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1、下下下下回回回回停停停停一、引言一、引言 二、线性规划模型二、线性规划模型三、整数线性规划模型三、整数线性规划模型 四、四、0-1整数规划模型整数规划模型 五、非线性规划模型五、非线性规划模型 六、多目标规划模型六、多目标规划模型 七、动态规划模型七、动态规划模型一、引言一、引言 我们从我们从2005年年“高教社杯高教社杯”全国大学生数模全国大学生数模竞竞谈起谈起. . 其中第二个问题是一个如何来分配有限资源，其中第二个问题是一个如何来分配有限资源，从而达到人们期望目标的优化分配数学模型从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 这类问题一般可以归结为这类问题一般可以归结为数学规划模型数学规划模
2、型.赛的赛的B题题“DVD在线租赁在线租赁”问题的第二问和第三问问题的第二问和第三问 规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、创造的价值无法估量创造的价值无法估量. 特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常见的一类数学模型见的一类数学模型. 从历年全国大学生数模竞赛从历年全国大学生数模竞赛越多的人所重视越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越随着计算
3、机的逐渐普及，它越试题的解题方法统计结果来看，每年至少有一道试题的解题方法统计结果来看，每年至少有一道题涉及到利用规划理论来分析、求解题涉及到利用规划理论来分析、求解. 二、线性规划模型二、线性规划模型 线性规划模型是所有规划模型中最基本、最线性规划模型是所有规划模型中最基本、最例例1.（食谱问题）设有食谱问题）设有 n 种食物，各含种食物，各含 m 种营养种营养素，第素，第 j 种食物中第种食物中第 i 中营养素的含量为中营养素的含量为 aij , n 种种食物价格分别为食物价格分别为c1, c2, , cn，请确定食谱中，请确定食谱中n 种食种食物的数量物的数量x1, x2, , xn，要
4、求在食谱中，要求在食谱中 m 种营养素种营养素简单的一种简单的一种. 2.1 2.1 线性规划模型的标准形式线性规划模型的标准形式 的含量分别不低于的含量分别不低于b1, b2, , bm 的情况下，使得总的情况下，使得总总的费用最低总的费用最低. 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 其次食谱中第其次食谱中第 i 种营养素的含量为种营养素的含量为 因此上述问题可表述为：因此上述问题可表述为： 解解 上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题，上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题，寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模寻求以线性函数的最大（小）值为目标
5、的数学模型型.它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下，它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下，线性规划模型的三种形式线性规划模型的三种形式 一般形式一般形式 目标函数目标函数价值向量价值向量价值系数价值系数决策变量决策变量右端向量右端向量系系数数矩矩阵阵非负约束非负约束自由变量自由变量规范形式规范形式标准形式标准形式 三种形式的三种形式的LP问题全都是等价的，即一种问题全都是等价的，即一种形式的形式的LP可以简单的变换为另一种形式的可以简单的变换为另一种形式的LP，且它们有相同的解且它们有相同的解.以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准形式形式.目
6、标函数的转化目标函数的转化 xoz-z约束条件和变量的转化约束条件和变量的转化为为了了把把一一般般形形式式的的LP问问题题变变换换为为规规范范形形式式，我我们们必必须须消消除除等等式式约约束束和和符符号号无无限限制制变变量量.在在一一般形式的般形式的LP中，一个等式约束中，一个等式约束可用下述两个不等式约束去替代可用下述两个不等式约束去替代这样就把一般形式的这样就把一般形式的LP变换为规范形式变换为规范形式. .对对于于一一个个无无符符号号限限制制变变量量，引引进进两两个个非非负负变量变量和和，并设，并设为了把一般形式的为了把一般形式的LPLP问题变换为标准形式，问题变换为标准形式，必须消除其
7、不等式约束和符号无限制变量必须消除其不等式约束和符号无限制变量. .对于一个不等式约束对于一个不等式约束代替上述的不等式约束代替上述的不等式约束. .对符号无限制变量的处理可按上述方法进行对符号无限制变量的处理可按上述方法进行. .可引入一个可引入一个剩余变量剩余变量，用用 对于不等式约束对于不等式约束代替上述的不等式约束代替上述的不等式约束这样就把一般形式的这样就把一般形式的LP变换为标准形式变换为标准形式.可引入一个可引入一个松弛变量松弛变量，用，用 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论针对标准形式的线性规划问题，其解的理论分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算分析已经很完备，在此基
8、础上也提出了很好的算 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也法法单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段2.2 2.2 线性规划模型的求解线性规划模型的求解 法，对偶单纯形法等）法，对偶单纯形法等）. 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好是最优解，则根据相应规则，迭代到下
9、一个更好的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求解过程可参见文献解过程可参见文献1.在实际应用中，特别是数学建模过程中，遇到线在实际应用中，特别是数学建模过程中，遇到线性规划问题的求解，我们一般都是利用现有的软性规划问题的求解，我们一般都是利用现有的软件进行求解，此时通常并不要求线性规划问题是件进行求解，此时通常并不要求线性规划问题是标准形式标准形式. 比较常用的求解线性规划模型的软件比较常用的求解线性规划模型的软件包有包有LINGO和和LINDO.运输问题运输问题
10、例例2.2.设要从甲地调出物资设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物吨，从乙地调出物资资1100吨，分别供给吨，分别供给A地地1700吨、吨、B地地1100吨、吨、C假定运费与运量成正比假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不在这种情况下，采用不地地200吨、吨、D地地100吨吨. 已知每吨运费如表已知每吨运费如表1.1所示所示. 同的调拨计划，运费就可能不一样同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎现在问：怎样才能找出一个运费最省的调拨计划？样才能找出一个运费最省的调拨计划？1572521甲甲15375151乙乙DCBA表表1.1销销地地运运费费产产地地乙乙甲甲DCBA解解一般的
11、运输问题可以表述如下：一般的运输问题可以表述如下：数学模型：数学模型： 若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，即即 类似与将一般的线性规划问题转化为其标准类似与将一般的线性规划问题转化为其标准否则，称为不平衡的运输问题，包括：否则，称为不平衡的运输问题，包括：，则称该问题为平衡的运输问题，则称该问题为平衡的运输问题.总产量总产量总销量和总产量总销量和总产量bj 的运输问题，得到的数学模i=1j=1型为m nminf= cij xiji=1j=1ns.t. xij aii=1,2,mj=1m xij=bj j=1,2,ni=1xij0(i=1,2,m;j
12、=1,2,n)只只要要在在模模型型中中的的产产量量限限制制约约束束（前前m个不等式约束）中引入个不等式约束）中引入m个松弛变量个松弛变量xi,n+1i=1,2,m 即可，变为：即可，变为：n xij+xin+1=aii=1,2,m j=1然后，需设一个销地然后，需设一个销地Bn+1,它的销量为：它的销量为：m nbn+1= ai- bji=1j=1这里，松弛变量xi n+1可以视为从产地A i运往销地Bn+1的运输量，由于实际并不运送，它们的运费为 ci n+1=0i=1,2,m。于是，这个运输问题就转化成了一个产销平衡的问题。2.销量大于产量的情况销量大于产量的情况m n考虑考虑 ai bj
13、 的运输问题，得到的数学模型为的运输问题，得到的数学模型为i=1j=1m nMinf = cij xiji=1j=1 n s.t. xij=aii=1,2,mj=1m xij bjj=1,2,ni=1xij0(i=1,2,m;j=1,2,n)只只要要在在模模型型中中的的产产量量限限制制约约束束（后后n个个不不等等式式约约束束）中中引引入入n个个松松弛弛变变量量xm+1jj =1,2,n即可，变为：即可，变为：m xij+xm+1j=bjj=1,2,mi=1然后，需设一个产地然后，需设一个产地A m+1,它的销量为：它的销量为：n m am+1= bj- aij=1 i=1这这里里，松松弛弛变变
14、量量x m+1,j可可以以视视为为从从产产地地A m+1运运往往销销地地Bj的的运运输输量量，由于实际并不运送，它们的运费为由于实际并不运送，它们的运费为c m+1,j=0j=1,2,n。于于是是，这这个个运运输输问问题题就就转转化化成成了了一一个个产产销销平平衡衡的的问题。问题。 显然，运输问题是一个标准的线性规划问题，显然，运输问题是一个标准的线性规划问题，因而当然可以运用单纯形方法求解因而当然可以运用单纯形方法求解. 但由于平衡的但由于平衡的运输问题的特殊性质，它还可以用其它的一些特殊运输问题的特殊性质，它还可以用其它的一些特殊方法求解，其中最常用的就是表上作业法，该方法方法求解，其中最
15、常用的就是表上作业法，该方法将单纯形法与平衡的运输问题的特殊性质结合起来，将单纯形法与平衡的运输问题的特殊性质结合起来，很方便地实行了运输问题的求解很方便地实行了运输问题的求解. 关于运输问题及关于运输问题及其解法的进一步介绍参考文献其解法的进一步介绍参考文献2. 对于线性规划问题，如果要求其决策变量取对于线性规划问题，如果要求其决策变量取整数值，则称该问题为整数线性规划问题整数值，则称该问题为整数线性规划问题.平面法和分支定界法是两种常用的求解整数线性平面法和分支定界法是两种常用的求解整数线性 对于整数线性规划问题的求解，其难度和运对于整数线性规划问题的求解，其难度和运三、整数线性规划模型三
16、、整数线性规划模型算量远大于同规模的线性规划问题算量远大于同规模的线性规划问题. Gomory割割规划问题的方法（见文献规划问题的方法（见文献1）. 此外，同线性此外，同线性规规划模型一样，我们也可以运用划模型一样，我们也可以运用LINGO和和LINDO软软件包来求解整数线性规划模型件包来求解整数线性规划模型. 以以1988年美国大学生数学建模竞赛年美国大学生数学建模竞赛B题为例，题为例，说明整数线性规划模型的建立及用说明整数线性规划模型的建立及用LINGO软件包如软件包如何求解整数线性规划模型。何求解整数线性规划模型。 例例3. 有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车有七种规格的包装箱要装到
17、两节铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以，以cm 计）及重量（计）及重量（w，以，以kg计）是不同的计）是不同的. 表表1给出给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每节平板了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每节平板车有车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（像面包片长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为那样），载重为40t. 由于当地货运的限制，对于由于当地货运的限制，对于C5, C6, C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这类包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过类箱子所占的空间（厚度）不能超过302
18、.7cm. 试试把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间最小把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间最小.种种类类C1C2C3C4C5C6C7t/cm48.753.061.372.048.752.064.0w/kg2000 3000 10005004000 2000 1000n/件件8796648 为在第为在第 节车上装载第节车上装载第 件包装箱的件包装箱的解解 令令 下面我们建立该问题的整数线性规划模型。下面我们建立该问题的整数线性规划模型。1) 约束条件约束条件两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即：两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即：每节车可装的长度不能超过车能提供的长度：每节车可装的长度不
19、能超过车能提供的长度：每节车可装的重量不超过车能够承受的重量：每节车可装的重量不超过车能够承受的重量：对于对于C5,C6,C7类包装箱的总数的特别限制：类包装箱的总数的特别限制： 2) 目标函数目标函数浪费的空间最小，即包装箱的总厚度最大：浪费的空间最小，即包装箱的总厚度最大：3) 整数线性规划模型整数线性规划模型由上一步中的求解结果可以看出，由上一步中的求解结果可以看出，4) 模型求解模型求解运用运用LINGO软件求解得到：软件求解得到：5) 最优解的分析说明最优解的分析说明的装车方案，此时装箱的总长度为的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm，两节车共装箱的总长度为两节车共装箱的总长
20、度为2039.4cm.即为最优即为最优 但是，上述求解结果只是其中一种最优的但是，上述求解结果只是其中一种最优的装车方案，即此答案并不唯一装车方案，即此答案并不唯一. 0-1整数规划是整数规划的特殊情形，它要求整数规划是整数规划的特殊情形，它要求线性规划模型中的决策变量线性规划模型中的决策变量xij只能取值为只能取值为0或或1.单隐枚举法，该方法是一种基于判断条件（过滤单隐枚举法，该方法是一种基于判断条件（过滤 0-1整数规划模型的求解目前并没有非常好的整数规划模型的求解目前并没有非常好的四、四、0-1整数规划模型整数规划模型 算法，对于变量比较少的情形，我们可以采取简算法，对于变量比较少的情
21、形，我们可以采取简条件）的穷举法条件）的穷举法. 我们也可以利用我们也可以利用LINGO和和LINDO软件包来求软件包来求解解0-1整数规划模型整数规划模型.背包问题背包问题例例4. 4. 有有n 个物品，编号为个物品，编号为1,2,n，第，第i 件物品件物品重重 ai 千克，价值为千克，价值为 ci 元，现有一个载重量不超过元，现有一个载重量不超过大，应如何装载这些物品？大，应如何装载这些物品？ a 千克的背包，为了使装入背包的物品总价值最千克的背包，为了使装入背包的物品总价值最用变量用变量 xi 表示物品表示物品 i 是否装包，是否装包，i =1, 2, , n，并令：并令：解解可得到背包
22、问题的规划模型为：可得到背包问题的规划模型为：指派问题指派问题例例5. 5. 有有n 项任务，由项任务，由n 个人来完成，每个人只能个人来完成，每个人只能做一件，做一件， 第第 i 个人完成第个人完成第 j 项任务要项任务要 cij 小时，如小时，如何合理安排时间才能使总用时最小？何合理安排时间才能使总用时最小？ 引入状态变量引入状态变量 xij ，并令：，并令：解解则总用时表达式为：则总用时表达式为：可得到指派问题的规划模型为：可得到指派问题的规划模型为： 上面介绍的指派问题称为指派问题的标准形上面介绍的指派问题称为指派问题的标准形式，还有许多其它的诸如人数与任务数不等、及式，还有许多其它的
23、诸如人数与任务数不等、及但一般可以通过一些转化，将其变为标准形式但一般可以通过一些转化，将其变为标准形式.某人可以完成多个任务，某人不可以完成任务，某人可以完成多个任务，某人不可以完成任务，某任务必须由某人完成等特殊要求的指派问题某任务必须由某人完成等特殊要求的指派问题. 对于标准形式的指派问题，我们可以利用匈对于标准形式的指派问题，我们可以利用匈牙利算法实现求解牙利算法实现求解. 它将指派问题中的系数构成它将指派问题中的系数构成一个矩阵，利用矩阵上简单的行和列变换，结合一个矩阵，利用矩阵上简单的行和列变换，结合解的判定条件，实现求解（见文献解的判定条件，实现求解（见文献2）.DVDDVD在线
24、租赁第二个问题的求解在线租赁第二个问题的求解问题二的分析问题二的分析 经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素互制约的重要因素. 在忽略邮寄成本的前提下，在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为经营成本主要体现为DVD的数量的数量. 我们主要考虑我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大的数量尽量小，会员满意度最大. 假设按照公历月份进行的租赁业务，即会员假设按照公历月份进行的
25、租赁业务，即会员无论两次租赁还是一次租赁，必须在当月内完成无论两次租赁还是一次租赁，必须在当月内完成DVD的租与还的租与还. 同时假设网站对其会员进行一次同时假设网站对其会员进行一次租赁业务时，只能向其提供租赁业务时，只能向其提供3张该会员已经预定的张该会员已经预定的DVD，否则不进行租赁，否则不进行租赁. 经观察，可以认为在线订单中每个会员的预经观察，可以认为在线订单中每个会员的预定定DVD的表示偏好程度的数字反映了会员对所预的表示偏好程度的数字反映了会员对所预定不同定不同DVD的满意程度，且当会员租到其预定排的满意程度，且当会员租到其预定排序为序为1，2，3的三张的三张DVD时，满意度达到
26、时，满意度达到100% .会员没有预定的会员没有预定的DVD对其满意度的贡献为对其满意度的贡献为0 . 利用层次分析法，对此满意指数的合理性进利用层次分析法，对此满意指数的合理性进行了简单分析行了简单分析. 该问题要求根据现有的该问题要求根据现有的100种种DVD的数量和的数量和当前需要处理的当前需要处理的1000位会员的在线订单，制定位会员的在线订单，制定分配策略，使得会员达到最大的满意度分配策略，使得会员达到最大的满意度. 因而我因而我们认为们认为,只需对这些只需对这些DVD进行一次性分配，使得进行一次性分配，使得会员的总体满意度达到最大会员的总体满意度达到最大. 为此考虑建立优化为此考虑
27、建立优化模型，进行求解模型，进行求解. 问题二的模型及求解问题二的模型及求解 经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素互制约的重要因素. 在忽略邮寄成本的前提下，在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为经营成本主要体现为DVD的数量的数量. 我们主要考虑我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大的数量尽量小，会员满意度最大. 由此，可得问题二的由此，可得问题二的0-1整数线性规划模型如下：整数线性规划模型如下： 根据所得的根据所得的0-1整数线性规划模型，利用整数线性规划模型，利用LINGO软件进行求解，我们得到了一组最优分软件进行求解，我们得到了一组最优分配方案（见表配方案（见表3） . 该组最优解其目标函数会员总体最大满意该组最优解其目标函数会员总体最大满意度为度为91.56%，只有，只有6人未成功租赁（如：前人未成功租赁（如：前30名会员中名会员中C0008被分配到被分配到DVD），其余），其余994个个会员全都得到了会员全都得到了3张预定的张预定的DVD .
