电路分析基础第8章 一阶电路分析

l重点：1、零输入响应、零状态响应2、三要素法第8章 一阶电路分析NC+_CusR§ RC电路一、零输入响应+_U0+_ucRCt=0换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流根据换路定律可知uC (0+) = uC (0－)= U0uC(0－)=U0等效t=0+时刻等效电路+_ucRCi特征根特征方程RCs+1=0则齐次微分方程的通解为 根据KVL电路中电流电阻电压常系数线性一阶齐次微分方程代入初始值 uC (0+)=uC(0－)=U0K=U0tU0uC0I0ti0（1）电路中电压、电流均以相同指数规律变化；结论连续函数跃变令  =RC , 称 为一阶电路的时间常数（2）电压、电流变化快慢与RC有关；时间常数  的大小反映了电路过渡过程时间的长短 大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短U0tuc0 小 大工程上认为, 经过 3－5, 放电过程基本结束：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0  2 3 5U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 +_+_uct=011V651/5F例t=0时,开关打开，求 (1) uC(t); (2) iC(t); (3)WC(t=1)。

解uC(0－)=5V由换路定律得+_uc51/5Fict=0+时刻等效电路uC (0+) = uC (0－)=5V电路方程二、零状态响应动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加输入激励作用所产生的响应uC (0+) = uC (0－)= 0+_Us+_ucRCt=0+_Us+_ucRCt=0+时刻等效电路常系数线性一阶非齐次微分方程特征根特征方程RCs+1=0则齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 代入一阶非齐次微分方程中得uC (0+)=K+US= 0 K= － US由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 K全解ti0UStuc0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；从以上式子可以得出：连续函数跃变 （2）零状态响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快电路的初始状态不为零，同时又有外加独立源作用时电路中引起的响应三、全响应+_CUsR+_uC假设 uC (0+) = U0特征根特征方程RCs+1=0则齐次微分方程的通解为 微分方程设非齐次微分方程的特解为 代入一阶非齐次微分方程中得uC (0+)=K+US=U0 K= U0－ US由起始条件 uC (0+)=U0 定积分常数 K全解强制响应（稳态解）固有响应或自由响应（暂态解）uCh-USU0暂态解uCpUS稳态解U0uc全解tuc0（1） 着眼于电路的两种工作状态零状态响应零输入响应(2). 着眼于因果关系便于叠加计算tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0+_9V+_uct=0+_4Vt=0iR633+_9V+_uciR63+_3V+_uc2例求 (1) uC(t); (2) iR(t); 解(1)由换路定律得(2)t=0+时刻等效电路uC (0+) = uC (0－)=2V等效+_9V+_uciR63i1iC验证：+_3V+_uc21:10●●+_3V1Ω+_u1i1+_u2t=0作业求 uC(t); +_12V+_uc1At=06124求 u1(t); u2(t); i1(t); 作业§ RL电路一、全响应等效NL根据KCL+_LuLRISiR常系数线性一阶非齐次微分方程特征根特征方程则齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 代入一阶非齐次微分方程中得 K= I0－ IS由起始条件 iL (0+)=I0 定积分常数 K全解强制响应（稳态解）固有响应或自由响应（暂态解）零状态响应零输入响应例求 (1) iL(t); (2) uL(t); 解+_+_iLt=03V351HuLiL (0+) = iL(0－) = 1 A+_8V+_uL0.5At=0881HiiL例求 (1) iL(t); (2) uL(t); （3） i(t); 解iL (0+) = iL(0－) = 1 A+_8V+_uL0.5A881HiiL1.5A41H+_uLiR换路后电路+_8V+_uL0.5A881HiiL作业求 i1(t); i2(t); 2:1●●+_5V10Ω+_u1i1+_u2t=0i21H1H1:25●●+_3V5Ω6.25Ω+_75V5×625例照相机闪光灯的工作原理快门未按下，充电时间快门按下，RC电路零输入响应，放电时间6.25+_75V一阶电路的数学模型是一阶微分方程：其全解形式可变为：§ 三要素法全解为：如果τ>0，当t→∞时：RCRL令 t = 0+1. 初始值 f(0+) 的计算2. 直流稳态值 f(∞)的计算3. 时间常数τ的计算 直流激励下一阶电路的全响应取决于f (0+)、 f ()和 这三个要素。

只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应1）由 t = 0- 的电路(L短路，C开路)算出 uc(0-) 或 iL(0-)；（2） 根据uc 或 iL 不跃变，则 uc(0+) = uc(0-)，iL(0+) = iL(0-)；（3）若要算出其它变量的初始值，可用 uc(0+) 或 iL(0+) 的独立源替代C或L，建立 t = 0+ 的等效电路算出 f(0+)在t > 0的电路中，由L短路，C开路后的等效电路求出 f(∞) 将动态元件开路，求出戴维南（诺顿）电路等效电阻 Ro，则τ = RoC 或τ = L/Ro例1t=0时 ,开关由a→b，求t>0后的 uc(t)解三要素为：+_+_uc0.1Ft=0+_10V5Ω10Ω5Ω30Vab+_+_18V+_uc1At=0i1233uR例2t=0时 ,开关闭合，求t>0后的 uc(t)， uR(t)， i(t)1、求uc(t)解+_+_18V+_uc1A1233uRt=∞时电路2、求uR(t)【三要素法】+_+_18V+_uc1A1233uRt=0+时刻电路+_+_3V1A33uR+_+_18V+_uc1A1233uRt=∞时电路3、求i(t) 【三要素法】t=0+时刻电路+_+_18V+_uc1A1233uRit=∞时电路+_+_18V+_uc1A1233uRi2、求uR(t)【法二】3、求i(t) 【法二】+_+_18V+_uc1A1233uRi+_4V+_u(t)t=0421H例3t=0时 ,开关闭合，求t>0后的 u(t)解+_4V+_u(t)421H+_4V1、求uc(t)2、求uR(t)3、求u(t)作业2A+_u(t)t=0421H§ 分段一阶电路 前面在讨论一阶电路时，主要是考虑电路切换一次，假如电路又一次切换，或多次切换；对于这一类电路，可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，在每个区间内分别用三要素法来求解电路的响应。

+_+_uct=09V361/6Ft=1/3st = 0 时开关闭合, t =1/3s时开关打开，求电容上电压变化0 ≤ t < 1/3st ≥ 1/3s解例tuc6(V)1/30+_+_uRaiL1H2V1bt = 0时开关b→a, t =1/5s时开关a→b ，求电感电流和电阻电压作业§ 阶跃函数和阶跃响应1. 单位阶跃函数l 定义t (t)01l 单位阶跃函数的延迟t (t-t0)t001t = 0开关闭合IsKu(t)KUu(t)u(t)（1）在电路中模拟开关的动作t = 0开关闭合l 单位阶跃函数的作用（2）延迟一个函数tf(t)0tf(t)0t0（3）起始一个函数tf(t)0t0l 用单位阶跃函数表示复杂的信号例 1(t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0)例 21t1 f(t)0243例 41t1 f(t)0例 31t2 f(t)05432. 一阶电路的阶跃响应 单位阶跃信号( t ) 作用下电路的零状态响应称为电路的单位阶跃响应，用符号 S( t ) 表示任意阶跃信号Uo ( t ) 对电路的零状态响应称为阶跃响应，其值为U0S( t )。

阶跃响应+_CR+_uCtuc1t0i（1）比例性线性非时变电路的几个基本性质（2）叠加性（3）时延性+_CR+_uCtuS(t)021§ 冲激函数和冲激响应（不作要求）§ 非直流信号的一阶电路分析+_0.02F+_uC10解例微分方程特征根特征方程s+1=0则齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 代入一阶非齐次微分方程中得全解 K= 由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数K+_12V+_uct=0RC+_4Vt=0s2s1+_25V+_uc+_15Vt=0i152020+_5i1。