概率论与数理统计教程习题答案

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1、第一章事件与概率1 . 1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。（ 1 ） 1 0 件产品中有1 件是不合格品，从中任取2 件得1 件不合格品。（ 2 ） 一个口袋中有2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，（ i ） 得白球，（ i i ） 得红球。解 （ 1 ） 记 9 个合格品分别为正“ 正 勤 ，正门记不合格为次，则。 = （ 正1 ，正2） ,（ 正0正 ） ， （ 正正9 ） ,（ 正 , 次 ），（正2，止3 ） ，（ 止2，止4 ） ， ， （ 正2，正9 ） ，（ 正2，次） ，（ 正3 ，正J， （ 正3 ，正9 ） ，（ 正3 ，次） ， ，

2、（ 正*正9 （ 正8 ，次 ） ， （ 正9，次） 4= （正1 ，次 ） ， （ 正2，次） ， ， （ 正9，次） （ 2 ） 记 2 个白球分别为一， 和 ， 3 个黑球分别为仇， ， 打， 4 个红球分别为八， 4， 厂 3 ， 小 则 。= 助，c o、9 b , b , % , r19 G ，q ，q （ i ） A = 幼，a 2 （ i i ） 8 = 八 ，G， 6， 01 . 2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。（ 1 ）叙述4 8 不的意义。（ 2 ） 在什么条件下ABC = C成立

3、？（ 3 ） 什么时候关系式C uB是正确的？（ 4 ）什么时候司= 8成立？解 （ 1 ） 事 件 表 示 该 是 三 年 级 男 生 ，但不是运动员。（ 2 ） ABC = C等价于C uA B,表示全系运动员都有是三年级的男生。（ 3 ） 当全系运动员都是三年级学生时。（ 4 ） 当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时 。1 . 3 一个工人生产了个零件，以事件A, 表示他生产的第i 个零件是合格品（ l z n ）o用A, 表示下列事件：（ 1 ） 没有一个零件是不合格品；（ 2 ） 至少有一个零件是不合格品；（ 3 ） 仅仅只有一个零件是不合格品；（ 4 ） 至少有两个零件是隹

4、产品。解 pA ； （ 2 ）PI A=U A： u i A （ n） i ；Z= 1 1 = 1 / = 1 i= l j= l尸i（ 4 ） 原事件即“ 至少有两个零件是合格品” ，可表示为O a . Aj ；1 . 4 证明下列各式: A c8 = B e A( 3 ) ( Au B ) o C = Au ( B u C) ； ( Ac B ) c C = Ac ( 8 c C)( 5) ( A u 8 ) c C = ( Ac C) u ( B c C)M 心1=1 1=1证 明 （ 1 ） （ 4 ）显然，（ 5）和 （ 6 ）的证法分别类似于课文第1 0 1 2 页 （ 1 . 5

5、）式和（ 1 . 6 ） 式的证法。1 . 5 在分别写有2 、4 、6 、7、8 、1 1 、1 2 、1 3 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样 本 点 总 数 为 = 8 x 7 。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、1 1 、1 3 中的两个，或为2 、4 、6 、8 、1 2 中的一 个 和 7、1 1 、13中的一个组合，所以事件A “ 所得分数为既约分数”包含8 + 2 4 ； x A； = 2 x 3 x 6 个样本点。于是1 . 6 有五条线段，长度分别为1 、3 、5、7、90从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构

6、成一个三角形的概率。解 样 本 点 总 数 为 所 取 三 条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3 、5、7 或 3 、7、9 或多或5、7、90所以事件A 所取三条线段能构成一个三角形”包含3 个样本点，于是P （ A） = 。1 . 7 一个小孩用1 3 个字母A ,A ,A ,C ,E,M , M , N , T , T 作组字游戏。 如果字母的各种排列是随机的 （ 等可能的） ，问 “ 恰好组成 M AT H E M AT ICIAN ” 一词的概率为多大？解 显然样本点总数为1 3 !, 事件A 恰好组成 M AT H E M AT ICIAN ”包含3 !2 !2 ! 2 !个

7、样本点。所以P(A)3 !2 !2 !2 !1 3 !4 81 3 !1 . 8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红 车 及一只黑“ 车” ， 求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红“ 车”的位置，黑 “ 车”可处于9 x 1 0 -1 = 8 9 个不同位置，当它处于和红“ 车”同行或同列的9 + 8 = 1 7 个位置之一时正好相互“ 吃掉” 。故所求概率为1 .9 -幢 1 0 层楼的楼房中的一架电梯， 在底层登上7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任

8、意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9 7 。事件A “ 没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“ 从 9 层中任取7 层，各有一位乘客离开电梯” 。所以包含个样本点，于是P （ A ） =91. 1 0 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到 10000。问事件“ 偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8” 的概率为多大？解 用A表示“ 牌照号码中有数字8，显然尸( 心= 卫_ = ( 2 ，所以10000 110；- 94P(A) = 1 -P =1 - - - - = 1-100001. 1 1 任取一个正数，求下列事件的概率:(1)该数的平方的末位数字是1

9、;该数的四次方的末位数字是1;(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解 答 案 为 。当该数的末位数是1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是1 , 所以答案为34 = 4?10 5一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含IO?个样本点。用事件A表示“ 该数的立方的最后两位数字都是1，则该数的最后一位数字必须是1 , 设最后第二位数字为。 ，则该数的立方的最后两位数字为1和 3。 的个位数，要使3 a 的个位数是1 , 必须。 = 7 , 因此A所包含的样本点只有71这一点，于是1. 12 一个人把6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6 个

10、头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2 根草的情形。解 ( 1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有531种接法，同样对尾也有5-3T种接法， 所以样本点总数为(531)2。 用A表示“6 根草恰好连成一个环” ， 这种连接， 对头而言仍有5-3J种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2 根草的尾连接， 最后再将其余的尾连接成环， 故尾的连接法为4 . 2

11、。 所以A包含的样本点数为(5. 3-1)(4-2),于是P(A) = (5 3 1 )(4；2) = (2) 2 根草的情形和类似得1. 13把个完全相同的球随机地放入N 个盒子中( 即球放入盒子后， 只能区别盒子中球的个数， 不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的) 。如果每一种放法都是等可能的，证明( 1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为 -女 0kn(2)恰 好 有 加 个 盒 的 概 率 为 J , N -n m N(N + n - n( 3 )指定的2个盒中正好有/ 个球的概率为l m N , Q j 7 1 11. 1 5在A A 8C中任取一点P,证明A A B

12、 P与A 4 8c的面积之比大于 一 的概率为r。n n1 _ ? - 1解 截 取CO = CO,当且仅当点P落入C A B 之内时A 4 8 P与A A 8C的面积之比大于，因此n n一2 , 万 之所求概率为p(A)=C有一再=C D =五- - - - -=J _A A B C的 面 积 而2 2 21. 1 6两艘轮船都要停靠同一个泊位， 它们可能在一昼夜的任意时刻到达。 设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分 别 用 表 示 第 一 、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当242-X232-X2220 x -y

13、2 , 0 y - x +i)=b.a(a + b)a + 6-1)a甲取胜的概率为尸( 例 ) + P (g) +尸( 吗 )+ 乙取胜的概率为P(M )+P(g) + P(g)+“1. 21 设事件 及 AuB 的概率分别为 p 、q 及 r , 求P(A8), P(AB) , P(AB) , P(AB)解 P(A u B) = P(A) + P(B) - P(AB)P(AB) = P(A) + P(B) - P(A u B) = p + q -rP(痛) = P(A-A8) = P(A)-P(A6) = r-q , P (A B )r-pP(AB) = P(AxJB) = 1 - P(A

14、 8) = 1 - r1 . 2 2 设4 、4 为两个随机事件，证明：(1) P(A&)= I -P( ) P(月)+ P(4元)；(2) 1 - P ( )- P(A) P(AtA2) F(A, u A2)P(At) + P(A2).证明 P(A,A2) = P(A u 4 ) = 1 - P(AX u A) = 1 - P(A.) - P(4 ) + P(A )( 2 ) 由(1)和P O T ； ) 2 0 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1. 2 3 对于任意的随机事件A 、B、C , 证明：P(AB) + P(AC) - P(BC) PA(B u C

15、) = P(AB) + P(AC) - P(ABC) P(AB) + P(AC)-P(BC)1 . 24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45队订乙报的有 35幅订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8% ,同时订乙、丙两报的有5% 同时订三种报纸的有3肌 求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件A表示订甲报，事件8 表示订乙报，事件。表示订丙报。(1) P(ABC) = P(A 一 ( AB u AC) = P(A)

16、 P(AB uAC) =30%(2) P(ABC) = P(AB - ABC) = 7%(3) P(BAC) = P(B) P(AB) + P(BC) - P(ABC)= 23%P(CA) = P(C)-P(AC) + P(BC) - P(ABC) = 20%P(ABC u + BAC + CAB) = P(A8C) + P(BAC) + P(CAB) =73%(4) P(ABC + ACB + BCA) = P(ABC) + P(ACZ) + P(BCA) = 14%(5) P(A + B + C) = 90%(6) P(ABC) = l-P(A + B + C) = l - 90% = 1

17、0%1 . 26 某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？N解 用 A,表 示 “ 第i 张考签没有被抽到 ， i = l,2,N 。要求P( U d ) 。/=1&4) =(午 ) 尸5八 ) = ( 爷 ) ，尸 (4=0NZP(A, ) =( N-1 0 4 八 ) = - i N I所以p( 山 ,) = ( -1尸 乎 ,=1 /=1、N )1 . 2 7 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为即出, % , ，当且仅当12， ”

18、的排列( y 2 i “ ) 中存在左使乙= 人时这一项包含主对角线元素。用A k 表示事件“ 排 列 中 乙 ”即第左个主对角线元素出现于展开式的某项中。则P ( A , ) =( Z? - 1 ) ! 1 i n P ( A A ) = (ly4 ) ，n !n所以 p ( U A ) = = ( - 1 尸 (1 . 2 9 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩， 求至少有一个男孩的概率( 假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的) 。解 用 d g 分别表示男孩和女孩。则样本空间为：n = (b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g(g,g

19、,b)(g,g,g)其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示 “ 有女孩” ， 8表 示 “ 有男孩” ，则1 . 30 设M 件产品中有机件是不合格品，从中任取两件，( 1 ) 在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。( 2 ) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解 ( 1 ) 设A表 示 “ 所取产品中至少有一件是不合格品” ， B表 示“ 所取产品都是不合格品” ，则 设 C表示“ 所取产品中至少有一件合格品” ，。表示“ 所取产品中有一件合格品， 一件不合格品” 。( m丫M - m1( w Y M 1 1P(D I C)=P(CD

20、) P(D)尸(C) P(C) M +m-11 . 31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求:( 1 ) 已知前 -个人都没摸到，求第k 个人摸到的概率;第% ( 左 ) 个人摸到的概率。解 设 4表示“ 第i 个人摸到“ ， i = l,2,。P （ A & I % ）n-（k I）1几 一k +1/n n, A n /-T 7 A X 一 1 一 N 1 1( 2 ) P ( 4 ) = P ( A A 1 4 ) =. . . . . . . . . . . . . . . . ；- - =-n n-1 n-k + n1 . 32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为2 e -

21、 1 / lO ) ,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p ,证明:一个母鸡恰有 个下一代( 即小鸡) 的概率为白叱e。r !解 用4. 表示“ 母鸡生女个蛋” ，B表示“ 母鸡恰有r个下一代” ，则0 0 一左 、P =Z P(Ak )P(B I A , ) = p ( 1 - p产k - r k = r J_ ( 一 P) e 1 | x 3 x 2 x 0 . 462 3 * x 0 . 40 x 0 . 11x 0 . 13 0 . 0 168( 2 ) x 0 . 462 x 0 . 402 0 . 1 5 5 7a( 3 ) ( 1 - 0 . 0 3 )5 0 . 85 871 .

22、4 2设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0 . 6 ,求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解 用人 表 示 “ 第左门高射炮发射一发炮弹而击中飞机” ，Z = 1 , 2 ,，8表 示 “ 击中飞机” 。则P ( Ak) = 0 . 6 , k = 1 , 2 ,。( 1 ) P( A , u A2) = 1 -P ( A ,) = 1 -0 . 42 = 0 . 84( 2 ) P( A u A , ) = l - P ( n ，* ) = 1 0 . 4 0 . 99 , n 5 . 0 2 6* =

23、il g 0 . 4取 =6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1 . 4 3做 系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ,求在成功次之前已失败了他次的概率。解 用4表示“ 在成功次之前已失败了机次” ，8表示“ 在前” + 机 -1次试验中失败了机次” ，C表 示 “ 第+ ? 次试验成功”则 P( A ) = P ( BC) = P( B ) P( C ) =n + m -m Jp- d-p) -Pn + m-1P( l P) m1 . 4 5某数学家有两盒火柴， 每盒都有根火柴， 每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r

24、根火柴（ lr）的概率。解 用A ,表示“ 甲盒中尚余z根火柴” ，用鸟表示“ 乙盒中尚余， 根火柴” ，C ,。分别表示 第2- 次在甲盒取” ，“ 第2- / 次在乙盒取” ，4 5 ,。表示取了2- 次火柴，且第2- / 次是从甲盒中取的,即在前2 -尸-1在甲盒中取了-1 ,其余在乙盒中取。所以 P （ A 0 8 C）2 / z r -1n -1由对称性知P （ A,B0C ） = P （ A0B, D ） ,所求概率为:P ( ABC u ArB0D) = 2P ( A0BrC)( 2n-rn - 1r l2 n -r-7第二章离散型随机变量2 . 1下列给出的是不是某个随机变量的

25、分布列？1 ） 21 0 . 5 0 . 3 0 . 2 ） （ 0 . 7 0 . 1 0 . 111-2zrk4 )2_-2解（ 1 ）是（ 2 ） 0 . 7 + 0 . 1 + 0 . 1 1 ,所以它不是随机变量的分布列。（ 3 ）i+im+im2+. . .+i f i Y+. . .=2,所以它不是随机变量的分布列。2 2（ 3） 23； 4（ 4 ）为自然数，且 所 以 它 是 随 机 变 量 的 分 布 列 。2 . 2设随机变量g的分布列为：P（ J = Q =幺,A = 1 , 2 3 4 , 5 ,求 P C = 1或孑= 2 ） ;( 2 P( 1 | ) ) ； (

26、 3 ) P( 1 2 ) o1 2 1解( 1 ) P = 1或J = 2 ) =百 + 百 = ；( 2 ) P ( 1 | ) = P( = 1 ) + P( = 2 ) = 1 ;( 3 ) P( l 2 ) = P( = 1 ) + P( = 2 ) = 1 .2 . 3解设随机变量J的分布列为尸( g = i ) = c ? , i = l , 2 , 3。求C的值。解封沪目卜，所以C啜。2 . 4 随机变量J只取正整数N ,且P = N )与? 成反比，求J的分布列。解根据题意知P( 4 = N) = : ，其中常数C待定。由于 = c 日= 1 ，所以C = K，即J的分布列N

27、2 NN 6 TI为P( q = N) = J，N取正整数。G TT2N22 . 5 一个口袋中装有机个白球、- 机个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了g个白球，求g的分布列。解 设”表示前4次取出白球，第& + i次取出黑球，则g的分布列为:P(c = k ) = -,K = (),!, M2.一1 ) -2 . 6 设某批电子管的合格品率为3,不合格品率为工，现在对该批电子管进行测试，设第J次为首4 4次测到合格品，求g的分布列。解 p = k ) = ( ； ) k = 1 , 2 , .2 . 7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5 ,从

28、中同时取出3只球，以J表示取出球的取大号码，求J的分布列。解 pq=k) =,k = 3, 4, 5.2 . 8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p ( 0 p 1 ) = 1 - = 0 ) - = 1 ) = ( 2 4 - I n 2 5) / 2 5 0 . 83 o2 . 1 3 一本50 0页的书共有50 0个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（ 每一页的印刷符号超过50 0个） 。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出现某一个错误的概率p = 一，因而，至少出现三个错误的概率为利用普哇松定理求近似值，取/ l = p = 50 0 x - = l,于是上

29、式右端等于2 . 14某厂产品的不合格品率为0 . 0 3 ,现在要把产品装箱，若要以不小于0 . 9的概率保证每箱中至少有1 0 0个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装1 0 0 + x个产品，其中有个次品，则要求x ,使(). 9 0 , 0 / ? ( = 机) = (4 ) ) . 5 ，” 0 . 5 a - ” ，,机= 0 , 1, 2 , 3 , 4 ;p ( 7 7 = ) = ( o . 3 O . 74- ， ” = 0 , 12 3 , 4 ;P ( D =2、k0.2A0,84-*k = 0 , 1, 2 , 3 , 4 o2 . 1 8抛掷三次均匀

30、的硬币， 以&表示出现正面的次数， 以乙表示正面出现次数与反而出现次数之差的绝对值，求修力) 的联合分布列及边际分布列。2 . 2 1设随机变量右与独立，且P C = 1) = P m = l ) = p 0 ,又p ( g = O ) = p ( = 0 ) = l p0,定义小=p若 为 偶 数 ，问p取什么值时4与，独立？9 0若4 + 为奇数解 P - = 1) = P 记 =0 )尸 ( = 0 ) 4 - -=1) P( 7 = 1 ) = ( 1 -p)2+ p2p y = 0 ) = P C = 0 ) P( 7 = 1) + P C = 0 ) P( 7 = 1) = 2 /

31、 7 ( 1- p)而 P C = I , = I ) = p q = = I ) = p 2 ,由 P( g = = 1) = p ( 4 = 1) P( 7 = 1)得 p = L22 . 22设随机变量彳与独立，且P C = l ) = P( = l ) = g,定义4=夕7 ，证 明 两 两 独 立 ，但不相互独立。证明 P( j = 1) = P = 1) P( = 1) + P = - 1) P( 7 7 = - 1) = -P ( 4 = - D = P C = 1) P( 7 = - 1) + P C = - 1) P( 7 = D = 1因为 P( g = 1, 4 = 1)

32、 = P C = 1, 7 = 1) = ! = pe = i) PC = i)4P ( 4 = = - 1) = P 抬= 1， 7 = - 1) = 7 p比 =1) P4 = - 1)4P 房= - l , = D = P 化= - l , z； = - 1) = 7 P 记 =- 1) P = 1)4p( 4= - =-D = p e = - i , 7 = i ) = l p 记 =_ i) p ( ? =- i)4所以， 看相互独立。同理与，相互独立。但是 p ( g = = 1, 7 = I ) 彳 p ( g = 1) P( 7 = 1) P = 1) ,因 而 不 相 互 独

33、 立 。2 . 2 3设随机变量J与独立， ，且只取值1、2、3、4、5、6,证明J +不服从均匀分( 即不可能有P( g + ? 7 = A ) = ： , k = 2 , 3、12。 )证明 设P ( 百= k) = P k， P ( r/ = k) = qk,k = 1, 2 , , 6。P C + = 2 ) = P1% =， ( 1)尸( J + = 7 ) = p 闯6 +。2。5 + , , . +。6名= ( 2 )P + = 12 ) = P6 % = A ( 3 )将( 2 )式减去( 1 )式，得：( P6 - P1M 1 0，于是P6 Pl。同理乳 /。因此。6 “ 6

34、 P M = 与（ 3 ）式矛盾。2. 2 4已知随机变量小的分布列为万1-442-1-2o1-47,求7?=1彳 + 2与4 = cos J的分布歹h1jr 1 2乃I解分布歹U为尸( =2) = ，尸 ( = 2 + ) = 5，P(7 = 2 + ) = ；C的分布列为P(，= i) = ；，P(，= o)= g , P( ，= I) =： 。-2 -1 0 1 3、2 . 2 5已知离散型随机变量J的分布列为j_ j_ _ i j_ fi ,求= 铲的分布列。y7!z克克克2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1县 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 E L = ( 1 +

35、1+ 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 1) = 1. 81 10塔 2 = ( 1 + 1 + 1+ 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 1) = 1. 7% = ( 1 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 1) = 2所以，用乙组祛码秤重时所用的平均祛码数最少。2 . 3 3某个边长为5 0 0米的正方形场地， 用航空测量法测得边长的误差为： 0米的概率是0. 4 9 , 10米的概率各是0. 16, 2 0米的概率各是0. 08 , 3 0米的概率各是0. 05,求场地面积的数学期望。解 设 场 地 面 积 为S米2 ,

36、边 长 的 误 差 为4米， 则S = C + 500)2且垮 =0 砥=2 （ 1。2 x 0. 16 + 2 02 x 0. 08 + 3 O2 x 0. 05） = 18 6所以 E S = E+ 500） 2 =砥 +100（ ）塔 + 2 50000 = 2 5018 6（米2 ）2 . 3 4对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为2、必、小。试证发生故障的仪器数的数学乃+小+外。证令以=,1第i架仪器发生故障 . ， _0第i架仪器未发生故障 一 片 为发生故障的仪器数，则明 =P& = 1) = P i ， i = 1, 2 , 3 ,所以 E J = E J

37、+ E 42 + E & 3 = P + + “ 3。2 . 37如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设 ，( 1 0) 1则7的分布列为J _ 14 ,因而 ?=-1。设J为查得的不合格品数，则J 5 15) 15150 150& = ,所 以 云 = 电 =10。1=1 1=12 . 3 8 从数字0, 1 , ，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设J为所选两个数字之差的绝对值，则P (J = A ) =乡 *W ， A = 1, 2 , , ，n + 1、2于 是 心 =巧k=n 攵 +

38、1卜 + 1、 一I 2 ,2 ( + 】 ) yn + 22 . 3 9 把数字1, 2 , ,任意在排成一列，如果数字上恰好出现在第2个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解 设 兵 = PC = )存在，所以该级数绝对收敛。从而n=0E4= )= z x 尸 = )=ZZP=) =之 D。n=l /=1 /=1 / = ! n=i / = !o o( 2 )。 彳存在，所以级数E J 2 = 2 2 p c = w)也绝对收敛，从而=0D & = E 铲 +E 4- E & ( E & + 1) = ( + 1)P = ) - + 1)/l=l8 8 8=)-E&(E&+i)=)

39、-E&(E&+ 1 )n=l i=l/=1 n=i= 2 /CN ) -.(造 + 1 ) .W =12 . 4 1 在贝努里试验中， 每次试验成功的概率为p ,试验进行到成功与失败均出现时停止， 求平均试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为则P 1 ) = 1, P n ) = pn + qnl,n = 2,3 ,-( q = l - p)少0 0利用上题的结论，PKI) + XPCN)=I+E ?PT +q - )n=2 n=2gp 4q p2 p + il -P l - 7 P (l - P )2 . 4 2 从一个装有z个白球、个黑球的袋中摸球， 直至摸到白球时停止。如果(1)摸

40、球是为返回的，(2 )摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解 略 。2 . 4 3 对一批产品进行检验，如果检查到第。 件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第。 件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是P，问平均每批要检查多少件？解 略。2 . 4 4 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p ,当生产出火个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设 第 个 不 合 格 出 现 后 到 第i个不合格品出现时的产品数为i = l , 2, , k

41、.又在两次检修之间产 品 总 数 为 则 “ 点 ./=|因白独立同分布，P . = ) ) = /， = 1 , 2, ( q = l - p ) ,由此得:0CE , = E jq六 1J- 1 _ 1 2P ,第 2P ,不 十 2. 46设随机变量J与独立，且方差存在，则有。 ( 勿) = 。 ，。7 7 + ( 4) 2 。 +。 / 任 神2 ( 由此并可得。 ( 切) )证明 0 (勿) =E铲2 _ ( 后切) 2 =后产 2 (EJ2(E) 2=E $ EIJ2 - E铲( E 1 ) 2 + E片出行-位任疗=E2D/J-(E /J)2 = DD + ( E g ) ? +

42、 O J . (ETJ)22. 47在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为4和 小( 1 )第一个数取后放回，再取第二个数；( 2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在= 攵(0 4 & 4 9 )的条件下J的分布列。解 P = i r/ = k) = i = 0 , l , , 9.( 2) PC = i I = k) = g ( i = 0 , l , i , 9, i w % ) , = 8 = % ) = ( )2. 49在次贝努里试验中，事件A出现的概率为p ,令1在第i次试验中A出现0在第i次试验中A不出现求在4 +$ + 当=”04尸4 ) 的条件下，;( 0 z n)

43、的分布列。解“ 2+ +3 +以 + + )P & +/ . . + 4 )P = O lg + 刍 + + 4 = r) =尸 = 1域 + 幺 + + 媒 = r) = 1_。= 二 。n n2. 5 0设 随 机 变 量 分 相 互 独 立 ，分别服从参数为乙与4 2的普哇松分布，试证:( n4n-kP&= k l+ 蜃=小=1认4 +%)4 + 证明尸 & =+$=)=等含甥/十父 一 )P= k )P2=n-k)- + 4 = )由普哇松分布的可加性知乙+ 另服从参数为 + 几2的普哇松分布，所以 依 = 乂 。 + 幺 = ) =k ( n-k) (21 + A2) 1 ( 4+乙

44、)n2 . 5 1设 乙 ，基 ，耳为r个相互独立随机变量，且多( IWi Wr )服从同一儿何分布，即有P (。= k) = qpi ,k = 1 , 2, , ( 1 W 尸 ) , 其 中q = 1 - p。 试证明在。+ 42 + a =的条件下，& & b ， 4)的分布是均匀分布，即尸 & = ” 看其中 n + n2 H- - -nr = n .证明 尸合= ”一4 = ， + 或 + + g , = 脩= % , , = I/ + - + 1 = )P& +,=”)=P& =， ， 女 = % )p & + + 媒 =” )由于，& 2 ,，4,相互独立且服从同一几何分布，所以

45、% + 4+ + = ) = E (fR p L )I+/= f=&=l,2n-1、qpr从而 P (。* 臂 + 2 + + / = ) =q p i- i j r一 n-r第三章连续型随机变量3. 1设随机变数J的分布函数为尸( x ) ,试以尸( x )表示下列概率:( 1 ) PC = ) ; ( 2) P a )解：(1) PC = a ) = E ( a + O ) E ( a ) ；( 2) P ( a ) =l -F ( a )；( 4) P - a ) = l- 尸( a + 0 )。3. 2函数尸( x ) = 是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果1 + x( 1 )

46、- 0 0 X 00( 2) 0 x o o ,在其它场合适当定义；( 3) - o o x 0 ,在其它场合适当定义。解：(1) R( x )在( - 0 0 ,0 0)内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；( 2)斤( x )在( 0 , o o )内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数;(3 ) F(x )在(-8,0)内单调上升、连续且尸(-8,0),若定义 F ( x) oo x 0则户(X )可以是某一随机变量的分布函数。3 . 3 函数si n x是不是某个随机变数J的分布密度？如果J的取值范围为JI 3(1 ) 0,- ； (2 ) (3 ) 0,- o2 2K解：(

47、1 )当x e 0,工 时，si n x N O且 si n x d x = l ,所以si n x可以是某个随机变量的分布密度；2(2 )因为si n x d x = 2 W 1 ,所以si n x不是随机变量的分布密度；3(3 )当X E 乃 ,一 时，si n x 0 ,所以si n x不是随机变量的分布密度。23 . 4 设 随 机 变 数J具 有 对 称 的 分 布 密 度 函 数p(x ),即p(x ) = p(-x ),证 明 ： 对 任 意 的 0,有(1 )1 代F ( -a ) = 1 - F ( a ) = - - 1 p( x) dx ；(2 ) P (团 a ) =

48、2 1尸 。证：(1 ) F ( -a ) = P p( x) dx = 1 - f p( x) dx= l + p( -x) dx = 1 - p( x) dx-1 - F ( a ) = 1 - p( x) dx- j p( x) dx = g - f p( x) dx ；(2 )尸 ( | 同 a ) = l - P(忸 0是两个常数，且。+8 = 1。证明尸(x ) = a f ； (x ) + bB (x )也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为月(x )与F2 (x )都是分布函数，当 / 时 ，片(西)夫 ()，F2( xt) F2( x

49、2) ,于是尸(X )= *(x ,) + 此(X ) -mo c F(x ) = XlT-iOmC a Ft(x ) + b F2( x) = 0XlTi m8 F ( x) = .Ul - m0 0 a F (x ) + b F2 (x ) = a + b = 1F(x -O ) = a Ft (x -0) + b F2( x-0) =*(x ) + b F2( x) = F ( x)所以，F (x )也是分布函数。取a = b = !，又令2这时0川) =x 00 x 0工(x ) = x 0 x 10E V、 i + XE(x ) =1x 00 x 1显然，与尸(x )对应的随机变量不

50、是取有限个或可列个值，故尸(X )不是离散型的，而尸(X )不是连续函数，所以它也不是连续型的。3 . 6 设随机变数J的分布函数为尸。)=l-(l + x)e-x0x0x 0PW = 0 x02P(1) = F(1) = 1 e3 . 7 设随机变数J的分布函数为0F(x) = A x21x00 x 1求常数A及密度函数。解：因为F(l 0) = F ( l) ,所以A = l ,密度函数为P(x)= 2x 0 x l0其它3 . 8 随机变数J的分布函数为/(x) = 4 + Barcfgx,求常数A与B及相应的密度函数。7T解：因为 lim 尸(x) = 4 + B(一一) = 0X f

51、 - 0 0 2TTlim F ( x) = A + B = 1X T + 0 0 2所以因而/ (x) = 1 + a rc tg x, p( x) = Ff( x) =2 TV 万(1+x )3 . 9已知随机变数J的分布函数为xp( x) = 2 - x00 x 11 x 2其它(1) 求相应的分布函数/(x)；(2 ) 求 P 1. 3),尸(0. 2 J 1. 2)。x 00解:0 x l- ll x 2P(& 1. 3) = 1 尸4 1. 3) = 1 尸(1. 3) = 0. 245尸(0. 2 J 1. 2)=/ (1. 2) F(0. 2) = 0. 663. 10确定下列

52、函数中的常数A ,使该函数成为一元分布的密度函数。(1)(2)p(x) - Ae ；p(x) = Acosx、0冗， ,7 1- X 2 2其它Ax2l x 2(3)p(x)=二 Ax02 x 3其它解：(1) 4 / 3公 =2 4 ,6 7公 =24 = 嘶 以4 = 3 ；7 T K (2) A cos xdx = 2/1 cos xdx - 2 A - ,所以 A=;2 2fi. fi 29 6(3) Axdx + f Axdx - -A = 1,所以 A = J 上 6 293. 1 2在半径为R,球心为0的球内任取一点P,求J = o P的分布函数。解：当时尸(x) = / % )

53、 =4衣334派33所以x 00 x R3. 13某城市每天用电量不超过一百万度，以J表示每天的耗电率（ 即用电量除以一万度） ，它具有分布密度为, 、12x(1-x )2 0 x 0. 8) = f 12x(1-x )2Jx = 0. 02721). 8P延 0. 9)= 1 12x(1- x)2dx = 0. 0037因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0. 0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0. 00373. 14 设随机变数J服 从(0, 5 )上的均匀分布，求方程4x2 +4 夕 + 4 + 2 = 0有实根的概率。解：当且仅当(4)

54、2-16( + 2)0 (1)成立时，方程4 / + 4夕 + J + 2 = 0有实根。不 等 式(1 )的解为：J N 2或4 4 1。因此，该方程有实根的概率p = P(短 2) + 摩 250) = P( 1. 43)= 。工 ;0 3 3 )= (L43) x 0. 9236 ；/八 匕 、八 / x J 300 x(2) P (a -x J a + x) = P(- - 0. 935 35 35即X0 ( ) 0. 95所以 1. 6535即x 57. 753. 18设(x)为N(0,l)分布的分布函数，证明当x 0时，有1 Vl 1 Tl i j = e 2 . 1 - O(x

55、) 7 = e 2 ( -)q2兀 x x x1 俨3一 1 俨 -2-证： 1 - (x ) = 1 , =( e 2 dy = . e 2 dyy 27rJ 2 人所以1 - 1 1 1 1= e 2. - l - O ( x ) = e 2 (-)ox J 2 乃 x x3.21证明：二元函数1F(X, y ) /x + y 0x + y 0 ,若x+y 0,由于x + Ar +y 0,所以F (x ,y)=/ (+A x ,y) = 1 ,若 x + y WO ,则尸(x ,y) = 0。当 x + Z k x + y4O 时，F ( x + Ax,y ) =0；当 x + A c +

56、 y 0 时，F (x + A x , y) = 1 所以 F ( x, y) 0 时，l i m F ( x - A x , y) = l i m F ( x, y - A y) = 1 = F (x , y),AtlO AylO所以F (x ,y)对x、y左连续。(3) F ( oo,y) = F (x , oo) = 0 , F (+ oo,+ oo) = 0 o(4) P (0 2,0 7 2) = F (2,2) - F (2,0 )-所以F ( x, y )不是一个分布函数。3. 2 3 设二维随机变数的密度1 , 、/ 、 -s i n(x + y)P (x ,y) = j20求

57、 ( , ？ )的分布函数。IT TT解：当O V xW , 时，2 2F (x , y ) = P x9/ y )=f + s) dsdt-F (0 ,2) + F (0 ,0 ) = -l ,TT TT0x- , 0y -2 2其它s i nx + s i n y - s i n(x 4- y),所以0g s i n x + s i n y - s i n(x + y)1 z . , 、” , 、 (s i n x +1 -cos x )尸(x ,y) = j2(1 + s i n y-cos y)13. 2 4 设二维随机变数C ， )的联合密度为kP (x ,y)= (1 ) 求常数k

58、 ：(2) 求相应的分布函数；( 3 ) 求尸(0 1 ,0 2)。解：(1 ) ke -3 x-4ydxdy = e -i xdx = 所以& = 1 2 ；( x 0 ) u ( y 0 )八 710x- , 0y -2 2c 乃 乃0 x 一2 2x- , 0y ,y 2 - 2e-3i % 0 , y 00 其它k1 2 1(2) x0, y 0时,F (x,y)= 1 1 2/ -48力杰 =1 2(f U 力)( e-4% s )= (l e-3*)(l _ eVv) ,所以尸(x ,y) = (1 -*3)(1 一 e ) xO,y00其它(3) F (0 1 ,0 7 2)=

59、1(1 ,2)-=(0 ,2)-尸(1 ,0 ) + 尸(0 ,0 )3. 2 5设二维随机变数C ， ） 有密度函数Ap(x , y)=储（ 1 6 + /） （ 25 + /）求常数A及（ 4 ） 的密度函数。L L P (x ，/d x d yA解:2(1 6 + / )(25 + 严dxdy4 A dx dy _ A _1P - 1 6 + x2 25 + / - 与 一所以，A = 2 0 ；Fx, y) = p(t,s)dtdsf兀 -J-CO J-00dtds(1 6 +产)(25 + .1 )4 ( f 4(f 47i- L 1 6 +广 25 + .VL (arctg + )

60、(arctg + )7T2 4 2 5 23. 2 6设二维随机变数 ,） 的密度函数为p(x , y)= 4xy 0 x 1 ,0 y 10其它求（ 1 ）尸（ o g g , ； 7 7 i ） ； （ 2） p e = ） ； （3） p e ） ； （4） p e ） 。解:(1 ) P (0 J ； , ： 1 ) = J 4x ydx dy = 4 2 x dx J y dy = :;Z 4 4 4 P记 = )= x y d x d y = 0 ;x=y( 3 ) 尸(4 7 )= J pJ i ydx dy = j 1 4xy dy dx = 1 2(尤-x2 ) dx = ;

61、xy2(4) P ( j) = ；3. 2 8设何/) 的密度函数为P (x , y) = 求。与中至少有一个小于; 的概率。解：1-202-,0X-o其它=1 - T f P (x , y ) dxdy = 1 - ( f -dxdy = f2 2 2 2 2 83. 30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以4 和7 7 表示这两个组件的寿命(以小时计)，设(或外的分布函数为F (x ,y) = 0 , y 0其它求两个组件的寿命都超过1 20 的概率。解：P (g 1 20 ,7 7 1 20 ) = 1 P G 1 20 )U( 7 1 20 )=1 - 1 20 ) - P (? 7

62、 1 20 ) + 1 20 ,7 7 1 20 )= 1 - F(1 20 + 0 ,0 0 ) - F (oo,l 20 + 0 ) + F (1 20 + 0 ,1 20 + 0 )= 1 - 0 , L p(x , y ) dxdy = 1所以条件力(x ,y) 0 , p( x, y ) dxdy = 1p(x ,y)为二维分布的密度函数。因此，为使p(x ,y)成为二维分布的密度函数，必需且只需满足条件(1 )和 (2)。3. 3 2 设二维随机变数6力)具有下列密度函数，求边际分布。p (x ) = 0 ,(x 0 )( 1 ) p(x ,y) = (2) p(x ,y) = 0

63、时，P (x )= fx 0 0时，P j x ) = 所 以 ,p (x ) = -(3) P g (X )r2e y +3 x l , y lX0 其它1 -l (x2+ y2) -e 2 x 0 , y 0/ o其它1 Yki ( v rV2-1 py Y /0其它=p 2 g3 dy = p-,(x 1 ) p (x ) = O,(x l (y 1 ) p 式x ) = O,(yl )1 -(.t2+ y2) 1 -e 2 dy =. e 2” 而 1 -1 (x2+ y2) 1 -5-e a y = , e 271 J 2%x2v21 1 -L- j = e 2 0 同理，= 2 。

64、I27T Y 2兀- r (y - x)kl- e -ydy = xkl- e -x,( x Q )化 ) (心)工 化)P v)= r(% )r(k 2)ira . + k2)y g T , ( y 0 )p，7 (y) = o， (yK )3.34 证明：若随机变数J只取一个值。，则J与任意的随机变数独立。证：g的分布函数为0外 =1x a设的分布函数、(。)的联合分布函数分别为/(y)I(x ,y)。当 x a 时 ， / (x , y) = P (g x , a 时 ，%x ,y) = P x , ) ， )= % ) ， )= / 。)( )。所以，对任意实数x ,y,都有尸(x ,

65、y)=后 。)与(y),故岑与相互独立。3.35 证明：若随机变数J与自己独立，则必有常数c ,使尸C = c) = l。证 ： 由 于p ( g x ) = p e x 4 x ) = p e x) p e x) ,所 以 =归 /，F。) =。 或i。 由于/(-8 )= 0 ,尸(+ 0 0 ) = 1,尸(x )非降、左连续，所以必有常数c ,使得0 x c故 PC = C) = 1。3. 36设二维随机变量(4)的密度函数为1 2 2 , 1/ 、 一 x + y lp(x ,y) =万0 其它问与是否独立？是否不相关？解：P g (x )= 1 ( = 2 x ,(l x K l

66、)； z(x ) = 0 ,(l x l 0。2A/1 - y2同理，p(y) = , ( 1 y l D。71由于p(x ,y) W p式x )p(y),所以/ 与不相互独立。又因p(x ,y),p式x ),p(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E J = =以 勿 ) =0，故c o v C ， ) = 0,孑与不相关。3 .4 1设某类电子管的寿命( 以小时计) 具有如下分布密度:1 0 00x 1 0 0x 1 5 0 ) L ：所以三个这类管子没有一个要替换的概率为 ( % )3 =%7；三个这类管子全部要替换的概率是( 1 -% ) 3 =%7。3 . 4 4对球的直径作近似测量，

67、设其值均匀分布在区间 a ,切内，求球体积的密度函数。1 1 -解：设球的直径为自，则其体积为 = 秸3。) ， = 放3的反函数x6 6p ( x) = 1 / ( / ? -a ) , a x b,得的密度函数为3 6y l兀,dx = 2 / ,3 6芍，dy 1 ,由J的密度函数2S) = ( 6 - a ) 川3 671 y 20TC R 冗 - - i一。3 y 一:6 6其它。3 . 4 5设随机变数自服从N ( 0 ,l)分布，求冏的分布密度。解：在尤2 0时，,. 1P ( 4 x ) = P ( -x J 0 ) ; p ( x ) = 0 ,( x y 0 .3 . 4

68、7随 机 变 数 看 在 任 一 有 限 区 间 上的概率均大于0 ( 例如正态分布等) ，其分布函数为整( x ) ,又服从 0 ,1 上的均匀分布。证明二=的分布函数与片的分布函数相同。解：因为J在任一有限区间a ,上的概率均大于0,所以举( x )是严格上升函数。由于0 ,1 上的均匀分布，所以4的分布函数举( x ) = P ( & x ) = P ( F j x ) = P Q ? &( x ) = ( x ) ,对任意的x都成立。所以，与自的分布函数相同。3 . 4 8设随机变量J与 独立，求J + 的分布密度。若( 1 ) J与分布服从( 。 力) 及( a , )上的均匀分布，

69、且a ab0。解( 1 ) p (x ) = x = 0 ,其它。pJx) = 1 / ( 0 a ) ,a x 仇 p( y ) = 4 ,其它。pi +n ( x ) = p (x - y ) - pn ( y M yJmmi n心( x -也a , y ? ) -1- - dya ) 3 _ Q)(a)二 m i n ( x -a ,/ ? ) -m a x ( x -b ,a ) / ( b ) ( / ? -a ) a + a x / ? + ; p4 + z/( x ) = 0，其它。( 2 ) ( x ) = 1 /a-a x 0;( x ) = 0 ,其它，pf /( x) =

70、 1 / a ,0 x a ;prj( x) = 0 ,其它。产俨i i n ( x + a , a ) p * ,( x ) = 1/式 x y ) ( y)叱 1 / 一 力二m i n ( x + a , Q) - m a x ( x ,O ) /a2a -I x l= ， 一 。 尤 0 )2a求 的 密 度 函 数 。解： P j ( x ) = p ( x ) = ： ，2a2+(x)=，当x20时,A + M = j e x p一l x - y 1 + 1 y IadyD俨产-e d y + e d y + e a dy 当x 0P 式 x ) = 0x 0P ( X) h0x

71、0 , 0 ） , 求J + 7 7的分布密度。解：x0时,=f e-d yJ%- ， ,北 x e -z, 几 = xWO 时,P + ，7( X) = 3. 5 3设随机变量J与独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求I 4-的分布。解：一乙服从( 一1,0)上的均匀分布，据3. 48(2)知,x + 1 - 1 x 01 - x 0 x 1人 _ (x) = fmin(x + 1,1) - max(x,0)= 在0 x l时， 的分布函数F(x) = P ( l x) = P(-x -rj x)= 1. (/ + )dt + = 2 x - x2所以I J - 771的分布密度为2(1-x

72、 ) 0 x 0 得P f(x )= 闪,x 0时,所以P i (x) = + )P (x) = 中产 / ( 几 + )川 田 / ( % + )x 03. 5 6设随机变量J与独立，且分别具有密度函数为证明自服从N(O,1)分布。1 -/ 1 x 1lX00 x 0令%/= + %则所以3 ;服从N(0,l)分布。3. 5 8设随机变量。与独立,pin (y) = p s /i (y) = j x P 式 yx) p ( x)dxP f n = ey /2 f u 2e d u - e 都服从(0,4)上的均匀分布，求 力 的 密 度 函 数 。3. 5 9设随机变量J与独立，都服从参数为

73、4的指数分布，求% 的密度函数。解：在x 2 0时，解： % (x)= , P式xz)Pu( z)lzldz =当0 1时所 以 % 的 密 度 函 数 为 zpi (xz)dz1 fll 1p% ( x) = / W= 5P%(x) = * f z d z = 50 x 0P (%) = % 0 x lp(xy)pu(y)ydy一 巧 ，办， =-U + 1 )2在 x 0时,(x) = 0。3. 60设二维随机变量(4)的联合分布密度为1 + 盯p (x, y ) = 4oI x l , l 1尸 f x) = ( 1 1力)力 = O X 10x lP (7 2 y) h 力 =77 o

74、 y 10y 0P(T x,rj2 y) = 1V x77而0x, y 10 x 1x 1 , 0 y 10 x, y 1其它所以对一切的X ,y ,者R有P /2 x, 2 y) = p (2 x)p( 2 y),故42与 炉 相互独立。3. 61设随机变量g具有密度函数p (x)= 2 2cos,- X7 V71 7 1- X 2 20其它求产 / 2解：E= x - c o s2 xdx = 0八 匕口 二2 楼2 2 2 1 式1= Ec = ,x cos xax =-兀 1 2 23 . 62设随机变量J具有密度函数xp (x) = 2 - x0 x l1 x 20 其它求及D J

75、。解 x2dx + j5 x(2 - x) dx = 1 ,E 42 = j x3 dx + | x2(2 - x) dx = 71 6,D - EJ 2 - (E )2 = 1 / 6 ,3 . 63设随机变量J的分布函数为0F ( x) = a + b ar cs in x1x 1试确定常数(a, b), 并求EJ与 。4。解：山分布函数的左连续性，a + b - ar cs in 1 = 1 ,a + b - ar cs in 0 = 0 ,故。=1 / 2,b = l / oE g = x - J ( y + ar cs in x), , dx - 01 7 T l - X2 严 /

76、2 ) f s in-/ J r7V小3 . 6 4 随机变量J具有密度函数= 1 / 2 。P (x)= A 0 ,x 0x 1 , 0 , 求常数44及。4。解：1 = A / e -xl f )dx = A f J3a + yae -ydy= A/ 3a + T( a + l ) ,/ 3a + - T （ Z + 1 ）E = A-xa +l - e x,f idx = A-/ 3a +2 T （ a + 2 ） = （ a +1 ） / 7 ,E J = A X &+ 2 . e-,f idx = A -夕a+ 3 . T （ a + 3 ）= （ a + l ） （ a + 2 ）

77、夕O” 带2 _ （ 砧 ）2 = g +1 ） 23 . 6 6设随机变量J服从（ -g ）上的均匀分布，求 =s in帮的数学期望与方差。1解：E r/ = p , s in 7i xdx = 0 ,Dr/ - E rj2 - g s in2 mdx = 1 / 2。3 . 6 7地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为J （ 秒） ，则J服从 0 , 3 0 0 上的均匀分布，则- 曲： = 1 5 0 （秒 ） ,%2 曲： =3 0 0 0 0 （秒2 ） ,D & = 3 0 0 0 0 - 1 5 02 =

78、7 5 0 0 （秒 2 ）。3 . 7 1设2 ,， 为正的且独立同分布的随机变量（ 分布为连续型或离散型） ，证明：对任意的乂1 4人 ） ，有2+ + 4.证 ： 务 /& 同 分 布 （ / = 1 , , ），又 务/f qwi ,所 以E 4 /之专 都 存 在 且 相 等（ j = l , , ）。 由于i = _/ = 1 / = 1= 展E刍/+ + 羡苫 + + 3 . 7 2设J是非负连续型随机变量，证明：对x0,有P （ i-E oX证：P C 1 -p t ） d t - - t - p . （ t） dt二1 一 亘 XX团费3. 7 3 若对连续型随机变量J ,

79、有 目 铲 8 （ r ） 7/（ X） 加 q出的x心3. 7 5 已知随机变量4 与的相关系数为P ，求。+ 6 与 7 = c + d 的相关系数，其中a ,6 ,c ,d 均为常数，a ,c皆不为零。解=则一照） .也二必 J E E 4 2 ）I Y Eg- E 小 丫QCCOV（ J , ）a -y D-C-4D? a c _ J p a c 0a c - p a c 03. 81设随机变量。,， 看” 中任意两个的相关系数都是夕，试证：PN - o/7 -1证：0+ 2 2 Z局西14i j 工/+ 0 . Z（ %+g）! j , n= Z L g + mT ） ，故 1 +

80、p （j i - 1） 2 0,2 2 -on-i3. 84证明下述不等式（ 设 都 是 连 续 型 或 离 散 型 随 机 变 量 ） ：（ 1）若 J 与都有p N l 阶矩，则有跳 + 阐 门 。 + 即勺 。Eg + 4 2p- E P +ETP(2 )若J与z /都具有p0阶矩，则E + ?ip2p(E +ETJP)证：(1 )2 1时，国4 + 门 。4国 第 。+ 同力门” 。 即所谓的明可夫斯基不等式, 证明略。在P?I时，是x的下凸函数，故x+ yl xl/ , + l y l; )2一 2即l x+ y lp0时 ,l x+ y lp(l xl + l y l )p 0,

81、y 0p (x , y) = J (1 + % + y)0其它n其中” 2。求 0。故 山(1 + x + y) (1 + x ) -12 (- 1) / (2+ y) y0p 哄(yi i ) = ，0其它3. 8 9设随机变量自服从N(? , d )分布，随机变量在自=工时的条件分布为N(x , b2) ,求的分布及自关于的条件分布。解：p( x, y ) = p (x ) - p喈(y I x ) = e x p dx1 ( - w )22(r2 + cr2) 2(cr + L )故 7N(m,o? + 工 之) .p助(% I y)= P (X, y) / P (y) = 7 r2 +

82、 a2 / (V 2 r cr ) - e x p -( ； 君 x - ： + /2 2 / 2 F故在 = y时，的条件分布为N ( 士 ,) ， 1 b 一+ 7 ) 。a 十 厂 (JT3. 9 0设。42， ,， 为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量只取正整数值，且与它“ ,”21独立，证明: 3E i A = E / P ( / k )k=l k=l77证：E f& k = E E 0 & J n )k=华褐. 尸( )5=1 k= J豆之期.P(”s).9=1 k= Z % - p( = s)s=kJ= E猷呼之八k=l3.9 1求下列连续型分布的特征函数:(1) (- a

83、 , a )上的均匀分布(a 0) ,(2)柯西分布，其密度函数为P(x ) =a71(x -b )2 +a2(a 0)(3) T -分布，其密度函数为P(x ) = T ( a ) (a0, 0)0 x 0) ,得夕=e沏到山 a +x 2a(3)仲= / / 3 尹d新华/ 侬 卜 的 d后 /1侬-侬耶-濯= Q 方=(1- - ) - 3.9 3若夕是特征函数，证明下列函数也是特征函数：(1) 例一。; (2)帆) ； (3) 以/ ) (九为正整数)证：(1)若夕是随机变量g的特征函数，则 火 - 。是随机变量 = - g的特征函数；(2)若J与独立同分布，其特征函数为夕。则M =0

84、(f ) j (T)是随机变量，=自- 的特征函数;(3)若 如 片” 独立分布，其特征函数为我t) 0则 * ) 是随机变量 =Z= 4的特征函数。3. 9 4证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：(1) co s t ； (2) co s21 ； (3) ； (4 ) . (5 ) - - - J - - -。1 + / 7 ( t ) 2e -11证：(1) co s r -e + -e ,所以co s t是两点分布2 2自- 11P1/ 21/ 2的特征函数。(2) co s ? / = L + - e 2 + , . * 2 ,所以 co s 2 t 是三点分布2 4 44-

85、 202P1/ 41/ 21/ 4的特征函数。( 3 )密 度 函 数 为p (x ) = e r , x 20; p (x ) = 0, x ()的指数分布的特征函数为 一 ，所 以 一是密度函数为-i t 1 +力p( x) = e x 0的分布的特征函数。(4 ) -1, 1上均匀分布的特征函数为s i n r所以互相独立且同为上均匀分布的两个随机变量和的特征函数为( )2, 即 (空 ”) 2是密度函数为(2 + x )4p (x ) = . Q 7)40-2 x 00 x 2其它的分布的特征函数。(5 ) = 所 以 一J是几何分布2e- - 1 金24 2e- -I% % ) =

86、/# = 1, 2, 3, 的特征函数。3. 9 5试举 一 个 满 足(1) O(T ) = M ) , (2) (p(t) )0t a是特征函数，并求出它的分布函数。解：由于=a 0，p(x)dx1 f /(p(t)dt = I 0 ,证明:/ 、 z x s i n th 0 ： p (x ) = 0, xW O的特征函数0 (f ) = 1 。故 的 特 征 函 数T(a )台为 *) = 1- 彳, P)所 以 文 。 也是7-分布，其密度函数为p (x ) = 2二 - 而 二 济 ，x0 ； p (x ) = O, x 0oMT(a )3.100设二维随机变量仔, ) 具有联合密

87、度函数为p (x , y) = 1 l +盯3+ / ) 忖 中110其它证明：g +7 / 的特征函数等于备的特征函数的乘积，但 是 。 与并不相互独立。证：Pg + (z ) = , p (x , z - x ) d x(2 + x ) / 4 - 2 x 0= (2- x ) / 4 0 x 20 其 它 。J + 7 7 的特征函数为( 2 吆 op式X) = 1/ 2, - 1 X l. p( y ) = 1 / 2 - 1 y 1 ,故J与 的 特 征 函 数 皆 为 丁 ，所以J +的特征函数等 于 久 的特征函数的乘积。由p( x , y ) = 2 ( x ) - p( y

88、) ,故J与不互相独立。3 . 1 01设随机变量J服从柯西分布，其特征函数为6用 ，又令= 。 式。0) ,证明J + 的特征函数等于J、的特征函数的乘积，但 与不独立。证：由J的特征函数化 ) = 推得， =喈 与J + 的 特 征 函 数 分 别 为 外 ) = 剂 与 % + ) =底 ( 必 ，故经+ 式倘 若 J 与 7 7 相互独立，令自的分布函数为 F(x), 则F ( x) = P x,i a x) = P x ) - P ( 7 a x) = P记 x) - P ( J x) = F ( x ) 2,故 /( x ) =0或1 ,此与J服从柯西分布相矛盾，故J与 互不独立。

89、3 . 1 02判别下列函数是否为特征函数( 说明理山) :( 1 ) sin f ； ( 2 ) - v ； ( 3 ) ln ( e + |) ； ( 4 ) ( 5 ) - 1 + r 1 - | ( 1 + 产)2解：( 1 )不是，因为sin Ow l。( 2 )不是，因为当1 ， 0时，上1。1 + f2( 3 )不是，因为ln ( e + M ) 4 l不成立( 4 )不是,因为( p( t) = 丁= W 9 ( T )。1 - M( 5 )是的,拉普拉斯分布p( x ) = 同的特征函数为廿方，所以/ 、 ，也是特征函数。( 1 + 八 ) 一第四章大数定律与中心极限定理4

90、. 1设O( x )为退化分布:D( x) = 00 x ( x + n ) ; ( 2 ) Z) ( x + - ) ; O( x 工0 ,其中 =1 , 2 , . - n解 ：( 1 ) ( 2 )不 是 ；( 3 )是 。n4 . 2设 分 布 函 数 工( x )如下定义:工( X) = 0x + n2n1x-n-n x n问F ( x ) = limF ( x ) 是分布函数吗？n tx解：不是。4 . 3 设分布函数列 , 3 ) 弱收敛于分布函数F ( x ) , 且F ( x ) 为连续函数， 则仍“ ( % ) 在( - 8 , 8 ) 上一致收敛于尸( X) 。证：对任意

91、的0 ,取M 充分大，使有1 - F ( x ) , Vx M ; F ( x ) , Vx - M对上述取定的因为F ( x ) 在上一致连续， 故 可 取 它 的 人 分 点 ：Xi = - M x2 - xt_ , xk= M ,使有 F(XM ) - F ( xt ) ,l i k ,再令 x0 = - oo, xk+i = oo ,则有F ( xM) -F (Xi) ,Q i N时有I Fn( x , ) - F ( x , ) l f , 0 i k + ( 2 )成立，对任意的x e ( - oo, 8 ) ,必存在某个“ 0 W i W 左 ) ，使得x e ( 马 , 玉 +

92、 ) ,由 ( 2 ) 知当N时有F ( x ) F ( x , .+ 1) Fn( xi) F ( xi) - ( 4 )由 ，( 3 ) , ( 4 ) 可得F “( x )-F ( x) F(XM) -F ( x ) + 1 F(XM)-F ( xi) + F ( x , ) - F ( x ) - F ( x , ) - F ( xi +i ) - -2S,即有| 工( x ) - - 刈 0 有Q 故0 ) - 蜀 2 ? + P,“ 一 | 2 5 一 ， - 即对任意的 0 有P ( j“ 引Z ) =0成立，于是有尸仁H ) =喇 40从而尸( 4 = ) =1成立，结论得证。

93、4 . 6设随机变量序列$ “ ，办 分别依概率收敛于随机变量J与，证明：( 1 )羡+%+ ( 2 ) 4 X %证：( 1 )因为信+ -% |z ) u(修 - 匐 若 卜 (1 - % 1 W)故0 ) + p t 0, n C O即 C , +%+ 成立。( 2 )先证明这时必有盛一AT。 对任给的0 /0取M足够大( 看 U) 成立，对取定的M,存在N,当N时有产值- 目2 1 ) , ,- 於 需 ) M)C% 目1 ) + /( 1 3 + 1 2 处 M)c( 4注1 ) 1 ) ) c (l 包 +M ) 4 -(1一一目2三) + 一 (1羡 +1 1 ”) 片，同理可证

94、琮一 2,由前述( 1 )有2碗 ” & + 7 7 ” ) 2 盘 戊二e + 7 7 ) 2 Y 一 班 =2勿故& X 7 j J X ，结论成立。4 . 7设 随 机 变 量 序 列 片 ,4K0是一个常数，且证明j 。4 a证：不妨设 0对任意的0 。，当 党 -4a2-CIS ,因而短一 a Ua2-a s A于是有7(0 g/I=P 7n屹 _ 。 | + P(短 一 。Ma & -aa2 - as2 +7产 曾 “ 一 同2 ) - 0 , - 8。结论成立。4. 9证明随机变量序列 短依概率收敛于随机变量& 的充要条件为:E片 白.0 ,刀 f 81 + HY . 证：充分性

95、，令/ (x) = ， x 0,则 /(x) = - 0 ,x 0,故/ (x)是x(x 0 )的单调上升函数,1 + x (1 + xy因而低, ) uJ+ l YI 1 + ”, 于是有( 七 一 同1U+n i+P* W ) 0成立，充分性得证。必要性，对任给的 0,令4、= O :忸- 4 ,因为s一J & ,故存在充分大的N使得当 2 N时有尸( A / ) ,于是有FEU + *-司、Ae+ 白 喙一目二(1 + 党-4 P (A g) + 0 ,n - 8,结论为真。4 . 10设随机变量短按分布收敛于随机变量& , 又数列b“ T b , 证明明当+。 ” 也按分布收敛于试 +

96、 b 。i l E ：先 证 明 按 分 布 收 敛 于 a j 。a = 0 时为显然，不妨设a 0 ( a 8 丁 “ -8 (a ) fo j Jp p成立，结论为真。由4 . 1 2 知& “ (-a ) -0 ,再由4 .6 (1 ) 知& “ ( % - 4 ) +仇 ,-于是由前述结论及4 . 1 1知 ,a “ + b “ = 呜+(a “ -a 片” +6 ” 按分布收敛于a J + 6, 结论得证。4 . 1 1 设随机变量序列 4 按分布收敛于随机变量J， 随机变量序列 办 依概率收敛于常数。， 证明痣+“按分布收敛于J + a 。证：记虞短的分布函数分别为尸(x) ,工

97、(x) ,则4 的分布函数为F (x-a ) ,设x 是尸(x-a ) 的连续点，则对任给的 0, 存在6 0, 使当0 b 时有I F ( x-a s ) - F ( x-a ) l 8 (1 )现任取0 4 b，使得了一。 + ,工-” 一2 都是尸(,) 的连续点，这时存在N , 当时有I F ( x - a + ex) - Fn( x - a + ) (2 )I F ( x c t 4 ) F ” (x a ) l i) (4 )于是当 N m a xl M M ) 时，由 (1 ) , (2 ) , (4 ) 式有P ( & “ + ? -a ) x-a )= P +“ -a x a

98、 ) c (l “ _ a l ) + P C “ +7 , -a ( tn -a ,) ) 又因为 尸 (4 “ x a + ?) + 尸 ( I “ 一 a 1 2 J) F ( x -a ) + 3 s (5)P ( & “ x - a - s2) = P +n -(7 7 , -a ) x-f2 n(l r )n-a s2) + P ( f2) )于是由(1 ) , (3) , (4 ) 式有P + J1n -a P n +rn -(7 - a ) x - 2 n( r)n -a P& 2 F ( x -a ) -3 s(6 )由(5) , ( 6 )两式可得I P& + 7n -a

99、x - a ) - F ( x- a ) l 0,取。 0口 0足够大，使- 。 ,匕是F (x)的连续点且l -F ( b ) ,F ( -a ) W因为工(x) fb (x) ,故 存 在 当 时有l -Fn( b ) 2 ,Fn( -a ) 0 ,故存在N2,当 2 N 2时有P。/ 、? ) = P ( I 1 ) c (-a W a ) c u (l 7 l -) = / ,+/2其中/ 产0,当N m a x ( M ， N 2 )时有尸 。a/ I) c ( - / ? ) 尸 (-“I ： ) = P , -a ) 54 ) = F (- ) + l -F 3) ) = A 0

100、 ,结论为真。4 . 1 3设随机变量短服从柯西分布，其密度函数为Pn J ) =n万(1 + 2 1 2 )证明 0 ,7 1 0 0 0证：对任意的 0,有1 8故 g” -o, - 8。4 . 1 4设 为一列独立同分布随机变量，其密度函数为p （ x） = % .0 其它P其中2 0为常数，令 = max 42 ,看” ），证明办一广。证：对任意的，0% 为显然，这时有P x ) = 0 P %) = f 5dx = ( 力fix13p( 办 x ) = 0 ,x 4 0 ； P ( “ 0 （ )= P(% 尸 一 )=( 年 ) f 0 , - 8卜 故 T力 成立，结论得证。4

101、. 1 5设 为一列独立同分布随机变量，其密度函数为p( x )= a0 x aP令力 = m i n （ 0， J 2 ,看,） ，证明力fa o证：设。的分布函数为歹（ x ） ,有F(x)= a0 x x ) = n P N ) = 1 一 F ( x ) = e ) ， Xai=l对任意的 0,有P ( l % 一 a I N )= P(?jn -a )= en 0 , f 8故 % - a成立，结论得证。4 . 1 7设 4为一列独立同分布随机变量，都服从( 0 ,1)上的均匀分布，若 = ( 立 幻 ：，证明A = 1P%- c( c为常数)，并求出C。证：这时 I n , 也是独

102、立同分布随机变量序列，且E J“ - j l n x dx = -11 p由辛钦大数定律知 I n 4 服从大数定理，即有上之始於-1 ,令/ ( x ) = e 1则/ ( x )是直线上的连续函n , = i数，由4 . 8题知1 1次I n 5户(n )” = e T - e-1 =ci = l结论成立。4 . 1 8设 4为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为a ,且 方 差 存 在 ，证明7 ( +1)砥P- Cl O证：已知记。多=1 ,令%= 均 ，贝U ( + 1) M2 E% = ( 4、 k a = a” ( + 1) = ic 4 e , 2 2 毋D%=FLZK

103、 P Y7n ( n + 1)- M n + 1对任给的 0,由契贝晓夫不等式有P ( l % a I N )4 士 。/ - n + 1p故 %- a ,结论得证。1 n P4 . 19设 低 为一列独立同分布随机变量，且。/=/存在，数学期望为零，证明L242fb 2。n k=i证：这时 案 仍独立同分布，且E盘 = 。 =/8，由辛钦大数定律知结论成立。4 . 2 1设随机变量序列 短 按 分 布 收 敛 于 随 机 变 量 又 随 机 变 量 序 列 办 依概率收敛于常数以。 工0 ),%。0,贝U %按分布收敛于力。证：由4 .7题知于是由4 . 1 2题有聂( 工一工)上0,而或按

104、分布收敛于专( 见4 . 107 1. & % a a a题的证明)，因而由4 . 11题知“ (% a ) a按分布收敛于二，结论成立。a4 . 2 2设 媒 为独立同N ( O ,1)分布的随机变量序列，证明喈同/f昴的分布函数弱收敛于N ( O ,1)分布。证：这时 案 也为独立同分布随机变量序列，月上方=1 ,由辛钦大数定律知工 酸 一 1 ,又 用 服 I从N ( O ,1)分布，当然弱收敛于N ( O ,1)分布，由4 .2 1题即知力按分布收敛于N ( O ,1)分布，结论得证。4 . 23如果随机变量序列 , 当 - 8时有0,证明 4服从大数定律( 马尔柯夫大数 1&= 1

105、7定律)证：由契贝晓夫不等式即得。4 .2 6在贝努里试验中，事件A出现的概率为p ,令4 =?整第次及第+ 1次实验中A出现 0 ,具 已证明 4服从大数定律。证： 4为 同 分 布 随 机 变 量 序 列 ,且 后 = 砥 = / ,因 而= p2 ( l p2 ) “ 为绝对收敛级数， 令%则 * % n= i = l服从大数定律。OQ证：不妨设珞, = 0。否则令= 当-七肩，并讨论低 即可。记党,： =。2,又， = |6 | 8。因为=1= ( 幻= & ( q ) ，故有i=l i=l k=l k=l i = k刃 j ) = 4 E f 抵( f f ( 6)2 -0 , -8

106、 i=l k= i=k 几 k= i=k n由4 .2 3知 a,%服从大数定律,结论得证。4 . 3 0设低为一列独立同分布随机变量，共同分布为2* 1= 12 试问 a 是否服从大数定律？答：因为E孩存在，由辛钦大数定律知 , 服从大数定律。4. 31设 4 为一列独立同分布随机变量，共同分布为P & = k ),k - 2, 3, 产一 1其中c = ( , , ) T,问值, 是否服从大数定律?心2% l o g k答：因为E晟存在，由辛钦大数定律知 4 服从大数定律。4. 3 2如果要估计抛掷- - 枚图钉时尖头朝上的概率， 为了有95 %以上的把握保证所观察到的频率与概率p的 差

107、小 于 弧 ，问至少应该做多少次试验?解: 令(1第次试验时图钉的尖头朝上0其它n据题意选取试验次数应满足尸( I言 一 -p l 代)20. 95 ,因为比较大，由中心极限定理有故应取、 杵 = 2 ,即 = 400：,但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有pzg,因而幺4 1 ,故可取” = 400。P4. 33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0. 0001,校对时每个排版错误被改正的概率为0. 9 , 求在校对后错误不多于15个的概率。解：令匕 1 第i个印刷符号被排错且校对后仍错误其它因为排版与校对是两个独立的工序，因而p = P =1) = 0. 0001x0.

108、 1 = 10-5,% = 0)= 好 1 依 是独立同分布随机变量序列，E 4 = p ,令% 其中“ = 1()6,由中心极限定理有/=1一Pg V15) = P(- 。； e dx npq y / npq 7 2兀5其中b1 . 58,查 N(0,l)分布表即可得 P(% 415) = 0. 94,即在校对后错误不多于15个的概率。4. 3 4 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为 0。0 0 6 ,死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：( 1) 保险公司亏本的概率多大？( 2 ) 保险公司一年的利润不少于40000元，6000

109、0元，80000元的概率各为多大？解：保险公司一年的总收入为120000元，这时( 1 ) 若一年中死亡人数1 2 0 ,则公司亏本；( 2 ) 若一年中死亡人数 120) = 1 - P(7nZT = b ) 一一( 其中Jnpq J2乃卜 7. 723同理可求得(2)P(% 80) 0. 995 ( 对应的匕 2. 59)P(% 60) 0. 5 ( 对应的匕= 0)P(% 40) 0. 005 ( 对应的b -2. 59)4. 3 5 有一批种子，其中良种占上，从中任取6 000粒，问能以0. 99的概率保证其中良种的比例与工相差多少？解：令1 第i 粒为良种0第i 粒不是良种则P =

110、1 ) = : ，记p = T“ = E ,其中 =6 000, 据题意即要求a使满足/3( I L- - I 0. 99o 令q = 1 p,b因为很大，由中心极限定理有Jnpqe 2 dx 0. 99由N ( 0, l )分布表知当b = 2. 6 0时即能满足上述不等式， 于是知a =夕丽。1. 25 x 10- 4 , 即能以0. 9 9 的概率保证其中良种的比例与,相差不超过1. 25 x I O 。64 . 3 6 若某产品的不合格率为0. 005 , 任取10000件，问不合格品不多于7 0件的概率等于多少？解：令1 第i 件为不合格品0 第i 件为合格品则= 玖。= 1) =

111、0. 005 , 记q = l p , “ 多，其中 = 10000, 记A = 7,由中心极限定理有i = iy j npq即不合格品不多于7 0件的概率约等于0. 9 9 8 o4 . 3 7 某螺丝钉厂的不合格品率为0. 01, 问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0. 9 5 ?解：令1 第i 只是合格品0第i 只是不合格品则 p = P = 1) = 09 9 , 记 4 = 1- , 。 = 耳 , =多 ， 其 中 尚 待 确 定 ， 它 应 满 足4pq = 1F ( 7 100) 0. 05 ,由中心极限定理有 100)e 2 dx 0. 05查N

112、( O, 1)分布表可取6 = - 1. 6 5 ,由此求得 = 1 0 3 ,即在一盒中应装10 3只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0. 9 5 o4 . 3 9用特征函数的方法证明“ 二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。证：设 端 凶0独立同二项分布, 即P = 1) = P“ ，P 媪=O) = q=l-p ,li oo而JIT是参数为丸的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。4 . 40设随机变量基服从r- 一分布，其分布密度为Pa ( x ) = J r, ( a )_.X a-e-Px V 0( a 0, 0)0 x oo时，优的分布函

113、数弱收敛于N( 0, l)分布。Na证：勇的特征函数为%( f ) = ( l - 2广 ，易知叫二3的特征函数为P J a if -i4af-an(-jLga(t) = e - ( =ya =e 而7a而因而有故li m g a ( f ) = e 5 ,所以相应的分布函数弱收敛于N( 0, l)分布，命题得证。a - oo4 . 4 1 设低J为一列独立同分布随机变量，且包服从( - , ) 上的均匀分布，证明对 $ 成立中心极限定理。证：易知七4 = 0 , 。 & = 后 身 =2 2x , n 十日 dx = ,于是n 2n 3 n k* 2 1- - - - - - - - - 0

114、 ,存在N ,使当2 N 时有J71 ,因而居r “，从而当 N N ,3 3k / 2d 4 ( x ) = 0 ,若 k n ,由止匕知x2dFk ( x ) = 0即林德贝尔格条件满足，所以对 成立中心极限定理，结论得证。4 . 42 设 “ , %皆 为 独 立 同 分 布 随 机 变 量 序 列 ， 且 值 与也独 立 ， 其中i i = 0, 0/ = 1; P( % = 1) = - , = 1, 2, 一 ，证明：与二 手 工 加 ， 的分布函数弱收敛于正态分布N( 0 ) 。2V n =i证：这时 4% 仍是独立同分布随机变量序列，易知有E( & 小) = 0, 。 工“ )

115、 = E %产 = 畸=1由林德贝尔格勒维中心极限定理知： S , =二。 , 的分布函数弱收敛于正态分布N (0, l), 结论得证。V n /=14 . 4 5 利用中心极限定理证明:YlX f L f 82证：设低, 是独立同分布随机变量序列，共同分布为a=1的Po i s s o n 分布，故E&n=D&“=l,B： 这D & k= n,由林德贝尔格 勒维中心极限定理知k=p这 短 0027由Po i s s o n 分布的可加性知Z媒服从参数为的Po i s s o n 分布，因而k= - I _ kp 这 获 )= 斤k= k=0 K n，但 所以n-nP 这 & ! ， - 8y

116、 ！ 2成立，结论得证。第五章习题1 . 设苍 可力是来自服从参数为2 的泊松分布祖)的样本，试写出样本的联合分布律。2 . 设再， 叼， ，A 是来自也&)上的均匀分布的样本，5 。 未知(1)写出样本的联合密度函数；(2)指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？4_ 苞 + 石 ； + 玛区 - 爪 “ 与 工)a(3 )设样本的一组观察是：0.5 , 1, 0. 7 , 0.6 , 1, 1, 写出样本均值、样本方差和标准差。3 . 查表求404 , 4 ”(12), 4M(10。4 . 设 中0),求常数。 ，使Wc) U 。8 . 某市有100000个年满18 岁的居民，他

117、们中10%年收入超过1 万，20%受过高等教育。今从中抽取16 00人的随机样本，求：(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；(2)样本中19 %和 21%之间的人受过高等教育的概率。9 . 设总体* 咽 户 ） ，（ 1）抽取容量为3 6 的样本，求.384 X4 4 3） ；（ 2）抽取容量为6 4 的样本，求 呼 叫 M 取 样 本 容 量 n多大时, 才能 使 布 一 的 闷 FS。1 0 .设总体曲,） ，皆未知，已知样本容量 1 6 , 样本均值H-12.5 ,修正样本方差$M,求叩词。1 1 . 设是芮 蛆 五来自正态总体吨.） ，容 量 为 的样本，求下列统计量的抽样

118、分布：1 2 .若不力回，则”服从什么分布？1 3 . 设玉居Z 是来自泊松分布相 ） 的一个样本，三与 分别为样本均值与样本方差，试求冷 网 可 市 ） 。1 4 .某区有2 5 0 0 0 户家庭，1 0 9 6 的家庭没有汽车，今有1 6 0 0 户家庭的随机样本，试求：9 % 1 巡之间的样本家庭没有汽车的概率。习题解答1 . 解M= OJA-2 . 解( 1 ) /U i丹. ) L 。 ( 勒， 加 o 其他( 2 ) 7 和片是，5 和三不是。 因为鼻和鼻中不含总体中的唯一未知参数卡, 而心和鼻中含有未知参数工( 3) 样本均值 *l- 86 .装 匕-百殳(4 W样 本 方 差

119、 杳 6 / 1 “ 一 (L3)1 ” (U)1 1-(-0.l),4-(-flL2y + 也 工 尸 + (12)1 )-0.04336样 本 标 准 差 一 题 而 此 皿 O3 ,解 4 (1 2 ) = 26.217 0 2 )= 1 5 7 1 02)=26810 (12)-68104 .解 由t 分布关于纵轴对称，所以R e)-Q95即为RTY)d05。由附表5 . 6 可查得- 。 - 1.机，所以 。5 . 证明：工( 1 ) “独立同分布于双 )，由 , 分布的定义,( 2 ) 易见, 各) ， 即则分布的定义同1)， 即觉不) 也6 .解( 1 ) 易见， + 若 即为二

120、个独立的服从双) 的随机变量平方和，服从 口) 分布，即： - I ；自由度为20荀 +必( 2 ) 由于不 +鼻 吨 同 ，则F又4 + =+ 骂 ，回, 与4 * 4 + 君 相互独立，则( 必+必) 柒 小)和W + 4 一而 一 旦 * 招 一即“即 2 ,自由度为3。7 . 解（ 1 ）五（ 同 =软 炉 ） =和 。（ 与 =p （ i-p ）咐） =&（ 殳 ） =；卜”k* M / * M。（2 ） =。讣异双同= JI 14 / * M M国 = 博药- 硝=; 喉用-小卜/萨（ 不）7（功=; 悟仅+ 阿*|） ） ，（ 。（ + （ 网 同n =肛-（ 咤 * ， ） =

121、 （ l-5 ） p（ l-p ） 4 1 ）4 r）4“ *$中） 一*） -器 的） + /刈-1 心） + （ 市册（ T：（ 3） * 及 。 . 方） ，其 中 。00_3。8五取） 第%x）r） * w +祇册3消8 . 解（ 1 ）引入新变量： 1 , 第1 个样本居民年收入超过1 万o , 第】 个样本居民年收入没超过1 万其中， 14、 森1600易见：， 3又因,故可以近似看成有放回抽样，相互独立。, ， (毛) -O.L7-网 后 ) -OLlxOLP -0.3样本中年收入超过1 万的比例即为号，由于A-1600较大，可以使用渐近分布求解，即 I 11人 所求概率即为屯

122、川 %) I - E40Ll l)I-彳/ 叫 陪 l-Q_皿“咖8(2 ) 同 (1 ) 解法引入新变量：f1 ，第T 个样本居民受过高等教育0 , 第】 个样本居民未受过高等教育其中， 1600p心l)(U.0 Z b -g x (L 8 -Q .440819 - M2)4如 他Nl-HZ)4 ) 砌 一4 - 1)- 2 4 )-1 . 2 x 0 J413 -1 - (LC836答：(1 ) 样本中不少于1 设的人年收入超过1 万的概率为0 . 0 9 1 8 ；(2 ) 样本中1 9 % 和 2 1 % 之间的人受过高等教育的概率为0 . 6 8 2 6 o9 . 0 . 9 9 1

123、 6 , 0 . 8 9 0 4 , 9 6。1 0 . 0 . 5 o1 1 . 。1 + a ) ； (2 )小 ) ；( 3 )。川 。1 2 .。 立1 4 . 0 . 8 1 6 4 o第六章习题1 . 设A % ,。 是取自总体x的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：(1 ) 其中未知，0p 0o2 .设典, 男尸、 。是取自总体X的一个样本， 其中X 服从参数为工的泊松分布， 其中-1未知，1 0,求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X 0 1 2 3 4频数 | 1 7 2 0 1 0 2 1求2 的矩估计值与最大似然估计值。3 .设 典 巴

124、* 是 取 自 总 体 X的一个样本，其中X服从区间8 的均匀分布，其中 。 未知,求产的矩估计。4 .设距叼， ， 。 是取自总体X的一个样本，X的密度函数为J 于 口 “L /（ X） = 0 其他其 中 未 知 ，求去的矩估计。5 .设A曰, 是取自总体X的一个样本，X的密度函数为r g M o * 。 未知，求w 的矩估计和最大似然估计。6 . 设冬居 儿是 取 自 总 体 X 的一 个 样 本 ，总 体 X 服 从 参 数 为 F 的儿何分 布 ，即叩r x） - 4 -正 产其中F 未知，求产的最大似然估计。7 .已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布耳力，其 中 未 知 ，现在

125、观测到六个时间间隔数 据 （ 单位：s） ： 1 . 8 , 3 . 2 , 4 , 8 , 4 . 5 , 2 . 5 , 试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。8 .设总体X的 密 度 函 数 为 白 * ” （ - 8*00 * 4。故似然函数为I l0/ Q， - 1 2其他对数似然函数为迂 为嘤 产 ； 。dl 1 u.解得-2的最大似然估计量 占 O可以看出工的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2 .解 中)工，故工的矩估计量由样本观测值可算得 0x17 + 1x20 + 2x10+ 3x2+ 4 x15 0另，X 的分布律为X1故似然函数为迂: 不4力 ;

126、4，为 也4-J l | l B a aA对数似然函数为|40一心+ 天卜4/匡 |)- -0dl 1. 静解得上的最大似然估计量.= ”,故人的最大似然估计值 1。3 . 解 2 , 令 2 ,故 岁 的矩估计量8 - 2 1 。成T) (x 釜x2, 3夕8-Z4 . 解 0 3 ,令 3 ,故! ; 的矩估计量为 2 o5 .解也、 产 历 夕)+2 , 令夕2+“2 一, 故 & 的矩估计量为 0N二T竺 ,另，似然函数。 均 41其他对数似然函数为h 4。 ）I）*域h均dff解得小的最大似然估计量为06. 解 似 然 函 数 心 ） 一（I- 籍 Z对数似然函数h （p） h p

127、+ 位 *1 - * 卜 。-7）也期. * -静” - odp p I一, I解得，的最大似然估计量为. . r o17 . 解 根 据 习 题 1 的结果，上的矩估计和最大似然估计量都为 了 ，故平均时间间隔的矩估计和最大似1然估计都为工，即为三。-fi. 4-3.2 *4 *8-4.5 1-15） -4由样本观测值可算得 。ZKI8 .解 似 然 函 数 伏疗 ，对数似然函数为G u 1；(3) ” o : 3,。= 1 ； (4) ” o： O 3 ；(5) o ： = O.解：(1)是简单假设，其余位复合假设7 .2 设 。 4 2,， 聂 取 自 正 态 总 体 N( ,9 ),其

128、中参数未知， 无是子样均值，如对检验问题“ 0 ： = ( ) ， ” 1 ： 工 0取检验的拒绝域： 0, 取临界域C = （ 玉 ， * 2, ， X n ） ： l | C0） ,（ 1 ）求此检验犯第一类错误概率为a时，犯第二类错误的概率尸，并讨论它们之间的关系；（ 2）设4 =0. 0 5 , 笳=0. 004 , a=0. 05 , n =9 , 求 =0. 65 时不犯第二类错误的概率。解：（ 1）在“ 成立的条件下，8 N（ o , 曳 ） ，止 匕 时nI 5 ） 5 ） ,所以，由此式解出C o= a+ o4y/n在& 成立的条件下，F N（ , 曳 ） ，此时n” 陪c。

129、 ） = 之上品 上 小5 ）_ 厂 + （） 一 二（ _ 上 向 二 中（ 业 - - - - - - - - - -向由此可知，当a 增加时， ” a减小，从而月减小；反之当a 减少时，则月增加。（ 2）不犯第二类错误的概率为1- = 1- ( 嗔- 向%, “ 0. 65 0. 5。 小= 1一 中 ( 。95 6 L 3)= 1- 0(- 0. 605 ) = (0. 605 ) = 0. 7 27 47 . 4设一个单一观测的4子样取自分布密度函数为7 (x )的母体，对/(x )考虑统计假设: o ： /o (X ) ,1 0 x l。其他 修 ( ) =2x 0 x l0其他试

130、求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足a + 2 = m i n ,并求其最小值。解设检验函数为1 X G C(X ) = U - /U , (C为检验的拒绝域) 0其他a + 2,= ) (x c) + 2 (x c )= P( )( x G c) + 2 1 - (x e c) = E x ) + 2 l -E x) i i= J (x ) d x + 2(1 - 2x( / ) x) dx)0 01= 2 + j (l -4x) ( ( x) dxo要使a + 2 = m i n ,当 1- 4 x 2 0 0寸 ，0(x ) = 0当 1 4 x 0时，Mx) = 所以检验函数应取

131、。(x ) = , 4 ，此时，a + 2/? =2+ f (l - 4 x ) J x = - oOx/ 。 8I 47 . 5设某产品指标服从正态分布，它的根方差b 已知为15 0小时。今由一批产品中随机抽取了 Z测得指标的平均值为163 7小时，问在5 %的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?解 总 体J N (/5 () 2) ,对假设， o ： = 16O O ,采用U检验法，在H 0为真时，检验统计量25 7 8个,。 。临界值 = “ 0.975 = L9 6故接受 H 0。7 . 6某电器零件的平均电阻一直保持在2 . 6 4 Q ,根方差保持在0. 06Q ,改

132、变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2. 62。，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平a =Q . 01 o解设改变工艺后电器的电阻为随机变量3则 拶 =未知，” = (0. 06) 2,假 设 为 () ： = 2. 64 ,统计量u = V /7 = 3 . 3 3cr由于,2 = “。 .9 9 5 =2/0 l r l ,故接受“7 . 8某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根，每台布机的平均断头率的根方差为0.1 62根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%,在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.

133、994根，根方差为0.1 6,问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量人有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及S： 2= ( O. 1 6) 2, 问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验% : 助 = 0973 3 ” 70.973由 于 未 知 ，月 一 n较大，用t检验，统计量为/ = 仁 义4 =0994一0973 血 质 =1 8 5 6s： 0.1 6查表知I。 /（ 199） = 1. 645,故拒绝原假设，不能推广。7 . 9 在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为（ 和,Ho） ，假设作物

134、产量服从正态分布，并计算得亍= 30. 97, y=21. 79, 5； = 26. 7 , s； =12. 1取显著性水平0. 0 1 ,问是否可认为两个品种的产量没有显著性差别？解甲作物产量J N（ 4 ,端） ，乙作物产量刈外,蟾） ，即要检验% : 尸2由于端，蟾未知，要用两子样t 检验来检验假设“ 。 ： 端 = 左 ，由F 检验，统计量为F = s / s； 2 = 2 6 . % 2 = 4. 869 /,995（ 9,9） = 6. 54 （ 取显著性水平 0. 01）故接受假设” 。 ： 蜻 =，于是对于要检验的假设/ ： 产从取统计量 1 2（ 1 + 2 2） = 0 9

135、 （ ）多 十%又a=0. 01时，h995（ 18） = 2. 878 团 ，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。7 . 1 0 有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（ 单位：mm） ：甲 20. 5 , 19. 8 , 19. 7 , 20. 4 , 20. 1 , 2 0 . 0 。19. 6 , 19. 9乙 19. 7 , 20. 8 , 20. 5 , 19. 8 , 19. 4 , 20. 6 , 19. 2 0试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为a =0. 05。解：假定甲产品直径服从N（ 从,端

136、） ，由子样观察值计算得1 = 20. 00, s： ： = （ 0. 3207） 2 =0. 1029。乙产品直径服从NG4,蟾） ，由子样观察值计算得亍= 20. 00, s； ； =0. 3967。要比较两台机床加工的精度，既要检验rr2 2由 F-检验a = 005 时查表得:与 975（ 7. 6） = 5. 70,%) 25 ( 76) =1 _ 16 5 67)= 0.1 95 3由于外.025 ( 7.6) 歹弓975 ( 7.6) ，所以接受“。 ，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。7.1 1随机从一批钉子中抽取1 6枚，测得其长度为( c m )2. 1 4 2. 1

137、 0 2. 1 3 2. 1 5 2. 1 3 2. 1 2 2. 1 3 2. 1 02. 1 5 2. 1 2 2. 1 4 2. 1 0 2. 1 3 2. 1 1 2. 1 4 2. 1 1设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值的90%的置信区间( 1 ) (7 - 0.01 c m ；( 2) b未知解( 1 )由子样函数。= 幺24 N ( 0,l ) , p ( I U I o 95 ) = S9 O,可求的置信区间(J置信下限孑-等2 = 2.1 21置信上限孑+ 笔2 = 2.1 29y/n( 2)在o 未 知时，由子样函数/ = ,* 册p ( l / 1 r0

138、 95 ( -1 ) ) = 0.90 n 求得置信区间. %为置信下限孑 。95 (,)% = 2 . 1 1 7 5yJn置信上限孑+”当 2 . 1 3 2 5yin7 . 1 2包糖机某日开工包糖，抽取1 2包糖，称得重量为9 . 9 1 0 . 1 1 0 . 3 1 0 . 4 1 0 . 5 1 0 . 2 9 . 7 9 . 8 1 0 . 1 1 0 . 0 9 . 8 1 0 . 3假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量求置信水平为9 5 %的区间估计。解 由于。未知，用统计量” 2 W 6t ( n - l) ,计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信

139、上限s.为孑+ 察必 =1 0 . 2 5 5 6 ,下限为孑一空U * = 9 . 9 2 8 4yjn yJn7 . 13随机取9发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计s ； 2 = 1 1 ( 米/ 秒) ,，设炮口速度服从正态分布，分别求出炮口速度的标准差。和方差/ 的置信水平为9 0 %的置信区间。解选取统计量5 /（ 一 ） ， 可得， 的置信区间为:（ n- l） y （ - D y；建a / 2 （ D1 ） = （ 5 . 6 7 4 9 ,3 2 . 1 9 9 ）因为p （，7 ） s：2 / ） = p（尸s； ） / 9 5 （ 5 ） ，所以拒绝 。即等概率的假设

140、不成立。7 . 1 5对某型号电缆进行耐压测试实验，记录4 3根电缆的最低击穿电压，数据列表如下:测试电压 3 . 8 3 . 9 4 . 0 4 . 1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 4 . 5 4 . 6 4 . 7 4 . 8击 穿 频 数11127884641试对电缆耐压数据作分析检验（ 用概率图纸法和/ 一拟合优度检验） 。解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面2 拟合优度检验假设/ 苫收次）其中2 ,3 2为和 的极大似然估计，其观察值 = = 4 . 3 7 4 4 （T2 = = - V （ x , . - x ）2 = 0 . 0 4 8 4 2n所以要检验

141、的假设” 。 苫 （ 4 . 3 7 4 4 ,0 . 0 4 8 4 2 ）分组列表计算z2-统计量的观察值。组Xi-距七频数标准化区间P i = 以凹)ST)用（ 丹 一X- i004 . 1500- 1 . 2 50 . 1 0 5 64 . 5 4 0 80 . 0 4 6 44 . 14 . 27- 1 . 2 5- 0 . 7 90 . 1 0 8 74 . 6 7 4 11 . 1 5 7 44 . 2 4 . 38- 0 . 7 9- 0 . 3 40 . 1 5 2 66 . 5 6 1 80 . 2 1 5 24 . 3 4 . 51 2- 0 . 3 40 . 5 70

142、. 3 4 8 81 4 . 9 9 8 40 . 5 9 9 44 . 5 4 . 660 . 5 71 . 0 30 . 1 3 2 85 . 7 1 0 40 . 0 1 4 74 . 60050 . 3 1000 . 1 5 1 56 . 5 1 4 50 . 3 5 2 1Z2y( n/ ? l-n )2 = 2 . 4 8 5 2; = i 咱用a = 0 . 1查表就9 （ 6 - 2 - 1 ） =旅 =6 . 2 5 1由于。 忌式3 ），所以不能否定正态分布的假设。7 . 1 6 用手枪对1 0 0 个靶各打1 0 发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下命中数升：0 1

143、2 3 4 5 6 7 8 9 1 0频 数力： 0 2 4 1 0 2 2 2 6 1 8 1 2 4 2 0在显著水平a = 0 . 0 5 下用/ 拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。解对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布仅K; 1 0 , p ) 来描述，其中p未知，可求其极大似然估计为1 10行 转 方 专 加 = 0 . 5设J 是十发射击中射中靶的个数，建立假设“o ： P ( g = k ) = ( 0 . 5 / ( 0 . 5 产 K,K=O,1, 1 0( KJ用力拟合优度检验法列表如下：10z2 = Z/=0i

144、%Pi咱000 . 0 0 0 9 770 . 0 9 80 . 0 9 8120 . 0 0 9 7650 . 9 761 . 0 74240 . 0 4 3 9 4 54 . 3 9 50 . 0 3 631 0 0 . 1 1 71 881 1 . 71 90 . 2 5 242 2 0 . 2 0 5 2 1 22 0 . 5 2 10 . 1 0 752 60 . 2 4 60 9 42 4 . 60 90 . 0 7961 80 . 2 0 5 2 1 22 0 . 5 2 10 . 3 1 071 2 0 . 1 1 71 881 1 . 71 90 . 0 0 7840 . 0

145、 4 3 9 4 54 . 3 9 50 . 0 3 6920 . 0 0 9 7650 . 9 761 . 0 741 000 . 0 0 0 9 770 . 0 9 80 . 0 9 8江鱼= 3 . 1 71np,取 a = 0 . 0 5 , %； 9 5 ( U T T 尸忌9 5 ( 9 ) = 1 6. 9 1 9由 于 / / ； 9 9 （ 3 ） ，所以拒绝“ 。即认为每只锭子纺纱条件不相同。第八章方差分析和回归分析8. 1 考察温度对某一化工产品得率的影响，选了五种不同的温度，在同一温度下做了三次实验，测得其得率如下，试分析温度对得率有无显著影响。解 把 原 始 数 据温

146、度6065707580均减去9 0后可列出如下计算表和9 09 19 68484方差分析表，厂表示因子水平数，得率9 29 39 68389为 重 复 实 验 次数。889 29 38382r = 5 / = 3 , = = 1 5计算表温度6065707580兀05- 2132663- 6- 7- 2- 6- 4- 8061 5- 1 5- 1 8= T 2/ 23 0 8, Z 货 =81 0 , J L = 9 . 6i j i S . = - x 81 0 - 9 . 6 = 2 60 . 4, 3S 7= 3 0 8- 9 . 6 = 2 9 8. 4Se = ST - SA = 3

147、 8方差分析表来源 平方和 自 由 度 均 方 和 F比7m L 反e2 60 . 43 841 065 . 13 . 81 7. 1总和2 9 8. 41 7( 4 , 1 0 ) = 6由于F = 1 7. 1 6 ,所以在a = 0 . 0 1 上水平上认为温度对得率有显著影响。8. 2 下面记录了三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日产量：试在显著性水平a = 0 . 0 5 下检验：（ 1 ） 操作工之间有无显著性差异？（ 2 ） 机器之间的差异是否显著？（ 3 ） 操作工与机器的交互作用是否显著？解用厂表示机器的水平数，s 表示操作工的水平数，/ 表示重复实验次数，列出计算表和

148、方差分析表:r = 4 , 5 = 3 , r = 3 , n = rst = 3 6为甲乙内X .A4 75 45 51 5 6A5 14 56 31 5 9A34 85 15 41 5 346 04 85 11 5 9y j20 61 982236 27=UO65, ZX 城 = 3 3 0 7 1i j k i j 止 = 98 3 0 7 , Z y ； = 1 3 1 3 6 9 , 我 )= 10 9 20 .25/JnS, = - X 98 3 0 7 - 1 0 920 .25 = 2.7 5从 9S. = 1 X 1 3 1 3 6 9- 1 O 92O .25 = 27 .

149、1 7B 1 2SAxB = ； x 3 3 0 7 1 - 1 0 920 .25 - 2.7 5 - 27 .1 7 = 7 3 .5 0ST = 1 1 0 6 5 - 1 0 920 .25 = 1 4 4 .7 5Se = 1 4 4 .7 5 - 2.7 5 - 27 .1 7 - 7 7 .5 0 = 4 1 .3 3方差分析表来源平方和自由度均方和F比机器A操作工6交互作用Ax8e2. 7 527 . 1 77 3 . 5 04 1 . 3 3326240 . 921 3 . 5 91 2. 251 . 7 23.40,%B=7.122 .5 1,所以在a = 0 .0 5水平

150、上，操作工有显著差异，机器之间无显著差异，交互作用有显著差异。8 .3通过原点的一元线性回归模型时怎样的？通过原点的二元线性回归模型是怎样的？分别写出结构矩阵X,正规方程组的系数矩阵XX ,解通过原点的一元线性回归模型： 西、X= ：- , XN=Z4xy = ( x ” X 2 a=lXN JP的最小二乘估计为N NP = ( XX) -lX Y = xaya/ xaa=l a=通过原点的二元线性回归模型：常数项矩阵xy,并写出回归系数的最小二乘法估计公式。 各4独立同分布，% N ( 0 , c r 2)5 、4)为 N, a -乃=4%|+夕2 / 2 + % a = l ,2,N各与独

151、立同分布，勿 N ( 0 , 4 )XX =X4a aa( XY = a W al a 7四,A的最小二乘估计为：8=8 = ( x% rxyI A J8 .4对不同的元麦堆测得如下数据：堆 号123456重量p2813270511103259021315181跨度/3. 253. 205. 073. 142. 904. 02试求重量对跨度的回归方程，并求出根方差b的估计值。解 设所求回归方程为力= 以+ / , 由数据可以求出：Z % =26523, =109230. 58, = 176598625a a a=21. 58； =80. 9374,N = 6a a由最小二乘法估计公式可知 p

152、J a - b PaaB = q- -= 4165. 85A = ( Z P a / 心2“ =一10562IV a I a故可得回归方程：p = -10562 + 4165. 85/人的估计是Na J |_ a a a JJ= 428538则。的估计为6 5 58 . 5设% = 月 + 笈 玉 + 夕2 ( 3 x ； - 2) + si z = 1 , 2, 3x = l , x2 = 0 , x3 = 1小孙鼻相互独立同服从于N（ 0 ,）o（ 1 ）写出矩阵X（ 2 ）求庆, 丹， 河的最小二乘估计（ 3 ）证明当居 =0时， , 四的最小二乘估计不变 1 - 1 1、解X = 1

153、0 - 2J 1 1 ( 2) xx= 10200、0 , X Y6%+% + 为0-2 %+为则，片, 片, 用的最小二乘估计是B：B= B =(xxyxYAK2J（1 、 （ 弘 + % + 为 ）；（ 一% + 力）1 z 、2 （ %一2 % + %）（ 6 ）（ 3 ）若河=0,此时模型成为:X - = Bo +4再+ = 1 , 2, 3 ,则对应的 1X = 1J0 , XN = c c , XP=必 当 % ,凤, 用的最小二乘估计是I。2J 1 -y+% )1 7B =: 。=(xxrxY、B i , 、1 , 、5（一 弘+%）8 . 6若y与x有下述关系：/ 二4+男3

154、+人 / + +4/+其中 N（ 0 , ） 从中获得了 n组独立观测值（ % , 兀 ） ，能否求出A， 四, , 凡 的最小二乘估计，试写出最小二乘估计的公式，能否检验假设。 ： 舟 = 0试写出检验的拒绝域。解若记= x ： , g =WX a = 1 , , ； i = 1 ， , P a = l4 = ( X a , ) ( X a j H)= ，Pa=4 。 = （ X . ） （ % ）i = L , Pa=则四， , 凡 的 最小二乘估计为下述方程组的解：A1A +，12/2 * *kpp =ko（4 1 3； +，22 A 12PBp =1励 （*）IplA + /p2 A

155、+ + IppPp = IpO用的最小二乘估计为：A = y- Ax, -若把方程组（ * ）的系数矩阵记为L,贝 | J L = 4） ，又 记 厂 =（ W） ,则在显著性水平a上 检 验 。 ： 4=0的拒绝域是：耳= 7 片- 1 一 。一1 ）其中，第 。 - - 即 0 。 n - p - a已知它们之间有下述关系式:8 . 7 某医院用光色比色计检验尿贡时，得尿贡含量与肖光系数读数的结果如下:尿贡含量X24681 0肖光系数y641 3 82 0 52 853 60%= 用 +万 丙 +与 i = l ,2 ,3 ,4 ,5各与相互独立，均服从N ( 0 , )分布，试求自,用的

156、最小二乘估计，并给出检验假设H。 ： 仇=0的拒绝域。解由数据可以求得，n = 5IX = 3 0 , x=6a2 兀 = 1 0 52 ,y= 2 1 0 . 4a= 2 2 0 ,2/兀 = 7 7 9 0 , = 2 7 5 9 9 0a a a乙 =4 0 ,勺 = 1 4 7 8, 4 = 54 64 9 . 2则，最小二乘估计为：A = - 1 1 . 3 , a = 3 6. 9 5检验假设。 ： 自 =0可用统计量6 4 ，4 4 )/ ( 2 )= 4 4 1 6 _a( L 3 ) = 3 4 . 1 ,a = 0 . 0 1因此，拒绝原假设。8 . 8 研究同一地区土壤中

157、所含植物可给态磷的情况，得 到 1 8组数据如下，其中,玉土壤内所含无机磷浓度x2土壤内溶于K 2 C 0 3 溶液并受溟化物水解的有机磷浓度当土壤内溶于K 2 C 0 3 溶液但不溶于溟化物的有机磷浓度y 载在2 0 C土壤内的玉米中可给态磷的浓度已知y与占, 2 ， 七之间有下述关系：X = A + 4/ + 夕 2 祝 + 夕 3 4 + 与 i = 1 ,2 ,1 8各与相互独立，均服从N ( 0Q2 )分布，试求出回归方程，并对方程及各因子的显著性进行检验。土壤样本y410. 4531586420. 4231636033. 119377140. 6341576154. 7245954

158、61. 7651237779. 4444681810. 13111793911. 629173931012. 658112511110. 937111761223. 146114961323. 150134771421. 64473931523. 15616895161. 936143541726. 8282021681829. 95112499由上述数据可以求得下面的结果:p = 3, = 18吊=11. 94,a =42. 11,弓= 123,歹= 81. 284自、1752. 96441085. 61111200. 0000、L =“21，22，23=1085. 61113155. 77

159、783364. 000041,32“33J 200. 00003364. 000035572. 0000,3231. 4778、=2216. 4445、7953. 0000,(I no、 /30)/ = /207”I2 0. 000725-0. 000248-0. 00000 PU = 尸产I23=-0. 0002480. 000437-0. 000033产产133k-0. 000001-0. 0000330. 000031 ?人4人A人ArI=3r 1.784780、= Ul= -0.083397,0.161133 ,A =歹-福-区司-标 =43.652198所求得的回归方程为y = 43

160、.65+ 1.78Xj -0.08x2 +0.16x3记Sr =Z(y 一y)2 = 12389.6111a3SR =.4o =6806.1115j=iSe = ST-SR =5583.4997对方乘作检验的F统计量为:sj pSJ(n-p-l)F= 5.688510.05 14) = 3.34故在a = 0.05的水平上方程是显著的。对各因子作F检验的统计量分别为“/(-p-1)11.02与95(1/4) = 4.60优产 S,/(-p l)=0.0399 95(L14) = 4.60肉产 s/s - p l)= 2.0822与 95(1，14) = 4.60故在a =0.05的水平上，玉是

161、显著的，/与七是不显著的。8.8某种膨胀合金含有两种主要成分，做了一批试验如表所示，从中发现这两种成分含量和x与合金的膨胀数y之间有一定关系。（1）试确定x与y之间的关系表达式（2）求出其中系数的最小二乘估计（3）对回归方程及各项作显著性检验试验号金属成分和X膨胀系数y137. 03. 40237. 03. 00338. 03. 00438. 53. 27539. 02. 10639. 51. 83740. 01. 53840. 51. 70941. 01. 801041. 51. 901142. 02. 351242. 52. 541343. 03. 90解（ 1）由散点图可知y与x的关系为

162、:yj3f)+ x + /32x2+并可假设 N（ 0,， ）。（ 2 ）由以上数据可求得:p = 2, = 137 = 40, & =x2 = 1603. 5, 9 = 2. 409231(L. ( 45. 50 3640. 00、L= 11 12 =/2, J ( 3640. 00 291325 J/J -6 . 3 7、 卜。 厂1-490. 08,f /11 严 )/5U70829 -0. 63936 Hl 尸 I22) ( 0. 369361 0. 007992 ,据最小二乘估计为：(8八 , 12. 620320、U J I 8156004 J/o = 9 一 - A & = 257. 069610则回归方程为:y = 257. 070-12. 620x + 0/1561( 3 )对方程作检验：S = Z (兀 5= 5. 019692aSR = 加 。 + 塌= 39370S- R =1. 0827SRS J( p l)= 18. 18 fj_0,05(2,10) = 4. 10故在a = 0. 05的水平上方程是显著的。对x及项作检验:R2K ” / ，1 ) = 28-7483 ,95(1,10) = 4. 96肉l22Se/(n -p -l)= 28. 1261 95( 10) = 496故方程中两项均为显著。