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1、1 概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1事件的关系ABABAABBABA2运算规则(1)BAABABBA(2))()()()(BCACABCBACBA(3))()()()()(CBCACABBCACCBA(4)BAABBABA3概率)(AP满足的三条公理及性质:(1)1)(0AP(2)1)(P(3)对互不相容的事件nAAA,21,有nkknkkAPAP11)()((n可以取)(4)0)(P(5))(1)(APAP(6))()()(ABPAPBAP,若BA,则)()()(APBPABP,)()(BPAP(7))()()()(ABPBPAPBAP(8))()()()()()()()(AB
2、CPBCPACPABPCPBPAPCBAP4古典概型:基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率(1)定义:若0)(BP,则)()()|(BPABPBAP(2)乘法公式:)|()()(BAPBPABP若nBBB,21为完备事件组,0)(iBP,则有(3)全概率公式:niiiBAPBPAP1)|()()((4)Bayes 公式:niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7事件的独立性:BA,独立)()()(BPAPABP(注意独立性的应用)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页2 第二章随机变量与概
3、率分布1 离散随机变量:取有限或可列个值,iipxXP)(满足( 1)0ip, (2)iip=1 (3)对任意RD,DxiiipDXP:)(2 连续随机变量:具有概率密度函数)(xf,满足( 1)1)(,0)(-dxxfxf;(2)badxxfbXaP)()(; (3)对任意Ra,0)(aXP3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布), 1 (pBpXP)1(,pqXP1)0(ppq二项式分布),(pnBnkqpCkXPknkkn,2, 1 ,0,)(,npnpqPoisson分布)(P,2, 1 ,0,!)(kkekXPk几何分布)( pG,2, 1,)(1kpqkXP
4、kp12pq均匀分布),(baUbxaabxf,1)(,2ba12)(2ab指数分布)(E0,)(xexfx121正态分布),(2N222)(21)(xexf24 分布函数)()(xXPxF,具有以下性质(1)1)(,0)(FF; (2)单调非降;(3)右连续;(4))()()(aFbFbXaP,特别)(1)(aFaXP;(5)对离散随机变量,xxiiipxF:)(;(6) 对连续随机变量,xdttfxF)()(为连续函数, 且在)(xf连续点上,)()(xfxF5 正态分布的概率计算以)(x记标准正态分布) 1 , 0(N的分布函数,则有(1)5.0)0(; (2))(1)(xx; (3)若
5、),(2NX,则)()(xxF;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页3 (4)以u记标准正态分布)1 ,0(N的上侧分位数,则)(1)(uuXP6 随机变量的函数)(XgY(1)离散时,求Y的值,将相同的概率相加;( 2 )X连 续 ,)(xg在X的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 , 且 有 一 阶 连 续 导 数 , 则|)(|)()(11ygygfyfXY,若不单调,先求分布函数,再求导。第四章随机变量的数字特征1期望(1) 离散时iiipxXE)(,iiipxgXgE)()(;(2) 连续时dxxxfXE)
6、()(,dxxfxgXgE)()()(;(3) 二维时jiijjipyxgYXgE,),(),(,dydxyxfyxgYXgE),(),(),(4)CCE)(; (5))()(XCECXE;(6))()()(YEXEYXE;(7)YX ,独立时,)()()(YEXEXYE2方差(1)方差222)()()()(EXXEXEXEXD,标准差)()(XDX;(2))()(,0)(XDCXDCD;(3))()(2XDCCXD;(4)YX ,独立时,)()()(YDXDYXD3协方差(1))()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov;(2)),(),(),(),(YXabCovbYa
7、XCovXYCovYXCov;(3)),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov;(4)0),(YXCov时,称YX ,不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;(5)),(2)()()(YXCovYDXDYXD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页4 4相关系数)()(),(YXYXCovXY;有1|XY,1)(,1|baXYPbaXY5k阶原点矩)(kkXE,k阶中心矩kkXEXE)(第五章大数定律与中心极限定理1Chebyshev 不等式2)(|)(|XDXEXP或2)(1|)(|XDXEXP2大
8、数定律3中心极限定理( 1 ) 设 随 机 变 量nXXX,21独 立 同 分 布2)(,)(iiXDXE, 则),(21nnNXnii近似, 或),(121nNXnnii近似或)0,1(1NnnXnii近似,( 2) 设m是n次 独 立 重 复 试 验 中A发 生 的 次 数 ,pAP)(, 则 对 任 意x, 有)(limxxnpqnpmPn或理解为若),(pnBX,则),(npqnpNX近似第六章样本及抽样分布1总体、样本(1)简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);(2)样本数字特征:样本均值niiXnX11()(XE,nXD2)() ;样本方差niiXXnS12
9、2)(11(22)(SE)样本标准差niiXXnS12)(11样本k阶原点矩nikikXn11,样本k阶中心矩nikikXXn1)(12统计量:样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1)2分布)(2222212nXXXn,其中nXXX,21独立同分布于标准正态分布)1 , 0(N,若)(),(2212nYnX且独立,则)(212nnYX;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页5 (2)t分布)(/ntnYXt,其中)(),1 ,0(2nYNX且独立;(3)F分布),(/2121
10、nnFnYnXF,其中)(),(2212nYnX且独立,有下面的性质),(1),(),(11221112nnFnnFnnFF4正态总体的抽样分布(1))/,(2nNX;(2))()(11222nXnii;(3))1() 1(222nSn且与X独立;(4))1(/ntnSXt;(5))2()()(21212121nntnnnnSYXt,2) 1()1(212222112nnSnSnS(6))1, 1(/2122222121nnFSSF第七章参数估计1矩估计:(1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计2极大似然估计:(1)写出极大似然函数; (2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数; (4)令导数或偏导数为 0, 解出极大似然估计 (如无解回到 (1)直接求最大值, 一般为 minix或 maxix)3估计量的评选原则(1)无偏性:若)?(E,则为无偏;(2) 有效性:两个无偏估计中方差小的有效;4参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间2已知nxu/2nux2未知nsxt/)1(2nsntx2未知222)1(sn) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页