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1、 根本不等式知识点 1、不等式的根本性质 对称性abba 传递性,ab bcac 可加性abacbc 同向可加性dbcadcba , 异向可减性dbcadcba , 可积性bcaccba0, bcaccba0, 同向正数可乘性0,0abcdacbd 异向正数可除性0,0ababcdcd 平方法那么0(,1)nnababnNn 且 开方法那么0(,1)nnabab nNn 且 倒数法那么babababa110;110 2、几个重要不等式 222abab abR，,当且仅当ab时取号. 变形公式：22.2abab 根本不等式 2abab abR，,当且仅当ab时取到等号. 变形公式： 2abab
2、2.2abab 用根本不等式求最值时积定和最小，和定积最大 ，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等. 三个正数的算术几何平均不等式33abcabc ()abcR、 、当且仅当abc 时取到等号. 222abcabbcca abR ， 当且仅当abc 时取到等号. 3333(0,0,0)abcabc abc 当且仅当abc 时取到等号. 0,2baabab 若则当仅当 a=b 时取等号 0,2baabab 若则当仅当 a=b 时取等号 banbnamambab1， 其中000)abmn ， 规律：小于 1 同加那么变大，大于 1 同加那么变小. 220;axaxaxaxa 当时，或 22.xa
3、xaaxa 绝对值三角不等式.ababab 3、几个著名不等式 平均不等式：2211222abababab，, a bR（， 当且仅当ab时取号. 即调和平均几何平均算术平均平方平均. 变形公式： 222;22ababab 222().2abab 幂平均不等式： 222212121.(.) .nnaaaaaan 二维形式的三角不等式： 22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x y xyR 二维形式的柯西不等式： 22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成立. 三维形式的柯西不等式： 222222212312
4、31 12 23 3()()() .aaabbba ba ba b 一般形式的柯西不等式： 2222221212(.)(.)nnaaabbb 21 12 2(.) .nna ba ba b 向量形式的柯西不等式： 设,是两个向量，那么, 当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立. 排序不等式排序原理 ： 设1212.,.nnaaa bbb 为两组实数.12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，那么12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c 1 122.nna ba ba b 反序和乱序和顺序和 ，当且仅当12.naaa 或12.nbbb 时，反序和等
5、于顺序和. 琴生不等式:特例:凸函数、凹函数 假设定义在某区间上的函数( )f x,对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有 12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或那么称 f(x) 为凸或凹函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比拟法作差，作商法 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： 舍去或加上一些项，如22131()() ;242aa 将分子或分母放大缩小 ， 如211,(1)kk k 211,(1)kk k 2212,21kkkkkk *12
6、(,1)1kNkkkk等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式20(0)axbxc 或 2(0,40)abac 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿奇穿偶切 ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么 ( )0( )( )0( )( )( )0( )0( )0( )f xf xg xg xf
7、xg xf xg xg x “或”时同理 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2( )0( )(0)( )f xf xa af xa 2( )0( )(0)( )f xf xa af xa 2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或 2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x ( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小的一边分析求解. 9、指数不等
8、式的解法： 当1a 时,( )( )( )( )f xg xaaf xg x 当01a 时, ( )( )( )( )f xg xaaf xg x 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 当1a 时, ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x 当01a 时, ( )0log( )log( )( )0.( )( )aaf xf xg xg xf xg x 规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： 定义法：(0).(0)aaaaa 平方法：22( )( )( )( ).f xg xfxgx 同解变形法，其同解定
9、理有： (0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或 ( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x ( )( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xf xg xf xg xg x或 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如20axbxc 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 讨论a与 0 的大小； 讨论与 0 的大小； 讨论两根的大小. 14、恒成立问题 不等式2
10、0axbxc 的解集是全体实数或恒成立的条件是： 当0a 时 0,0;bc 当0a 时00.a 不等式20axbxc 的解集是全体实数或恒成立的条件是： 当0a 时0,0;bc 当0a 时00.a ( )f xa恒成立max( );f xa ( )f xa恒成立max( );f xa ( )f xa恒成立min( );f xa ( )f xa恒成立min( ).f xa 15、线性规划问题 常见的目标函数的类型： “截距型：;zAxBy “斜率型：yzx或;ybzxa “距离型：22zxy或22;zxy 22()()zxayb 或22()() .zxayb 在求该“三型的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
