2.1.1 平面平面 一一. .平面的概念：平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果是现实平面加以抽象的结果二二. .平面的特征：平面的特征： 平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的间是无限延伸的 三三. .平面的画法：平面的画法：（（1）水平放置的平面：）水平放置的平面：（（2）垂直放置的平面：）垂直放置的平面：aß通常把表示平面的平行四边形的锐角通常把表示平面的平行四边形的锐角画成画成450 （（3）在画图时，如果图形的一部分被另一）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画可以不画 四四. .平面的表示方法：平面的表示方法：ABCD 平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表 平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示点字母表示 如：平面 如：平面α，，平面平面β，，平面平面ABCD，，平面平面AC平平面面BD等。
等 1、判断下列各题的说法正确与否，在正、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打确的说法的题号后打 ，否则打，否则打 :1、一个平面长、一个平面长 4 米，宽米，宽 2 米；米； ( )2、平面有边界；、平面有边界； ( )3、一个平面的面积是、一个平面的面积是 25 cm 2；； ( )4、菱形的面积是、菱形的面积是 4 cm 2；； ( )5、一个平面可以把空间分成两部分、一个平面可以把空间分成两部分. ( )练习练习 2、图中平面、图中平面α与平面与平面β是否为同一平面？是否为同一平面？αβαβαβ不是不是是是不是不是练习练习 五五. .用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：A AB Ba a 点点A A在直线在直线a a上：上：记为：记为：A∈aA∈a点点B B不在直线不在直线a a上：上：记为：记为：B∈aB∈a 点 点A A在平面在平面αα上：上： 记为：记为：A∈αA∈α点点B B不在平面不在平面αα上：上：记为：记为：B∈ αB∈ αA AB Bαα(1)(1)点与直线的位置关系：点与直线的位置关系：(2)(2)点与平面的位置关系：点与平面的位置关系： (3)(3)直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系： 直线直线a a上的所有点都在平面上的所有点都在平面αα上，称直线上，称直线a a在平面在平面αα内，或称平面内，或称平面αα通过直线通过直线a.a.记为：记为： 直线直线a a与平面与平面αα只有一个公共点只有一个公共点A A时，称直时，称直线线a a与平面与平面αα相交。
记为：相交 记为：a∩αa∩α＝＝A A 直线直线a a与平面与平面αα没有公共点时，称直线没有公共点时，称直线a a与与平面平面αα平行 记为：平行 记为：a∩αa∩α＝＝φ φ 或或 a∥α.a∥α.ααa aααA Aa aααa a (4)(4)平面与平面的位置关系：平面与平面的位置关系：ααββααββa aβαα 当平面 当平面α上的所有点都在平面上的所有点都在平面β上时，称平面上时，称平面α与与平面平面β重合 当两个不同平面 当两个不同平面α与平面与平面β有公共点时，它们的公有公共点时，它们的公共点组成集合共点组成集合a，，称平面称平面α与平面与平面β相交 记：相交 记： α∩ β＝＝a 当平面 当平面α与平面与平面β没有公共点时，称平面没有公共点时，称平面α与平面与平面β平行记：平行记： α∩ β＝＝φ或或α ∥∥ β 五五. .用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：B Ba aA∈aA∈aB∈aB∈aA∈αA∈αB∈αB∈αααααa aααA Ab ba aA AA AB Bb∩αb∩α＝＝A Aa∩αa∩α＝＝φ φ 或或 a∥αa∥αααββααββa aβααα∩β α∩β ＝＝a aα∩ β＝＝φ或或α ∥∥ βΑΑ与与ββ重合重合 例题分析例题分析用符号表示下列图形中点、直线、平面用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系之间的关系...αβaAB(1)αβPab(2) 例例2.2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。
把下列语句用集合符号表示，并画出直观图1 1）点）点A A在平面在平面αα内，点内，点B B不在平面不在平面αα内，点内，点A A，，B B 都在直线都在直线 a a上；上；（（2 2）平面）平面αα与平面与平面ββ相交于直线相交于直线 m m，，直线直线 a a 在平在平 面面αα内且平行于直线内且平行于直线 m.m.αβmaααA AB Ba 公理公理1.1.如果一条直线上两点在一个平面内，如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）内（即直线在平面内）αlAB桌面桌面αAB观察下列问题，你能得到什么结论？观察下列问题，你能得到什么结论？ 公理公理1.1.如果一条直线上两点在如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）即直线在平面内）αlAB文字语言：文字语言：图形语言：图形语言：符号语言：符号语言： 公理公理2.2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. .αACB观察下列问题，你能得到什么结论观察下列问题，你能得到什么结论_？？BCA 文字语言：文字语言：图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：公理公理2.2.过不在同一直线上的三点，有且只过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面有一个平面. .αACB 推论推论1.1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
一条直线和直线外一点唯一确定一个平面αlABC推论推论2.2.两条相交直线唯一确定一个平面两条相交直线唯一确定一个平面推论推论3.3.两条平行直线唯一确定一个平面两条平行直线唯一确定一个平面 公理公理3.3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线这两个平面有且只有一条过该点的公共直线Pαβa观察下列问题，你能得到什么结论？观察下列问题，你能得到什么结论？P天花板天花板α墙面墙面β墙面墙面γ 文字语言：文字语言：图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：公理公理3.3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线这两个平面有且只有一条过该点的公共直线PLαβ （（×））（（×））（（×））（（×））课本课本P48练习练习1、、2、、3 ③③四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？ 为什么？为什么？练习练习①①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？②②三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？④④用符号表示下列语句，并画出图形：用符号表示下列语句，并画出图形： ⑴⑴点点A在平面在平面α内，点内，点B在平面在平面α外；外；⑵⑵直线直线 在平面在平面α内，直线内，直线m不在平面不在平面α内；内；⑶⑶平面平面α和和β相交于直线相交于直线 ；；⑷⑷直线直线 经过平面经过平面α外一点外一点P和平面和平面α内一点内一点Q ；；⑸⑸直线直线 是平面是平面α和和β的交线，直线的交线，直线m在平面在平面α内内, 和和m相交于点相交于点P. 练习：根据下列条件作图：练习：根据下列条件作图：（（1 1））A∈αA∈α，，a αa α，，A∈aA∈a；；（（2 2））a αa α，，b αb α，，c c αα且且a∩b=Aa∩b=A，，b∩c=Bb∩c=B，， c∩a=Cc∩a=C（（3 3））α∩β=lα∩β=l，，A∈αA∈α且且A∈βA∈β 。