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1、11.2 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率2010年12月13日教学目标教学目标1、理解倾斜角与斜率的概念、理解倾斜角与斜率的概念;2、理解倾斜角、斜率、直线方向向量（或、理解倾斜角、斜率、直线方向向量（或 法向量）之间的关系，并能相互转化。法向量）之间的关系，并能相互转化。 （即：已知倾斜角、斜率、方向向量中的（即：已知倾斜角、斜率、方向向量中的 一个，求其它两个。）一个，求其它两个。） 观察过定点的直线运动过程观察过定点的直线运动过程: : 平平- -陡陡- -平平(0,1)知识点知识点1:将将x轴逆时针旋转到与直线轴逆时针旋转到与直线l重合重合时所成的时所成的最小的正角最小的正角 叫
2、做叫做直线直线l的倾斜角的倾斜角;x l当直线当直线l与与x轴平行或重合时轴平行或重合时,规定其倾斜角规定其倾斜角 =0.于是于是,直线的倾斜角直线的倾斜角 0, )直线的倾斜角概念直线的倾斜角概念练习练习1.直线直线l1, l2, l3的图形如图的图形如图,指出它指出它们的倾斜角们的倾斜角 1, 2, 3的大小顺序的大小顺序.l1l2l3 3 2 1倾斜角理解倾斜角理解1.1.图形认识图形认识: :练习练习2.在直角坐标平面内分别画出过点在直角坐标平面内分别画出过点(0,-1)的直线的直线,使它们的倾斜角分别是使它们的倾斜角分别是: (1) 45o ; (2)120o ; (3) 0 ; (
3、4) . 245o120o =0倾斜角理解倾斜角理解1.1.图形认识图形认识: :知识点知识点2: 当当 时时,即即 0, ) ( , ), 把把 的正切值的正切值k=tan 叫做叫做直线直线l的斜的斜率率; 2 2 2 2当当 = 时时,角角 的正切值不存在的正切值不存在,于是于是,称称直直线线l的斜率不存在的斜率不存在(趋向无穷大趋向无穷大)归纳归纳:直线直线l的斜率的斜率:k=tan , 当当 0, ) ( , )时时, 2 2 2不存在不存在 , 当当 = 时时.直线的斜率概念直线的斜率概念练习练习3.已知直线已知直线l的倾斜角分别为的倾斜角分别为: (1) 45o ; (2)120o
4、 ; (3) 0 ; (4) 求相应直线求相应直线l的斜率的斜率k. 2练习练习4.已知直线已知直线l的的斜率斜率分别为分别为: (1) 1 ; (2) -1 ; (3) - 3; (4) 2 求相应直线求相应直线l的的倾斜角倾斜角 .斜率的理解斜率的理解直线的倾斜角与它的斜率之间关系直线的倾斜角与它的斜率之间关系: :已知直线的倾斜角已知直线的倾斜角 ,求它的斜率求它的斜率k:k=tan , 当当 0, ) ( , ) 时时, 2 2 2不存在不存在 , 当当 = 时时.已知直线的斜率已知直线的斜率k,求它的倾斜角求它的倾斜角 : =arctank , 当当 k 0 时时, -arctan|
5、k| , 当当 k 0 时时, 练练5.下列命题中正确的是下列命题中正确的是_ (1)若若两两直直线线的的倾倾斜斜角角相相等等，则则它它们们的的斜斜率率也一定相等；也一定相等； (2)若若两两直直线线的的斜斜率率相相等等，则则它它们们的的倾倾斜斜角角也一定相等；也一定相等； (3)若若两两直直线线的的倾倾斜斜角角不不相相等等，则则它它们们中中倾倾斜角大的，斜率也大；斜角大的，斜率也大； (4)若两直线的斜率不相等，则它们中斜率若两直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，倾斜角也大大的，倾斜角也大. 直线的倾斜角、斜率与方向向量之间关系直线的倾斜角、斜率与方向向量之间关系: :x 1. 已知直线已知
6、直线 l 的方向向量的方向向量 d = (u,v), 则则uv当当 u 0 时时, = tan = kvu当当u=0时时, 无意义无意义,斜率斜率k不存在不存在, = vu 22.已知直线已知直线l的倾斜角的倾斜角 ,则则 斜率斜率 k=tan , 直线直线 l 的方向向量的方向向量 d = (cos ,sin )3.已知直线已知直线l的斜率的斜率k,则则 =arctank或或 = - arctan|k|,直线直线 l 的方向向量的方向向量 d = (1,k) d =(u,v) 倾斜角倾斜角 斜率斜率k方向向量方向向量d=(u,v)k=tan d=(cos ,sin )tan = uvk= u
7、vd=(1,k)练练6 书本书本p11 1例例1.已知直线已知直线l经过两点经过两点A,B.分别求它的斜分别求它的斜率率k与倾斜角与倾斜角 的大小的大小. (1) A(1,2) B(3,4) (2) A(0,3) B(2, 2 ) (3) A(-2,-2) B(2,2) (4) A(1, 3) B (2, 2 3 )例例3.已知已知M(2m+3,m),N(m-2,1).当当m取何值取何值时时,直线直线MN的倾斜角为锐角的倾斜角为锐角,直角直角,钝角钝角？ 例例2.已知已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1).判断直线判断直线AB,BC,CA的倾斜角为锐角还是钝角？的倾斜角为锐角还是钝角
8、？ 坐标法求直线斜率坐标法求直线斜率: :已知直线已知直线 l 经过两点经过两点A(x1,y1)与与B(x2,y2), y2-y1当当x2 x1时时,斜率斜率k= ;x2-x1当当x2=x1时时,斜率斜率k不存在不存在 .作业作业 册册p4 1 2 p6 1 2 书本书本p13 1 3小结小结:概念概念:直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率倾斜角倾斜角 斜率斜率k方向向量方向向量d=(u,v)k=tan d=(cos ,sin )tan = uvk= uvd=(1,k)1.已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为,且且cos,则直线则直线l的斜的斜率率k= .2.经过点经过点A(-2,0),B(
9、5,3)两点的直线的斜率是两点的直线的斜率是_,倾斜角是倾斜角是_ .3.下列命题中正确的是下列命题中正确的是_若两直线的倾斜角相等若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也则它们的斜率也一定相等；一定相等；若两直线的斜率相等若两直线的斜率相等,则它们的倾斜角也则它们的倾斜角也一定相等；一定相等；若两直线的倾斜角不相等若两直线的倾斜角不相等,则它们中倾斜则它们中倾斜角大的角大的,斜率也大；斜率也大；若两直线的斜率不相等若两直线的斜率不相等,则它们中斜率大的则它们中斜率大的,倾斜角也大倾斜角也大. 4.过过A(1-a,1+a),B(3,2a)的直线的倾斜角为钝的直线的倾斜角为钝角，则实数角，则实数a的
10、取值范围是的取值范围是_.5.直线直线x+ycos-8=0( R)的倾斜角的取值范的倾斜角的取值范围是围是_.6.过过P(-1, - 3 )的直线的直线l与与y的正半轴没有公共的正半轴没有公共点，求直线点，求直线l的倾斜角的范围的倾斜角的范围.7.直线直线l:x-2y+2=0的倾斜角大小为的倾斜角大小为，l与与y轴轴交于点交于点P，将，将l绕点绕点P逆时针旋转角逆时针旋转角得直线得直线l1，求，求l1的方程的方程. 直线方程的其它形式直线方程的其它形式例例1. 求经过两点求经过两点A(x1,y1)与与B(x2,y2)的的直线直线l的方程的方程 解解. AB=(x2- x1, y2-y1),由直
11、线的点方向由直线的点方向式方程得式方程得:x- x1y2-y1y-y1x2- x1=又又AB的斜率的斜率k=x2-x1y2-y1AB的方程又可写成的方程又可写成: y-y1= k(x- x1)点斜式直线方程点斜式直线方程y-y1= k(x- x1)用用点斜式方法点斜式方法,求直线方程求直线方程:练习练习1 书本书本P11 3 例例2.已知已知A(-2,0),B(5,3).分别求直线分别求直线AB. (1) 斜率斜率; (2)倾斜角倾斜角;(3)点斜式方程点斜式方程.练习练习2.已知直线过点已知直线过点(3,1),它的倾它的倾斜角为斜角为 ,且且cos = ,求直线方程求直线方程. 35直线方程
12、的一般形式直线方程的一般形式: : ax+by+c=0 (a,b不全为零不全为零)例例3.下列方程是否是直线的一般形式下列方程是否是直线的一般形式:(1)2x-3y=2; (2)2y-x-1=0; (3)x=2(4) ;(5) (6)x+1-(y-1)=0x+1y+3-23=x-5y-1221+ =0练练3. 把直线方程把直线方程2x+3y-6=0化为点方向式化为点方向式方程、点法向式方程方程、点法向式方程.它的点方向式方程它的点方向式方程和点法向式式方程是否唯一？和点法向式式方程是否唯一？直线方程形式相互转化直线方程形式相互转化直线方程直线方程方向向量方向向量法向量法向量斜率斜率ka(x-x
13、0)+b(y-y0)=0y-y0=k(x-x0)ax+by+c=0x-x0y-y0uv=(u,v)(v,-u)(b,-a)(1,k)(b,-a)(a,b)(k,-1)(a,b)vu-abk-ab直线方程的系数-几何性质例例4.根据下列条件根据下列条件,求直线方程求直线方程:(1)过点过点(-3,4)且平行于直线且平行于直线:3x-4y+29=0利用系数特征求直线方程形式练练4.过点过点(1,2)且平行于直线且平行于直线:2x+3y-6=0(2).过点过点(-3,4)且垂直于直线且垂直于直线:3x-4y+29=0练练5.过点过点(1,2)且垂直于直线且垂直于直线: 2x+3y-6=0(3).求直
14、线求直线:3x-4y+9=0绕其与绕其与x轴交点逆时针轴交点逆时针旋转旋转90o后得到的直线后得到的直线l的方程的方程.作业作业 习题册习题册p5 10 11 12 p6 3 5直线倾斜角与斜率的应用直线倾斜角与斜率的应用例例1. 已知已知M(2m+3,m)，N(m-2,1)当当m取何值时，取何值时，直线的倾斜角直线的倾斜角 分别为锐角、直角、钝角？分别为锐角、直角、钝角？ 例例2.求直线求直线y=sin .x+1的倾斜角的倾斜角 的范围的范围 例例3.已知已知M(-1,-5),N(3,-2),若直线若直线l的倾斜角是直的倾斜角是直线线MN的倾斜角的一半的倾斜角的一半,求直线求直线l的斜率的斜率. 例例4.已知已知P(3.-1),M(5,1),N(2, 3 -1)，直线，直线l过点过点P且与线段且与线段MN相交，求：相交，求： (1) 直线直线l的斜率的斜率k的取值范围；的取值范围； (2) 直线直线l的倾斜角的倾斜角 的范围的范围.练习练习.将下列各方程化成直线的一般形式将下列各方程化成直线的一般形式:(1) (2) a(x-x0) +b (y-y0) =0x-x0y-y0uv=(3)y-y0=k(x-x0) (4)y=kx+b
