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1、 根本不等式知识点 1、不等式的根本性质 对称性abba 传递性,ab bcac 可加性abacbc 同向可加性dbcadcba , 异向可减性dbcadcba , 可积性bcaccba0, bcaccba0, 同向正数可乘性0,0abcdacbd 异向正数可除性0,0ababcdcd 平方法那么0(,1)nnababnNn 且 开方法那么0(,1)nnabab nNn 且 倒数法那么babababa110;110 2、几个重要不等式 222abab abR,,当且仅当ab时取号. 变形公式:22.2abab 根本不等式 2abab abR,,当且仅当ab时取到等号. 变形公式: 2abab
2、2.2abab 用根本不等式求最值时积定和最小,和定积最大 ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等. 三个正数的算术几何平均不等式33abcabc ()abcR、 、当且仅当abc 时取到等号. 222abcabbcca abR , 当且仅当abc 时取到等号. 3333(0,0,0)abcabc abc 当且仅当abc 时取到等号. 0,2baabab 若则当仅当 a=b 时取等号 0,2baabab 若则当仅当 a=b 时取等号 banbnamambab1, 其中000)abmn , 规律:小于 1 同加那么变大,大于 1 同加那么变小. 220;axaxaxaxa 当时,或 22.xa
3、xaaxa 绝对值三角不等式.ababab 3、几个著名不等式 平均不等式:2211222abababab,, a bR(, 当且仅当ab时取号. 即调和平均几何平均算术平均平方平均. 变形公式: 222;22ababab 222().2abab 幂平均不等式: 222212121.(.) .nnaaaaaan 二维形式的三角不等式: 22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x y xyR 二维形式的柯西不等式: 22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时,等号成立. 三维形式的柯西不等式: 222222212312
4、31 12 23 3()()() .aaabbba ba ba b 一般形式的柯西不等式: 2222221212(.)(.)nnaaabbb 21 12 2(.) .nna ba ba b 向量形式的柯西不等式: 设,是两个向量,那么, 当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立. 排序不等式排序原理 : 设1212.,.nnaaa bbb 为两组实数.12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列,那么12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c 1 122.nna ba ba b 反序和乱序和顺序和 ,当且仅当12.naaa 或12.nbbb 时,反序和等
5、于顺序和. 琴生不等式:特例:凸函数、凹函数 假设定义在某区间上的函数( )f x,对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有 12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或那么称 f(x) 为凸或凹函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比拟法作差,作商法 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: 舍去或加上一些项,如22131()() ;242aa 将分子或分母放大缩小 , 如211,(1)kk k 211,(1)kk k 2212,21kkkkkk *12
6、(,1)1kNkkkk等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式20(0)axbxc 或 2(0,40)abac 解集的步骤: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿奇穿偶切 ,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,那么 ( )0( )( )0( )( )( )0( )0( )0( )f xf xg xg xf
7、xg xf xg xg x “或”时同理 规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 2( )0( )(0)( )f xf xa af xa 2( )0( )(0)( )f xf xa af xa 2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或 2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x ( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x 规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小的一边分析求解. 9、指数不等
8、式的解法: 当1a 时,( )( )( )( )f xg xaaf xg x 当01a 时, ( )( )( )( )f xg xaaf xg x 规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 当1a 时, ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x 当01a 时, ( )0log( )log( )( )0.( )( )aaf xf xg xg xf xg x 规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法: 定义法:(0).(0)aaaaa 平方法:22( )( )( )( ).f xg xfxgx 同解变形法,其同解定
9、理有: (0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或 ( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x ( )( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xf xg xf xg xg x或 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如20axbxc 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: 讨论a与 0 的大小; 讨论与 0 的大小; 讨论两根的大小. 14、恒成立问题 不等式2
10、0axbxc 的解集是全体实数或恒成立的条件是: 当0a 时 0,0;bc 当0a 时00.a 不等式20axbxc 的解集是全体实数或恒成立的条件是: 当0a 时0,0;bc 当0a 时00.a ( )f xa恒成立max( );f xa ( )f xa恒成立max( );f xa ( )f xa恒成立min( );f xa ( )f xa恒成立min( ).f xa 15、线性规划问题 常见的目标函数的类型: “截距型:;zAxBy “斜率型:yzx或;ybzxa “距离型:22zxy或22;zxy 22()()zxayb 或22()() .zxayb 在求该“三型的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.