随机变量的方差及标准差

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1、2 2 随机变量的方差及标准差随机变量的方差及标准差例如：有两批钢筋，每批十根，它们的抗拉指标依次为例如：有两批钢筋，每批十根，它们的抗拉指标依次为例如：有两批钢筋，每批十根，它们的抗拉指标依次为例如：有两批钢筋，每批十根，它们的抗拉指标依次为第一批：第一批：第一批：第一批：110110110110，120120120120，120120120120，125125125125，125125125125，125125125125，130130130130，130130130130，135135135135，140140140140；第二批：第二批：第二批：第二批：90909090，1001001

2、00100，120120120120，125125125125，125125125125，130130130130，135135135135，145145145145，145145145145，145.145.145.145.这两批的抗拉指标的平均值都是这两批的抗拉指标的平均值都是这两批的抗拉指标的平均值都是这两批的抗拉指标的平均值都是126.126.126.126.但是，使用钢筋时，一般但是，使用钢筋时，一般但是，使用钢筋时，一般但是，使用钢筋时，一般要求不低于一个指定数值，例如要求不低于一个指定数值，例如要求不低于一个指定数值，例如要求不低于一个指定数值，例如115.115.115.115

3、.那么，第二批钢筋的诸抗那么，第二批钢筋的诸抗那么，第二批钢筋的诸抗那么，第二批钢筋的诸抗拉指标由于与平均值偏差较大，即取值较分散，所以它们中间拉指标由于与平均值偏差较大，即取值较分散，所以它们中间拉指标由于与平均值偏差较大，即取值较分散，所以它们中间拉指标由于与平均值偏差较大，即取值较分散，所以它们中间尽管有几根的抗拉指标很大，但是不合格的根数比第一批多尽管有几根的抗拉指标很大，但是不合格的根数比第一批多尽管有几根的抗拉指标很大，但是不合格的根数比第一批多尽管有几根的抗拉指标很大，但是不合格的根数比第一批多. . . .从而，从实用价值来讲，可以认为第二批的质量比第一批差从而，从实用价值来讲

4、，可以认为第二批的质量比第一批差从而，从实用价值来讲，可以认为第二批的质量比第一批差从而，从实用价值来讲，可以认为第二批的质量比第一批差. . . .从从从从这个例子中看到，了解这个例子中看到，了解这个例子中看到，了解这个例子中看到，了解实际实际实际实际指标与平均值的偏差情况是有必要的指标与平均值的偏差情况是有必要的指标与平均值的偏差情况是有必要的指标与平均值的偏差情况是有必要的. . . .通常用它的数学期望通常用它的数学期望 来计量来计量 取值时取值时以它的数学期望以它的数学期望 为中心的分散程度为中心的分散程度. .把这个数把这个数字特征叫做字特征叫做 的方差，记作的方差，记作 （或（或

5、 ）. .即规定即规定 （2.12.1） 定义定义定义定义 同时称同时称同时称同时称为随机变量为随机变量为随机变量为随机变量 的标准差的标准差的标准差的标准差. .注注这个表达式有时可以用来计算这个表达式有时可以用来计算这个表达式有时可以用来计算这个表达式有时可以用来计算按数学期望的性质，由于按数学期望的性质，由于按数学期望的性质，由于按数学期望的性质，由于 是一个常数，因此是一个常数，因此是一个常数，因此是一个常数，因此n对离散型随机变量，按上（对离散型随机变量，按上（2.12.1）式有）式有 其中其中 是是 的分布律的分布律.n对连续型随机变量，按上（对连续型随机变量，按上（对连续型随机变

6、量，按上（对连续型随机变量，按上（2.12.1）式有）式有）式有）式有其中其中其中其中 是是是是 的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度. .方差具有下列性质：方差具有下列性质：n（2 2）设）设）设）设 是随机变量，是随机变量，是随机变量，是随机变量， 是常数，则有是常数，则有是常数，则有是常数，则有n（3 3）设）设）设）设 ， 是随机变量，则有是随机变量，则有是随机变量，则有是随机变量，则有 n（4 4） 的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是 以概率取常数以概率取常数以概率取常数以概率取常数 即即即即 显然，这里显然，这里显然，这里显然，这里证证：这一性质可以推广到任意有限

7、多个相互独立的随这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况机变量之和的情况机变量之和的情况机变量之和的情况. .特别，若特别，若特别，若特别，若 相互独立，则有：相互独立，则有：相互独立，则有：相互独立，则有：n（1 1）设）设）设）设 是常数，则是常数，则是常数，则是常数，则例例1 1 设随机变量设随机变量 具有数学期望具有数学期望 方差方差 记记，则，则 即即即即 的数学期望为，方差为，的数学期望为，方差为，的数学期望为，方差为，的数学期望为，方差为， 称为称为称为称为 的标准化随机变量的标

8、准化随机变量的标准化随机变量的标准化随机变量. .例例2 2 设随机变量设随机变量 具有（具有（）分布）分布 ，其分布律为其分布律为 也记为也记为 求求例例3 3 设设 服从服从 即即 ， 求求 . .解解：解解：13例例4 4 设设 服从服从 ，求，求 例例5 5 设随机变量设随机变量 服从指数分布：服从指数分布： 其中其中 求求 解解：解解：16例例6 6 设设 . .求求例例7 7 设设 求求解解：解解：从而看出，一般正态分布中的参数从而看出，一般正态分布中的参数从而看出，一般正态分布中的参数从而看出，一般正态分布中的参数 依次是相依次是相依次是相依次是相应随机变量的数学期望及方差，只要

9、利用数学期望应随机变量的数学期望及方差，只要利用数学期望应随机变量的数学期望及方差，只要利用数学期望应随机变量的数学期望及方差，只要利用数学期望及方差这两个数字特征便能完全定出这一分布及方差这两个数字特征便能完全定出这一分布及方差这两个数字特征便能完全定出这一分布及方差这两个数字特征便能完全定出这一分布. . . .这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数 和和和和 分别就是该分布的数学期望和均方差，因而正分别就是该分布的数学期望和均方差，因而正分别就是该分布的数学期望和均方

10、差，因而正分别就是该分布的数学期望和均方差，因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定态分布完全可由它的数学期望和方差所确定态分布完全可由它的数学期望和方差所确定态分布完全可由它的数学期望和方差所确定. .再者，由上一章再者，由上一章再者，由上一章再者，由上一章4 4 中例中例中例中例3 3 知道，若知道，若知道，若知道，若则它们的线性组合：则它们的线性组合：则它们的线性组合：则它们的线性组合： 是不全是不全是不全是不全为为为为0 0的常数）仍然服从正态分布，于是由数学期望的常数）仍然服从正态分布，于是由数学期望的常数）仍然服从正态分布，于是由数学期望的常数）仍然服从正态分布，于是由数学期望和方差的性质知道和方差的性质知道和方差的性质知道和方差的性质知道 这是一个重要结果这是一个重要结果这是一个重要结果这是一个重要结果. .例如例如，若若，且，且 相互独立，相互独立，则则 也服从正态分布，而也服从正态分布，而故有故有故有故有下面，我们把一些常见随机变量的概率分布、均值、下面，我们把一些常见随机变量的概率分布、均值、下面，我们把一些常见随机变量的概率分布、均值、下面，我们把一些常见随机变量的概率分布、均值、方差等列出表方差等列出表方差等列出表方差等列出表4-24-2，以便查阅，以便查阅，以便查阅，以便查阅. .