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1、第二章第二章矩矩阵及其运算及其运算11 矩矩阵一、矩一、矩阵概念的引入概念的引入二、矩二、矩阵的定的定义三、特殊的矩三、特殊的矩阵四、矩四、矩阵与与线性性变换2其中其中 表示有表示有航班航班始始发地地ABCD目的地目的地 A B C D例例某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之城市之间开辟了若干航开辟了若干航线，四座城市，四座城市之之间的航班的航班图如如图所示，箭所示，箭头从始从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市城市间的航班的航班图情况常用表格来表示情况常用表格来表示:一、矩一、矩阵概念的引入概念的引入3为了便于了便于计算，把表中的算，把表中的改成改成1，空白地方填上
2、，空白地方填上0，就得到一个数表：就得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之个数表反映了四个城市之间交通交通联接的情况接的情况.4其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第送第 j 种种货物的数量物的数量 例例某工厂生某工厂生产四种四种货物，它向三家商店物，它向三家商店发送的送的货物数量可物数量可用数表表示用数表表示为：这四种四种货物的物的单价及价及单件重量也可列成数表：件重量也可列成数表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种种货物的物的单价，价，bi 2 表示第表示第 i 种种货物的物的单件重量件重量 一一二二三三1 12 23 34 45 由
3、由 mn 个数个数排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表称称为 m 行行 n 列矩列矩阵，简称称 mn 矩矩阵(matrix)这个个数表数表是是一个整体一个整体，用，用括号将数表括起来，括号将数表括起来，记作作 二、矩二、矩阵的定的定义6简记为元素是元素是实数的矩数的矩阵称称为实矩矩阵，元素是复数的矩元素是复数的矩阵称称为复矩复矩阵.这 mn 个数称个数称为矩矩阵 A 的的元素元素，简称称为元元.其中数其中数称称为矩矩阵的第的第行第行第列的元素列的元素.7n行数不一定等于列数行数不一定等于列数n共有共有mn个元素个元素n本本质上就是一个数表上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共
4、有n2个元素个元素n本本质上就是一个数上就是一个数矩矩阵行列式行列式82 矩矩阵的运算的运算9例例某工厂生某工厂生产四种四种货物，它在上半年和下半年向三家商店物，它在上半年和下半年向三家商店发送送货物的数量可用数表表示：物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向求：工厂在一年内向各商店各商店发送送货物的数量物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店商店发送第送第 j 种种货物的数量物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店商店发送第送第 j 种种货物的数量物的数量10解：解：工厂在一年内向工厂在一年内向各商店各商店发送送货物的数
5、量物的数量11一、矩一、矩阵的加法的加法定定义：设有两个有两个 mn 矩矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩那么矩阵 A 与与 B 的和的和记作作 AB，规定定为说明：明：只有当两个矩只有当两个矩阵是同型矩是同型矩阵时，才能，才能进行加法运算行加法运算.12知知识点比点比较13交交换换律律结结合合律律其其他他矩矩阵加法的运算加法的运算规则设 A、B、C 是同型矩是同型矩阵设矩矩阵 A = (aij) ，记 ，称，称为矩矩阵 A 的的负矩矩阵显然然14例如例如1516设工厂向某家商店工厂向某家商店发送四种送四种货物各物各 l l 件，件，试求：工厂向求：工厂向该商商店店发送第送
6、第 j 种种货物的物的总值及及总重量重量例（例（续）该厂所生厂所生产的的货物的物的单价及价及单件重量可列成数表：件重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种种货物的物的单价价，bi 2 表示第表示第 i 种种货物的物的单件重量件重量 17解：解：工厂向工厂向该商店商店发送第送第 j 种种货物的物的总值及及总重量重量其中其中bi 1 表示第表示第 i 种种货物的物的单价价，bi 2 表示第表示第 i 种种货物的物的单件重量件重量 18二、数与矩二、数与矩阵的乘法的乘法(矩矩阵的数乘的数乘)定定义：数数 l l 与矩与矩阵 A 的乘的乘积记作作 l l A 或或 A l l ，规定定为
7、一个数乘以矩一个数乘以矩阵就是用就是用该数乘以矩数乘以矩阵的所有的元素的所有的元素19例如例如20结结合合律律分分配配律律备备注注数乘矩数乘矩阵的运算的运算规则设 A、B是同型矩是同型矩阵，l l , m m 是数是数矩矩阵相加与数乘矩相加与数乘矩阵合起来，合起来，统称称为矩矩阵的的线性运算性运算.21例例设求求解解22知知识点比点比较23例（例（续）某工厂生某工厂生产四种四种货物，它向三家商店物，它向三家商店发送的送的货物物数量可用数表表示数量可用数表表示为：空调空调冰箱冰箱29彩电彩电 25彩电彩电甲商店甲商店30205020乙商店乙商店07100丙商店丙商店5040505024这四种四种
8、货物的物的单价及价及单件重量也可列成数表：件重量也可列成数表： 售价售价重量重量空调空调3040冰箱冰箱163029彩电彩电223025彩电彩电1820试求求：工厂向三家商店所：工厂向三家商店所发货物的物的总售价及售价及总重量分重量分别是多少？是多少？25甲商店甲商店乙商店乙商店丙商店丙商店售价售价重量重量26三、矩三、矩阵的乘法的乘法定定义：设，那么，那么规定矩定矩阵 A 与矩与矩阵 B 的乘的乘积是一个是一个 mn 矩矩阵，其中，其中并把此乘并把此乘积记作作 C = AB 说明：明： 的的 元元 就是就是 的第的第 行元素与行元素与 的的 第第 列元素列元素对应乘乘积之和之和.27例：例：
9、设则28特特别注意注意: 乘乘积不可交不可交换 可乘的前提是可乘的前提是 的的列列数数等于等于 的的行行数，否数，否则不可乘不可乘.没有意没有意义.只有当第一个矩只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩的列数等于第二个矩阵的的行数行数时，两个矩，两个矩阵才能相乘才能相乘.292） 和和 均有意均有意义，但，但AB为 1阶矩矩阵 为3阶矩矩阵，不相等；，不相等； 乘乘积一般一般不可以交不可以交换，1） AB为 矩矩阵，但，但 BA 无意无意义；例如例如若若则称称矩矩阵 乘乘积可交可交换.30例例矩矩阵 却有却有 AB=0 ，从而不能由，从而不能由 AB=0 得出得出 或或 的的结论.矩矩阵乘法不乘法不
10、满足交足交换律，所以矩律，所以矩阵相乘相乘时必必须注意注意顺序序31矩矩阵乘法的运算乘法的运算规律律(1) 乘法乘法结合律合律 (3) 乘法乘法对加法的分配律加法的分配律(2) 数乘和乘法的数乘和乘法的结合律合律（其（其中中 l l 是数）是数）(4)左左分配律分配律右分配律右分配律32定定义 若若 A 是是 n 阶方方阵，定定义性性质四、矩四、矩阵的的幂特特别注意注意 若若A与与B可交可交换(即即AB=BA),则以上以上不等式不等式将将变成成等式等式.33五、矩五、矩阵的的转置置定定义：把矩把矩阵 A 的行的行换成同序数的列得到的新矩成同序数的列得到的新矩阵，叫做，叫做的的转置矩置矩阵(Tr
11、anspose)，记作作AT .例例34转置矩置矩阵的运算性的运算性质35例：例：已知已知解法解法136解法解法2373 几种特殊的矩几种特殊的矩阵38同型矩同型矩阵与矩与矩阵相等的概念相等的概念1. 两个矩两个矩阵的行数相等、列数相等的行数相等、列数相等时，称，称为同型矩同型矩阵.例如例如为同型矩同型矩阵.2. 两个矩两个矩阵 与与 为同型矩同型矩阵，并且，并且对应元元素相等，即素相等，即则称矩称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作作 A = B .39注意：不同型的零矩注意：不同型的零矩阵是不相等的是不相等的.例如例如 401.行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩的矩阵，称，称为 n
12、阶方方阵可可记作作 .2.只有一行的矩只有一行的矩阵 称称为行矩行矩阵(或或行向量行向量) . 只有一列的矩只有一列的矩阵 称称为列矩列矩阵(或或列向量列向量) .3.元素全是零的矩元素全是零的矩阵称称为零距零距阵可可记作作 O .例如：例如： 一、特殊一、特殊的矩的矩阵414.形如形如 的方的方阵称称为对角角阵 特特别的，方的，方阵 称称为单位位阵记作作记作作 对于于单位矩位矩阵，有，有425. 数量矩数量矩阵(纯量矩量矩阵)：不在：不在对角角线上的元素上的元素都是都是0， 对角角线上的元素相同，上的元素相同，这种矩种矩阵称称为数量数量矩矩阵， 又又称称纯量矩量矩阵，用用 表示表示， 即即4
13、36. 如果如果n阶矩矩阵 中的元素中的元素满足条件，足条件，则称称A为n阶上三角形矩上三角形矩阵，即，即 如果如果n阶矩矩阵 中的元素中的元素满足条件，足条件，则称称B为n阶上三角形矩上三角形矩阵，即，即447. 设 A 为 n 阶方方阵，如果，如果满足足 ，即，即那么那么 A 称称为对称矩称矩阵.如果如果满足足 A = AT，那么，那么 A 称称为反反对称矩称矩阵. 对称矩称矩阵 反反对称矩称矩阵 45两个两个对称矩称矩阵的乘的乘积也是也是对称矩称矩阵吗？两个两个对称矩称矩阵的乘的乘积不一定不一定还是是对称矩称矩阵结论：A和和B是两个是两个对称矩称矩阵，AB是是对称的称的当且当且仅当当A与
14、与B可交可交换(即即AB = BA)。46二、方二、方阵的行列式的行列式定定义：由由 n 阶方方阵的元素所构成的行列式，叫做的元素所构成的行列式，叫做方方阵 A 的的行列式行列式(determinant)，记作作|A|或或detA.设则48运算性运算性质转置后，行列式不置后，行列式不变。行列式的基本性行列式的基本性质(2)设A是是n阶矩矩阵，则49(2)设A是是n阶矩矩阵，则注意：注意：50(3)设A和和B是同是同阶方方阵，则证明：略明：略51小小结v矩矩阵的的线性运算是矩性运算是矩阵的加法及矩的加法及矩阵的数乘；的数乘；v矩矩阵的乘法是比的乘法是比较难理解的一种运算，它与数的理解的一种运算，它与数的 乘法乘法比比较如下：如下：实数实数矩阵矩阵结合律结合律分配律分配律幺元素幺元素交换律交换律不成立不成立消去律消去律不成立不成立52作业：P74-76 2. 4.(2)(4)(6) 7.(2)(4)(6) 14.(1) 53
