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1、误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆1误差理论与平差基础误差椭圆7.1 7.1 点位误差点位误差7.2 7.2 误差曲线与误差椭圆误差曲线与误差椭圆7.3 7.3 相对误差椭圆相对误差椭圆本章教学内容2误差理论与平差基础误差椭圆p本章学习的目的和要求本章学习的目的和要求了解点位误差概念；了解点位误差概念；掌握任意方向位差、位差极值和极值方向的计算；掌握任意方向位差、位差极值和极值方向的计算；掌握误差椭圆三要素计算公式掌握误差椭圆三要素计算公式; ;熟悉误差曲线与误差椭圆的关系，并掌握误差椭圆的应用。熟悉误差曲线
2、与误差椭圆的关系，并掌握误差椭圆的应用。了解相对误差椭圆概念。了解相对误差椭圆概念。p重点和难点重点和难点误差曲线与误差椭圆的联系与区别误差曲线与误差椭圆的联系与区别；误差椭圆、相对误差椭圆三要素计算误差椭圆、相对误差椭圆三要素计算。第第7 7章章 误差椭圆误差椭圆3误差理论与平差基础误差椭圆7.1 7.1 点位误差点位误差在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度；度；待定点的点位精度通常用点位中误差简称待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差点位误差”的的大小来评定；大小来评定；p以下介绍点位误差的计算方法。以下介绍点位误差
3、的计算方法。4误差理论与平差基础误差椭圆7.1.1 7.1.1 点位误差的概念点位误差的概念待定点的估值位置偏离其真实位置的距离待定点的估值位置偏离其真实位置的距离 P P，简称为，简称为“真位差真位差”。OXYA AP P（真）（真）P P（估）（估）Y YX XP P显然有：显然有：5误差理论与平差基础误差椭圆点位误差的定义点位误差的定义: : 测量上把测量上把 定义为定义为“点位方差点位方差”，并把，并把 叫做点位中误叫做点位中误差，简称差，简称“点位误差点位误差” 。6误差理论与平差基础误差椭圆点位中误差的计算方法点位中误差的计算方法p回顾条件平差、间接平差的计算纵、横坐标方差过程。回
4、顾条件平差、间接平差的计算纵、横坐标方差过程。1 1）按纵、横坐标方差来求：）按纵、横坐标方差来求：7误差理论与平差基础误差椭圆A AP PPPP PS Su uXY显然，有：显然，有：由中误差的定义可得：由中误差的定义可得：P P2 2）按纵向、横向上的位差来求）按纵向、横向上的位差来求8误差理论与平差基础误差椭圆u关于纵向、横向误差：关于纵向、横向误差：P U U为纵向误差、为纵向误差、S S为横向误差。为横向误差。P P为点位真误差。为点位真误差。各是由什么影响而来的？各是由什么影响而来的？点位精度与测角、测边精度的关系怎样？点位精度与测角、测边精度的关系怎样？ABS SP1 P2P2P
5、 Pu uS9误差理论与平差基础误差椭圆P PP PPPU US SP P10误差理论与平差基础误差椭圆不难看出：不难看出：由方差定义，可得：由方差定义，可得：3 3）按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求）按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求11误差理论与平差基础误差椭圆v由上讨论可的如下结论由上讨论可的如下结论点位方差大小不受坐标系的影响；点位方差大小不受坐标系的影响；不同的坐标系，其位差分量大小是不同的；不同的坐标系，其位差分量大小是不同的；点位位差可由任意两个互相垂直的方向上的坐标方差来求得。点位位差可由任意两个互相垂直的方向上的坐标方差来求得。故，点位误差计算公式为：故，点位误差计算公
6、式为：12误差理论与平差基础误差椭圆7.1.2 7.1.2 任意方向任意方向的位差的位差说明：说明：1 1）任意方向）任意方向指的是方位角为指的是方位角为的方向！的方向！2 2）为求）为求P P点在任一方向上的位差，需先找点在任一方向上的位差，需先找P P在在方向上的方向上的真误差真误差与与X X、Y Y的函数关系；的函数关系；3 3）真误差）真误差就是就是P P在在方向上的投影值。方向上的投影值。4 4）根据投影再求该方向的位差。）根据投影再求该方向的位差。13误差理论与平差基础误差椭圆P PP PY YX XP PX XY YO OPPPP 方位角方位角= = 方位角方位角= = 由下图可
7、得：由下图可得：14误差理论与平差基础误差椭圆则，任意方向位差公式：则，任意方向位差公式：因为因为：按协因数传播律有：按协因数传播律有：15误差理论与平差基础误差椭圆7.1.3 7.1.3 位差的极值和极值方向位差的极值和极值方向p从上公式可看出：从上公式可看出：任意方向位差的大小与方向任意方向位差的大小与方向有关。有关。上式是一个用上式是一个用X X、Y Y方向上的位差表示的任意方向上的位差。方向上的位差表示的任意方向上的位差。x x、y y方向分别是方向分别是等于等于0 0度、度、9090度等时的特殊形式。度等时的特殊形式。16误差理论与平差基础误差椭圆若使位差达到极值，则应使：若使位差达
8、到极值，则应使：设设0 0为位差的极值方向，则有：为位差的极值方向，则有：17误差理论与平差基础误差椭圆也可按下式求也可按下式求P P点位差的极大、极小值：点位差的极大、极小值：则极大、极小值为：则极大、极小值为：p解上式得到两个根，其中一个为极大方向解上式得到两个根，其中一个为极大方向 E E，另一个为极小方向，另一个为极小方向 F F；用；用这两个根分别带到任意方向位差的公式就会得到极大值这两个根分别带到任意方向位差的公式就会得到极大值E E和极小值和极小值F F！18误差理论与平差基础误差椭圆极大、极小方向的计算公式：极大、极小方向的计算公式：19误差理论与平差基础误差椭圆7.1.4 7
9、.1.4 以以E E、F F表示任意方向表示任意方向上的位差上的位差p说明：说明：任意方向任意方向指以指以E E轴为起算的方向！（与轴为起算的方向！（与不同。）不同。）E EF FPPP PE EF F PPPP 由上图，可得：由上图，可得：20误差理论与平差基础误差椭圆以以E E、F F表示的任意方向上的位差公式：表示的任意方向上的位差公式：即：即：由协因数传播律得：由协因数传播律得：21误差理论与平差基础误差椭圆p由公式由公式 可以看出：可以看出：以不同的以不同的和和为极坐标的点的轨迹为一闭合曲线；为极坐标的点的轨迹为一闭合曲线；这一曲线上的点至中心的连线就是连线方向的位差。这一曲线上的点
10、至中心的连线就是连线方向的位差。故，将这条曲线称为故，将这条曲线称为“误差曲线误差曲线”，见下图。，见下图。7.2 7.2 误差曲线与误差椭圆误差曲线与误差椭圆22误差理论与平差基础误差椭圆1 1）直观：把各方向的位差清楚地图解出来了；）直观：把各方向的位差清楚地图解出来了；2 2）任意方向）任意方向上的上的向径向径0P0P就是该方向的位差就是该方向的位差。3 3）图形是关于）图形是关于E E轴和轴和F F轴对称的。轴对称的。1 1、误差曲线定义、误差曲线定义7.2.1 7.2.1 误差曲线误差曲线23误差理论与平差基础误差椭圆2 2、误差曲线图的用途、误差曲线图的用途A AB Bv图解点位点
11、位中误差、任意方向上的位差等。图解点位点位中误差、任意方向上的位差等。24误差理论与平差基础误差椭圆7.2.2 7.2.2 误差椭圆误差椭圆p误差曲线缺点：误差曲线缺点：它不是一种典型曲线，它不是一种典型曲线，故作图不方便故作图不方便! !降低了实用价值。降低了实用价值。p又：又：它形状与以它形状与以E E、F F为长短半轴的椭圆很相似，故常用该椭为长短半轴的椭圆很相似，故常用该椭圆来近似代替误差曲线。圆来近似代替误差曲线。p误差曲线优点：误差曲线优点：能直观地反映点位在任意方向上的位差；能直观地反映点位在任意方向上的位差；能根据图找出点位在各个方向上的位差。能根据图找出点位在各个方向上的位差
12、。25误差理论与平差基础误差椭圆误差椭圆与误差曲线的关系如下图；误差椭圆与误差曲线的关系如下图；任意方向的点位误差：任意方向的点位误差： 。 P P为切点，为切点，D D为垂点。为垂点。（椭圆与曲线关系）（椭圆与曲线关系）（任意方向位差）（任意方向位差）26误差理论与平差基础误差椭圆F FO1 1）误差椭圆作图的方法）误差椭圆作图的方法 P P（X X ，Y Y ）PPPX=EcosY=Fsinv可见，可见，P P点的轨迹就是误差椭圆！点的轨迹就是误差椭圆！v思考：思考：向径向径OPOP是不是是不是OPOP方向的位差？方向的位差？27误差理论与平差基础误差椭圆2 2）按误差椭圆来求任意方向的位
13、差）按误差椭圆来求任意方向的位差其方法是：其方法是：自椭圆作方向的正交切线CD，C为切点，D为垂点，则=OD。（注意：OP）FO CDP28误差理论与平差基础误差椭圆3 3）证明上图：）证明上图： =OD=ODODCOD=OC+CD=xcosOD=OC+CD=xcos+ysin+ysinOD=EcosOD=Ecoscoscos+Fsin+Fsinsinsin( (p p是椭圆上的一点是椭圆上的一点）P(x,y)P(x,y) p p YX29误差理论与平差基础误差椭圆OD=Ecoscos+Fsinsin两边平方，得：两边平方，得：因为：故：故：OD=OD= 即：即：30误差理论与平差基础误差椭圆
14、v总结：总结：1 1）误差曲线是误差椭圆的垂足曲线；）误差曲线是误差椭圆的垂足曲线；2 2）即：先作）即：先作方向线，在垂直于该方向上作椭圆的切线，则方向线，在垂直于该方向上作椭圆的切线，则垂足与原点的连线长度就是垂足与原点的连线长度就是方向上的位差方向上的位差。3 3）在实践中，常以误差椭圆来表示待定点的点位误差、若在）在实践中，常以误差椭圆来表示待定点的点位误差、若在控制网上控制网上按一定按一定比例尺比例尺绘出待定点的误差椭圆，则可全面绘出待定点的误差椭圆，则可全面地、清楚地反映出该网所有待定点的点位误差分布状况。地、清楚地反映出该网所有待定点的点位误差分布状况。31误差理论与平差基础误差
15、椭圆7.3 7.3 相对误差椭圆相对误差椭圆误差椭圆描述的是误差椭圆描述的是该点该点与与已知点已知点的精度关系；的精度关系；而而待定点待定点与与待定点待定点之间的精度关系则需用相对误差椭圆描述。之间的精度关系则需用相对误差椭圆描述。v思考：思考：平面控制网中，两待定点间的相对位置是通过哪些量平面控制网中，两待定点间的相对位置是通过哪些量表示的？表示的？32误差理论与平差基础误差椭圆两点的坐标差：两点的坐标差：坐标差的协因数：坐标差的协因数：代入误差椭圆的公式，则求得相对误差椭圆的三个参数：代入误差椭圆的公式，则求得相对误差椭圆的三个参数：33误差理论与平差基础误差椭圆根据椭圆三个参数，即可绘制
16、相对误差椭圆。根据椭圆三个参数，即可绘制相对误差椭圆。值得注意的是：值得注意的是： 误差椭圆是以误差椭圆是以待定点为极待定点为极来绘制的；而相对误差椭圆则是来绘制的；而相对误差椭圆则是以两个待定点连线的以两个待定点连线的中点中点为极来绘制的！为极来绘制的！34误差理论与平差基础误差椭圆例：某控制网误差椭圆图。例：某控制网误差椭圆图。35误差理论与平差基础误差椭圆例：、点误差椭圆以及两点相对误差椭圆图。例：、点误差椭圆以及两点相对误差椭圆图。36误差理论与平差基础误差椭圆1 1、点位误差概念、点位误差以及任意方向位差的计算公式；、点位误差概念、点位误差以及任意方向位差的计算公式；2 2、误差椭圆以及相对误差椭圆的计算；、误差椭圆以及相对误差椭圆的计算；3 3、误差曲线与误差椭圆关系；、误差曲线与误差椭圆关系；4 4、误差椭圆的用途。、误差椭圆的用途。本章内容小节37误差理论与平差基础误差椭圆中南大学信息物理工程学院中南大学信息物理工程学院谢谢！谢谢！38误差理论与平差基础误差椭圆
