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1、2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法2021/3/101讲解：讲解：XX演绎推理是证明数学结论、建立数学体演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程系的重要思维过程. .数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现, ,主要靠合主要靠合情推理情推理. .复习推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）2021/3/102讲解：讲解：XX例例: :已知已知a0
2、,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+a+a2 2 2ac,b02ac,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :2021/3/103讲解：讲解：XX利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等利用已知条件和某些数学定
3、义、公理、定理等, ,经经过一系列的推理论证过一系列的推理论证, ,最后推导出所要证明的结论最后推导出所要证明的结论成立成立, ,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法（综合法（顺推证法顺推证法）用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: :特点:“由因导果”2021/3/104讲解：讲解：XX符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言学会语言转换学会语言转换找出隐含条件找出隐含条件例例1 1：在：在中，三个内角、对应中，三个内角、对应的边分别为的边分别
4、为a a、b b、c c，且、成等差数，且、成等差数列，列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边为等边三角形三角形2021/3/102021/3/105讲解：讲解：XXXX分析法2021/3/102021/3/106讲解：讲解：XXXX回顾基本不等式：回顾基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立证明证明: :要证要证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;因为因为; ; 成立成立所以所以 成立成立2021/3/107讲解：讲解：XX 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻
5、求推证一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做法叫做分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点. .得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论2021/3/108讲解：讲解：XX解解:要证要证只需证只需证展开展开,只需证只需证只需证只需证 212
6、5因为因为 2125成立成立,所以所以 成立成立.2021/3/102021/3/109讲解：讲解：XXXX证证:2021/3/102021/3/1010讲解：讲解：XXXX2021/3/102021/3/1011讲解：讲解：XXXX用用P表示已知条件表示已知条件,定义定义,定理定理,公理等公理等,用用Q表表示要证的结论示要证的结论,则上述过程可用框图表示为则上述过程可用框图表示为:P892021/3/102021/3/1012讲解：讲解：XXXX小结小结 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，用的数学方
7、法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法则用综合法，否则用分析法. . 2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性注意语言的规范性和逻辑性. .2021/3/102021/3/1013讲解：讲解：XXXX 3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点结论的连结点. .2021/3/102021/3/1014讲解：讲解：XXXX感谢您的阅读收藏，谢谢！2021/3/1015
