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1、第四章 图像的几何变换图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换n n我们知道，图像是对三维实际景物的平面投影。为了观测需要，常常需要进行各种不同的几何变换。注意一点，实际上几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1 4.1 图像的位置变换n n所谓图像的位置变换是指图像的大小和形状不发生变化，只是将图像进行旋转和平移。n n图像的位置变换主要是用于目标识别中的目标配准。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1.1 4.1.1 图像的平移n n图像的平移非常简单，
2、所用到的是中学学图像的平移非常简单，所用到的是中学学过的直角坐标系的平移变换公式：过的直角坐标系的平移变换公式： 注意：x方向与y方向是矩阵的行列方向图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1.1 4.1.1 图像的平移注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。下移1 1行，右移2 2列图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1.2 图像的镜像镜像分为水平镜像和垂直镜像镜像分为水平镜像和垂直镜像 水平镜像计算公式为：水平镜像计算公式为： 1 2 3123123-3 -2 -1发生问题：矩阵下标不能为负平
3、移：图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1.2 图像的镜像同理：垂直镜像计算公式为：同理：垂直镜像计算公式为：1 2 31 2 31 2 3-3 -2 -1发生问题：矩阵下标不能为负图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1.3 图像的旋转图像的旋转计算公式如下：图像的旋转计算公式如下： 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。 因此需要前期处理：扩大画布，取整处理，平移处理 图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1.3.1 图像旋
4、转的前期处理n n图像旋转之前，为了避免信息的丢失，画布的扩大是最图像旋转之前，为了避免信息的丢失，画布的扩大是最重要的，根据旋转点的不同，坐标的平移与画布的设置重要的，根据旋转点的不同，坐标的平移与画布的设置有如下两种方法。有如下两种方法。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换图像的旋转例题结论：按照图像旋转计算公式获得的结果与想象中的差异很大。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1.3.2 图像旋转处理的隐含问题n n图像旋转之后，出现了两个问题：图像旋转之后，出现了两个问题：1 1）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这是因
5、为）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这是因为相邻像素之间只能有相邻像素之间只能有8 8个方向，如下图所示。个方向，如下图所示。2 2）会出现许多的空洞点。）会出现许多的空洞点。n n下面，我们通过一个实际例子，来看这两个问题带来下面，我们通过一个实际例子，来看这两个问题带来的的图像画面效果图像画面效果上的问题。上的问题。 图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1.3.2 图像旋转的后处理n n图像旋转出现的两个问题的图像旋转出现的两个问题的 本质本质 都是因为像都是因为像素值的填充是不连续的。素值的填充是不连续的。n n因此可以采用插值填充的方法来解决。因
6、此可以采用插值填充的方法来解决。 图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.1.3.2 图像旋转的后处理n n最简单的方法是行插值（列插值）方法最简单的方法是行插值（列插值）方法1. 1. 1. 1. 找出当前行的最小和最大的非背景点的坐标，记找出当前行的最小和最大的非背景点的坐标，记 作：作：(i,k1)(i,k1)(i,k1)(i,k1)、(i,k2)(i,k2)(i,k2)(i,k2)。2. 2. 2. 2. 在在(k1,k2)(k1,k2)(k1,k2)(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空范围内进行插值，插值的方法是：空 点的像素值等于前一点的像素
7、值。点的像素值等于前一点的像素值。3. 3. 3. 3. 同样的操作重复到所有行。同样的操作重复到所有行。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换行插值处理例题 经过插值处理之后，图像效果就变得自然。 思考一个问题：边界的锯齿如何处理？图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.2 4.2 图像的形状变换n n所谓图像的形状变换是指图像的形状发生了变化，包括：1.1.1.1.平面上的变换，即放大、缩小等。平面上的变换，即放大、缩小等。2.2.2.2.投投影影变变换换，即即三三维维物物体体投投影影到到平平面面时时所所产产生生的的形形状状变变化。
8、化。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.2.1 4.2.1 图像的缩小n n分为按比例缩小和不按比例缩小两种。分为按比例缩小和不按比例缩小两种。n n图图像像缩缩小小之之后后，因因为为承承载载的的信信息息量量小小了了，所所以以画画布布可相应缩小。可相应缩小。(a) 按比例缩小 (b) 不按比例缩小图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.2.1.1 图像缩小的实现方法n n图图像像缩缩小小实实际际上上就就是是对对原原有有的的多多个个数数据据进进行行挑挑选选或或处处理理，获获得得期期望望缩缩小小尺尺寸寸的的数数据据，并并且尽量保持原有
9、的特征不丢失。且尽量保持原有的特征不丢失。n n最简单的方法就是等间隔地选取数据。最简单的方法就是等间隔地选取数据。 图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.2.1.1 图像缩小的实现方法n n设设原原图图像像大大小小为为M*N,M*N,M*N,M*N,缩缩小小为为k k1 1M*kM*k2 2N N，（k k1 111，k k2 2111，k k221 1）。）。算法步骤如下：算法步骤如下：1 1 1 1）设旧图像是）设旧图像是F(i,j)F(i,j)， i=1,2,i=1,2,M, j=1,2,M, j=1,2,N.,N. 新图像是新图像是I(x,y), x=
10、1,2,I(x,y), x=1,2,k,k1 1M, y=1,2,M, y=1,2,k,k2 2N.N.2 2 2 2）I(x,y)=F(cI(x,y)=F(c1 1*i,c*i,c2 2*j)*j) c c1 1=1/k=1/k1 1 c c2 2=1/k=1/k2 2图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换图像放大例题K1=1.5, k2=1.2K1=1.5, k2=1.21 12 23 33 33 34 45 56 66 66 64 45 56 66 66 6i=1,2, j=1,3. x=1,3, y=1,4.i=1,2, j=1,3. x=1,3, y=1,
11、4.x=i1,i2,i2,x=i1,i2,i2,y=j1,j2,j3,j3,j3.y=j1,j2,j3,j3,j3.1 12 23 34 45 56 6注意：不按比例放大会导致几何畸变。1 12 22 23 33 34 45 55 56 66 64 45 55 56 66 6图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换 4.2.2.3 4.2.2.3 图像放大的问题 思考一个问题： 如果放大倍数太大，按照前面的方法处如果放大倍数太大，按照前面的方法处理会出现理会出现马赛克马赛克效应。如果这个问题交给效应。如果这个问题交给你，有没有办法解决？或者想办法至少使你，有没有办法解
12、决？或者想办法至少使之有所改善？之有所改善？图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.2.3 4.2.3 图像错切n n图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面上的上的非垂直投影效果非垂直投影效果。n n错切的计算公式如下：错切的计算公式如下： 图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换图像错切的例题 可以看到，错切之后原图像的像素排列方向发生改变。与前面旋转不同的是，x x方向与y y方向独立变化。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.3 4.3 三维物体的投影n n我
13、们知道，所得到的图像大多是三维物体在二维平面上的投影信息。n n三维物体与二维图像之间的关系在计算机图形学领域中用的非常多，在图像处理领域中，可以用来观察和分析物体的情况。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.3.1 投影变换n n投影变换是指在某个视点下，三维物体在平面上投影变换是指在某个视点下，三维物体在平面上的投影。的投影。n n如下图所示（参考教材如下图所示（参考教材P42 P42 P42 P42 图图3.43.43.43.4），当视点在），当视点在 z z z z轴上时，物体上的点轴上时，物体上的点p(x,y,z)p(x,y,z)p(x,y,z)p(x
14、,y,z)在平面上的投影在平面上的投影P(X,Y,0)P(X,Y,0)P(X,Y,0)P(X,Y,0)的计算公式如下：的计算公式如下：xyzVp=(0,0,h) 视点p(x,y,z) 空间上的点P(X,Y,0) 投影面上的点图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换例题n np1=(1,1,0) p2=(2,1,0) p3=(1,2,0) p4=(2,2,0)p1=(1,1,0) p2=(2,1,0) p3=(1,2,0) p4=(2,2,0)n nP5=(1,1,1) p6=(2,1,1) p7=(1,2,1) p8=(2,2,1)P5=(1,1,1) p6=(2,1
15、,1) p7=(1,2,1) p8=(2,2,1)n nh=2h=2n n因为：因为：z=0z=0时，时， X=hx/h=x, Y=hy/h=yX=hx/h=x, Y=hy/h=y z=1 z=1时，时， X=hx/(h-1)=2x Y=hy/(h-1)=2yX=hx/(h-1)=2x Y=hy/(h-1)=2yn n所以：所以：P1=(1,1) P2=(2,1) P3=(1,2) P4=(2,2)P1=(1,1) P2=(2,1) P3=(1,2) P4=(2,2)n n P5=(2,2) P6=(4,2) P7=(2,4) P8=(4,4) P5=(2,2) P6=(4,2) P7=(2,
16、4) P8=(4,4)图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换例题p1p3p4p2p5p6p7p8xzy 从视觉效果看，好象不是正方体。这是因为z轴的方向与我们的习惯相反。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.3.2 透视变换n n透视变换是指照相机拍摄下来的照片。透视变换是指照相机拍摄下来的照片。n n如下图所示（参考教材如下图所示（参考教材P43 P43 P43 P43 图图3.53.53.53.5），当视点在），当视点在 z z z z轴上时，物体上的点轴上时，物体上的点p(x,y,z)p(x,y,z)p(x,y,z)p(x,y,
17、z)在平面上的投影在平面上的投影P(X,Y,0)P(X,Y,0)P(X,Y,0)P(X,Y,0)的计算公式为：的计算公式为：p(x,y,z) 空间上的点P(X,Y,0) 投影面上的点xyz透镜位置图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换例题n np1=(1,1,0) p2=(2,1,0) p3=(1,2,0) p4=(2,2,0)p1=(1,1,0) p2=(2,1,0) p3=(1,2,0) p4=(2,2,0)n nP5=(1,1,1) p6=(2,1,1) p7=(1,2,1) p8=(2,2,1)P5=(1,1,1) p6=(2,1,1) p7=(1,2,1)
18、 p8=(2,2,1)n nf=2f=2n n因为：因为： z=0z=0时，时， X=fx/f=x, Y=fy/f=yX=fx/f=x, Y=fy/f=y z=1 z=1时，时， X=fx/(f+1)=2/3x Y=fy/(f+1)=2/3yX=fx/(f+1)=2/3x Y=fy/(f+1)=2/3yn n所以：所以：P1=(1,1) P2=(2,1) P1=(1,1) P2=(2,1) P3=(1,2) P4=(2,2) P3=(1,2) P4=(2,2)n n P5=(2/3,2/3) P6=(4/3,2/3) P5=(2/3,2/3) P6=(4/3,2/3) P7=(2/3,4/3)
19、 P8=(4/3,4/3) P7=(2/3,4/3) P8=(4/3,4/3)图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换例题p1p3p4p2p5p6p7p8xzy图像平面镜前平面注意：我们所看到的计算机图形学生成的图像效果是按照写实性原则来处理的。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换计算机图形学的立体效果图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换4.4 4.4 几何畸变的校正 当镜头没有正对拍摄目标物时，即目标物不是垂直于成像面上时，就会发生几何畸变。如教材P58图4.5所示。 可以通过下式给出的计算公式所定义的线性几何变换将其进行校正： 变换参数可通过对应点的坐标来确定。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换 作 业（共1题）1. 1. 设图像为：设图像为：1）请将它旋转45度；2）请将它在x方向进行45度错切。图像处理与图像识别第图像处理与图像识别第4 4章几何变章几何变换换
