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1、1 1第三章第三章 光纤模式理论光纤模式理论第一节第一节 阶跃折射率光纤中的场模式阶跃折射率光纤中的场模式第二节第二节 弱导光纤中的线偏振模弱导光纤中的线偏振模第三节第三节 光波导中模式的普遍性质光波导中模式的普遍性质第四节第四节 波导横向非均匀性的微扰法处理波导横向非均匀性的微扰法处理第五节第五节 纵向非均匀性与模式耦合方程纵向非均匀性与模式耦合方程2 2第三节第三节 光波导中模式的普遍性质光波导中模式的普遍性质一一 模式的完备性和光场展开模式的完备性和光场展开二二 模式的正交性模式的正交性三三 模式正交性的证明模式正交性的证明四四 2 2的稳定性的稳定性一一 模式的完备性和光场展开模式的完
2、备性和光场展开o完备性完备性n光波导中的模式能完全反映其中的电磁场n任意纵向均匀无损纵向均匀无损光波导，波导中的电磁场总是可以表示为波导内沿z方向所支持的各导模和辐射模的迭加。n事实上，这也是本征值方程的重要性质。3 3任意被约束在纵向均匀光波导内沿z方向传播的电磁波均满足Helmholtz方程：波导内各模式的传输常数m和相应的场分布E Em满足：4 4n1,2不同导模p=+,-正反向传输的模式辐射模在其连续谱上的积分各模式的激发系数光场展开光场展开o光场展开光场展开n任意纵向均匀无损纵向均匀无损光波导，波导中的电磁场总是可以表示为波导内沿z方向所支持的各导模和辐射模的迭加。如果只研究在光波导
3、内传导的电磁波，则仅需要进行导模的迭加。否则应包括对辐射模的积分在内5 5由Maxwell方程可证，任意纵向均匀无损光波导，各模式场分布满足：积分遍及整个波导横截面二二 模式正交性模式正交性(n,p)沿z方向传输的光功率 m,n m,n 模式序号模式序号q,p q,p 模式传播方向（模式传播方向（+ +，- -）物理意义物理意义o不同模式之间彼此正交不同模式之间彼此正交o导模之间、导模与辐射模之间、辐射模之间均正交导模之间、导模与辐射模之间、辐射模之间均正交o正反向传输的同一模式之间也彼此正交正反向传输的同一模式之间也彼此正交6 6考虑有考虑有N N个导模在波导中沿个导模在波导中沿+z+z方向
4、传输的情况，光波导中电磁场方向传输的情况，光波导中电磁场所传导的总功率：所传导的总功率：物理意义：物理意义：波导中总波导中总的光功率等于各个模的光功率等于各个模式光功率之和式光功率之和波导中总的光功率波导中总的光功率模式正交性模式正交性光波导中各模式的场分布均有一个待定积分常数（如光波导中各模式的场分布均有一个待定积分常数（如E E0 0或或H H0 0）针）针对所研究的问题，这一常数通过适当选取归一化条件确定。常用对所研究的问题，这一常数通过适当选取归一化条件确定。常用的归一化条件是：的归一化条件是：(1)(1)按按“1 1”归一化归一化(2)(2)按总功率归一化按总功率归一化7 7模式正交
5、性的物理含义模式正交性的物理含义o在任意纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的，互在任意纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的，互不影响。光场展开式中各模式展开系数的模表示该模式所携不影响。光场展开式中各模式展开系数的模表示该模式所携带的光功率的百分比。波导中总的光功率等于各个模式光功带的光功率的百分比。波导中总的光功率等于各个模式光功率之和率之和o在任意纵向均匀无损光波导中，各模式之间不发生能量的交在任意纵向均匀无损光波导中，各模式之间不发生能量的交换和耦合，沿正反方向传输的同一个模式也如此！换和耦合，沿正反方向传输的同一个模式也如此！o正交性存在于任意两个不同模式之间，例如：正反向
6、传输的正交性存在于任意两个不同模式之间，例如：正反向传输的同一模式相互正交；导模与辐射模相互正交；任意两个具有同一模式相互正交；导模与辐射模相互正交；任意两个具有不同不同值的辐射模相互正交。值的辐射模相互正交。8 8线偏振线偏振(LP)(LP)模的正交性模的正交性弱导光纤弱导光纤若重新选择归一化条件，线偏振模的正交性也常写为：内容回顾内容回顾o完备性完备性n光波导中的模式能完全反映其中的电磁场o光场展开光场展开n任意纵向均匀无损纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加o模式的正交性模式的正交性n在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的在纵向均匀无损光波
7、导中，模式是相互独立传输的n各模式之间不发生能量的交换和耦合各模式之间不发生能量的交换和耦合n沿正反方向传输的同一个模式也如此！沿正反方向传输的同一个模式也如此！n波导中总的光功率等于各个模式光功率之和波导中总的光功率等于各个模式光功率之和任意纵向均匀无损光波导任意纵向均匀无损光波导弱导光纤弱导光纤1010三三 模式正交性的证明模式正交性的证明纵向均匀波导中的任意两个模式：（m,q）&（n,p）MaxwellMaxwell方程方程(1) (2)(3)(4)(5) (6)1111整个波导横截面整个波导横截面S S积分积分 二维散度定理二维散度定理 S的边界l的外法线方向S足够大边界上的电磁场可忽
8、略mn或 pq0m=n且p=q(n,p)功率的4倍模式正交性的证明模式正交性的证明1212LPLP模正交性的证明模正交性的证明考虑弱导光纤中的任意两个模式，满足标量波动方程考虑弱导光纤中的任意两个模式，满足标量波动方程波导横截面波导横截面S S积分积分 二维散度定理二维散度定理mn或 pq0m=n且p=q(n,p)功率的2倍任意两个线偏振模(1) (2)S足够大边界上的电磁场可忽略1313弱导光波导中，任意线偏振模的横向场n，满足标量波动方程波导横截面波导横截面S S积分积分 二维散度定理二维散度定理0结论：对于给定的波导结构和工作波长，模式传输常数的结论：对于给定的波导结构和工作波长，模式传
9、输常数的平方可以由相应的模式场分布得到平方可以由相应的模式场分布得到四四 2 2的稳定性（传输常数与场分布关系）的稳定性（传输常数与场分布关系）S足够大边界上的电磁场可忽略附录P4901414 2 2的稳定性的稳定性二维散度定理二维散度定理0标量波动方程标量波动方程展开忽略二阶小量展开忽略二阶小量问题：问题：波导横截面波导横截面S S积分积分复共轭，也为复共轭，也为0 01515 2 2的稳定性的含义的稳定性的含义结论：对于场分布的微小变化， 2 2是稳定的是稳定的在任意纵向均匀光波导中，由于各种原因所导致的模式的场分布的微小变化不会对模式的传输特性造成影响。在分析纵向均匀光波导中模式的传输特
10、性时，可以用一个不太准确的近似场分布函数得到较为准确的模式传输特性。是光波导近似分析方法（特别是变分法）的基础，在同一级近似下，模式传输的精确度优于场分布。1616本节小结本节小结o模式完备性模式完备性n光波导中的模式能完全反映其中的电磁场o模式正交性模式正交性n在纵向均匀无损光波导纵向均匀无损光波导中，模式相互独立传输独立传输n各模式之间不发生能量的交换和耦合n沿正反方向传输的同一个模式也如此o 2 2的稳定性的稳定性n对于场分布的微小变化， 2 2是稳定的是稳定的第三章第三章 光纤模式理论光纤模式理论第一节第一节 阶跃折射率光纤中的场模式阶跃折射率光纤中的场模式第二节第二节 弱导光纤中的线
11、偏振模弱导光纤中的线偏振模第三节第三节 光波导中模式的普遍性质光波导中模式的普遍性质第四节第四节 波导横向非均匀性的微扰法处理波导横向非均匀性的微扰法处理第五节第五节 纵向非均匀性与模式耦合方程纵向非均匀性与模式耦合方程第四节第四节 波导横向非均匀性的微扰法处理波导横向非均匀性的微扰法处理一一 理论模型理论模型理论模型理论模型二二二二 微扰处理微扰处理微扰处理微扰处理一一 理论模型理论模型n1n2ab阶跃型折射率剖面阶跃型折射率剖面横向非均匀横向非均匀横向非均匀性问题横向非均匀性问题n1n2ab横向折射率非均匀分布横向折射率非均匀分布波导界面不规则波导界面不规则微扰法统一处理微扰法统一处理寻找
12、一个波导结构与横向非均匀波导结构相近，模场解已知，用已知的解析解近似描述不可解问题！微扰法微扰法两个相近的弱导波导结构：1 1、可解、可解2 2、不可解、不可解折射率分布模场分布传输常数折射率分布模场分布传输常数只有微小差异时，其解可用n0的已知解构造已知未知模式的完备性模式的完备性严格地，这里没有强调写出辐射模在连续谱上的积分严格地，这里没有强调写出辐射模在连续谱上的积分？任务即是求解两？任务即是求解两个修正因子个修正因子横截面上积分？二二 微扰处理微扰处理(1) (2)令n = m正交性一阶微扰近似一阶微扰近似二维散度定理二维散度定理差异甚小，一阶一阶近似即可！必要时，可以进行反复迭代，做
13、高阶高阶微扰处理！一阶微扰解一阶微扰解一阶微扰近似解为第三章第三章 光纤模式理论光纤模式理论第一节第一节 阶跃折射率光纤中的场模式阶跃折射率光纤中的场模式第二节第二节 弱导光纤中的线偏振模弱导光纤中的线偏振模第三节第三节 光波导中模式的普遍性质光波导中模式的普遍性质第四节第四节 波导横向非均匀性的微扰法处理波导横向非均匀性的微扰法处理第五节第五节 纵向非均匀性与模式耦合方程纵向非均匀性与模式耦合方程纵向非均匀性纵向非均匀性光波导的纵向不均匀起因：制作不完善；使用时引入；人为引入芯包分界面不均匀芯包分界面不均匀芯子直径纵向变化芯子直径纵向变化 纵向不均匀纵向不均匀制作不完善制作不完善使用时引入使
14、用时引入重力影响导致的光纤纵向受力不均，引起重力影响导致的光纤纵向受力不均，引起几何尺寸和折射率分布不均匀几何尺寸和折射率分布不均匀人为引入：光纤光栅，人为引入：光纤光栅，重要的光纤器件！重要的光纤器件！理想波导理想波导均匀均匀实际波导实际波导不均匀不均匀折射率分布模场分布传输常数差异甚微缓变函数场方程波导纵向非均匀性的处理方法波导纵向非均匀性的处理方法已知已知模式的完备性，未知场用已知场展开：z的缓变函数模式展开模式展开忽略忽略耦合方程耦合方程耦合系数：耦合系数：模式（m,q）（n,p）之间的振幅耦合系数纵向非均匀性将引起各传导模式之间的耦合，纵向非均匀性将引起各传导模式之间的耦合，随着模式
15、在波导内的传输，各模式交换携带的能量，随着模式在波导内的传输，各模式交换携带的能量，是对光波导分析和设计的理论基础是对光波导分析和设计的理论基础模式耦合方程！模式耦合方程！乘乘横截面积分& 模式正交性，且第三章第三章 要求要求o阶跃折射率光纤中矢量模和线偏振模及其特征阶跃折射率光纤中矢量模和线偏振模及其特征方程的求解方法和基本思路方程的求解方法和基本思路o矢量模和线偏振模的分类、弱导近似下矢量模矢量模和线偏振模的分类、弱导近似下矢量模的简并性及其与线偏振模的关系。的简并性及其与线偏振模的关系。o模式的正交完备性（了解）模式的正交完备性（了解）o微扰法处理横向非均匀性光波导（了解）微扰法处理横向非均匀性光波导（了解）o模式耦合方程（了解）模式耦合方程（了解）
