：公式变形。1 1 5 、满足| z +2 5 / 1 4 15的辐角主值最小的复数2是(C ) .(A) 10/ ( 0 25/ (C) -1 2 -1 6 / (77) 12 + 167点评：画圆找切线。116、圆短+ p 3 -上的点到直线3x+# 25=0的距离的最小值是（B ）。1 1 7、函数产c o s ( - 2 x) 的单调递减区间是(夕 )。( 4 ) 2 - , 2 左 7 T + , # ZJ i(C) 2 + ,

102、2 4 兀 + k Z3点评：图象法。1 1 8, 已知a ,。是两个不等的正数，P =(a +(B) kn + , kn + -I3(D) kn -.，4 7 1 + , i I) 8+ ),小 ( + 1 ) b Rab/ ) 2 , 那么数值最大的一个是(力 )。a b(A) P ( 8 ) 0 ( C) R ( ) 与 a,。的值有关点评：特殊值验证法。1 1 9 、关于 x 的方程 1x I = k x + )有唯一解，则实数k的取值范围是(D )( / ) 公土 3(B) k 2 或 h 土 3点评：分析圆和直线相切的情况。1 2 0 、满足 1 , 2 T 1 , 2

103、 , 3 , 4 , 的集合 7 的个数是 (D )。( 4 ) 1 IB) 2 ( C) 3 ( ) 4点评：从组合的角度分析题目。1 2 1 、若函数y = f ( %) 的定义域是( 0 , 2 ) , 贝 ” 函数y = f ( -2 %) 的定义域是( 力 ) ( 0 , 2 ) ( ) ( -1 , 0 ) ( 。 ( 一 4 , 0 ) ( ) ( 0 , 4 )点评：理解 “ 定义域”的内涵。1 2 2 、已知f ( 刘) =I g x, 那么f ( 2 ) 等于 (8 )。( 力) l g 2 IB) l g 2 ( 0 ) l g 2 I点评：指数与

104、对数互化。1 2 3 、已知加 1 , 0 l o g “ a ( 8) a Q a ” ( 。 )( ) l o g 水l o g ” ？点评：指数函数与对数函数的增减性。、1 2 4 ,设函数y=f （ x）是偶函数，则函数y = （ %）+ 必（ a曲的图象关于（ 4 ） %轴对称（ 3） y轴对称( ) 2 1 g 22 x y40 x 1,则甲是乙的（。）。（A）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（）既不充分也不必要条件点评：从解集的大小来分析条件命题。126、已知函数y= f （ %）的定义域是a, b ,且杨一 a

105、 0 ,则函数F （ x）= /（ x ）的定义域是（0 ）。（ /） a , a （8 ） - a a （ C ） a, - a （） & b点评：函数奇偶性的前提条件以及公共区域的有关知识。2（A）充要条件（ 8 ）必要而不充分条件（。充分而不必要条件（）既不充分也不必要条件点评：对数的真数要为正。128、设 a, b R ,则不等式 ab, a h（/ ） ab0 或伏a 0 ,欣0 （。欣a0 （ D ） 0 b a点评：特殊值法。129、三个数2的大小顺序是（8 ）。（）（）（）（）？5 , (, , ( ) (/)?(? 点

106、评：第函数、指数函数的大小比较。130、若05n ( B )加)n ( C) n K n ( D) n点评：配方以及偶函数在不同区间上的增减性不同。2 2_当a 0 时，- x a;当水0时，： X - a ; 当 a 0 时，a x - 两2 ! !等式的解为(8 )。( / ) 或 ( 8 ) 或 ( 。或 ( ) 或点评：解方程，结合二次函数图象分析。1 3 5 、已知定义在实数集上的函数y = f 满足f x+ y ) = f ( x) +/ ( 。，不恒等于零，则 y = F ( 力是(A )。( / ) 奇函数 ( 8 ) 偶函数 ( 。 ) 非奇非偶函数 ( ) 不能确定点评

107、：先求出y = f ( 0 =0,得f ( x) + f ( -%) = 0 。1 3 6、已知 f ( x) = 2 | x| + 3 , g(x = x -5 , f = g ( 7 , 则夕的值是( / ) 2 ( 8) 2 ( 0 ) - 2 ( ) 不能确定点评：结合内外层函数的知识，运用代入法。1 3 7、如果 l o g 2 l o g l ( l o g 2 ) = l o g j l o g j ( l o g 3 j = l o g s t log j ( log s z ) =2 3 5(4 )。(A ) z x y ( 8 ) x y z ( C) y z x (

108、)z y x点评：由外向内逐步代入。1 3 8 、若 1 1 log 2 ( x 1 ) 0时,( C ) ( , 2 )( ) ( , 2 ) U ( 2 , + 8 )点评：Ig lO - Ig lO = 11 4 0 、方程 I M - 3 | x | +2 = 0 ( x A ) 的根有 (A ),( / ) 4个 ( 夕) 3个 ( 0 ) 2个 ( ) 1 个点评：先把1 x 1 作为一个整体，再分析。1 4 1 、若 “是等比数列, 7 = -5 1 2 , 1 5 3 + 5 8 = 1 2 4 , 且公比是整数, 则如等于( / ) 2 5 6 (B) - 2 5 6

109、( 。 )5 1 2 ( ) - 5 1 2点评：用等比数列的性质，求出 q与外。1 4 2 、已知数列( 2 - 1 1 ) , 那么有最小值的是 (B ) 0( / ) S ( 8 ) ( 。 ) ( ) S u点评：先求最大非正项。3 2( 4 ) 分。 ( 8 ) 仄 0 ( 。 ) 尸= 0 ( ) 不确定点评：分类讨论，用指数函数的增减性。1 4 4 、如果 Xn = ( 1 - ) . ( 1 - ) , 则 li m x0 等于( / )。2 3 I I n 1( 4 ) 0 ( 8 ) 1 ( C ) I ( ) 不确定2点评：交错项相约。1 4 5 、数列的通

110、项公式是 ( 1 - 2 力” ，若 li m a 存在，贝 1x的取值范围是(n x( / ) 0, 0 , - ( 。 0 , 1 ( ) 0 , - 1 点评：极限的概念。1 4 6 、已知等差数列 a j 的首项 1 = 1 2 0 , =- 4,若( n l) ,则力的最(8 )。( 4 ) 6 0 ( 8 ) 6 2 ( C) 6 3 ( ) 7 0点评：运用通项公式与前n项的和公式，列不等式求解。1 4 7 、设 a rg ( z ) = 0 ( 0 0 0 且2 工1 , 尸 = log “ （ a +l） , Q = loga（ 0 的解集是(8 )。(A) W

111、K 1 1或 i (B) R 9 ( ) 以上都不对 22 21 5 3 、若复数1 + 2 7 的辐角主值为a , 3 -4 1的辐角主值为| 3 , 则 2a- 0的值为( 4 ) - - ( 8 ) 一 7 T ( C ) - ( ) 冗2 2点评：求 1 + 2 / 的平方除 3 - 4 i 所得复数的辐角主值。1 5 4 、已知方程及+ ( % +2 / ) 2 + 4=0至少有一个实根，那么实数上的取值(0 )。( / ) 左 2 2或左一2 2 ( 8 ) 224上 2 2( 。左 =2 2 ( ) 4=2 2点评：运用复数相等的定义解题。1 5 5 、已知集合 P =

112、 x | ( x - 1 ) ( x - 4 ) 0 , Q = n ( / ? + 1 ) ( z ? - 5 ) 0 , n & Ns , 且 s n = i , 4 , s n o = s ,那么集合 s的元素的个数是( 。 )。( 4 ) 2个( 8 ) 2个或 4个工 ) 2个或 3个或 4个( ) 无穷多个点评：从自然数的角度分析。1 5 6 、有四位司机，四位售票员分配到四辆公共汽车上，使每辆车分别有一位一名售票员，则可能的分配方案数是( 。 ) 。(力 )尸 8 8 ( B) 。 8 4 ( C) j04 4 P 44 ( D) P 44点评：分步实施。1 5 7

113、、有 4个学生和3名教师排成一行照相，规定两端不排教师，那么排法的( 。 ) 。(4)P nIB ) P44 P3 3( C )尸42 尸55 () P 73 P 74点评：定位排列。158、在1, 2, 3, 4, 9中任取两个数分别作对数的底和真数，可得不同的对点评： ( C O + 00 + C D + . + 00 + C D ) 一 (1+00 + 00 2 + C D 3 + + 00 n-i )点评：。因为T-x + 1= ( x-1/2 ) + 3 /4 ,所以无论x取何值，不等式均成J J1 5 9 、下列等式中，不正确的是( 8 ) 。m m 1 m Pntn(C ) ,

114、= (- 2 ) ! ( ) 1 pn m)= Pnmn(n 1 ) n m点评：排列、组合数计算公式。1 6 0、在 (1 + 2 乃- 第K 展开式中，x i 的系数是 (力 ) 。(/ ) - 8 (8 ) 1 2 (C ) 6 ( )-1 2点评：二项展开式的通项公式。34 5 50 2那么分等于 ( C ) o(/ ) 2 C 5 03 ( B) C 5 1 3 ( C) C 5 1 4 ( ) C 5 04点评：先从 3 、4 、5 5 0 个中分别取3 , 然后再求和。1 6 2 、2 除以 9的余数是( ) 。(/ ) 0 (8 )1 ( ； ) - 1 ()

115、899 331 6 3 、如果 (0, 2 7 T ),函数 y= s i nxt g x 的定义域是( ) 。( A ) x 0 X 7 T T .( C) x 一 K 2 n2点评：分象限，定符号。1 6 4 、化简 4 4I(/ ) - t gx (5 ) t g -( B) x x nI( D) x | n)IX )的结果是( / )。X )( 。 ) t g2 x ( )C t gT点评：分子分母同除cos ( + 力，然后用1= ta n解题。I4165、下列函数中，图象关于坐标原点对称的是(B ) 。(/) y= - I s inz| B y= x - s in I x (

116、C) y= s in ( - I x|) ( )y=(Z) ( +l)P = P(8) c161、或口果(1 + 0 + (1 + 必 + (1 + A) + .+ (1 + ) =ao+aix+ aix +点评：原式可化为2= ( 9-1 ) ocos( x) sin(cos( x) sin( C ) / ( )+ 尸- i (x ) = 0 ( )/ ( X ) 尸- i (x ) = 0点评：奇函数的图象关于原点成对称。1 6 7 、 6 在第二象限，且 1 c o s = - 2 c o s ，则一在(C ) o2 2( 4 ) 第一象限 ( 8 ) 第二象限 ( 。第三象限

117、 ()第四象限点评：先讨论可能的范围，再结合象限确定角的符号。21 6 8 、若 (K I a | t g a ( B) c t g2 a c t g a(C) c o s 2 a c o s a ( )s e c 2 a s e c a点评：特殊值法，注意角的符号。1 6 9 、画在同一坐标系内的曲线y = s i n x 与y = c o s jr 的交点坐标是( C ) 。(A) (2 z? n + , 1 ), z ? Z( 0 ( 7 i + , ( D ), nJI2点评：用图象法解题。(B) (z? n + , ( - 1 ) ),( )( / 7 7 T , 1 ), n E

118、 Zn W Z1 7 0、若 s i no c + c o s a2 ,贝 I t g a + c t ga 的值是 ( 8 ) 。(/ ) 1 (8 ) 2 (f) - 1 ()- 2点评：特殊值法。71 7 1 、三个数 ( 3 = a r c s i n 一8(A ) c a b IB) c b a ( C ) a b c点评：化成同一种反三角函数，再讨论。15(D) b a c17 2 、下列函数中，最小正周期是7 T 的函数是(D ) 。(力) F =2 t g x1 t gi x(C ) f (曰=C O S 2 - - s i n；-!2(B) f 5) = 2 t gx1

119、t g2 X3()f (x ) = 2 s i n2 (x )2点评：用三角公式化简。173、在出% 中，sin/ in0=cos2 L ,则此三角形是（。）。, b= arctg2,声1 arccos （一）的大小关系是（174、函数y= arccos (2s in幻的定义域是( 。 ) 。( A ) -,(5) kn + , 7T + (C) k7 T - , kn + , 左 Z() kn + , +- , kZ点评：反三角函数的定义域与三角函数的取值范围。175、不等式 arccos (1 - x)arccosx 的解集是( / ) 。() 0 x (8) 0 xl ( (

120、7) x ( D) 0 匐，= ( % , y ) xi + ( y - a ) 24 1) , 那么使 f l立的充要条件是(/ )。( 4) a - (B) a= ( C) 0 a 0 ) 的位置关系是(A)恒相切 (B )恒相交 ( 。 ) 恒相离 ( ) 相切或相离点评：根的判别式法。20 6、曲线 y = - 1 % 2 与曲线 y + I a xl = 0 ( a 曲的交点个数一定是(A )20 1、双曲线9 夕-彳-2*-10 = 0 的渐近线方程是( 。 )。( f ) y = ( x+ 1) ( ) y = (x- 1)20 2、设 / 椭圆 2 121与抛物线

121、p = 6 * - 9 的公共点的个数是( 8 ) 。20 7 , 若F (c, 0 ) 是椭圆 2 2 L 1的右焦点，尸与椭圆上点的距离的最大值! I小值为m ,则椭圆上与尸点的距离等于的点的坐标是( 。 )。2( 4) ( c , 竺) ( 3) ( - c , 竺) ( 。 ( 0 , 6) ( ) 不存在a a点评：先考虑 M + m = 2 a , 然后用验证法。20 8 、顶点在点( 1, 3 ) , 焦点与顶点的距离为 ,准线平行于p轴，开口向右I线的方程是( )。(A) y - 3 = ( x- 1) 2 ( 8 ) x- 1) 2= ( y - 3)I I(C)

122、( y - 3) 2= : (x- 1) ( ) x-l= : ( y -3) 24 5点评：坐标平移的有关知识。20 9 、如果抛物线y i - m x- 2 y + 4/ z ? + 1 = 0的准线与双曲线加 -3 / = 1 2 的左准则m的值为 (4 )。(A) 28 ( 夕) 14 (C) -2 ( ) 4点评：先求准线，再求焦点。210 、已知方程上- -22- = 1 的图象是双曲线，则加的取值范围是 (D )2 m n i 1( / ) 派 1 ( 3 ) 勿 2 ( 0 ) 1 加2 ( ) 水1 或加 2点评：双曲线的定义。211、在同一极坐标系中，

123、点 ( p , 8 ) 与点( -p , - 6 ) 的位置关系是(D( 4 ) 关于极轴所在直线对称 ( 幻关于极点对称( 。重合 ( ) 关于直线6 = ( p / ) 对称I点评：先定点，再考虑。212、极坐标系中，方程 p = a s 8 ( a 0 ) 的图形是 (C ) o(/) (B) ( 0 ) ( )点评：先画图，后分析。214、若m n 0,则方程m xi - m y i = n所表示的曲线是(0 )。( 4)焦点在T轴上的等轴双曲线 ( 向圆( 0焦点在y轴上的等轴双曲线 ( 功等轴双曲线，焦点位置依m , n的符点评：两边同除n,再

124、找实轴。215、某林场原有森林木材存量为a ,木材以每年25%的增长率增长，而每年冬伐木材量为x ,为了实现经过2 0年达到木材存量至少翻两番的目标，且每年尽提供木材，贝I T的最大值是( 。 )。 ( 取/ g2 = 0 . 3)( 4) a (夕)-a ( C ) a (D) a19 6 49 6 3 3 1568点评：找等量关系式，注意区分变量与定量。216、在复平面上，复数z满足a r g ( z + 3) = - ,则 1 的最大值3 | z 6| | z 3i| 是( 4) ( 8 ) 5 ( C ) 1 ( ) 与z的辐角有关9 15 3点评：化求最大值为考虑最小值。2 17 、

125、将y = W Dx 1的图象向下平移5个单位，向右平移5个单位后，与x m的反函数的图象重合，贝I m的值是 (/ )。( / ) 6 ( 夕 ) -2 )5 ( ) 1点评：把握图象平移与变量的关系，结合反函数的求法解题。218、某抛物线型拱桥的跨度是2 0米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需柱子支撑，其中最长的柱子的高是( 。 )。( / ) 1 . 4 8 米 ( 8 ) 2 . 9 2 米 (03. 8 4 米 ( ) 4 米点评：在扇形中，解三角形。2 1 9、将一半径为R的木球加工成一正方体木块，则木块的最大体积是(B号k:R3 ； R3点评：球内接正方体的体积，用轴截面的

126、知识。2 2 0、要得到函数 f ( x) = c o s ( 2 x-(4 )向右平移个单位8)的图象，只需将函数y= sin 2 x的图象( 3 )向右平移一个单位8( O R32 2 1 、无穷数列1n“ s m( 4 ) 1 (B) 2 ( c ) 23 7 5点评：写出该数列的前n项。2 n 的各项和为(C )。( ) 不存在( / ) ( 1 - 2 , 1 + 2 )( ) ( 1 - 2 , 1 ) U ( 1 , 1 + 2 )( ( 7 ) 1 - 2 , 1 U ( 1 , 1 + 2 ) ( / ? ) 1 - 2 , 1 + 2 点评 : 解不等式 | 力-

127、 2M小于 L2 2 3 、已知菱形/ 历初的边长是1 , / DAB =60。,将这个菱形沿折成 1 2 0 角，则B D两点间的距离是(C )。( 1 ) (B) 3 ( C ) 3 12 2 2 4点评：用菱形性质和余弦定理。2 2 4 、正三棱锥底面边长为a , 侧棱与底面成 6 0 角，过底面一边作截面，使面成 3 0 。角，则截面在底面的射影面积为(C )。( / ) 3 a z ( 8 ) 2 a2(03 3 21 6( ) j点评：先筛选，再验证。2 2 5 、设有四个不同的红球、六个不同的白球，每次取出四个球，取出一个分，取出一个白球记1分，使得总分不小于5分，共有的

128、取球方法数是(A( / ) C4 1 c 63 C 4 2 c 62 C 4 4 ( 8 ) 2 c44 CM ( C) C 44 C(A ( ) 3 0 4 4点评：分类、分步讨论。2 2 6 、已知( l + 2 x) 的展开式中，所有项的系数之和等于6 5 6 1 , 那么这个展开的系数是(B )。( 1 ) 5 6 4 4 8 ( C ) 1 1 2 0 ( ) 1 7 0点评：先求 1 1 , 再用通项分式求解。2 2 7 、常数 c 使 s i n （ T+ c ） = c o s （ n + x）和 tg（ c - 力 =- c tg（冗 - x）对于定义一切实数x

129、同时成立，则c的一个值为（B ）。3（ 4 ）一（ 8 ） - 一（。）一兀（。）一22 2 2 、若极限li m （ a-2 a ）存在，则实数a 的取值范围是（ B ）。yTJ点评：取特殊点。2 2 9、已知集合力=1 , 2 , 3 , 4 , 5 , B= 6 , 7 , 8 ） ,从 / 至B的映射f中，满 r （ 2 ） r （ 3 ） r （ 4 ） f（ 5 ）的映射有（ c ）。（ /） 2 7 （ a）9 （ 0 ） 2 1 （）1 2点评：对函数取值的情况进行讨论。2 3 0、若表示等差数列a j的前力项和，已知S = 1 8 , = 2 4 ,若

130、an-i = 3 0 ,于（ A ）。（力）1 5 （ 8）1 6 （ C ） 1 7 （）1 8点评：用通项、求和公式验证。2 3 1、现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学化学三科竞赛，共有9 0种不同的方案，那么男、女生人数分别是（B ）。（ 1 ）男生2人，女生6人（ 8）男生3人，女生5人（。男生5人，女生3人（）男生6人，女生2人点评：用验证法。22a的值组成的集合是（C ）。（ /） a l a = 9 （ 8） a l a 8 （。） a a 8 或 a = 9 （） a l 0 4 a | 3 , 贝 s i n o

131、c s i n | 3( ) B/ %中，t g / = t g 8 是 4 = 夕的充分但不必要条件( 0 ) 函数 y = I t g 2x | 的周期为4( ) 函数y = l g ( 股 ) 是奇函数1 t g x点评：全面考察三角函数的各种情况。240、如果8 (I, )，那么复数( 1 + 7) ( cos 0 - / s i n 。) 的三角形式是(Q Q( 1) 2 cos ( 1 - 0) + / s i n ( - - 0 ) 4 4( 8 ) 2 cos ( 2 n - 0 ) + / s i n ( 2 n - 0 ) ( C) 2 cos ( - + 0 )

132、+ / s i n ( - + 0 ) 4 43 3( ) 2 cos ( _ + 0) + / s i n ( 一 + 0 ) 4 4点评：强调等值、标准。241、设 ( 1- 308 = 3 o + 21+ &1X1 + . . . + 必热，那么 | 加 | + | 力 | + | 42| + . . . . . . .值是 (D )。( / ) 1 ( a ) 28 ( (7 ) 38 ( ) 48点评：取X = -l0242、设（ 3 + / ）是纯虚数，则n的可能值是（ A）。点评：垂直、中点代入验证。244、项数为2/的等比数列，中间两项是方程型+ 外+ ( 7 = 0 的两

133、根，那么这个所有项的积为(B )。(A) -n i p ( 8 ) 私 ( C) p q ( ) 不同于以上的答案点评：等比数列的性质。245、已知直线a, b ,平面a , | 3, 丫，以下四个条件中， a 1 丫， ply内有不共线的三点到6 的距离相等； a oc, b a , a / / B, / B ; a面直线，且 a oc, a / / 0, b 6, b/ / a 。能推出a 。的是 (A )。( / ) ( 夕) 和 ( 。 ( ) 和点评：线面垂直与平行的判定及性质。246、8次射击命中3次，且恰有 2次连续命中的情况共有(B )。( 4 ) 15 种 (0 3

134、0 种 ( 。 )4 8 种 ( ) 60 种点评：组合与排列。2 4 7、函数 / ( % ) = o gax 1 | 在区间( 0 , 1) 上是减函数，p = f ( l og J ) ，q2 .0 +c t g 6) , r = f ( 2 s i n ) ( 0 为锐角) ，贝 I ( C ) (A ) p q r ( B) r p q ( C) q p r ( )r q p点评：先确定的范围，再比较 10 g J 、 t g 0 + Ct g 0 , 2 si n 的大小。22 4 8、函数 p =c os2 +si n ( +x) 是 ( C )。( Z ) 仅有最小值的奇

135、函数 ( 8 ) 仅有最大值的偶函数(C )有最大值、最小值的偶函数( ) 既不是奇函数，也不是偶函数点评：先配方、再求值。2 4 9、设满足下列条件的函数/ 3 的集合为必当I 为| 1, | 如 1 时，1/( 加) 4 1矛 1 - 加| , 若有函数g ( x) = 及+ 2TT,则函数 g ( x) 与集合的关系是( / ) g ( x) ( 8) g ( x) C ( 。 )g ( x ) 必 ( ) 不能确定点评：当 xi 1 时，| g ( x) -g ( *2 ) | 4 | 1 - T 2 1, g ( x) 是元素。2 50 、当( 1, 2 ) 时，不等式

136、x - l l og 优恒成立，贝 | a的取值范围是(B( / ) ( 0 , 1) ( 8) ( 1, 2 ) ( C) ( 1, 2 ) ( ) ( 2 , + 8)点评：利用函数图象，进行分析。2 51、已知函数f （力 =2 , 八（ x）是f （力的反函数，那么 / （ 4 - 布）的单调间是（C ）。的射影必相等；平面 a内的两条直线小、h ,若、h均与平面B平行，。；若平面 a内有无数个点到平面0的距离相等，则。 3; a、 0为平面，且 a不垂直于B , a内有一定直线a ,则在平面B内有无数条直线与其中正确命题的个数是(B )。( / ) 1

137、个( 8 ) 2个 ( O 3个 ( ) 4 个点评：利用线与线、线与面、面与面的垂直、平行等关系，逐个分析。2 53 、已知 l og 2 ( x y) l og 2 x l og 2 y , 则 x+ y 的取值范围是(D )。( / ) ( 0 , 1) ( 8) 2 , + 8 ( 。 )( 0 , 4 ) ( ) 4 , + oo)点评：由 l og 2 ( x+y) =l og 2 盯可知，x+ y不小于 x + y 的算术平方根的两倍。2 54 、若函数f ( x) 的定义域为- ：，则, ( si n x) 的定义域是( D2 ;( A) - , , (B) 2

138、左加 + , 2 + , Z2 1 6 35 4 5 4( 0 ) 一 ,一 ( 。 ) 2 - , 2 + U 2T T + , 2kn + 一6 3 ! I 6 3点评：解不等式- ；si n x m2sHi 2 s %/ 3 d Z4 J o .3 用 2 5 m 2当且仅当2s 加，即m 4s时取等号.3 m 2 3 3( I I )由于 2 4 3则h的最小值小于人的最小值.所以在方案中当/2取得最小值时的设计为最佳方案.1 3、已知：如图,射线O A为j = 2 x （ x 0） ,射线O B为尸- 2 x （ x 0） ,动点P （ x ,y ）的内部，PM OA于M ,

139、 PN O B于N ,四边形O N P M的面积为2 .（ I ）动点P的纵坐标y是其横坐标的函数，求这个函数y/ x）的解析式;（ I I ）确定y/ %）的定义域.解：（I ）设M(a,2a) , N(b, 2b)则 OM 5a , ON 5b(a Q,b 0 ). 2 x y 2x y 2x yPM , PN y5 5 5 5/. S四边形 O N P M S O N P S O P M112 2122 (。b)x (Q h) y 4_ I y 2a又 k,P Mx a分别解得。X , h代入式消去a、b , 并化简得X2 y2 5.1 y 2b2 x b2 y5y

140、 0, y X2 5 .( I I )由尸在AOx内部，得0 y 2 % .又垂足N必须在射线OB上，否则。、N、P、M四点不能构成四边1222 1 531 4 解关于 x 的不等式：l o ga ( x 2 x 2 ) l o ga ( x _ 2 ) +1 ( a 0, a r l )a解：原不等式等价于log(X2 X 2) log a (ax 2) .I I - 2x J I I I _I _1 1 V AT 1 1 V ,(0 4 P pN P帅 M( 打 H b(2x y)2(。b)x (a b)y 2以还必须满足条件y x0 xj5 2x0 x js x所以y 1%）

141、的定义域为x5 XX2 x 2 0,X2x 2ax 2ax 20,2x x2 ax 2,ax 0 或x a 1 X2 当a 10 a1时，式可化为X2X2 0,ax220,X2 x 2 0,x 1 或 x 2x综上所述,15、值x x 2 ax 20 X Q 1当4 1时，原不等式的解集为xx a在三角形ABC中，三内角满足A+C=2B,解：.A+C=2B,AA+C=120 , B=601 ) ;当1cosA0 a1cosCI时，不等式的2 , 求 COcosB又1cos A1cos C2cosB， cos A cos C2 2 cos A cos C/. 2 cos AC cos A2

142、C2221 cos(A C ) cos(A2C)即2 (12) cos A C2 (122 cos 2 A C 1)22 2 cos 2A CA C2cos232 八-02令cos A C t ，则上式为2 2 f2 t 32 022 t2 , f 22322or 2 0,从而2即8x x 2 ax 2从而2即116、已知复数 zl= 2 3 x+xi, z2= 3 y1 +(3 y)i, x、y 属于 R , 若102解：V | z | |z2 I， argziZ2 2zl Z2i：. 2 3x xi 3y (3 y)i /y 3 (3y 1)/2 3x y 3x 3y 13x13y3

143、 1 3 i 1 3 1 3 i ，2 2 2 23 I 3 I:1 ? ： 2 i1 1 ! 1 3 - 1 ! 3 1 1 3 .2 1 2 1 2 2 2 2s i sin!33i sin -1-0 - -1 . ，；3 2 2Z2 3 ZI Z22c(二 ( zl Z2 )10 COS 1017、如图，平行六面体ABCDA BCD 中，AC = 22C=AA=AC=2, NABC=90。，点 O 是点 A，在底面 ABCD上的射影，且点 O 恰好落在A C 上 .( 1 ) 求侧棱AA，与底面ABCD所成角的大小；A/DA BJELargzl/z2=90,求的值解：连A0 ,

144、则A0平面ABCD于。 . .1分分).M A O就是侧棱AA1与底面ABCD所成的角 . . .1分 (在 A AC 中，Al A AiC 2,AC 22A1A2 AC2 22 22 8 ( 2 2 )2 A d4 A C是等腰直角三角形AAO 45 ,即侧棱Al A与底面ABCD所成角为45 ,12过。作。E A。于E,连4E。4 0 平面A B C D于0,由三垂线定理，知AiE AD ,A Z A i E O是侧面4 A O D与底面A B C D所成二面角的平面角。V ZABC= 90 , AB AC2 BCi (2 2 )2 22 2 ,底面 ABCD 是正方OEAB

145、lo在 Rt MEO 中，tg 4E0 40即所求二面角的正切值为2。( I I )在等腰处 AMC中，AO AC, ： .AiO AC 2 ,且。为JJLVSAIADD A D AE 2 3 oAE AD, O E AD, ： . A D 平面Ai 石。, ：A D 平面4 AOO,平面Ai A D D 平面4 E O ,它们的交线是A E。2 220H34 2过。作 O” AE ,则 O H 平面AiADDi。C H OE 4 0 2 !Ai E 3 J又， :。是A C的中点，点C到平面A i A D D i的距离h1 1 22 423 3 3 31 1 13 3 318、在

146、工厂生产中，若机器更新过早，则生产潜力未能充分发挥而造成浪费；过迟，老机器生产效率低，维修与损耗费用大，也会造成浪费. 因此，需要确定用的最佳年限（即机器使用多少年平均费用最小）某工厂用7万元购买了一台新机器，运输安装费2千元，每年投保、动力消耗费用为2千元；每年的保养、维修、更换易损件的费用逐年增加，第一年为第二年为3千元，第三年为4千元，即每年增加1千元，问这台机器的用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值.解：设使用n年为最佳年限，则每年的平均费用1n1n7.2n0 . 0 5 n 0 . 3 57 72 e 0 . 0 5 0 . 3 5n/ . VcAADD SAADD h

147、 2 3另解： VCAADD VBBCC AIADD VABCD ABCD 4 2( 7 . 2 0 . 3 5 0 . 0 5 / 1 2 )答：这台机器最佳使用年限为1 2 年，且年平均费用的最小值为1.55万元。19已知数列 an 满足 a l= 2 ,对于任意的n N ,都有 a n 0 ,且(n+l)a2. +一na2nl= 0 , 又知数歹lj bn :bl=2n1 + 1 求数列 an 的通项a n 以及它的前n 项和 Sn；求数列 bn 的前 n 项和 Tn；(3)猜想 S n 和 T n 的大小关系，并说明理由.解: ( I ) an 0( N ), (n 1)

148、。 2 a nan nai2 i 0(n 1)(In 2an 1aan 1an 1 1 4 ( 1)an i 2( 1)/. an 01 (2n 1)2( 1)anan 1nn 1班廿n 1an an a a a a (In C l n 2 dn 3 Q2 d 1n 1 n 2 n 3anna3 22 1n C l 1 2 ， C l n 2 o ) ( ) / t & T 5 -1n/I / 2 3 2 on (n 1 )2r i 2 n( I I ) bn 2 , 1 i 1 ,/. Tn b bi hi bn ( 2 o 2 i2 o ( 2 “ 1 )n2 12 o n 1 o( I

149、 I I ) Tn Sn ( 2 ” n 1 ) ( 2当 n 1 时，T 1 S i 2 1 1 2 1 0当 “ 2 时，T2 S2 2 2 2 2 1当 “ 3 时，7 3 S 3 2 3 3 2 1当 4 时，TA S 4 2 4 4 2 1当 n 5时，T5 s5 2 5 5 2 1当 “ 6 时. ， 7 6 S6 2 6 6 2 1猜想：当 5时，Tn Sn O即2 m 1 0 o亦即2 n下面用数学归纳法证明：1当 5时，前面已验证成立2 2n ) 21216 02 72 1 o2 ” 1 ) nn m 1T i 5 i ；0 ,二 . Ti Si ；0 , Ti S3 ；0

150、 , TA S 4 ；, :.Ts S 5 ；0 , /. Te Seo2假设n k(k 5 )时，2 k k2 1成立，那么当n k 1 (左5)时 ,2kl 2 2k 2（后 1） ki ki 2伙 1 ） 2 1 o二 . 当k 1 （左 5 ）时 - ，2 k 1 （ k 1 ） 2 1 也成立。由以上1 、 2 可知，当 5 时，有Tn S” ；当 1 时，T S.；当5时，Tn Sn o20、将两副三角板放成如图所示的形状，使二面角D -A C -B 成直二面角。已知：BC=CD, NACD=NABC=9Oo. 求：二面角 C-AB大小。证：如图平面 ACD平面 ABC, CD

151、 AC, .,.CD平ABC., 斜线B D 在平面ABD上的射影为BC, AB BC, AAB BD.即NDBC为二面角C -A B -D 的平面角。：BC=CD, CD BC,ZDBC=45o21、正方形ABCD和正方形ABEF折成一个二面角, M、 N 分别是对角线AC的点，且 AM=FN（如图） , 求证：MN/平面 BEC.证明：如图，分别过M、N 作MP/7DC 交 BC 于 P, NQ EF 交EB 于 Q ,连接 PQ ,.， EFABCD, . M PN Q A又 AM = FN, . . . 在正方形 ABEF N和正方形ABCD中，MP=NQ /： .四边形MPQN

152、平为平行四边形面.MNPQ, P Q 平面平面EEQP22、矩形 ABCD(AB WBC)中 , AC=2 2 ,沿对角线A C 把它折成直二面角B -A解：如图，分别过B、D作B E A C于E , D F A C于F ,设N B A C = 9 ,贝IAB=ACcos。= 2 2 c o s 0 ,B E = D E = A B s i n 9 = 2 s i n 2 9 ,A E = A B c o s 0 = 2 2 c o s2 0 A E F = A C - 2A E折叠后，在平面A C D内过E作E G F D ,且E G = F D ,连接D G、B G、B D ,则/

153、B E G为B - A C - D 的平面角，N B E G = 90。于是 B G = 2 B E = 2X 2 s i n 2 9 = 2s i n 2 9. . B G 2+D G2= B D 2,即：( 2s i n 2 e ) 2+ ( - 2 2 c o s 2 0 ) 2= 5. * . 4 ( c o s 2 0 ) 2= 1, / . c o s 2 0 = ；,L t11VABBC, cos2 6 = 、Acos 6 =1 ,故 AB= 2 , BC= 6.2 3 、在三棱锥 A BCD中， E 、 F 分别是线段 A D 、 B C 上的占XE BF E

154、D FC 2解：如图，过 E 分别作EG#AB交 BD 于 G, EHDC 交 AC 于 H, 连接 GH、FH,A由条件，易知EGFH为平行四边形。A ZG EH 为异面直线A B 与 CD E所成的角或其补角。 H,AB=CD=3,且AB与CD所成的角为60。 , 求EF的长.EF= 22+l22X2X 1XCOS60 = 3 或 724、如图， ABC和ADBC所在平面互相垂直， AB=BC=BD,NCBA=NDBC=(1)A D 与平面BCD的成角；(2) A D 与 B C 的成角；二面角 A-BD-C的正切值.解： ( 1 ) 如图，过 A 作 A EC B 与 C B

155、的延长线交与E , 连接 DE, 平面 ABC_L 平面 DBC/.AE，平面 DBC, AZA D E即为 A D 与平面CBD所成的角。VAB=BD, NCBA=NDBC, EB=EB FNABE= ZDBE, ADBEAABEADECB 且 DE=AE A ZADB=45 AAD 与平面 CBD B所成的角为45 G 乂 H( 2 ) 由 ( 1 ) 知 CBJL平面 ADEA AD I B C 即 A D 与 B C 所成 D C的角为90 .( 3 ) 过 E 作 EM1BD 于 M由 ( 2 ) 及三垂线定理知，AMBD,二 . NAM E为二面角A -B D -C 的平面

156、角的补角.AE=BE=2ME, .tgZAME=2故二面角A-BD-C的正切值为-2 .25、如图：已知平面四边形ABCD,AC、B D 相交于O,AB=AD,CB=CD,ZABC=120，且 PA_L平面 ABCD. 若 AB=PA=6,求 P 到直线B C 的距离；(2)求证平面PBDJ_平面 PAC.证明(1)延长 CB,过 A 在平面内作AE_LCB,垂足为E.V ZABC=120 ZABE=60，在 RtAABE 中：AE=AB sin60 =6 PA_L平面 ,AEEB, AAE是 PE在平面内的射影,PE EB, PE 为点 P 到 BC 的距离 . 在 Rt PA

157、EPE= PA2 AE2 69 24422V、在四边形ABCD中，取B D中点0,连AO、CO,/ AB=AD,CD=CB,BO=OD,，AOBD,COBD,:.A、0、C 共线,.ACl.BD.又 PA ,.PABD,.,.BD_L平面 PAC,VBD 平面 PBD,平面PBDJ_平面PAC.26、如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为8cm, M、N、P分别是AB、AD、B B(1 )画出过M N、P三点的平面与平面ABCD的交线以及与平面BBCC的交设过M、N、P三点的平面与B C交于点Q ,求PQ的长；解：( 1 )设M、N、P三点确定的平面为a ,则

158、a与AABB的交线为直线MP,设，则a与平面A BCD的交线，设，则PQ就是所要画的平面a与平面BB.C1C的交线；( 2 )正方体的棱长为8cm, B1R=BM=4cm, ,(cm)BQ=4= (cm),在 RtlPBQ 中 ,BiP=4cm, BiQ=cm,MP n A1B1 = RRNABC 二 QB.Q _ R BtA TLA, X12. 一 PQ = J u p +R1Q；证明：Z B C D = Z B A D = 90 B C C D , B A A DZ B C V = Z B A V = 90 B C 1C V , B A 1A V，B C _ L平面 V C D

159、 , B A _ L平面 V A D. B C V D , B A V D平面 A B C , A V D I A C28、过点S引三条长度相等不共面的线段S A、S B、S C ,且N A S B = / A S C = 60 , Zo求证：平面A B C _ L平面B S C o证明：作A O J L平面S B C , 0为垂足,. S A = S B , N A S B = 60 ， A A B = A S ,同理 A S = A C , . . A B = A S = A C , A O 为4 B S C 的/ B S C = 90 ,故 0 为 B C 中点，即 A

160、O 在平面A B C 内，所以平面A B C , 平面B S29、三棱锥 P - A B C 中三侧棱 P A 、P B 、PC两两相互事直三侧面面积分别为=解：设 P A = a , P B = b , P C = c ,贝ij S i = a b , S ? = b e , S s = c a ,作 P D B C 于 D ,连 A D ,易证B C J _平面P A D ,于是B C 1A D ；B C X A D ,2 2 2在 R t A B P C 中，P D 2= A D 2a.2-.SABC2= (B C X A D ) 2 = ( a 2 b 2 + b 2

161、 c 2 + c 2 a 2) =证明：由（ 1）知，P D 1B C , A D 1B C , A Z P D A是侧面P B C与底面A B C所成的平面角，不妨设N P D A = a ,P D 2= C 0S 2 Y = ， A D 2=同理c o s s B =J.2j.22在R t a A P D 中，A D = a +P D ,b2c2 b2c2b2c2b2+ ?BC2 - b2 +c2a2b2 +b2 c2 + 1 2BC21 .2j.4S=抑b2c2b2 +c2PDcos a = A Da2b2 +c2ab2 +c2b2c2a2b2 +b2c2 +c2a2a2b2 +b2c2

162、 + c Va2b2a2b2 +b2c2 +c2a30、如图，四棱锥P - A B C D 的侧棱P A _ L 底面 A B C D , 底面 A B C D 是直角梯形，其Z D A B = Z C B A = 90 ,又 A D = A B = B C , Z A P B = a r c s i n ,试求侧面 A P B 与侧面成的角。解：设 A D = A B = B C = 3a , 由 R t A P A B R t A P A D , Z A P B = a r c s i n ,得 P D = P B = 5 a延长C D 、B A 交于E , 连 P E , 作 B F

163、 1P E 于 F , 连 C F , 可证B C , 平面P B E , 则（三垂线定理），从而N B F C 是二面角B - P E - C 的平面角，设其为0 ；显然 A D 是A E B C 的中位线，. E A = A B = 3a , 即 E B = 6a , 可得 P E = P B = 5 a在4PBE中，用面积关系得：P E X B F = B E X P A. B F =由 R t A B C F , ,：. ；本题还可以用射影面积法。31、多面体表面积为S , 外切于表面积为36 n （平方单位）的球，求这个多面积；分析：可仿照平面儿何类似问题，连结三角形的内切圆圆心和

164、各个顶点的线段角形面积分为三个部分，且有 S =r ( a +b +c ) ；解：球的半径R=3,连结球心和多面体各个顶点得到的锥体体积之和就是多235235BE xPA _ 6a - 4a _ 24- - aPE 5a 5惶 6 -二一 3 二 arcts BF 4 41 .2故V = = S （立方单位）。32、给定一个圆锥和两个平面a、B,其中a B,且它们与圆锥底面平行，a把圆锥侧面分成面积相等的两部分，平面B把圆锥分成体积相等的两部分a、B间的儿何体的体积与圆锥体积之比。分析：本题涉及到截锥性质：截面积与底面积的比为对应元素的平方比，截得的体积与原圆锥的体积之比是对应元素的立方比

165、。解：设给定圆锥的底面半径为R,高为H,则V / n R ? H ；设平面a、B与圆锥侧面相交所得两圆半径分别为n和由截锥性质得：显然r2n,即平面6比平面a离圆锥底面近些，又设截得的两圆锥的高分别h2,则夹在a、B间的圆台的高h,有：1 Ih = h 2- h i = （ 3 2用；1 I3 2） H X （ r 2i +r i r 2+r 22）1 1431-4 1sR1-31-3RR=A-1-2-ljrViafj： V圆锥=(2 2 ) V-证明：设棱长均为1 的正三棱锥为A - B C D , A0 是它的高，今在 A 0 上取一点0A/3 - / 6OIA=OB=OC=OID

166、,可求得 0B = 亏，A 0= 三，A/6进而求得 0IA=0IB=0IC=0ID= 4 ；以 0. 为点，以 A - B C D 得四个面为底面的四个三棱锥显然等积，V 2且 V = 4 8 ；在三棱锥内部的1 3 个点，因为其中任三点不共线，任四点不共面，由抽屉原少有四点落在以为顶点的四个小三棱锥的同一个三棱锥内，那幺这四点为顶厚棱锥的体积V 4 8 034 、进货原价为8 0 元的商品400个，按 9 0 元一个售出时一，可全部卖出。种商品每个涨价一元，其销售数就减少2 0 个，问售价应为多少时所获得利润解：设售价为 9 0 x元时利润为y , 此时售量为400 2 0x.y (

167、 9 0 x )( 400 20x ) ( 400 20x ) 8 0 20( 20 x )( 10 x) 20 ( x 5 )2当 x 5 时， y ma x 45 00 ( 元 )。答：售价为 95元时获利最大，其最大值为45 00元。35 、2 0 个劳动力种5 0 亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻。这些作物每亩地力和预计产值如下表。应怎样计划才能使每亩地都能种上作物( 水稻必种)，力都有工作且作物预计总产值达最高？作物劳力/亩产值值蔬菜1/20. 6万元棉花1/30. 5 万元水稻1/40. 3万元h 0.3x 0.5y 0.650 （ x y）且 x 、 y 满足 ; y -5

168、0 （ x y） ! J 2B P h 3 x 27,4 i 尤 i 50, x N .2 0欲使 h 为最大，则X应为最小，故当X 4 （亩）时， hm ax 26.4万元，此时（亩）。故安排1 人种4 亩水稻，8 人种2 4 亩棉花，11人种2 2 亩蔬菜时农作物总高且每个劳力都有工作。36、某企业在今年年初向银行贷款。万元，年利率为r ；从今年年末开始,向银行偿还一定的金额，预计五年内还清，问每年末平均偿还的金额应是多解：设平均每年末应向银行偿还无万元，则每年尚欠银行款依次为：a ar x Q(1 r ) x, t z ( l r ) x a ( l r ) x r x a( r

169、 )2 x ( l r )第五年欠款应等于零，即：a ( l r )5 x ( l r )4 ( 1 r )3 ( 1 r ) 1 a ( l r )5 x 。r, a r ( 1 r )5.x(1 91故平均每年末向银行偿还金额“ 叩05万元。( 1小137、某市 1994年底人口为2 0 万，人均住房面积为8 m2,计划 1998年底人面积达1022。如果该市每年人口平均增长率控制在1 %,要实现上述计划，这每年平均至少要新增住房面积多少万m2 （结果以万加2为单位，保留两位小数解：设平均每年至少要新增住房面积万加2。四年共新增住房面积4 %万时住房总面积应为 2

170、0 8 4 尤万机 2 。另一方面，到1998年底总人口为 20(万。按人均 10m2计，1998年底应有住房面积为20X10X (1+1%) 4万m i 。因 1. 014 1.0406.故 x 5 0 1 . 0406 40 5 2. 03 40 12. 03 .即 x 12. 03.故该城市每年至少要新增住房面积12、03万m2,才可达人均住房面积10标。38 、铁道机车运行1 小时所需的成本由两部分组成，固定部分为加元，变与运行速度V ( 千米/小时)的平方成正比。比例系数为k ( k # 0 ) 。如果机车甲站开往乙站，为使成本最省应以怎样的速度运行？解：设以

171、速度 V匀速运行成本最省，甲、乙两站相距S千米，则机车匀速SVy ( m K V 2) - S(K V mV ) 25 K m ,V仅当V ；时， y有最小值，K故机车以速度 - 千米/小时匀速运行时，成本最省。K39 、某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为4 0 0 % , 以后每年重量增长率都年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%o预计养鱼的费用第一年是。为鱼苗成本， f 2 且f N )。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高较少 (设鱼苗价 30元/斤，成鱼市场价7 元 /斤 ) 。解：设第n年鱼的产值a n为最高。p 为鱼苗总重量，则p 11 且山

172、7 P (1 4) (1 ) 63 P a , 3 0 I 八 1 0 2 2 0ai 77 P (1 44)W(11 43 M l 1 2 1 0 4 3 乂V 1) 1 1 0G3 7 P(1 4)(163P441200a212011 310)(132八 1 0到乙站所需时间为/ . 总成本为y元。本的2 0 % ,以后每年的费用M ( ? ) 与年数，满足关系式MQ)- - - ) (2 1 (1- ) 。2 (1。 4 az (1 4- ) (1 /) , . . . . ，当 Q , , i i a 0 f , 3n 3 6, n 4.即第 4 年鱼的产值最高；另一方面,当, 3

173、或4 时，M ) m i n .下面比较第4 年比第 3年增加的产值G 与该年投入的费用上的大小。1 0若GW O则取t 4；若 G i 则取t 3 .1 1 9 1 1 a aG 43 - - - - - - - - - - - - - - - .3 0 2 0 0 0 1 0 1 0. . . 取n 3,即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。40 、过椭圆25 9 的左焦点F的弦 AB,过 A , B 分别向左准线引垂足分别为M , N,当线段 MN最大时，求直线 AB的方程。C C解：由已知方程得Fi (4, 0),设直线 AB方程：y = t g (x

174、 +4) , 代入椭(9ctg% + 25)y2 - 72ctga -y - 81 = OJ MN |=| yL- y2 |=而190 90 15- - - - - - - - - - - - - - - - - M , 9 . 一 2j9xl6 4 3 1：- +16 sm a a - sin a 44=，当 s i n 时，|M N |最大 = -V 773匚,41、已知椭圆C： (ab0)的长轴两端点为A、B,( 1 ) 过焦点F 作垂直于长轴的弦P P ,当 tg/APB= 时，求 C 的( 2 ) 如果 C 上存在一点Q , 且NAQB=12Oo,求 C 的离心率的范围。解：(

175、1)设 F 为右焦点；P 在 x 轴下方，横坐标为c , 则纵坐标为 .kpA = ， kpB = .tgZAPB= , , /. e= .(2)设。 (x, y ) , 由对称性，不妨设。在 x 轴上方，即 y0.kAQ= ， kBQ= ， =tgZAQB= .=(X2+ y2a2)+ 2ay=0.此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或 . 由y=0,得 Q 与 A合，舍去. 当时，由 Q 在椭圆上半部.Wb, ,42、按复利计算利息的一种储蓄，本金为。元，每期利率为 r ,设本利和期为 x ,写出本利和 y 随存期x变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利

176、率 +1b2-2 3A3a二 1b2a (a + c )- b2a(a - c )PB2aCyyx +ax -a 一追x a JC + a1 X _r23ab2y 3c 2y =2凤 /3c241- 最电/ 一 T倒2瓦川y i a a r a(l r ) ；2 期后的本利和为y i a(l r ) a(l r )r a(l r ) 2 ；3 期后的本利和为3 a(l r ) 3 ；x 期后的本利和为y i z (l r )x将 a 1000 (元 ) ， r =2.25%,无 5 代入上式得y 1000 (1 2.25%) 51000 1.02255由计算器算得y 1117.68 (元)答

177、:复利函数式为y (1 r),v ,5 期后的本利和为1117.68元评述：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学43、某乡镇现在人均一年占有粮食3 6 0 千克，如果该乡镇人口平均每年增长粮食总产量平均每年增长4 % ,那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食，求出函于 x 的解析式。分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学具体解答可以依照例子。解：设该乡镇现在人口量为M ,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M经过 1 年后该乡镇粮食总产量为360M (1+4% ),人口量为 M (1+1.2%)则人均占有粮食为铲瞪 ;经

178、过X年后人均占有粮食y备， .部即所求函数式为：评述：这是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N ,平均为P,则对于时间x的总产值y可以用下面的公式，即y （1 p ） x解决平均增长率的问题，常用这个函数式。4 4、购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款方法. 每期付款数相同，个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第12次付款后全部付清.如率为0 . 8 % ,每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付（精确到1元）？解: 设每期付款x元，根据题意，得到x 1 . 0 0 8 X 1 . 0 0 8 2 x 1 . 0 0 8 1 1 % 5

179、 0 0 0 I . O O 8 1 2 .所以 % 。1 . 0 0 8 1 . 0 0 8 2 1 . 0 0 8 ”） 5 0 0 0 1 . 0 0 8 1 2 .由等比数列前八项和的公式得1 1 . 0 0 8 1 21 1 . 0 0 85 0 0 0 1 . 0 0 8 1 25 0 0 0 1 . 0 0 8 1 2 0 . 0 0 81 . 0 0 8 1 2 1由计算器算得工%4 3 9 （元）.答：每期应付款约439元 .解法二：设每期付款九元，第期后欠款数记作或那么,第1期后的欠款数为a 5000(1 0.008) x第2期后的欠款数为。2 a (1 0.008) x

180、a 3 ai ( 1 1 . 0 0 8 ) x5 0 0 0 ( 1 . 0 0 8 ) 3 x ( l 1 . 0 0 8 I . O O 8 2 ) .第 1 2 期后的欠款数为a i 2 a n ( 1 1 . 0 0 8 ) x5 0 0 0 ( 1 . 0 0 8 ) 1 2 x ( l 1 . 0 0 8 1 . 0 0 8 2 I . O O 8 1 1 ) .因为第1 2 期全部付清，所以 a n= 0 即5 0 0 0 ( 1 . 0 0 8 )1 2x ( l 1 . 0 0 8 1 . 0 0 8 2 1 . 0 0 8 ” )0 ,1 I . O O 8 1 21

181、1 . 0 0 85 0 0 0 1 , 0 0 81 2,解得(元).答：每期应付款约4 3 9 元 .五、高考考前指导第一部分( 选择题)1 . 一直线与直二面角的两个面所成的角分别为a、B,则a + B的范围为：( A ) 0 a + p j i / 2( C ) 0 W a + B W n / 2 (D)0Va+BWn /22 .已知平面a与平面B相交，a是a内的一条直线，则： ( )( A)在B内必存在与a平行的直线 ( B )在B内必存在与直线(C)在 B内必不存在与a平行的直线 ( D ) 在B内不一定存在直的直线3 .从编号为1 , 2 , 3 , 4 ，9的这九个球中取4个球

182、，使它们编号之和为再把这4个球排成一排，不同的排法总数有： ( )( A ) 1 4 4 0 ( B ) 1 3 2 0 ( C ) 1 5 0 0 ( D ) 1 4 0 04 .下列条件中，能使sina +cosa 1成立的是： ( )( A) 0 a JI/2 ( B ) 0 a JI ( C ) JI/4 a it/2 ( D ) 0 a5 .已知曲线C的极坐标方程P =2 cos 2 ，给定两点P(0, 3T/2), Q (-2, n)6 .已知x y 2 + ( C ) X2 y 2 - (3 D E) x + ( 2 ) y + F = 0(yD 3 D 3 D E (x2

183、+)x + (D3 E)(A ) (-8,)y+F011. 停车场划出一排 12个停车位置，今有 8 辆车需要停放，要求空车位在一二 ,J V1 2 .函数y = f ( x )存在反函数Y = f( x ) ,把Y = f ( x )的图象在直角坐标平面点顺时针转动90后是另一个函数的图象，这个函数是( )( A ) y = f - i ( - x )( B ) y = f - i ( x )1 3 .三棱锥P - A B C中 ,( C ) y = - f - . ( x )14.15.16.17 .18.( A )函数( A )APC 90 ,C的平面角的余弦值为( B

184、 ) 33y s i n x c o s x 及 y s i n xAPB)COSXx轴对称 ( B ) y轴对称在等差数列 a ” 中,a7 tti o 17 ,则其中k( A ) 16集合为( A ) 1若 A、B、( A )( C )( A )4x6 0 , PB BC 4 ,( C ) 34的图象关于( C )直线对称2PC 3,ai4 7 7 ,l o g cos C (10g sinC ( D)6( D )( B ) 18( C ) 20( D) 223 0, B( B ) 33 0 ,且 AUB A ，则实数a( C ) 1, 3( D) 0, 1,为锐角三角形ABC的三个内角，

185、则下列不等式中恒成立的是s i n Ac o s f i疝Ac o s 5且a( B ) l o g cosC ( D) 10gsinC (c o s As i n Bs i n As i n 5则下列不等式中恒成立的是(ab be( B )be( C ) abac( D) a | h角8 P A称32x若 A x | X 2若aCb c)b00c 0 ,a 4 a 5。6若a)0)0)1 9 .将直线 /沿y轴的负方向平移a (a 0)个单位，再沿轴正方向平移a得直线r,此时直线广与i重合，则直线的斜率为( )(A) a (B) a (C) 3 ( D) a 1 a 1 a a( A )

186、( B )34( C )4( D)22 1 .已知lim 1n( A )a1（为常数），则a的取值范围是（( B ) a 1( C ) 1 ai l( D) a 0 a22.函数y /（ % ）在（ 0, 2）上为增函数，而函数y f（ x 2）是偶函数，则下列中成立的是（）52721722727252521234存在n对任意对任意存在n1xN ,n N展开式中有常数项；,展开式中没有常数项;n N ,展开式中没有x的一次项;N ,展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是（)（ A）与( B )与( C )与( D )与13)( A ) 15 条( B ) 12 条( C )

187、11 条( D) 9 条第二部分（填空题）1 .在某次考试中，要求学生做试卷中8个考题中的6个，并且要求至少包含中的3个，则考生答题的不同选法种数是种。2 . 若函数 /（ X）满足对任意的 XI 、X2 R , XI X2 , 有/（ X I ） /（/ （ XI %2） /（ XI ）/ （ X2）, 满足这些条件的函数/ （ %）可以是（只1 an（ A） A i） A） A）（B） /（） I）A）（ 0 / 0 AD A）（ D） / （） 1 /（）川）23 . 对于二项式（入 3 “ 四位同学作出了四种判断：OOOO24 . 幕函数y

188、X的血象上横坐标满足12期6且 Z的所有点可以确定几 994 . 已知数列缶的通项an (n N ), 则数列 a“ 的前30项中最大n 1U .J是。5 . 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，其方程是X2 2 y (0 1 y 1 2 0 ) , 在入一个球，要使球触及酒杯的底部，则球的半径r 的取值范围是6 . 给出下列命题：直线x 是函数y sin( 2 x )的图象的一条对称轴；8 43函数y sin( 2 x .的单调递增区间是依& ，攵 8函数y t g 1的最小正周期是；! sm x 若、为第一象限角，且，则t g t g o其中错误命题的序号是。7 . 已知关于x 的

189、实系数方程X2 l a x以 2 4a 4 0 的两个虚根为xi X2 ,| xi | | X21 3 ,则 a 的值为。8 . 已知长方体A8CD 4 8 Q D 中， AA AB 2 , 若棱A 8上存在一点PUP P C ,则棱 4 。的长的取值范围是。第三部分( 复数与三角)1. 已知函数f(x) A sin x B cos x ( 其中A、B、是实数，且 0 ) 的周13( 1 )、求函数/( X )的表达式;( 2 )、在闭区间上之产在 / ( % ) 的对称轴？如果存在，求出其对 ( Z Z ) ；期是2,且当x时，犬外取得最大值2 ；4sinBsin2（） c

190、os 2 B ；4 2()、若对任意的1ABC,有|/(8) m 2 , 求实数m的取值范围；( 2 ) 、设 zi a(cos A i sin A) , Z2 a(cos B i sin B) , Z3 a(cos C i sin|zi | | | 3 |z2| ,当 /( ? 名2 Z2第四部分( 数列)1 . 已知数列 “ 的前n项之和为Sn ,且满足an 2 Sn Sn ! 0( 2) , 0(1 )、求证：是等差数列；( 2 ) 、求a n的表达式；( 3 ) 、若 4 2(1 2 ) , 求证：bi 2 bi 2 bn 2 1 o2 . 已知等比数列 x . 的各项为不等于1 的

191、正数，数列匕的通项公式为321“ 2 t 1 2 k 1求出相应的N。，若不存在，请说明理由。第五部分( 立体几何)1 . 如图，桌上放有两个相同的正四面体P A B D和 Q CBD ；( 1 ) 、求证：PQ BD ；( 2 ) 、求二面角P BD Q的余弦值;-J B) 2时，求argi。一，匕否存在自然数 M使得nMI3寸，X“1恒成立?2 . 在平行四边形A B C 。中，AB AC CD a , ACD 9 0 ,将该平行四A B C D沿A C折成一个60的二面角；( 1) 、求 8 、。间的距离；( 2 ) 、求点D到直线A B的距离。)( 折之前 (

192、折之后)第六部分( 函数与不等式)1 .对于任意的x R ,均有X2 4 ax 2 a 3 0 0 ( a R ),求关于x的方程:| a 1 | 1的根的范围。a 32 .已知函数/Q ) 2 X 2 b x C S 0 ) 的值域为 1, 3 ；X2 1( 1) 、求实数b、c的值；( 2 ) 、判断函数F (x) l g /( x ) 在 1, 1 上的单调性，并给出证明；( 3 ) 、若 f R , 求证：lg( 2 )、问是否能够保证/ S 3 )和/( 尤2 3 )中至少有一个为正数？请证明第七部分( 解析几何)X2 yi两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P ( 1,

193、 0 ) .( 1)设AB的中点为C ( x o, y o) ,求x o的值；( 2 )若F是椭圆的右焦点，且| A F | + | B F | = 3 ,求椭圆的方程.2 .已知直线/是半径为3的圆C的一条切线，P是平面上的一动点，作P Q为Q，且| P 0 | 2 | P C | ；( 1)、试问P点的轨迹是什么样的曲线C ?求出该曲线的方程；( 2 )、过圆心作直线交P点的轨迹于A、B两点，若| A C | 求直方程。第八部分( 应用题)1 .( 南京市2 0 0 2年二模) 如图，建筑工地有一用细砂堆成的多面体，其上下面平行且都是矩形，上底面矩形的两边分别为6 米与 3 米，下底

194、面矩形的1 0 米，若此多面体的四个侧面与底面所成的二面角都相等，则其下底面的1 , 椭圆2 1( b 0)的离心率e ,A B是椭圆上关于x、y轴均不2 .（南京市2002年三模）已知每生产100克饼干的原料和加工费为1. 8元品厂对饼干采用两种包装，其装费及售价如右上图表示，则下列说法中：买小包装实惠；买大包装实惠；卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；卖1包大包装比卖3包盈利多所有正确的说法是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（）A. B. C. D. 3 .（南

195、京市2002年三模）有一块长方形的窗台，尺寸为1米义0 .2米，现有规格相同的白色壁砖和蓝色壁砖（规模为0 .2米* 0 .2米），用这些整块壁砖贴满窗隙忽略不计），可以贴成种不同图案。4 .（南京市2002年三模）如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱面为面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个儿何体，平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的 . （把能的图的序号都填上）。5 . （ 2002东城区一模）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具它们的速度分别为5 0千米/ 小时，100千米/ 小时，

196、500千米/ 小时, 每千米的运为a元、b元、c元，且b a d X2 (y r ) 2 y ( r 1 ) 2 2 r 1 ( 0 q y q 2 0 )，依题意 d 以坐标（ 0 , r ）的距离为最小，故有r H 0 ,即0附图：6 .。7 . a的值为号。由 |xi | |x2| 3 两边平方，得|% 八2 |川2 2 |xix2| 9 , 即9 1 74 2 28 .棱A D的长的取值范围是 0 , 1 o应用三垂线定理，只要底面矩形的AB边上存在一点P 使得DP PC即可，故以CD为直径的圆与AB有交点，12第三部分（复数与三角）21.解：（ 1 ）、 4 2 8 2 2B

197、 co s 23 31 62. 解： ( 1 ) 、经化简得/(8) 1 2sinB , 由对任意的A B C ,旬 /(8 ) m( 2 ) 、存在/(x)的对称轴x3z ( A C )z ( A C )3第四部分（数列）1 . 解：（ 1 ）、依题意，当 2时，an 2 Sn Sn0 ，即 Sn Sn 1 2SK2 ,则数列是等差数列，求得1 2 S .Sn( 1 )1 ( 2 )2 / 1 ( n 1 )( 3 )、bn 2 ( 1 n )an 1 ( 2 )n1 1 1bi 2 一、2 3 z m1 11 2 2 31( n l ) n2 .解：当l a j时,12 a 2

198、3 a 1 （ 0 , 1 ）设等比数列 X. 的公比为q （ q 0且k 11122 k 110，由于 2 a 2 3 a 1 (得： 0 X k , x t1 ， X k 2t Ix t2 k i 2 a 2 3 a 1 ,即呗 lj 武雄哨1 ( X k q t k)2t ,化得:X k 2( k t) q(t k)(2t 1 ) ,2 2 rl !2( 2 ) 、由 ( 1 ) anb n bnl 2由2 t 1l o g tt( 2 a 2 3 a 1 )2 t 1y No 时，X ”第五部分（立体几何）1 . 解：（ 1 ）、取BD的中点E ,先证明B D平面PEQ ,得

199、（ 2 ）、即求PEQ ,计算出M N PQ %恒成立。BD ；791 2_6 aO3 92 . 解（ 1 ）、求8、。间的距离为2 a ；（ 2 ）、点。到直线A 6的距离为7。2第六部分（函数与不等式）1 .解：依题意，对于任意的x R ,均有% 2 4 a x 2a 3 0 0 （方程化为贝I （ 4 a ） 2 4 （ 2 a 3 0 ） -） 0 原 1 ）（。3 ）R ),( |。1 |1( 3 ) 、应用体积法，VP QBD S PQE B D hB-cos PEQ ；c2.解： 94由于 X2 1 0恒成立，x R ,令 y2 % 2bx2(y 2 )x

200、2 bx y c Q ,则 bi 4 ( y 2 ) ( y c) ) 0 的解集是 1 , 3 ,故 1和 3是左 4 ( y 2 ) ( y c) 0的二根，应用韦达定理求得b 2( 2 ) 、由 ( 1 ) 知，f(x) 2 ,应用函数单调性的定义去判断F ( x ) l g / ( x ) 在 x 1 , 1 上单调减；应该注意到 i|r | | ?7;J I 6 31 I , , 1 1 一、; ; I 1 ; 印”:I)3 t 0 3 ) t I3 . 解： ( 1 ) 、依题意，有 ( a y )(a y z) 0 ,则 y Q 或 y 2 a ,则方程f ( x

201、 ) ax2 bx c a有实根，即方程ax2 bx a c 0 有bi 4 以 ( a c) 0 bi 4 a ( a c ) ,又/ a 3 c 0 且 a b c ,则 a 0、 c 0、 b ( a c则 bi 4ab b(b 4a) 0 b(3 a c) 0 ,由于 3 a c 0 ,贝 l j 。 0 ；( 2 ) 、依题意， / ( I ) 0 ,即为 I1是方程ax 2 bx c, 且0 的一个根，则另)0。则% 的范围是x , 18不妨设，则有x)aa(x ，1 _)(X明， c n . 1 ”则应用 2 )的组论， ( . )即：a(x 1)(xi - ) a 0

202、, xi 1, . xi 3 Jh / ( ) ，BP： 1gx 3 3 2 3 1 ,A而函数/ ( x ) 在 ( 1 , 刀上为增函数， / 3 3 ) / ( I ) 0 ,同理，若丁2 a 9则有/ ( % 2 3 ) 0 , 命题得证。第七部分( 解析几何)2 . 解： ( 1 ) 、建系如图，令P( x, y ) ,依题意，有| x 3 | 2 % 2 y 2 ,化简得:（ x yi4 31 , ： . P点的轨迹是椭圆。( 2 ) 、设圆心C 的直线方程为： y kx,y kx消去y得:（ 3 4 攵2 ）%2 6 x 9 0 ,设 & x i , y i ）、 8 （尤 2

203、 , y 2 ） ,由 | A C | 2 | BC 得 xi 2x2 ,6JI 225 i4 22则直线A B的方程为： yXo第八部分（应用题）3a 1 ) 2 4 y 212由韦达定理知:XI X21X223那，把x2x代入得X2消去X 2 ,得A 2 , k6 米2 . D o 3 . 3 2 种。4 . 。5 . 略。6 . 解： ( 1 ) 依题意，第二年该商品年销量为( 1 1 . 8 - p ) ,年销售收入为70(1 p%则商场该年对该商品征收的总管理费为7 0 . p )p % (万元).1 P%故所求函数为：y ，一(118 10p)p4 分由1 L 8 p0及

204、P 100 p得定义域为0 P5 由 y 14, 得 7 8 Op)p 14. 化简，得100 pP2 12 P 2 0 0, 即(p 2 )(p 10)i 0, 解得故当比率在 2 % , 10%内时，商场收取的管理费将不少于1 4 万元.(3 )第二年，当商场收取的管理费不少于1 4 万元时，厂家的销售收70-(11 .81 P%p)(2 i P110)70g(p) v- (11-8 P) 700(101 p%. , . g (P )m a x = g (2 ) = 700 (万元)管理费又不少于1 4 万元._8 8 2 - ) 为减函数，p 100故当比率为2 % 时，厂家销售金额最

205、大，且商六、高考试题评析用导数探求函数图象的交点教学设计教学环节教学内容与教学设计设计说明引入般说来, 运用导数可解决五个方面的问题：1与切线有关的问题；2函数的单调性和单调区间问题；3函数的极值和最值问题；4不等式证明问题；1 .通过问题的提出，切入本节课养学生的学生的热情与兴趣。2 .从以上试卷我们可以发现导数两个方面： - 是研究对象的多元化单函数转向研究两个函数或多个究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第1 9 题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第1 9 题研究函数的交点问题。如何运用导数来考查两个函数的交点呢？的分布等的综合研究，实际上就是考查函数图象的交点个数问题。探索研究例

206、1： ( 福建理科第 2 1 题) 已知函数 /(% )= -2x + 8 x , g (x ) =6ln x+m( 1 ) 略；(11)是否存在实数m,使得方外力的图象与产g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。引申 1：如果 (I I )中 “ 有且只有三个不同的交点”变为 “ 有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？引申 2 ：如果 (I I )中 “ 有且只有三个不同的交点”变为“ 有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？1 . 学生在老师的指导下解决问题中充分注重数形结合的思想方法的2 . 高考复习有别于新知识的教学

207、生基本掌握了中学数学知识体系、定的解题经验的基础上的复课数学学生基本认识了各种数学基本方法法及数学思想的基础上的复课数学在于深化学生对基础知识的理解，的知识结构，在综合性强的练习中成基本技能，优化思维品质，使学多变中充分运用数学思想方法，提力。高考复习是学生发展数学思想握数学方法理想的难得的教学过程规律总结用导数探求函数的交点问题的步骤是：构造函数( x ) f(x) g ( x ) ；求导V)；研究函数( X )的单调性和极值( 必要时要研究函数图象端点的极限情况) ；画出函数( X )的草图，观察与X轴的交点情况，列出条件；求解。1 . 由归纳总结解题的基本步化

208、学生的认识体脸，积累认识成解决问题的基本策略.2 . 总结中深化数形结合的思的几乎全部的知识中，处处以的直观表象及深刻精确的数量方面给人以启迪，为问题的解捷明快的途径。它的运用，往柳暗花明又一村般的数形和合的境地。例2 ( 2 0 0 6年四川卷第2 1题 ) 已知函数/ ( x ) =x +3 ax1 .加强实践，让知识掌握得一 i , g ( x ) = 7 % )ax 5 ,其中 , 厂( x )是的/ ( x )高学生用所学知识分析和解决的能力。的导函数。2 .高考试题重在考查对知识(I )略；2( I I )设。 m ,当实数m在什么范围内变化时，函数y =f ( x

209、 )的图像与直线y = 3只有一个公共性、深刻性，重在考查知识的运用。它着眼于知识点新颖巧点。试题新而不偏，活而不过难；练习数学思想方法、数学能力的考巩固例3 ( 2 0 0 6年福建文科卷第2 1题 ) 已知/ ( X )是二次函数，不等式f(x) 0的解集是( 0 , 5 ) ,且试题这种积极导向，决定了我中必须以数学思想指导知识、用，整体把握各部分知识的内只有加强数学思想方法的教学/ ( X )在区间 1,4上的最大值是1 2。( I )求/ ( X )的解析式；3 7(ID是否存在实数m,使得方程f(x) 0X在区间(i n , m 1)内有且只有两个不等的实

210、数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。生的思维，全面提高数学能力高学生解题水平和应试能力。1. 用导数来探讨函数产f ( x )的图象与函数y = g ( x )的图课堂小结是指导学生归纳总课堂象的交点问题；过程。通过总结，指导学生掌2 .解题中运用的数学思想方法：构造函数法，数形结识的方法，明确所学知识的重小结合的思想方法.的应用及其解决的类型问题，思想方法，培养学生学习的能试卷讲评说明题目设计说明1 . 复数z M值为()i 11 1 1 1A. g +A B. -0+i )c.( 尸， )D. 一夕- / )3 92 . 在等比数列中 , 3 = S y

211、，即首项4 1 = ( )3 3 3 3A.之B . C . 6或工 D . 6/3. 已知角。的正切线是单位长度的有向线段，那么角a的终边在( )A . x轴上 B . y轴上 C .直线y = x上D .直线y = x或y= - x上5. 在正方体 ABCD-ABCD 中,E、F、M 分别为 AA ,CD,BC 的中点，那么直线B iE与FM所成角的余弦值D C为( )AM11BA . O B . l C . 2 D . D i ；2 2C l6. 若A8过椭圆x V1中心的弦，尸为2 5 1 6 A I B I椭圆的焦点，则 F 1 A B面积的最大值为 (

212、 )A . 6 B . 1 2 C . 2 4 D . 4 8l l . ( l + x ) t l - x )展开式中X项的系数是3 X 11 2 . h m =x 1 X 1一、易题精讲有些试题是为学生熟练定义、则等设计的，其目的是强化双基训题涉及的知识点相对较少，难度显但这种题往往是综合题的“ 垫脚石向作用. 一些大题都是由一些基础成的，综合题其实是基础题的综合些基础题不可忽视，须正确对待，中对此类题有两大误区：误区一，一带而过；误区二，事无巨细，喋纠缠不清.为防止以上误区，正确找出解题的突破口，点拔疏通；反映出的数学思想方法。简而言之们的讲解时，须 “ 精讲”，将学生个知识点上即可.X

213、 14. 已知全集 U = R , A = 3 0 ,则 C u A = ( )XA . x |- l x 0 B . x- l x 0 C . x |- l x 0 D . x |- l xW O 1 3. 如果直线/过定点且与抛物线y =2 x看且仅有一个公共点，那么直线1的方程为_ _ _ _ _ _ _二、陈题新讲在讲评过程中，部分例题在经解之后，往往被放置一边，久而久了学生轻视旧题. 一味求全猎奇，题海的现象。实际上，好的例题犹著，可以一讲再讲，细细揣摩，尤阶段的教学中，将其变化延伸，拓维，于旧题中挖掘出新意，找出易给学生的印象也深刻的多.8. 将4个相同的小球投入3个

214、不同的盒内，不同的投入方式共有三、小题大讲的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _通过做一题达到会一类，甚至知一这样的例题在复习中何乐而不取呢1 4 . 正四棱锥S A 8 C 。内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为_ _ _ _ _1 0. 函数 y = |c o s 2 x |+ |c o s x 1 的值域为（）i 2 2 _ 9 3A J - 2 1 CJ,即 2（巩固求最值的方法）四、多题一讲有些例题，图形的结构、问题决的方法有类似之处，甚至有些题一题设条件，只是求证的结论的表同而已，因此进行多题一讲是很有它可以使学生感觉到很多题目可以一核心知识来解决，只要将

215、题目的延挖掘彻底，进而灵活运用就可以可促使学生的数学复习更有信心，大量的复习资料弄得无所适从.l . A B C中，。为 AC边的中点, E 为A B上一点,B C、C F交于一点F ,且B F 2FD ,若，B E ! ! B A ,则实数入的值为（）3 12 1A- 4 2 0 33题8五、一题多讲有些试题，如果从不同的角度会得到不同的解题方法，也就是说度去想就会有多种解法。这样做可更开阔，也能从中找到最佳的解题于小题，有小题的解法，如果作为有大题的解法题8六、一题多变有些试题，题设条件中虽然不的方法、解决的途径却是相通的。进行适当变换，让学生在变中寻求对学生思维的开拓发散必有益处，张复习阶段的学生从“ 题海”中解是一个很好的策略。如果我们教师复习、备课中注意这方面的研究，短时间内提高成绩、培养能力定能用.x 4 y 3 - 1 09 . 如果实数x 、y满足 3 % + 5y 25 1 0 , 目标函数Z = k x + y的最X 1大值为 1 2 , 最小值 3 , 那么实数k的值为（）1七、深题浅讲有些例题，题型新颖、综合，学生往往对此一筹莫展。因此，例应根据题目特点，找准突破口，巧度。将大题化小，深题化浅，让学朗。

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《数学解题思维与思想》

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