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1、第第4 章章 电力系统的数学模型电力系统的数学模型4.1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵4.2 网络方程的解法网络方程的解法4.3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵8/21/20241内容提要内容提要v掌握根据网络的结构和参数，求出节点导纳矩阵。v应用高斯消去法简化网络，求解网络方程。v应用支路追加法计算阻抗矩阵各元素8/21/202424.1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵 电力系统的数学模型主要包括电力网络的模型、发电机的模型以及负荷的模型。整个电力系统的稳态可以用一组代数方程组来描述。电力网络的运行状态一般用节点方程来描述。节点方程以母线电压作为待求量，母线电压能唯一地确定网络的运行状态。图4-1(a) 简
2、单电力系统T12348/21/20243一、节点方程一、节点方程v在图4-1(a)中，略去变压器的励磁功率和线路电容，负荷用阻抗表示，可得到一个有5个节点（包括零电位点）和7条支路的等值网络，如图4-1(b)。1234图4-1（b）T12348/21/20244v将接于节点1和4的电势源和阻抗的串联组合变换成等值的电流源和导纳的并联组合，便得到图4-1(c)的等值网络。12341234图4-1(c)8/21/20245 其中 和 ，分别称为节点1和4的注入电流源。 以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫电流定律，写出4个独立节点的电流平衡方程如下：图4-1(c)上述方程组经过整理可以
3、写成：（4-2）12348/21/20246一般对于有n个独立节点的网络，可以列写n个独立节点方程或（4-3）记成 YV =IYV =I8/21/20247 矩阵Y称为节点导纳矩阵。它的对角线元素Yii称为节点i的自导纳，其值等于接于节点i的所有支路导纳之和。非对角线元素Yij称为节点i、j间的互导纳，它等于直接联接于节点i、j间的支路导纳的负值。 若节点i、j间不存在直接支路，则有Yij0。由此可知节点导纳矩阵是一个稀疏的对称矩阵。YV =IYV =I8/21/20248如果令代入（4-3）的各式，可得：二、节点导纳矩阵元素的物理意义二、节点导纳矩阵元素的物理意义（4-6）当ki时，网络中除
4、节点i以外所有节点都接地，从节点i注入网络的电流同施加于节点i的电压之比，即等于节点i的自导纳Yii。换句话说，自导纳Yii是节点i以外的所有节点都接地时，节点i对地的总导纳。显然，Yii应等于与节点i相接的各支路导纳之和，即：说明：式中，yi0为节点i与零电位节点之间的支路导纳；yij为节点i与节点j之间的支路导纳。8/21/20249当ki时，网络中除节点k以外所有节点都接地，从节点i流入网络的电流同施加于节点k的电压之比，即等于节点k、i之间的互导纳Yik。在这种情况下，节点i的电流实际上是自网络流出并进入地中的电流，所以Yik应等于节点k、i之间的支路导纳的负值，即8/21/20241
5、0（3）不难理解Yki=Yik 。若节点i和k没有支路直接相联时，便有Yki=Yik=08/21/202411节点导纳矩阵的主要特点是：导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观地求得。nn阶对称复数方阵导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。如果在程序设计中设法排除零元素的贮存和运算，就可以大大地节省贮存单元和提高计算速度。 8/21/202412讨论网络中含有非基准变比的变压器时导纳矩阵元讨论网络中含有非基准变比的变压器时导纳矩阵元素的计算。素的计算。v设节点p、q间接有变压支路，如图4-3所示。根据型等值电路，可以写出节点p、q的自导纳和节
6、点间的互导纳分别为：pq 1:kpq图图4-3 变压器支路的等值电路变压器支路的等值电路8/21/202413 例例4-14-1 某电力系统的等值网络示于图4-2。已知各元件参数的标幺值如下：z12=j0.105，k2l=1.05，z45=j0.184，k45=0.96，z24=0.03+j0.08，z23=0.024+j0.065，z34=0.018+j0.05，y240=y420=j0.02，y230=j0.016，y320=j0.016 ，y340=y430=j0.013。试求节点导纳矩阵。123458/21/20241412345解解 ：根据上述变压器型等值电路的导纳矩阵元素的计算公式
7、。所以，导纳矩阵元素为：8/21/202415将以上计算结果排列成导纳矩阵为：将以上计算结果排列成导纳矩阵为：8/21/202416三、节点导纳矩阵的修改v网络接线改变时，节点导纳矩阵也要作相应的修改。假定在接线改变前导纳矩阵元素为 ，接线改变以后应修改为 。现在就几种典型的接线变化，说明修改增量的计算方法。 （1）从网络的原有节点i引出一条导纳为yij的支路，同时增加一个节点k，见图4-4(a)。 由于节点数加1，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角线元素Ykk = yik。新增的非对角线元素中，只有Yik = Yki =-yik，其余的元素都为零。矩阵的原有部分，只有节点i的自导纳应增加Yi
8、i=yik。ikyik图4-4（a）8/21/202417（2）在网络的原有节点i、j之间增加一条导纳为yij的支路见图4-4(b)。由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不变。因而只要对与节点i、j有关的元素分别增添以下的修改增量即可，其余的元素都不必修改。即ikyik图4-4（a）jiyij图4-4（b）8/21/202418（3）在网络的原有节点i、j之间切除一条导纳为yij的支路。这种情况可以当作是在i、j节点间增加一条导纳为-yij的支路来处理，因此，导纳矩阵中有关元素的修正增量为： 其他的网络变更情况，可以仿照上述方法进行处理，或者直接根据导纳矩阵元素的物理意义，导出相应的修改
9、公式。jiyij图4-4（b）8/21/202419例4-2 在例4-1的电力系统中，将接于节点4、5之间的变压器的变比由k45 = 0.96，调整为k45 =0.98，试修改节点导纳矩阵。123458/21/202420pq 1:kpq图图4-3 变压器支路的等值电路变压器支路的等值电路解：将节点p、q之间的变压器的变比由k调整为k，相当于先切除变比为k的变压器再接入变比为k的变压器，所以与节点p、q有关的导纳矩阵元素的修正增量为：8/21/202421将上述关系式用于节点4和5，可得：因此，在修改后的节点导纳矩阵中 Y44 =10.4853一j34.5283+j0.2382 = 10.48
10、35j34.2901 Y45 = Y54 =j5.6612j0.1155 = j5.5457其余的元素都保持原值不变。8/21/202422四、支路间存在互感时的节点导纳矩阵v如图4-5(a)所示，两条支路分别接于节点p、q之间和节点r、s之间，支路的自阻抗分别为z zpqpq和z zrsrs，支路间的互感阻抗为z zm m，并以小黑点表示互感的同名端。v考虑支路之间的互感时如何求出节点导纳矩阵？P q rs 图45（a）8/21/202423 常用的方法是采用一种消去互感的等值电路来代替原来的互感线路组，然后就按等值电路来计算节点导纳矩阵的元素。因为这两条支路的电压方程可用矩阵表示如下：pr
11、qs图45（b）或写成（4-9）（4-10）上式中的导纳矩阵是阻抗矩阵的逆，其元素为：8/21/202424将式（4-10）展开，并作适当改写，可得：（4-11） 根据方程式（4-11）可作出消互感等值电路如图4-5（b）所示。 在实际的电力系统中，互感线路常有一端接于同一条母线。若pq支路和rs支路的节点p和r接于同一条母线，则在消互感等值电路中，将节点p和r接在一起即可，所得的三端点等值电路。8/21/2024254.2 网络方程的解法一、用高斯消去法求解网络方程 前面已知一个电力系统的稳态可以用一组代数方程组来描述。如用节点方程来描述。高斯消去法是直接求解线性方程组的有效方法，所以在电力
12、系统分析中，网络方程常采用高斯消去法求解。高斯消去法分为按列消元按行回代的算法和按行消元并进行规格化的算法二种（见附录II ）。 对于导纳型的节点方程，高斯消去法还具有十分明确的物理意义。消去法实际上就是带有节点电流移置的星网变换（见附录）。8/21/202426附录附录II 高斯消去法高斯消去法8/21/2024278/21/2024288/21/202429k次消元后次消元后8/21/202430n1次消元后次消元后8/21/202431附录附录III 星网变换星网变换变换前后，节点电压分布不变。变换前后，节点电压分布不变。自网络外部流向该节点电流不变自网络外部流向该节点电流不变8/21/
13、202432多支路星形多支路星形网形网形 逆变换不成立逆变换不成立网络的等值变换网络的等值变换 无源网络的无源网络的星网变换星网变换n参考p254附录38/21/2024338/21/202434现在我们用按列消元的算法求解方程组（43），完成第一次消元后可得：（4-12）说明说明：通过消元运算对原方程组中第2n个方程式的系数和右端项所作的修正，恰好反映了带电流移置的星网变换的结果。 根据导纳矩阵元素的定义：可见，节电i i的电流增量恰等于从节点1 1的电流中移置过来的部分见附录公式-7。式中式中8/21/202435系数矩阵非对角线元素的修正增量：正好等于星网变换后在节点i、j新增导纳的负值
14、见公式-1。对角线元素的修正增量：恰好就是星网变换后，新接入节点i i的支路导纳（取正值）和被拆去的支路导纳（取负值）的代数和。8/21/202436v因此，式（4-12）中的第2 n式恰好是消去节点1后网络的节点方程，对方程式（4-12）再作一次消元，其系数矩阵便演变为： （4-12）8/21/202437一般地，作了k k次消元后所得系数矩阵为Y Y(k(k) )。式中，右下角的n-k阶子块是作完消去节点1，2，k的星网变换后所的网络的节点导纳矩阵。8/21/202438 对于n阶的网络方程，作完n1次消元后方程组的系数矩阵将变为上三角矩阵，即：（413）根据附录的公式（7），矩阵Y Y
15、(n-1)(n-1)的元素表达式为： （414）（i=1,2,n； j =i,i+1, ,n）8/21/202439v说明：当ij时，Yij 表示网络在原始状态下节点i和节点j之间的互导纳，它等于联接节点i、j的支路导纳的负值；而在符号下的第k项则代表通过第k次消元（即消去k号节点的星网变换），在节点i、j间出现的新支路的导纳。当i j时，Yii 是网络在原始状态下节点i的自导纳，它等于与节点i联接的各支路导纳值之和；而在符号下的第k项，则表示通过第k次消元从节 点i拆去支路的导纳同节点i新接人支路的导纳之差。v星网变换将网络化简并求解的过程，就是用高斯消去法求解网络方程的过程。（i=1,2,
16、n；j =i,i+1, ,n）8/21/202440例43 用星网变换求解图47(a)所示的网络。解：第1步，将节点1的电流 分散移置到节点2、3和4，使这些节点的电流变为：1234y12y13y14y24y40（a）1234y12y13y14y24y40（b）式中，8/21/2024411234y12y13y14y24y40（a）1234y12y13y14y24y40（b） 将支路y12、y13和y14组成的星型电路图（b）变换成接于节点2、3和4的三角形电路，然后将三角形电路中节点2、4间的一条同原有的支路y24合并，便得到图47(c)所示的网络，其中：234y(1)23y40（c）y(1
17、)34y(1)24 经过这步变换，节点1被消去，网络的独立节点数减为3个。8/21/202442第2步，将节点2的电流分散移置到节点3和4，使这两个节点的电流变为：然后将 和 串联之后再同 并联得： 经过变换，节点2被消去，网络的独立节点数减为2个，便得到图4-7(e)所示的网络。8/21/202443 然后将支路 舍去，便得到只含有一条支路和一个独立节点的最简网络，如图47(f)所示。 根据已知的电流 即可算出节点电压 ，往回利用网络变换，由 和 即可算出电压 ，由 、 和 即可算出节点电压 ，最后由原始网络和已知的 、 、 和 便可算出节点1的电压 。第3步，将节点3的电流分散移置到节点4
18、，使节点4的电流变为：234y(1)23y40（d）y(1)34y(1)2434y40（e）y(2)344y40（f）8/21/202444二、用高斯消取法简化网络 高斯消取法不仅用于求解网络方程，也是简化网络的有效方法。利用高斯消取法简化网络，既可以逐个地消去节点，也可以一次消去若干个节点。 设有n个节点的网络，拟消去其中的1,2,m号节点，保留m+1，m+2，n号节点。 原网络的方程如下：8/21/202445或按虚线所作的分块缩写成：从（4-15）的第一式解出：将其带入第二式，经整理得：便得:8/21/202446v这就是消去m个节点后的网络方程，其中VB为保留节点电压列向量。由于消去了
19、部分节点，网络保留部分的接线发生了变化，同时被消去节点的电流也必须移置到保留节点上来，因此，对导纳矩阵的保留部分以及保留节点的电流都必须作相应的修改。v在电力系统中联络节点或浮游节点的注入电流为零。如果负荷用恒定阻抗表示，则负荷节点也属于之一类节点。消去这类节点时，不存在移置节点电流的问题，只需对节点导纳矩阵作缩减和修改即可。8/21/202447解：根据给定条件可以求出原网络的节点导纳矩阵如下：例4-4 对图4-8（a）所示的网络，是求消去节点1、2、3后的节点矩阵。各支导纳的标幺值已注图中。-j0.667123456-j0.91-j5.33-j5.33-j1.05-j1.0 图 （a）8/
20、21/202448（一）采用逐个消去节点的算法（1）消去节点1，删去Y中与节点1对应的行和 列，并按下式修改保留部分的元素。第5 行（列）和第6行（列）的元素都保持原值不变。消去节点1后网络的节点导纳矩阵如下：与这个矩阵对应的网络示于图4-8（b）。8/21/202449（2）消去节点2，删去Y（1）中与节点2对应的行和列，并按下式修改保留部分的元素。23456-j0.702-j0.088-j5.845-j1.05-j1.0 图 （b）8/21/2024503456-j0.776-j0.0132-j0.878-j1.0 图 （c）这个导纳矩阵对应的网络示于图4-8（c）。其余的元素不便，缩减并
21、修改后的导纳矩阵如下：8/21/202451（3）消去节点3，删去Y（2）中与节点3对应的行和列，并按下式修改保留部分的元素。修改保留部分的元素，最终得到消去节点1、2、3后网络的节点导纳矩阵如下：456-j0.292-j0269-j0.331 图 （d）对应的网络示于图4-8（d）8/21/202452（二）三个节点一次消去 对原有的节点导纳矩阵按虚线分块后可写成： 式中 8/21/202453先算出的逆矩阵：然后根据公式（4-16）即可求得：8/21/2024544.3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵一、节点阻抗矩阵元素的物理意义v节点方程也常写成阻抗形式，即：ZI = V式中，Z=Y-1是n阶
22、方阵，称为网络的节点阻抗矩阵。方程可展开写成： ( j =1，2， ，n ，jk )代入（4-20）的各式，可得：（4-21） 现在讨论自阻抗和互阻抗的物理意义。如果令：8/21/202455说明：自阻抗Zkk等于当在节点k单独注入电流，而所有其他节点的注入电流都 等于零时，在节点k产生的电压同注入电流之比；因此，Zkk可以当作是从节点走向整个网络看进去的对地总阻抗。互阻抗Zik等于在节点i产生的电压同节点k的注 入电流之比。因为连通的电力网络的各部分之间存在着电的或磁的联系，所以单独在节点k注入电流，总会在任一节点i出现电压，因此，阻抗矩阵没有零元素，是一个对称复数满矩阵。由于节点阻抗矩阵元
23、素的计算是相当复杂的，不可能从网络的接线图和支路参数直观求出。 因此目前常用的求取阻抗矩阵的方法主要有两种：一种是以上述物理概念为基础的支路追加法；另一种是从节点导纳矩阵求取逆阵。 8/21/202456二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵v支路追加法是根据系统的接线图，从某一个与地相连的支路开始，逐步增加支路，扩大阻抗矩阵的阶次，最后形成整个系统的节点阻抗矩阵。v注意：第一条支路必须是接地支路，以后每次追加的支路必须至少有一个端点 同已出现的节点相接。新增支路引出一个新节点的情况称为追加树支；在已有的两个节点间增加新支路的情况称为追加连支。追加树支时节点数增加一个，阻抗矩阵便相应地扩大一阶。追加
24、连支时网络的节点数不变，阻抗矩阵阶次不变。在支路追加过程中，阻抗矩阵元素的计算和修正始终是以自阻抗和互阻抗的定义作依据的。假定用支路追加法已形成有p个节点的网络以及相应的p阶节点阻抗矩阵。下面分别按不同的情况，推到支路追加过程中阻抗矩阵元素的计算公式。8/21/2024578/21/2024581 1追加树枝追加树枝从已有的节点i i 接上一条阻抗为z ziqiq的支路，引出新节点q q（见图4-10）。这使网络的节点阻抗矩阵扩大一阶，由原来的p p 阶变为p p+1=q q 阶。设新的阻抗矩阵为：现在讨论阻抗矩阵中各元素的计算。阻抗矩阵中对应于网络原有部分的全部元素（即矩阵中虚线左上方部分）
25、将保持原有数值不变。iqziq图4-10 追加树枝或8/21/202459故有故有（m=1，2，p） 另一方面，当节点q单独注入电流时，从网络原有部分看来，都与从节点i注入一样，所以有这时节点q的电压为：由此可得： （m=1，2，p） 矩阵中新增加的第q行和第q列元素可以这样求得。网络中任一节点m单独注入电流时，因支路z ziqiq中没有电流，节点q和节点i的电压应相等，即8/21/202460v结论：结论：当增加一条树支时，阻抗矩阵的原有部分保持不变，新增的一行（列）各非对角线元素分别与引出该树支的原有节点的对应行（列）各元素相同。而新增的对角元素则等于该树支的阻抗与引出该树支的原有节点的自
26、阻抗之和。 如果节点i是参考点（接地点），则称新增支路为接地树支。由于恒有 ，根据自阻抗和互阻抗的定义得：8/21/2024612.追加连支 在已有的节点k和m节点之间追加一条阻抗为zkm的连支。由于不增加新节点，故阻抗矩阵的阶次不变。如果原有各节点的注入电流保持不变，那么连支zkm的接入将改变网络中的电压分布状况。因此，我们从计算接入连枝后的网络电压分布入手。对原有矩阵的各元素都要作相应的修改。 如果保持各节点注入电流不变，连支zkm的接入对原有部分的影响在于，k和m的注入电流分别从 和 改变为 和 。这时网络中任意节点i 的电压可以利用原阻抗矩阵元素写出：m图图411 追加连支追加连支k8
27、/21/202462现在设法用节点注入电流来表示 ，从而消去上式中的 ，便可求的新的阻抗矩阵元素的计算公式。方程式（4-25）对任何节点都成立，将它用于节点k和m节点便得：而阻抗为z zkmkm的连支的电压方程为：将 和 的表达式代入上式，可解出8/21/202463将 代入式（4-25），经过整理便得：于是有：（4-26）其中， 为连支接入前的原有值。8/21/202464l如果连支所接的节点中，有一个是零电位点，例如m为接地点，则称这支连支为接地连支，设其阻抗为z zk0k0。l上述计算公式将变为：l如果在节点k、m之间接入阻抗为零的连支，这就相当于把节点k、m合并为一个节点。根据公式（4
28、-26）可以证明 ，同样也有 。说明，如将节点k、m短接，经过修改后，第k行（列）和第m行（列）的对应元素完全相同。只要将原来这两个节点的注入电流合并到其中一个节点，另一个节点即可取消并删去阻抗矩阵中对应的行和列，使矩阵降低一阶。 8/21/2024653追加变压器支路 在追加变压器支路时，也可以区分为追加树支和连支两种情况。变压器一般用一个等值阻抗通一个理想变压器相串联的支路来表示。 假定在已有p个节点的网络中的节点k接一变压器树支，并引出新节点q见图4-12（a）。这时阻抗矩阵将扩大一阶。与上述增加树枝情况类似，因为新接支路没有电流，它的接入不会改变网络原有部分的电压分布状况，因此，阻抗矩
29、阵原有部分的元素将保持不变。kqzkq1：K图4-12 （a） 追加变压器树支8/21/202466 新增一行（列）的元素可以这样求得。当网络中任一节点i 单独注入电流 ，而所有其它节点的注入电流都为零时，都有：因而或另一方面，当节点q单独注入电流 时，从网络原有部分看来，相当于从节点k单独注入电流 ,故有：这时，节点q电压将为： 在网络的已有节点k、m之间追加变压器连支时，阻抗矩阵的阶次不变，但要修改它的全部元素。矩阵元素计算公式的推导可以分两步进行。见图4-12（b）由此可得：8/21/202467zkq图4-12 （b）追加变压器连支kq1：Km 第一步是从节点k追加变压器树支，引出新节
30、点q，将阻抗矩阵扩大一阶，并按照公式（4-28）、（4-29）和（4-30）计算新增加第q行和第q列的元素。 第二步在节点q和节点m之间追加阻抗为零的连支，应用公式（4-26）修改第一步所的矩阵中除第q行和第q列以外的元素，并将第q行和第q列舍去。按照上述步骤推导出追加变压器连支后阻抗矩阵的元素计算公式如下：（4-31） 8/21/202468三、用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆三、用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆v因为导纳矩阵很容易形成，且节点导纳矩阵同节点阻抗矩阵互为逆矩阵。因此，在电力系统计算中常采用对导纳矩阵求逆的方法来得到阻抗矩阵。 式中，Y Y 为导纳矩阵，Z Zj j 是由阻抗矩
31、阵的第j j列元素组成的列向量，e ej j 是第j j个元素为l l，其余所有元素为零的单位列向量。方程组（4-33）具有明确的物理意义：若把e ej j 当作节点注入电流的列向量，Z Zj j就是节点电压的列向量，当只有节点j j注入单位电流，其余节点的电流都等于零时，网络各节点的电压在数值上就同阻抗矩阵的第j j列的对应元素相等。矩阵求逆有各种不同的算法，这里简单介绍LDULDU分解求逆法。（4-33）8/21/202469对节点导纳矩阵进行LDU分解，可将方程组（433）写成：见247页附录：非奇异方阵A可分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵R的乘积。R又可分解为对角矩阵D和单位上三角矩
32、阵U的乘积。即：A=LDU这个方程可以这个方程可以分解为三个方分解为三个方程组：程组：这里，单位列向量ej 相当于常数向量B，阻抗矩阵的第j列Zj 相当于待求向量X。利用附录中的公式（22）、（29）和（14），计及ej 的特点，可得节点阻抗矩阵第j列元素的计算公式如下：即即 0 i j 0 i j hi= fi / dii i j 8/21/202470注意：注意：v在应用上述公式时，都要作复数运算。v因为导纳矩阵是对称矩阵，它的因子矩阵L和U互为转置矩阵，故只需保留其中的一个。v应用上述公式时，对列标j 依次取n，n-1，1，就可以求得阻抗矩阵的全部元素。在实际计算中也可以根据需要只计算某
33、一列或几列的元素。这种求取节点阻抗矩阵元素的方法，灵活方便，演算迅速，很有实用价值。8/21/202471电力网络的稳态可用一组线性代数方程来描述。电力系统分析中，最常用的是节点分析法，该方法以节点电压为状态量，需要建立节点方程。节点方程有导纳型和阻抗型两种。根据网络的结构和参数，可以直观地形成节点导纳矩阵。节点导纳矩阵的特点是，高度稀疏、对称和易于修改。高斯消去法是简化网络，求解网络方程的有效方法。高斯消去法可看作是带电流移置的星网变换的数学概括，消节点的星网变换则可看作是高斯消去法的一种物理背景。节点阻抗矩阵是节点导纳矩阵的逆。根据节点阻抗矩阵元素的物理意义，可以导出用支路追加法形成阻抗矩阵时各元素的计算公式。也可采用线性方程组的直接解法求解导纳型网络方程，可以方便地算出阻抗矩阵某一列的元素。小小 结结8/21/202472作业作业v无v麻烦的一章结束8/21/202473
