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1、教育资源 教育资源 专题:基本不等式及其应用 知识要点 1基本不等式: (1)基本不等式成立的条件:_. (2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号 2常用的几个重要的不等式 (1)a2b2_ (a, bR, 等号取得的条件是 ) (2)baab_(a, b 同号, 等号取得的条件是 ) (3)ab (ab2)2(a, bR, 等号取得的条件是 ) (4)(ab2)2 a2b22(a, bR, 等号取得的条件是 ) 3算术平均数与几何平均数 设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为_,几何平均数为_,基本不等式可叙述为:_. 4利用基本不等式求最值问题 已知 x0,y0,则: (1)如果积 x
2、y 是定值 p,那么当且仅当_时,xy 有最_值是_(简记:积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p,那么当且仅当_时,xy 有最_值是_(简记:和定积最大) 题型讲练 【例 1】判断下面结论是否正确 (1)函数 yx1x的最小值是 2.( ) (2)ab(ab2)2成立的条件是 ab0.( ) (3)函数 f(x)cos x4cos x,x(0,2)的最小值等于 4.( ) (4)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要条件( ) (5)若 a0,则 a31a2的最小值为 2 a.( ) (6)a2b2c2abbcca(a,b,cR)( ) 变式训练 1: 1若 a,bR 且 ab0,则
3、下列不等式中,恒成立的是( ) Aab2 ab B.1a1b2ab C.baab2 Da2b22ab 【例 2】解决下列各题: (1)已知 x0,y0,且1x9y1,求 xy 的最小值; (2)已知 x0,b0,ab2,则1a4b的最小值是 2已知 x,y 满足 x2y3,则 2x4y的最小值是 3函数 f(x)x1x2(x2)在 x 时取最 值为 4若 x,y(0,) 且 2x8yxy0,求 xy 的最小值 【例 3】证明:如果,0a b ,则lglglg22abab 变式训练 3: 1已知 a0,b0,ab1,求证:(11a)(11b)9. 【例 4】求函数 yx1x3x1的最大值 变式训
4、练 4: 1已知 f(x)32x(k1)3x2,当 xR 时,f(x)恒为正值,求 k的取值范围 【例 5】经观测,某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系 y920vv23v1 600(v0)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大?最大车流量为多少? 变式训练 5: 1某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;方案乙:每次都提价pq2%,若pq0,则提价多的方案是_ 课后练习 1已知 f(x)x1x2(x0),则 f(x)有 ( ) 教育资源 教育资源 A最大值为 0 B最小值为 0
5、C最大值为4 D最小值为4 2若 a0,b0,且 ln(ab)0,则1a1b的最小值是( ) A14 B1 C4 D8 3下列函数中,最小值为 4 的函数是( ) Ayx4x Bysin x4sin x(0x1)的最小值是( ) A2 32 B2 32 C2 3 D2 6已知 x0,y0,且2x1y1,若 x2ym22m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( ) A( ,24,) B( ,42,) C(2,4) D(4,2) 7 若正数 x, y满足 x3y5xy, 则 3x4y的最小值是_ 8若 2x2y1,则 xy 的取值范围是_ 9当 x1 时,不等式 x1x1a 恒成立,则实数 a 的
6、最大值为_ 10 某公司一年需购买某种货物200 吨, 平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2 万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则每次购买该种货物的吨数是_ 11已知 x0,y0,且 2x8yxy0,求 (1)xy 的最小值; (2)xy 的最小值 12已知 x0,y0,且 2x5y20. (1)求 ulg xlg y 的最大值; (2)求1x1y的最小值 13已知函数 f(x)x2ax11x1(aR),若对于任意 xN*,f(x)3 恒成立,求 a 的取值范围 14已知 x0,y0,且 4xyx2y4,求 xy 的取值范围 15 某加工厂需定期购买原材料, 已知每千克原材料的价格为1.5 元,每次购买原材料需支付运费 600 元,每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元, 该厂每天需要消耗原材料 400 千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400 千克不需要保管) (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1关于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小,并求出这个最小值 16已知,abc 求证:114.abbcac