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1、北师大版普通高中课程标准实验教科书（北师大版普通高中课程标准实验教科书（选选修修2-32-3）二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理授课教师授课教师: : 泰和三中泰和三中 郭宏洲郭宏洲 二项式定理，又称牛顿二项式二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克定理，由艾萨克牛顿于牛顿于16641664、16651665年间提出年间提出二项式定理在组合理论、开高二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用及差分法中都有广泛的应用 物理是我物理是我的强项的强项在数学上我同样有建树在数学上我同样有建树二项式定理研究的是二项式定理研究的是 的展开式
2、的展开式. .此法此法有困难有困难展开式有几展开式有几项项？每一？每一项项是怎是怎样样构成的？构成的？ 的展开式是什么？的展开式是什么？问题问题1:1: 展开式中展开式中每一每一项项是怎是怎样样构成的？展开式有几构成的？展开式有几项项？问题问题2:2:多项式乘法的多项式乘法的再认识再认识规律规律: : 每个括号内任取一个字母相乘构每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项成了展开式中的每一项. .探究探究1 1 推导推导 的展开式的展开式. .取3个a球（不取 b球）： 取2个a球（取2 a 1 b）： 取1个a球（取1 a 2 b）：不取 a球（全取b球 ）： 在上面的在上面的4个括
3、号中：个括号中：恰有1个取b的情况有 种，所以 的系数是恰有2个取b的情况有 种，所以 的系数是恰有3个取b的情况有 种，所以 的系数是4个都取b的情况有 种，所以 的系数是都不取b的情况有 种， 所以 的系数是 ；探究探究1 推导推导 的展开式的展开式.探究探究2 2 推导推导 的展开式的展开式. . 现在我们已经可以得出如下展开式：现在我们已经可以得出如下展开式： 没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 -牛顿牛顿项：系数：探究探究3 3：请分析请分析 的展开过程，证明猜想的展开过程，证明猜想. .LL展开式：二项展开式的通项二项展开式的通项:
4、二项式系数二项式系数:项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项 各项的次数都等于各项的次数都等于n 字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0 , 字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n .杨辉，南宋时期杰出的杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家数学家和数学教育家二项式定理二项式定理 上式右边称为上式右边称为二项展开式二项展开式;二项式定理二项式定理 此时，二项式系数就等于项的系数！展开式展开式各项各项的的“二项式系数二项式系数”和和“系数系数”的区别的区别: 项的系数项的系数：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积.二项式系数二项式系数：
5、；例例1：展开展开. 解：解：例例2：展开展开 解：解：先化简后展开先化简后展开例例3:求求 的展开式的展开式解解: :解解: :直接展开直接展开例例3：求：求 的展开式的展开式解解: :思考思考1 1：展开式的第展开式的第4 4项项 的二项式系数是多少？的二项式系数是多少？例例4：求：求 展开式中的第四项，展开式中的第四项，并指出该项的系数。并指出该项的系数。根据二项式通项根据二项式通项 ： 得：其第四项为：得：其第四项为：该项的系数为：该项的系数为：-160该项的二项式系数该项的二项式系数为：为：(2)(2)二项展开式的通项：二项展开式的通项：1.1.二项式定理：二项式定理：2 2思想方法
6、思想方法(1)(1)二项式系数：二项式系数：(2)(2) 用计数原理分析二项式的展开过程用计数原理分析二项式的展开过程. .(1)(1) 从特殊到一般的数学思维方式从特殊到一般的数学思维方式. .(3)(3) 类比、等价转换的思想类比、等价转换的思想. .例例3：求：求 的常数项的常数项根据二项式通项根据二项式通项 ： 得：得：解解: :杨辉，南宋时期杰出的杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家数学家和数学教育家1 1、巩固型作业：巩固型作业： 课本课本2828页页 习题习题1 1-5-5 A A组组 2 2、3 32 2、思维拓展型作业：思维拓展型作业： 探究二项式系数探究二项式系数 有何性质有何性质. .
