《二阶系统的定性分析ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二阶系统的定性分析ppt课件（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本节首先详细讨论相平面上线性系统平衡点的分类, 其次描述有界轨道极限集合的结构, 最后介绍有关相平面上极限环的一些基本知识. 5.2 二二维维系系统统的定性分析的定性分析一、二一、二维维常系数常系数线线性系性系统统平衡点的分平衡点的分类类考察二维线性系统 其中 A 为二阶常实阵, 且 由此即见 (5.2.1) 有惟一的 平衡点为讨论平衡点附近轨道的性质，我们通过相空间坐标的线性变换来简化方程. 且设它们是不相等的实数，则存在两个线性无关的右实特征向量 设矩阵 A 的两个特征值为 使得将这两个线性无关的右实特征向量组成矩阵 并记对角阵 则可写成矩阵形式 于是可作线性变换于是方程化为即得方程 方程
2、组在 t=0 时过点 的解为可见正负 半轴，正负 半轴是四条轨线， 还有原点是轨线，除了这特殊的五条轨线外，其他的轨线可以从(5.2.2)中消去变量 t 得到, 轨线的方程为： 可见这些轨线都相似于轨线 所以在画轨线 (5.2.2)* 时， 只要画一条轨线，然后根据对称性和相似性可画出其他轨线. 决定, 轨线的走向由特征值的正负来决定. 注：轨线的形状由比值以下分几种情况来讨论.情况1: 两特征值为同号但不相等,不妨设 除了特殊的五条轨线（它们是平衡点和四条在原点的切线方向为特征方向的轨线)，其他的轨线是(广义的)抛物线. 除平衡点外, 有两条特殊的轨线, 它们在平衡点的切线方向是绝对值较小的
3、特征值对应的特征方向, 而其它轨线在平衡点的切线方向都与绝对值较大的特征值对应的特征方向相同, 其邻域内具有这样性态轨线的平衡点称为结点(node). 当两个特征值均为负数时,上述结点为渐近稳定的. 我们称这 样的结点为渐近稳定. 情况 2. 两特征值异号，不妨设 除了特殊的五根轨道外(它们是平衡点和四条在原点的切线方向为特征方向的轨线)，其他轨道是（广义的）双曲线，轨线的分布类似于马鞍面的等位线, 故称这种平衡点为鞍点(saddle point). 鞍点是不稳定的. 一般的非常系数的二维自治系统的鞍点的定义: 若在平衡点的邻域中有且只有有限条在平衡点相切的轨线. 当两个特征值均为正实数时，上
4、述结点是不稳定的, 从而其对应的平衡点称为不稳定结点. 这种在平衡点的任意方向都有轨线在平衡点相切, 这种平衡点称为奇结点,也称为星形结点. 时为渐近稳定奇结点, 时为不稳定奇结点. 情况 4. 这时任何方向都是特征方向, 除了平衡点外, 其他的轨道为从平衡点出发, 方向为任意 的(不包括平衡点)的射线这时只有一个特征方向 但存在广义实特征向量串 使得 则有 其中 于是可作线性变换 方程化为即得方程 (5.2.1) 变成其解为 除了三条特殊的轨道（原点和正负 半轴）外， 消去 (5.2.3) 中的 t, 得其他的轨线方程:情况 5. 我们可以选取其中的一个特征值使得 可以选取其中的一个特征值
5、使得 除了平衡点外, 在平衡点的邻域所有轨线在平衡点处的切线方向都相等(在此为 轴方向, 对于原方程, 这方向就是特征方向 ), 具有这种性质的平衡点称为退化结点, 平衡点为渐近稳定的退化结点. 平衡点是不稳定的退化结点. 设对应的特征向量为 其中 必都为非零实向量，于是 令其实部与虚部分别相等， 得下面证明 是线性无关的:证: 反证法, 若不然, 则存在非零实常数c 使 于是 得矛盾 因为等式左边是实向量，而等式右边是虚向量), 证毕.因此 T是非奇异的矩阵. 于是可作线性变换 方程化为即得标准的实方程 即利用极坐标变换, 即令代入 (5.2.4) 得由此即得 (5.2.4) 的极坐标形式通
6、解 消去变量 t , 得轨道方程:这种当 t 趋向正无穷大或负无穷大时, 平衡点的邻域中的轨道盘旋地趋于平衡点, 这样的平衡点称为焦点 (focus). 平衡点称为渐近稳定焦点; 平衡点称为不稳定焦点. 由 (5.2.5) 即见r 为常数, 从 (5.2.5) 即可看出, 除平衡点外, 当 时, (5.2.4) 的轨道是对数螺旋线, 从 (5.24)* 可见, 当 时顺时针盘旋, 当 时逆时针盘旋. 随着 t 增大，轨道上的点盘旋地远离平衡点, 随着 t 增大，轨道盘旋地趋于平衡点.综上所述, 可得如下定理：定理 5.2.1 如果二维常系数实线性系统 (5.2.1) 的系数矩阵是非奇异的, 则
7、系统的平衡点将根据特征方程的根的性质而分别具有下列的不同特性： 因此轨线是以平衡点为中心的闭轨 (在此是圆, 对于原方程而言一般是椭圆). 这种在平衡点的邻域充满闭轨的平衡点称为中心(centre). 中心是稳定的但不是渐近稳定的. 为实根, 则当时平衡点为结点, 且当时结点是渐近稳定的, 当时, 平衡点为不稳定的; 平衡点为鞍点, 鞍点是不稳定的. (i) 如果特征值 (ii) 如果特征值为重根, 则当矩阵A 不是数量矩阵时 平衡点为退化结点, 不然, 平衡点为奇结点. 这两类结点均为渐近稳定的; 平衡点不稳定. 例 5.2.1 判定系统 x=x+2y, y=-2x+5y 平衡点类型和稳定性
8、. 解 特征方程 有二重根 而系数矩阵不是数量矩阵, 因此平衡点为不稳定退化结点. 当 时平衡点为焦点, 且当 时此焦点是渐近稳定的, 而 时, 平衡点是不稳定的; 时, 平衡点为中心, 平衡点是稳定的但不是渐近稳定的.(iii) 如果特征值为共轭虚根, 即当二、二维系统轨道极限集合的结构和极限环 本身就是一条闭轨, 或者它的 有界, 且不含有平衡点, 则 是一条闭轨L, 且当 盘旋逼近于L. 定理 5.2.2 (Poincare-Bendixson) 若二维系统 (5.2.6) 的轨道其中P, Q 在相平面上连续可微, 从而保证 (5.2.6) 的解由初值所惟一确定. 假设 (5.2.6)
9、所有的轨道构成一个动力系统. 则其 的结构是怎样？讨论二维定常系统最多只包含有限个平衡点;则下列三种情形之一成立：定理 5.2.3 若二维系统 (5.2.6) 的非闭轨道 有界, 且由惟一的一个平衡点q组成; 当趋于q; 由一条闭轨L 构成; 当 盘旋地逼近于L;是由有限个平衡点和一些极限轨道构成, 当 这些极限轨道都各自分别趋于这些平衡点当中之一. (ii) (iii) (i) 的内域 G 内, 都至少含有一个平衡点. 定理(Bendixson) 5.2.4 二维系统在任何一个闭轨-极限集或 -极限集，则称这个闭轨为极限环. 定义: 若一个闭轨是另一轨道的 的邻域的轨道分布和走向，有如下几种
10、情况：关于二维系统的闭轨 时，盘旋趋向闭轨 的某一内侧环形邻域内的轨道都是非闭轨，且都以 为它们的公共 (b) 内稳定环 从闭轨 极限轨道, 即 的某一外侧环形邻域轨道的轨道都是非闭轨，且都以 (c) 外不稳定环 从闭轨为它们的公共 极限轨道, 即 时，盘旋趋向闭轨 . 的某一外侧环形邻域内的轨道都是非闭轨，且都以 时，盘旋趋向闭轨 为它们的公共 极限轨道, 即 (a) 外稳定环 从闭轨我们称内外都稳定的环为稳定的极限环，称内外都不稳定的环为不稳定的极限环，称一侧稳定另一侧不稳定的环称为半稳定极限环. 的某一内侧环形邻域轨道的轨道都是非闭轨，且都以 (d) 内不稳定环 从闭轨 为它们的公共 极
11、限轨道, 即 时，盘旋趋向闭轨 (e) 外周期环 闭轨 有某一外侧环形邻域为闭轨所充满. 有某一内侧环形邻域为闭轨所充满. 的任意小外侧环形邻域内既有闭轨也有非闭的轨道. (f) 内周期环 闭轨 (g) 外复合环 在 (g) 内复合环 在 的任意小内侧环形邻域内既有闭轨也有非闭 的轨道. 代入(5.2.7)得极坐标下的微分方程：它有解在原坐标下是一个最小正周期为 的周期解. 对应的轨道是闭轨，是圆心在原点的单位圆 解 为了研究这个系统极限环的存在性, 考虑相空间的直角坐标 (x,y) 到极坐标 的坐标变换: 例 5.2.2 给定二维系统试讨论其极限环的存在性, 若存在找出它并且确定其稳定性.现
12、在可以证明这个闭轨是方程惟一的闭轨. 反证法: 若有另一个闭轨, 由于不同的轨道不相交, 这个闭轨只可能有三种情况. 1. 在圆 r=1 外，但不包围圆 r=1;2. 在圆 r=1 外，包围圆 r=1; 3. 在圆 r=1 内. 首先，第一种情况是不可能的，因为根据定理 5.2.4，这闭轨将包围一平衡点，这与方程只有一个平衡点矛盾. 因此第二种情况也是不可能的. 再看第二种情况，这时在 r=1 外的闭轨 r1, 从方程看到在这闭轨上 r0，同理可证不存在其他闭轨. 因此，本例的系统存在惟一的闭轨 r=1, 是极限环. 而且从环 r=1 的内外侧 r 的正负性可知 r=1 是不稳定的极限环.对于
13、一般的二维非线性系统，并不是总可以用极坐标变换来求出极限环的，因此下面介绍一个判断极限环的存在性定理 所围成的闭环域 D 它满足如下条件：定理 5.2.5 (Poincare-Bendixson 环域定理) 对于系统 (5.2.6), 若在区域G 内存在由两条简单闭曲线 在 (i) 的内域; 和外边界 相交的轨道都在t 增加 (减小) 时从 D 的外部进入它的内部; 则在 D 内至少存在一个外侧稳定 （不稳定）环和一个内侧稳定 (不稳定) 环 (这两个环可能都是极限环，也可能重合成一个 稳定 (不稳定) 极限环), 它(们)包围 D 的内边界 在其内部. (ii) D 上不含有平衡点; (ii
14、i) 所有与 D 的内边界 证明：反证法. 若不然，任取经过边界的一条轨道 在t 增加 (减小) 时从 D 的外部进入它的内部, 考虑它的 极限集 它必位于闭环域 D内，由定理 5.2.3 它本身就是一个闭轨. 由定理 5.2.4它必包围 D 的内边界 在其内部, 且具有定理所叙述的稳定性. (即在 D 上不变号) 且在 D 的任何子域中不恒为零; 则 (5.2.6) 不存在全部位于 D 内的闭轨. 证明: 反证法. 若在 D 内存在闭轨 以F 记由L 围成的闭区域, 不妨设闭轨L 的走向是 F 的正方向, 于是据 Green 公式和 (5.2.6) 有其中积分上限中取正号或负号由周期轨道是逆时针或顺时针运行而定. 这与定理假设矛盾. 定理证毕.
